想象能力在空間的認(rèn)知現(xiàn)狀以及教學(xué)策略研究-畢業(yè)論文

PAGE45摘要立體幾何知識(shí)是高中階段重要的內(nèi)容，通過立體幾何的學(xué)習(xí)提高學(xué)生的空間想象能力，同時(shí)空間想象能力又是學(xué)好立體幾何的有力保障?？臻g想象能力是高考大綱中要求的七項(xiàng)能力之一，由于本套教材引入了運(yùn)用空間向量法解決立體幾何問題，所以培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力只能在立體幾何初步中進(jìn)行，教學(xué)時(shí)間如此短，要想達(dá)到更好的教學(xué)效果，需要對(duì)學(xué)生的空間想象力的認(rèn)知現(xiàn)狀以及采取的教學(xué)策略做深入的研究。首先，筆者對(duì)空間想象能力進(jìn)行了綜述，明確了空間想象能力的概念、分類與分層，同時(shí)對(duì)空間想象能力的研究現(xiàn)狀做了梳理。其次，筆者對(duì)所任教學(xué)校的兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行了測(cè)試，以了解學(xué)生的空間想象能力的現(xiàn)狀，并對(duì)其中有代表性的個(gè)體進(jìn)行了訪談，以精細(xì)的了解學(xué)生的想法。隨后又進(jìn)行了一次空間中的位置關(guān)系的測(cè)試及訪談。通過兩次測(cè)試和訪談可以看出學(xué)生的空間想象能力的現(xiàn)狀是非常不理想的。筆者對(duì)成因做了分析，根據(jù)成因?qū)で蠼虒W(xué)策略。再次，筆者根據(jù)學(xué)生空間想象能力的現(xiàn)狀做出如下的教學(xué)策略：典型圖形對(duì)提高空間想象能力的作用；透視幾何體內(nèi)部對(duì)提高空間想象能力的作用；立體幾何定理對(duì)提高空間想象能力的作用。其中，其他研究者所研究的策略非常常規(guī)，也非常重要，筆者沒有再贅述。最后，對(duì)應(yīng)用此教學(xué)策略實(shí)時(shí)教學(xué)的班級(jí)與對(duì)比班級(jí)進(jìn)行對(duì)比，此教學(xué)策略對(duì)提高學(xué)生空間想象能力有一定效果，希望這點(diǎn)膚淺的經(jīng)驗(yàn)和研究結(jié)論能對(duì)大家有所裨益。關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)立體幾何教學(xué)策略空間想象能力

AbstractSolidgeometryisanimportantcomponentofhighschoolmath.Studentscanimprovetheirspatialimaginationabilityintheprocessoflearningsolidgeometry,whilestrongspatialimaginationabilityistheguaranteeforstudentstomastersolidgeometry.Spatialimaginationabilityisoneofthesevenskillsrequiredinoutlineofcollegeentranceexam.Sincethecurrenttextbooksystemintroducessolvingsolidgeometryproblemsusingspacevectors,students’spatialimaginationabilitycanonlybecultivatedinelementarysolidgeometry.Withinsuchshortperiodofteachingtime,inordertogetabetterteachingoutcome,deeperresearchesinthecurrentsituationofstudents’spatialimaginationskillsandteachingstrategiesareneeded.Firstofall,thispaperpresentsanoverviewofspatialimaginationability,includingthedefinition,diversityandstratification,aswellascurrentresearchsituationofspatialimaginationability.Next,basedonexamscoresofstudentsintwoclasses,abetterunderstandingofthecurrentsituationofstudents’spatialimaginationabilitywasgained.Amorepreciseunderstandingofstudents’thoughtswasobtainedbyconductinginterviewswithrepresentativestudents.Anotherexamwasgiveninthesametwoclassesofstudentsandtheresultsshowedthatthecurrentsituationofstudents’spatialimaginationabilitywasveryfarfromideal.Thispaperanalyzesthereasonsforthecurrentsituationandtriestoexploreabetterteachingtechniquebasedontheproposedreasons.Thefollowingteachingstrategiesareproposedaccordingtothecurrentsituationofstudents’spatialimaginationability:theimportantroleofcharacteristicfiguresinimprovingstudents’spatialimaginationskills;theimportantroleofunderstandingtheinsideofagivengeometryinimprovingstudents’spatialimaginationskills;theimportantroleoftheoremsinsolidgeometryinimprovingstudents’spatialimaginationskills.Itisworthnotingthatotherresearchesinthisareahavepresentedveryformalwhilealsoveryimportantstrategies,eventhoughnotmentionedinthispaper.Finally,comparedtotheclassinthecontrolledcondition,studentsintheclassthatappliedtheseteachingstrategieshadanimprovementinspatialimaginationskills.Hopefully,otherresearcherscanbenefitfromthissimpleexperienceandresearchconclusions.KEYWORDS：spatialimaginationskillsolidgeometryhighschoolmathteachingstrategies目錄MACROBUTTONAcceptAllChangesInDoc空間想象能力的認(rèn)知現(xiàn)狀與教學(xué)策略研究 I摘要 IMACROBUTTONTitle[Pleasehithere,thenenterEnglishTitle] II1緒論 11.1研究背景 11.2研究的目的與意義 21.3研究的思路與方法 31.3.1研究思路 31.3.2研究方法 32空間想象能力的相關(guān)理論與現(xiàn)狀分析 42.1空間想象能力的界定 42.1.1空間想象能力的概念 42.1.2空間想象能力的分類 52.1.3空間想象能力的層次 62.2空間想象能力的研究現(xiàn)狀 92.2.1國(guó)外研究現(xiàn)狀 92.2.2國(guó)內(nèi)研究現(xiàn)狀 93空間想象能力在高中立體幾何教學(xué)中的地位和作用 113.1空間想象能力的價(jià)值 113.2空間想象能力在高中立體幾何教學(xué)中的作用 123.2.1空間想象能力在立體幾何教學(xué)中的作用 123.2.2空間想象能力對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的影響 134空間想象能力的認(rèn)知現(xiàn)狀的調(diào)查 134.1調(diào)查設(shè)計(jì) 134.1.1調(diào)查目的 144.1.2調(diào)查對(duì)象 144.1.3調(diào)查方法 144.2調(diào)查結(jié)果與分析 144.2.1測(cè)試結(jié)果與分析 144.2.2訪談結(jié)果與分析 184.3調(diào)查結(jié)果成因的分析 215空間想象能力的教學(xué)策略的研究 225.1典型圖形對(duì)提高空間想象能力的作用 235.1.1長(zhǎng)方體在三視圖中的直觀作用 235.1.2長(zhǎng)方體在體現(xiàn)線、面的位置關(guān)系中的作用 275.1.3長(zhǎng)方體在幾何體中輔助計(jì)算的作用 295.2透視幾何體內(nèi)部對(duì)提高空間想象能力的作用 315.2.1鏤空的幾何體教具對(duì)透視想象力的培養(yǎng) 315.2.2運(yùn)用截面定位加強(qiáng)幾何體內(nèi)部的空間想象能力。 315.3立體幾何定理對(duì)提高空間想象能力的作用 335.3.1平面的的基本性質(zhì)與推論對(duì)提高空間想象能力的作用 345.3.2線面的位置關(guān)系定理對(duì)提高空間想象能力的作用 376研究工作的總結(jié) 396.1研究結(jié)論 396.1.1與對(duì)比組的結(jié)果對(duì)比 396.1.2結(jié)果的分析 406.2對(duì)教學(xué)的建議 406.3研究的反思 41參考文獻(xiàn) 43致謝 55緒論研究背景空間想象能力是人們對(duì)客觀事物的空間立體形式進(jìn)行觀察、分析、認(rèn)知的抽象思維能力?？臻g想象能力是我們生活中一項(xiàng)必要的能力，因?yàn)樗c人們?nèi)粘５膶W(xué)習(xí)、生活和工作息息相關(guān)，主要體現(xiàn)在下面兩個(gè)方面。首先，空間想象能力的培養(yǎng)是教學(xué)中的一項(xiàng)重要目標(biāo)，課程標(biāo)準(zhǔn)中指出：“幾何學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系的數(shù)學(xué)學(xué)科。人們通常采用直觀感知、操作確認(rèn)、思辯論證、度量計(jì)算等方法認(rèn)識(shí)和探索幾何圖形及其性質(zhì)。三維空間是人類生存的現(xiàn)實(shí)空間，認(rèn)識(shí)空間圖形，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流的能力以及幾何直觀能力，是高中階段數(shù)學(xué)必修課程的一個(gè)基本要求?！敝腥A人民共和國(guó)教育部制定，普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試驗(yàn)）[M]．北京：人民教育出版社，2003．4．而學(xué)生在高中前，只學(xué)習(xí)了簡(jiǎn)單的幾何體以及簡(jiǎn)單的幾何體的三視圖。在幾何方面學(xué)生學(xué)習(xí)更多的是平面幾何，而平面幾何的有些結(jié)論在立體幾何中不成立的，所以學(xué)生會(huì)用比較熟悉的知識(shí)對(duì)未學(xué)的知識(shí)進(jìn)行負(fù)遷移。為了避免這些，學(xué)生在立體幾何的學(xué)習(xí)過程中，空間想象能力顯得格外重要。愛因斯坦說過：“想象力比知識(shí)更重要，因?yàn)橹R(shí)是有限的，而想象力概括著世界上的一切、推動(dòng)著進(jìn)步，并且是知識(shí)進(jìn)化的源泉”。新課程也提出空間想象能力的培養(yǎng)、空間觀念的建立比邏輯思維能力的培養(yǎng)還要重要。通過三視圖與空間幾何體的相互轉(zhuǎn)化、空間圖形的認(rèn)識(shí)以及空間中線面的位置關(guān)系來提高學(xué)生的空間想象能力。隨之而來的是教學(xué)目的也有所調(diào)整，由原來的重點(diǎn)培養(yǎng)邏輯能力變成培養(yǎng)幾何直觀能力和空間想象能力。所以在數(shù)學(xué)教學(xué)中空間想象能力越來越重要。其次，空間想象能力是藝術(shù)學(xué)、建筑學(xué)中所需的重要能力之一。建筑學(xué)最基本的是手繪能力和空間思維的想象力，我們知道，建筑制圖是建筑學(xué)的基礎(chǔ)課程，只有擁有良好的空間想象能力才能識(shí)別和繪制施工圖，良好的空間思維的想象力是建筑師建立優(yōu)秀的幾何模型，從而創(chuàng)造出杰出的建筑作品的有力保障。在藝術(shù)學(xué)方面，有關(guān)美術(shù)方面的專業(yè)，比如動(dòng)漫、雕塑、繪畫等，都需要較強(qiáng)的空間想象力。因此，對(duì)于一個(gè)人的學(xué)習(xí)和生活，空間想象中華人民共和國(guó)教育部制定，普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試驗(yàn)）[M]．北京：人民教育出版社，2003．4．研究的目的與意義立體幾何是高中生必須學(xué)習(xí)的一塊幾何知識(shí)，在高考中分值約占整卷的13%，而且在高考中立體幾何知識(shí)算中等難度題目，是學(xué)生必知必會(huì)必得滿分的題目。但是學(xué)生在高考中的得分率并不理想，學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的困難的差異比較大，總體空間想象能力比較弱，主要因?yàn)閷W(xué)生高中前對(duì)立體幾何的心理認(rèn)知能力比較低，而且小學(xué)和初中時(shí)學(xué)生在空間想象能力方面得到的培養(yǎng)比較少，初入高中，從平面幾何圖形跨越到空間立體圖形，學(xué)生不但要直觀認(rèn)識(shí)幾何圖形，而且要進(jìn)行理論說明，這種由具體到抽象、感性到理性的過程是有質(zhì)的飛躍的。本套教材的立體幾何分為兩部分學(xué)習(xí)，一部分在必修二中立體幾何初步這章學(xué)習(xí)，本章主要學(xué)習(xí)空間中的簡(jiǎn)單幾何體以及它們的表面積和體積，多面體的三視圖，空間中的位置關(guān)系；另一部分在選修2-1中空間向量與立體幾何這章里學(xué)習(xí)，本章主要學(xué)習(xí)利用空間向量法如何計(jì)算空間中的角?？臻g向量的引入確實(shí)有效的解決了求空間中的角這一難點(diǎn)，但凡事都有兩面性，空間向量有效的解決了它的“本職工作”卻讓學(xué)生失去了通過定義法推理論證研究空間中的角的過程中對(duì)空間想象能力的提升。通過空間向量方法解決立體幾何問題對(duì)空間想象能力的提升遜色于傳統(tǒng)的推理法，而且多數(shù)利用空間向量法解決立體幾何的問題都必須建立空間直角坐標(biāo)系，如果學(xué)生沒有較好的空間想象能力，對(duì)于較難的建立空間直角坐標(biāo)系問題，學(xué)生也是望塵莫及，沒有坐標(biāo)系空間向量法就沒有施展的平臺(tái)。所以這套教材的設(shè)計(jì)上，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力的重任都集中在了立體幾何初步這章。因此短時(shí)間內(nèi)要從學(xué)生高中前非常弱的空間想象能力培養(yǎng)成較好的空間想象能力，任務(wù)重、壓力大。既然時(shí)間緊，我們就必須想出事半功倍的、科學(xué)有效的教學(xué)策略。目前有關(guān)提高空間想象能力的方法的研究不少，大家闡述的教學(xué)策略相近，因此，筆者在繼承他人的經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，提出了一些切實(shí)可行的在立體幾何初步教學(xué)中提高學(xué)生空間想象能力的教學(xué)策略。主要研究的問題可以為：⑴了解學(xué)生的空間想象能力的認(rèn)知現(xiàn)狀及成因；⑵提出一套可行的教學(xué)策略用來提高學(xué)生的空間想象能力；⑶驗(yàn)證教學(xué)策略在提高學(xué)生的空間想象能力上的有效性；⑷通過驗(yàn)證有效性得出可推行的結(jié)論。本研究立足于學(xué)生的原有認(rèn)知水平，給那些對(duì)立體幾何望而生畏的學(xué)生提出了提高空間想象能力的初級(jí)策略，讓他們?cè)跓o從下手的現(xiàn)狀下，能操作下去進(jìn)而能想象下去；同時(shí)為空間想象能力較好的學(xué)生提供了施展能力的機(jī)會(huì)以及進(jìn)一步提高的平臺(tái)。研究的思路與方法研究思路第一，立體幾何是高中數(shù)學(xué)教學(xué)非常重要的一部分，也是高考的重點(diǎn)考察知識(shí)，而空間想象能力是立體幾何學(xué)好的有力保障，為了準(zhǔn)確找到學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，從而提出更好的提高學(xué)生的空間想象能力的措施，所以對(duì)學(xué)生進(jìn)行了空間想象能力的調(diào)查。第二，通過多位在職高中數(shù)學(xué)教師的經(jīng)驗(yàn)和查閱資料，設(shè)計(jì)了有針對(duì)性的測(cè)試卷以及測(cè)試中反應(yīng)出的代表性的個(gè)體的訪談問題，從而收集了數(shù)據(jù)。第三，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行有效的分析、尋因。第四，根據(jù)數(shù)據(jù)以及成因，提出了一些切實(shí)可行的提高學(xué)生空間想象能力的措施，對(duì)一線教師在實(shí)踐教學(xué)工作中有一定的裨益。研究方法本文主要采用文獻(xiàn)研究法、測(cè)試法、訪談法、統(tǒng)計(jì)分析等研究方法。⑴文獻(xiàn)法：筆者通過圖書館、網(wǎng)絡(luò)，搜索到有關(guān)空間想象能力的文獻(xiàn)資料，包括專著、學(xué)術(shù)論文、報(bào)告、期刊文章、電子文獻(xiàn)等，對(duì)收集到的文獻(xiàn)資料進(jìn)行充分的研究，進(jìn)行全面的參考，進(jìn)而明確了研究方向。⑵測(cè)試法：本文分別在不同教學(xué)時(shí)段對(duì)學(xué)生進(jìn)行了測(cè)試，以了解學(xué)生空間想象能力的現(xiàn)狀。在立體幾何學(xué)習(xí)前，進(jìn)行了一個(gè)空間想象能力的測(cè)試；在學(xué)習(xí)空間中的位置關(guān)系前進(jìn)行了空間中的位置關(guān)系前測(cè)，隨后進(jìn)行了再測(cè)，最后在學(xué)生學(xué)完空間中的位置關(guān)系后進(jìn)行了后測(cè)，以了解學(xué)生通過定理的學(xué)習(xí)確實(shí)提高了空間想象能力。⑶訪談法：通過不同階段的測(cè)試所反應(yīng)出來的問題，對(duì)不同程度的學(xué)生進(jìn)行訪談，探究學(xué)生內(nèi)心真實(shí)的想法，以了解學(xué)生教學(xué)前的認(rèn)知基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)中的思維障礙和學(xué)習(xí)后的提升程度。⑷分析、研究：對(duì)測(cè)試及訪談得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析與研究，明確數(shù)據(jù)所反映出的問題，探究問題的原因并尋找解決問題的方案。空間想象能力的相關(guān)理論與現(xiàn)狀分析空間想象能力的界定空間想象能力的概念關(guān)于空間想象能力，心理學(xué)上給出了定義。想象是在這個(gè)過程中建立的一個(gè)特殊思維活動(dòng)的空間感，心理學(xué)認(rèn)為人的大腦是基于圖像的思維活動(dòng)之上創(chuàng)建感性形象的過程。林祟德．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)[M]．北京：北京教育出版社，2001．179-181．心理學(xué)給出想象的定義是：“想象是指人腦對(duì)己有表象進(jìn)行加工改造、重新組合，產(chǎn)生新的綜合性形象的心理過程，”葉弈乾，何存道，梁寧建．普通心理學(xué)(修訂版)[M]．上海：華東師范大學(xué)出版社，1999，（3）：253-257．想象力既與人的大腦先天結(jié)構(gòu)有關(guān)，又與后天的訓(xùn)練有關(guān)。空間能力是智力的重要組成部分之一，而林祟德．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)[M]．北京：北京教育出版社，2001．179-181．葉弈乾，何存道，梁寧建．普通心理學(xué)(修訂版)[M]．上海：華東師范大學(xué)出版社，1999，（3）：253-257．關(guān)于空間想象能力的概念，有多種定義和觀點(diǎn)。各自有不同的傾向點(diǎn)。曹才翰等學(xué)者將空間想象能力定義為：“以現(xiàn)實(shí)世界為背景，對(duì)幾何表象進(jìn)行加工改造，創(chuàng)造新的形象的能力。而表象則是在知覺基礎(chǔ)上頭腦內(nèi)所形成的感性形象曹才翰、蔡金法．曹才翰、蔡金法．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)概論[M]．南京：南京江蘇教育出版社，1989．50-51．麥吉指出“空間想象能力是在心理上操作、旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)或逆轉(zhuǎn)形象刺激物的能力”。空間想象能力指的是“對(duì)于客觀事物的空間形式（形狀、結(jié)構(gòu)、度量及位置關(guān)系）及其符號(hào)表示想象和再造想象的能力”李燕杰，李曉東，宋士波．李燕杰，李曉東，宋士波．更新觀念，完善學(xué)生空間想象能力的培養(yǎng)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，1996，5（4）：57-60．《中學(xué)數(shù)學(xué)教材教法》中對(duì)空間想象能力的解釋是：“人們對(duì)客觀事物的空間形式進(jìn)行觀察、分析和抽象的能力，主要包括四個(gè)方面的要求:⑴對(duì)基本的幾何圖形必須非常熟悉，能正確畫圖。能在頭腦中分析出基本圖形的基本元素間的度量關(guān)系和位置關(guān)系。(2)能借助圖形來反映并思考客觀事物的空間形狀及位置關(guān)系。(3)能借助圖形來反映并思考用語言或式子所表達(dá)的空間形狀及位置關(guān)系。(4)有熟練的識(shí)圖能力，即從復(fù)雜的圖形區(qū)分出基本圖形，能分析其中的基本圖形和基本元素之間的關(guān)系”。十三院校協(xié)編組．十三院校協(xié)編組．中學(xué)數(shù)學(xué)教材教法[M]．北京：高等教育出版社，1981：205-206．“空間想象能力是對(duì)空間形式的觀察、分析、抽象的能力，主要表現(xiàn)為識(shí)圖、畫圖和對(duì)圖形的想象能力，識(shí)圖是指觀察研究所給圖形中幾何元素之間的相互關(guān)系；畫圖是指將文字語言和符號(hào)語言轉(zhuǎn)化為圖形語言以及對(duì)圖形添加輔助圖形或?qū)D形進(jìn)行各種變換；對(duì)圖形的想象主要包括有圖想圖和無圖想圖兩種，是空間想象能力高層次的標(biāo)志?！比珖?guó)新課標(biāo)高考理科數(shù)學(xué)考試大綱全國(guó)新課標(biāo)高考理科數(shù)學(xué)考試大綱[EB/OL]．http://www./p-7067602.htm1，2014．每種定義側(cè)重角度不同，麥吉和曹才翰等學(xué)者的定義關(guān)注想象，但缺乏對(duì)圖形的利用?！陡掠^念，完善學(xué)生空間想象能力的培養(yǎng)》一文中提到的定義，立足于客觀事物，再創(chuàng)想象，但缺乏對(duì)客觀事物儲(chǔ)存到頭腦中后的再組和加工的具體過程的詳細(xì)闡述?！吨袑W(xué)數(shù)學(xué)教材教法》中的定義闡述較為全面且具體，但缺乏對(duì)“表象”操作的深度的闡述。經(jīng)過深度研究及對(duì)比，本文中的空間想象能力是指對(duì)空間形式的觀察、分析、抽象的能力，主要表現(xiàn)為識(shí)圖、畫圖和對(duì)圖形的想象能力，識(shí)圖是指觀察研究所給圖形中幾何元素之間的相互關(guān)系；畫圖是指將文字語言和符號(hào)語言轉(zhuǎn)化為圖形語言以及對(duì)圖形添加輔助圖形或?qū)D形進(jìn)行各種變換；對(duì)圖形的想象主要包括有圖想圖和無圖想圖兩種，是空間想象能力高層次的標(biāo)志?？臻g想象能力的分類分類是指按照種類、等級(jí)或性質(zhì)分別歸類。任何事物的分類都與分類標(biāo)準(zhǔn)有關(guān)，所以空間想象能力也因在不同研究領(lǐng)域而理解不同。在心理學(xué)領(lǐng)域，空間想象力分為再造想象能力與創(chuàng)造想象能力。再造想象是依據(jù)語言描述或者根據(jù)模型、圖形、符號(hào)等的描繪在頭腦中產(chǎn)生新的形象的心理過程?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中提到幾個(gè)觀點(diǎn)都屬于再造想象：“能夠由實(shí)物的形狀想象出幾何圖形，進(jìn)行幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉(zhuǎn)化”“能根據(jù)條件做出立體模型或畫出圖形”。創(chuàng)造想象能力是根據(jù)具體的目的、人物，獨(dú)立的創(chuàng)造出新事物映像的心理過程?？臻g想象力是想象力與創(chuàng)造力的有機(jī)結(jié)合，具體體現(xiàn)在，圖與實(shí)物的對(duì)應(yīng)，看實(shí)物繪制圖的能力，看圖想象實(shí)物的能力。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，對(duì)空間想象能力的理解有兩類，一類認(rèn)為空間想象能力關(guān)注形的想象，一類認(rèn)為空間想象能力關(guān)注形與量的想象?？臻g想象能力是以嘗試知覺為基礎(chǔ)的，是以觀察和分析事物的空間形象、結(jié)構(gòu)、大小和位置關(guān)系等來認(rèn)識(shí)幾何實(shí)物的，在這樣的過程中，大腦經(jīng)歷了抽象和重新建構(gòu)的過程，從而在頭腦中形成新的立體圖形?？臻g想象能力是指空間事物在二維和三維之間的轉(zhuǎn)化能力。空間表象的構(gòu)成要素指的是事物的形狀、大小、位置關(guān)系等?？臻g想象的思維過程包括觀察、分析、抽象和創(chuàng)新。在制圖領(lǐng)域，空間想象能力通過對(duì)空間想象能力以及對(duì)原有的制圖進(jìn)行查閱，可以得出大多數(shù)學(xué)者都認(rèn)同空間想象能力就是投影，一般是指平面與空間形體建立的相互對(duì)應(yīng)的關(guān)系。制圖學(xué)則認(rèn)為空間想象能力是對(duì)物體的結(jié)構(gòu)、形狀和幾何要素的有形表象，在二維與三維之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換的能力，也就是實(shí)物與圖形之間、平面與立體之間在某一投影的角度上進(jìn)行轉(zhuǎn)換的能力?？臻g想象能力的層次空間想象能力的提高和發(fā)展與空間想象能力的層次是密不可分的，它貫穿于空間想象能力的各個(gè)層次。石志群在《談培養(yǎng)空間想象能力的層次性及操作程式》一書中就空間想象能力給出如下分層：“第一層次：建立空間觀念的能力。即學(xué)生能通過對(duì)實(shí)物的形狀、位置、相互關(guān)系等的感性認(rèn)識(shí)，在三維立體圖和二維平面圖之間自由轉(zhuǎn)換。第二層次：建構(gòu)幾何表象的能力。即學(xué)生能根據(jù)文字語言或符號(hào)語言的描述，用圖形或大腦想象建構(gòu)符合要求的幾何體表象。第三層次：操作幾何表象的能力。即學(xué)生能在己建立的表象基礎(chǔ)上，通過空間平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等操作，建立新的幾何體表象?！比鐖D2.1所示。圖2圖2.1石志群的分層空間想象能力建立幾何表象操作幾何表象建立空間觀念江越在“加強(qiáng)立體圖形教學(xué)培養(yǎng)空間想象能力”一文中將中學(xué)階段空間想象能力的要求分為三個(gè)層次：一是識(shí)圖能力，即能看懂紙上畫的圖形，能從復(fù)雜的圖形中區(qū)別出基本元素之間的關(guān)系；二是繪圖能力，即能根據(jù)文字?jǐn)⑹龅囊?，繪制出規(guī)范形象的空間示意圖；三是圖形的變換能力，即能將空間圖形攝影為二維問題，把平面圖形通過折疊、翻轉(zhuǎn)為三維問題，以及空間圖形的平移、旋轉(zhuǎn)等。江越．加強(qiáng)立體圖形教學(xué)培養(yǎng)空間江越．加強(qiáng)立體圖形教學(xué)培養(yǎng)空間想象能力[J]．南方論刊，2010年，增刊第1期：64．圖2圖2.2江越的分層空間想象能力繪圖圖形的變換識(shí)圖任子朝、孔凡哲教授認(rèn)為空間想象能力分為三個(gè)不同的層次：任子朝，孔凡哲．?dāng)?shù)學(xué)教育評(píng)價(jià)新論[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2010．如圖2.3所示任子朝，孔凡哲．?dāng)?shù)學(xué)教育評(píng)價(jià)新論[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2010．第一層次：空間觀念的建立主要包括對(duì)空間簡(jiǎn)單圖形的再現(xiàn)、識(shí)記與思考和對(duì)事物進(jìn)行幾何化的能力。而空間想象能力又包含三層含義：①空間感是指能在人的大腦中形成空間表象，并對(duì)事物的位置、大小、形狀等屬性的直接認(rèn)識(shí)；能比較物體的面積、體積、長(zhǎng)度、寬度、高度和大??；能分辨出不同物體的特性，比如能描述出排球與豆腐塊的不同。②實(shí)物的幾何化抽象化的幾何圖形是空間想象的主要對(duì)象，認(rèn)識(shí)具體的事物也可以通過幾何圖形的研究，在現(xiàn)實(shí)生活中也可以利用幾何圖形的性質(zhì)，這些都要求學(xué)生學(xué)會(huì)正確的歸納和總結(jié)，比如把籃球和紙盒畫成直觀圖。③依照幾何圖形想象實(shí)物用二維圖形的方法來表示空間圖形，也就是立體圖形直觀化，這個(gè)層次要求較高，因難度比較大，屬于純幾何的范疇，比如根據(jù)長(zhǎng)方體的平面圖形，在大腦中建立起一個(gè)長(zhǎng)方體的形象。第二層次：建立幾何表象的能力是指在文字和符號(hào)語言的作用下，在頭腦中出現(xiàn)符合要求的幾何圖形的能力。它的缺點(diǎn)是利用符號(hào)語言和空間概念建立起的幾何體比較模糊，它的整體性較好但是表象操作的成分卻很差。比如老師講解空間中的兩個(gè)垂直平面時(shí)，就會(huì)在學(xué)生的大腦中就會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)垂直面的表象。第三層次：對(duì)幾何表象操作的能力是指通過對(duì)大腦中已經(jīng)形成的表象進(jìn)行加工和整合來建立新表象的能力。這里的表象既包括語言文字和符號(hào)文字刺激下的表象，也包括直觀圖形形成的表象，還可以是二者結(jié)合形成的表象。主體能夠把復(fù)雜的表象外顯，還可以給出具體的圖形，但此時(shí)被操作和變換的對(duì)象則有可能是原來表象的一部分，我們需要經(jīng)常進(jìn)行的變換有平移、翻折、旋轉(zhuǎn)和分解等?？臻g空間想象能力建立幾何表象對(duì)幾何表象的操作空間觀念實(shí)物的幾何化幾何圖形想象實(shí)物空間知覺圖2.3任子朝、孔凡哲的分層我們可以看到對(duì)于空間想象能力的分層有多種分法，盡管多種分法之間有細(xì)微區(qū)別以及闡述的詳細(xì)程度不同，但是可以看出三個(gè)層次的發(fā)展不是孤立的、逐層進(jìn)行的，是互相滲透、彼此交織進(jìn)行的?？臻g想象能力的基本能力貫穿于三個(gè)層次，僅僅在各層次中占據(jù)比例不同而已。同時(shí)我們也看到，圖形的基本處理能力（識(shí)圖、畫圖、圖形的基本變換）、數(shù)學(xué)中的三種基本語言之間的相互轉(zhuǎn)換以及二維平面圖形與三維立體圖形之間的相互轉(zhuǎn)換等需要教師在提高學(xué)生空間想象能力的教學(xué)實(shí)踐中關(guān)注的?？臻g想象能力的研究現(xiàn)狀國(guó)外研究現(xiàn)狀通過空間智能的研究得出空間想象能力的有關(guān)結(jié)論，是研究空間想象能力常常采用的方法。談及空間智能的研究，需要追溯到皮亞杰的研究，他認(rèn)為：具體運(yùn)算階段的起點(diǎn)是學(xué)齡期，學(xué)齡期是兒童智能發(fā)展全程中一個(gè)大的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。此時(shí)兒童在空間領(lǐng)域中，具有操作抽象物體的對(duì)應(yīng)知識(shí)和能力。但是此時(shí)兒童能進(jìn)行的空間智能的變換，僅僅局限在特定或具體的情境中。只有進(jìn)入形式運(yùn)算階段，才能理解抽象的空間概念。約翰·肯尼迪與助手們通過實(shí)驗(yàn)證明視覺系統(tǒng)和空間知識(shí)沒有必然關(guān)系。實(shí)驗(yàn)是盲人主體觸摸由凸起的線條組成的幾何體，也能對(duì)幾何體做出辨認(rèn)。視覺系統(tǒng)與空間知識(shí)沒有必然關(guān)系這一結(jié)論又得到牛津大學(xué)的蘇珊娜·米勒的證實(shí)。在總結(jié)了前任的研究，賓夕法尼亞大學(xué)的巴勃拉·蘭多和她的同事得出了最終結(jié)論：觸覺經(jīng)驗(yàn)與視覺經(jīng)驗(yàn)都是空間解決系統(tǒng)的組成部分，空間智能與視覺系統(tǒng)間不存在必然的聯(lián)系。國(guó)內(nèi)研究現(xiàn)狀相比我國(guó)在空間想象能力方面的研究較少，而且多數(shù)都是有關(guān)空間想象能力的理論研究。在《論培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力》中華亦雄提出計(jì)算機(jī)軟件Sketchup在教學(xué)實(shí)踐中，通過Sketchup展示教學(xué)模型，引導(dǎo)學(xué)生觀察模型從而提高學(xué)生的觀察能力；通過Sketchup展示教學(xué)模型，能展現(xiàn)一個(gè)模型的動(dòng)態(tài)過程，不再像其他媒介呈現(xiàn)的是一個(gè)靜態(tài)畫面。從而讓學(xué)生更容易接受，并提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力和提高了學(xué)習(xí)效率。所以通過計(jì)算機(jī)軟件能有效的提高學(xué)生的空間想象能力。華亦雄．論培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力［J］．新聞愛好者，2010，2（5）：147-148．劉建明認(rèn)為培養(yǎng)高中生空間想象能力的策略有：擴(kuò)大感知覺，培養(yǎng)觀察力；正確畫好圖形；認(rèn)真記圖，豐富蘊(yùn)積表象；運(yùn)用對(duì)比的方法；創(chuàng)造性想象的訓(xùn)練。識(shí)圖能力、畫圖能力、識(shí)符和畫符能力以及數(shù)形結(jié)合的能力這四方面的能力的高低是衡量一個(gè)學(xué)生是否具有較強(qiáng)的空間想象能力的重要標(biāo)準(zhǔn)。劉建明．培養(yǎng)空間想象能力的教學(xué)策略劉建明．培養(yǎng)空間想象能力的教學(xué)策略［J］．寧波教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，5（3）：78-80．對(duì)于空間想象能力的培養(yǎng)策略，劉曉牛認(rèn)為教具演示、強(qiáng)化圖形的立體感、多作比較分析、重視平面圖形與立體圖形的相互轉(zhuǎn)化和多作整體和部分的想象六者之間的循環(huán)進(jìn)行。如圖2.4圖2.圖2.4空間想象能力培養(yǎng)策略圖強(qiáng)化圖形的立體感多作比較分析平面與空間互相轉(zhuǎn)化多作整體與部分的想象教具演示江越指出空間想象能力的策略為：1．模型演示；2．觀察比較；3．采用多媒體輔助教學(xué)，有效提高空間想象能力；4．教給學(xué)生止確的識(shí)圖、繪圖規(guī)律和方法；5．圖形的轉(zhuǎn)化；6．提高課堂教學(xué)的學(xué)生參與程度。江越．加強(qiáng)立體圖形教學(xué)培養(yǎng)空間想象能力[J]．?dāng)?shù)理化生教學(xué)研究，2010，1江越．加強(qiáng)立體圖形教學(xué)培養(yǎng)空間想象能力[J]．?dāng)?shù)理化生教學(xué)研究，2010，11（6）：64-66．代勇在培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力上關(guān)注學(xué)生的實(shí)踐：恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用模型，培養(yǎng)幾何直觀能力；創(chuàng)設(shè)實(shí)踐活動(dòng)的機(jī)會(huì)，拓展空間認(rèn)知能力；適當(dāng)運(yùn)用多媒體演示，培養(yǎng)空間想象能力重視三種語言互譯，培養(yǎng)空間問題的表述能力。在立幾教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生空間想象力一文中夏遠(yuǎn)景提出：通過將平面圖形折疊成空間圖形，并借助實(shí)物、模型和加強(qiáng)看圖訓(xùn)練和直觀圖畫法訓(xùn)練以推動(dòng)、加強(qiáng)和發(fā)展對(duì)三維空間的想象。夏遠(yuǎn)景．在立幾教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生空間想象力[J]．武陵學(xué)刊(自然科學(xué))，1999，20（3）：89-91．在《開發(fā)想象力》一書中馬獻(xiàn)時(shí)指出提高學(xué)生的空間想象能力需要關(guān)注四個(gè)方面：1．注重學(xué)習(xí)相關(guān)的理論，從而掌握事物的本質(zhì)；2．注重感性知識(shí)，增加實(shí)際體驗(yàn)；3．多進(jìn)行再現(xiàn)想象訓(xùn)練，積累成功的經(jīng)驗(yàn)；4．加強(qiáng)主觀調(diào)控，在進(jìn)行再現(xiàn)想象時(shí)，要積極動(dòng)腦。我們認(rèn)為學(xué)生不僅要多做練習(xí)，而且要加強(qiáng)思維的鍛煉，每學(xué)好一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，都應(yīng)該加以總結(jié)，生成知識(shí)鏈。馬獻(xiàn)時(shí)．開發(fā)想象力［M］．北京：北京教育出版社，2000．37-40．有關(guān)空間想象能力的理論研究，將有助于一線教師在教學(xué)實(shí)踐中站得更高，行的更遠(yuǎn)。同時(shí)，對(duì)空間想象能力較好的學(xué)生的學(xué)習(xí)起到更上一層樓的作用。但許多研究中，在統(tǒng)一提出提高空間想象能力時(shí)需要重視實(shí)物和模型、注重三種語言的轉(zhuǎn)換（圖形語言、符號(hào)語言、文字語言）、提高學(xué)生的作圖能力、多利用多媒體輔助教學(xué)等基本想法后，缺乏具體的解題細(xì)節(jié)以及解題時(shí)如何突破學(xué)生的即時(shí)難點(diǎn)。本文將立足于理論基礎(chǔ)，借鑒他人的研究提出一套適合空間想象能力較弱的學(xué)生的遞進(jìn)式的逐步提高空間想象能力的操作模式，同時(shí)讓空間想象能力較好的學(xué)生通過這套操作模式，逐步養(yǎng)成研究立體幾何的可行性操作流程，通過流程進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生較強(qiáng)的空間想象能力，從而突破立體幾何中的較難問題?？臻g想象能力在高中立體幾何教學(xué)中的地位和作用空間想象能力的價(jià)值眾所周知，創(chuàng)造性是能力的核心，而想象力是創(chuàng)造性的源頭。麥克法蘭·史密斯在《空間能力》中認(rèn)為：“個(gè)體在獲得最低水準(zhǔn)的語言手段之后，確定其在科學(xué)方面能有多少進(jìn)步，那就要看他的空間能力如何了”。從中可見，空間想象能力是個(gè)體在科研方面有所突破的重要能力。不僅如此，空間想象能力也能提高學(xué)生對(duì)各種科學(xué)知識(shí)的理解。比如物理上的物質(zhì)的結(jié)構(gòu)、物質(zhì)的形態(tài)等，地理上的地球自轉(zhuǎn)、氣團(tuán)等。信息化的時(shí)代，良好的空間想象能力能讓人們?cè)谏钆c學(xué)習(xí)上更順暢?？臻g想象能力是形成優(yōu)良的思維模式的有力保障，通過立體幾何的學(xué)習(xí)能較好的提高學(xué)生的空間想象能力，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生對(duì)立體幾何的反應(yīng)呈兩個(gè)極端，一類學(xué)生認(rèn)為立體幾何非常容易，另一類學(xué)生認(rèn)為立體幾何讓人望而生畏。究其原因，是兩類學(xué)生的空間想象能力差異過大。由于立體幾何比較抽象，一旦空間想象能力不足，學(xué)習(xí)必定會(huì)存在較大的困難?？臻g想象能力在高中立體幾何教學(xué)中的作用蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家A.H．柯爾莫戈洛夫指出：“只要有可能，數(shù)學(xué)家總是盡力把他們正在研究的問題從幾何上視覺化，……幾何想象或如同平常人們所說的幾何直覺，對(duì)于幾乎所有數(shù)學(xué)分科的研究工作，甚至于最抽象的工作都有著重大的意義?！笨梢娍臻g想象力在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的非常重要的?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求學(xué)生采用直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計(jì)算等方法認(rèn)識(shí)和探索幾何圖形及性質(zhì)。空間想象能力是課程目標(biāo)和高考大綱中要求的能力之一，高中階段教學(xué)中重點(diǎn)培養(yǎng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)之一。空間想象能力是研究空間結(jié)構(gòu)的有力保障，能輔助學(xué)生更好的認(rèn)識(shí)空間圖形的形狀、結(jié)構(gòu)、空間中的基本元素之間的位置關(guān)系以及空間中的基本元素的度量?？臻g想象能力在立體幾何教學(xué)中的作用立體幾何是是高中階段重要的教學(xué)內(nèi)容之一，通過立體幾何的學(xué)習(xí)提升學(xué)生的空間想象能力，同時(shí)空間想象能力的高低是學(xué)好立體幾何的有效保障，兩者互相促進(jìn)、互相依存。有效的提高學(xué)生的空間想象能力能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平，高中學(xué)段是通過數(shù)學(xué)提高學(xué)生的思維能力及品質(zhì)的黃金時(shí)段，抓住契機(jī)提高學(xué)生的思維水平，從而形成符合學(xué)生自己思維模式的正確的數(shù)學(xué)觀；有效的提高學(xué)生的空間想象能力能提升學(xué)生分析問題、解決問題的能力，使學(xué)生能綜合運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)去解決相關(guān)的問題，包括生活中的相關(guān)數(shù)學(xué)問題；有效的提高學(xué)生的空間想象能力能提升學(xué)生的觀察問題的能力，通過立體幾何問題的處理過程，學(xué)生根據(jù)研究目的，有目的的提取信息和處理信息，從而數(shù)學(xué)觀察問題的能力得以提升。在教學(xué)中，通過抽象化的空間形式，給學(xué)生提供了豐富的思考平臺(tái)，進(jìn)而為創(chuàng)造提供了機(jī)會(huì)，在創(chuàng)造的過程中養(yǎng)成優(yōu)秀的數(shù)學(xué)品質(zhì)。學(xué)生以空間想象為切入點(diǎn)，探索并發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，以逐漸完善的思維體系，助力自己的學(xué)習(xí)進(jìn)入良性循環(huán)。由空間想象能力的提高帶動(dòng)其他能力的發(fā)展，以全面的能力儲(chǔ)備推進(jìn)優(yōu)異的成績(jī)，由優(yōu)異的成績(jī)帶來足夠的成就感和喜悅，以高昂的情緒去攀登數(shù)學(xué)中一個(gè)個(gè)巔峰?？臻g想象能力對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的影響學(xué)生進(jìn)入高中數(shù)學(xué)的立體幾何部分學(xué)習(xí)，由初中的平面幾何過渡到立體幾何，學(xué)生要跨越較高的一個(gè)臺(tái)階，為此許多學(xué)生比較畏懼立體幾何，這種現(xiàn)象產(chǎn)生的原因是立體幾何比較抽象，高中前學(xué)生學(xué)習(xí)平面幾何時(shí)間比較長(zhǎng)，形成了穩(wěn)固的平面幾何思維，所以學(xué)生缺乏空間想象能力。一旦空間想象能力不足，在解決立體幾何問題時(shí)沒有方向，思維受阻。有甚者可能空間圖形看不懂，更不用說在識(shí)別圖形的基礎(chǔ)上進(jìn)行推理分析了。其中學(xué)生就空間想象能力匱乏所表現(xiàn)的程度不盡相同，最嚴(yán)重的學(xué)生會(huì)將一個(gè)平面上畫的立體圖形看成平面圖形，其中明顯異面的直線卻看成是相交直線，頭腦中完全沒有三維的想象能力。這類學(xué)生中，女生的空間想象力相比男生顯得更弱一些。針對(duì)于空間想象力如此弱的學(xué)生需要從空間中的基礎(chǔ)圖形以及多觀察實(shí)物方面著手提高其空間想象能力。情況略好的學(xué)生，也是占據(jù)比例比較大的學(xué)生群體，他們能將實(shí)物與空間圖形進(jìn)行對(duì)應(yīng)，能從表象上識(shí)別三維圖形，但是對(duì)圖形里的具體線面關(guān)系看不出來，能將異面直線看成平行直線，線面平行看成線面相交等。這類學(xué)生需要加強(qiáng)幾何體的旋轉(zhuǎn)、對(duì)幾何體內(nèi)部的線面關(guān)系的分析以及推理論證等方面的學(xué)習(xí)，從而提高其空間想象能力。因此，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，形成空間思維模式是學(xué)好立體幾何的關(guān)鍵。空間想象能力的認(rèn)知現(xiàn)狀的調(diào)查如果想達(dá)到更好的教學(xué)效果，那么了解學(xué)生認(rèn)知的現(xiàn)狀從而找到學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)是至關(guān)重要的。通過調(diào)查了解學(xué)生的空間想象能力的原有認(rèn)知基礎(chǔ)，然后根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況制定教學(xué)策略。調(diào)查設(shè)計(jì)本調(diào)查從學(xué)生角度有兩個(gè)環(huán)節(jié)，每個(gè)環(huán)節(jié)由兩部分構(gòu)成：第一部分針對(duì)調(diào)查對(duì)象的總體進(jìn)行的測(cè)試，第二部分根據(jù)測(cè)試的情況選擇的個(gè)別學(xué)生進(jìn)行的詳細(xì)的訪談，以了解他們空間想象能力差異的原因。第一個(gè)環(huán)節(jié)，設(shè)置在學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何之前，以測(cè)試的形式了解學(xué)生的空間想象能力的現(xiàn)狀；第二個(gè)環(huán)節(jié)，安排在學(xué)習(xí)空間的位置關(guān)系前，對(duì)測(cè)試后成績(jī)較低的學(xué)生進(jìn)行訪談。從教師的角度，在授課前進(jìn)行了訪談，以了解教師在空間想象能力方面常規(guī)的教學(xué)設(shè)計(jì)以及對(duì)學(xué)生已有的空間想象能力方面的評(píng)定及成因分析。調(diào)查目的本調(diào)查的第一個(gè)環(huán)節(jié)主要是為了從多角度考察學(xué)生的空間想象能力，從不同角度的識(shí)圖能力、平面圖形的折疊問題、立體圖形的展開問題、典型的幾何體的應(yīng)用、三視圖等方面，全面了解學(xué)生的空間想象能力，通過調(diào)查得到可靠的數(shù)據(jù)為教學(xué)策略提供有力的支持和依據(jù)。本調(diào)查的第二個(gè)環(huán)節(jié)主要是為了了解學(xué)生空間中線面的位置關(guān)系的空間想象能力。調(diào)查對(duì)象本文的研究對(duì)象是高二理科學(xué)生，第一個(gè)環(huán)節(jié)選定為北京市某市重點(diǎn)高中高二兩個(gè)理科平行班（3班和4班）。3班34人，4班35人。兩個(gè)班級(jí)入高中以來都是筆者所授班級(jí)，而且兩個(gè)班級(jí)高一的成績(jī)很相近，所以很有實(shí)驗(yàn)前后對(duì)比的價(jià)值。第二個(gè)環(huán)節(jié)只針對(duì)3班進(jìn)行的測(cè)試。調(diào)查方法測(cè)試法、訪談法。調(diào)查結(jié)果與分析測(cè)試結(jié)果與分析第一次測(cè)試一共設(shè)置7道題目，答題時(shí)間45分鐘，總分100分，試卷內(nèi)容見附錄1。1題至3題（每題7分），目的是了解學(xué)生從不同角度看同一幾何體的能力。體現(xiàn)學(xué)生能否將實(shí)物模型化。4題（10分）為了了解學(xué)生初中學(xué)習(xí)的三視圖掌握的情況，學(xué)生初中只學(xué)習(xí)三視圖形，但是并沒有學(xué)習(xí)三視圖與原幾何體的數(shù)量關(guān)系，本題的另一個(gè)目的是想了解學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系是否了解。5題（33分）和6題（12分）旨在了解學(xué)生幾何體的展開與折疊方面的能力。其中5題，對(duì)于學(xué)生而言比較難，難在學(xué)生是否能找到列舉的規(guī)律，通過列舉體現(xiàn)學(xué)生的概括能力、抽象能力。7題（24分）是想了解學(xué)生是否有應(yīng)用典型幾何體長(zhǎng)方體的意識(shí)以及學(xué)生是否能借助長(zhǎng)方體的三個(gè)兩兩垂直的面做投射面。通過本題還可以加強(qiáng)學(xué)生通過長(zhǎng)方體觀察特殊三棱錐的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系。圖4圖4.1每組各題均分對(duì)比圖4圖4.2男女生各題均分對(duì)比圖4圖4.3男女生各組人數(shù)分配比例圖4圖4.4兩次測(cè)試每人成績(jī)對(duì)比從以上統(tǒng)計(jì)圖信息可以看出：⑴高分組與低分組在要求空間想象能力比較低的題目中差異不太大，但是在比較復(fù)雜的問題，需要很強(qiáng)的空間想象能力的題目中，兩組差異較大。⑵學(xué)生的空間想象能力與性別沒有必然相關(guān)性，女生在空間想象能力上略弱于男生。但是學(xué)過的內(nèi)容，女生的成績(jī)并不弱，由此可見，女生學(xué)習(xí)比較刻苦，可以通過學(xué)習(xí)來彌補(bǔ)差異。⑶學(xué)生的空間想象能力與全面的數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)有一定的關(guān)系，相比高一的數(shù)學(xué)成績(jī)，那些數(shù)學(xué)思維比較好的學(xué)生不僅空間想象能力比較好而且接受新事物的能力也要強(qiáng)，在空間想象能力上成績(jī)較好的學(xué)生與較差的學(xué)生之間的差異更大。其中在第5題和第7題中體現(xiàn)的最為明顯。第二次測(cè)試一共設(shè)置了6道小題，答題時(shí)間為15分鐘，時(shí)間設(shè)置的不是很長(zhǎng)，主要想短時(shí)間內(nèi)獲取學(xué)生最本源、最直觀的判斷，試卷詳細(xì)內(nèi)容見附錄2。試題選取了學(xué)習(xí)位置關(guān)系初期比較常規(guī)的圖形，從中判斷直線與直線平行的一個(gè)題目，判斷直線與直線垂直的一個(gè)題目，判斷直線與平面平行的二個(gè)題目，判斷直線與平面垂直的二個(gè)題目，但是由于視角不同，有些位置關(guān)系容易產(chǎn)生視覺誤差，只靠學(xué)生在平面幾何中積累的位置關(guān)系的知識(shí)是不容易判斷的。班級(jí)共34人，由于缺勤，有效數(shù)據(jù)32個(gè)（21名男生，11名女生）。表4.表4.4每題選擇情況題號(hào)選項(xiàng)12=1\*GB2⑴2⑵345A11822112121B3195191111C055200第1題和第2=1\*GB2⑴題是判斷直線與平面平行的問題。兩題均選擇A，但是學(xué)生在兩題中答出的結(jié)果差異非常大。第1題31個(gè)學(xué)生很肯定的選擇了B，因?yàn)楸绢}的幾何體所給的角度靠視覺直觀看直線與平面確實(shí)“看著”不平行。從中可見學(xué)生們還不能理性的判斷這樣的位置關(guān)系。相比第1題，第2⑴題的幾何體的角度對(duì)于學(xué)生明顯容易判斷一些，沒有明顯視覺誤差的狀況下，也出現(xiàn)了選擇C的學(xué)生。第2⑵題是判斷直線與直線平行的問題，本題選擇B，但是從平面幾何的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生會(huì)差生視覺誤差，兩線看著是平行的，所以多數(shù)學(xué)生選擇了A。第3題是判斷直線與直線垂直的問題，本題選擇A，兩線看著像平行，所以多數(shù)學(xué)生選擇了B。第4題和第5題是判斷直線與平面垂直的問題，這兩題是學(xué)生完成情況最好的。為了了解學(xué)生在立體圖形的直觀判斷上是否有性別的差異，做了一個(gè)男女生的判斷情況的統(tǒng)計(jì)。表4表4.5男女生每題選擇情況題號(hào)選項(xiàng)12=1\*GB2⑴2=2\*GB2⑵345男女男女男女男女男女男女A0113515792147147B211063321277474C002332020000本測(cè)試是在學(xué)生沒有進(jìn)行有關(guān)空間中的直線與平面的位置關(guān)系的判定及性質(zhì)的理論學(xué)習(xí)的前提條件下測(cè)試，通過以上統(tǒng)計(jì)可見，男女生在沒有專項(xiàng)學(xué)習(xí)的條件下，他們的空間想象能力并沒有太大的差異。訪談結(jié)果與分析在立體幾何教學(xué)前對(duì)同任教高二的四位教師進(jìn)行的訪談。問題1：初高中的立體幾何銜接容易嗎？四位教師均回答：不容易，因?yàn)楦咧星坝嘘P(guān)立體幾何學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)容偏少且僅停留在視覺直觀上，另外，高中前學(xué)生的年齡小，空間想象能力弱。問題2：立體幾何教學(xué)的難點(diǎn)是什么？教師1：學(xué)時(shí)短，空間想象能力的培養(yǎng)周期不夠。教師2：如何有效的提高學(xué)生的空間想象能力。教師3：空間中的位置關(guān)系的推理論證的教學(xué)有效性。教師4：對(duì)空間中的位置關(guān)系的逆向問題的教學(xué)。問題3：學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)是什么？教師1：學(xué)生沒有空間想象能力。教師2：學(xué)生想象不出空間中的圖形。教師3：對(duì)定理的理解。教師4：看不懂圖。問題4：提高學(xué)生的空間想象能力的主要措施是什么？教師1：加強(qiáng)識(shí)圖與畫圖的教學(xué)。教師2：充分利用多媒體多角度、動(dòng)態(tài)的呈現(xiàn)幾何體。教師3：提高空間中的元素的位置關(guān)系的性質(zhì)與判定定理的理解與記憶。教師4：多進(jìn)行二維圖形與三維圖形的轉(zhuǎn)換，從中觀察差異。筆者通過第一次測(cè)試中學(xué)生的作答情況，對(duì)部分學(xué)生做了兩類訪談：第一類對(duì)成績(jī)異常低的三名學(xué)生進(jìn)行了訪談，訪談的方向是高中以前所學(xué)習(xí)的立體幾何基礎(chǔ)知識(shí)；第二類對(duì)三個(gè)層次中抽取中位的一名學(xué)生進(jìn)行全面的訪談。第一類訪談：?jiǎn)栴}1：請(qǐng)畫一下下面幾個(gè)幾何體：長(zhǎng)方體、圓柱、圓錐、三棱錐學(xué)生1：畫的速度慢，且遮擋部分沒有用虛線。學(xué)生2：畫的不熟練，但能正確畫出。學(xué)生3：畫的速度慢，且遮擋部分沒有用虛線。問題2：有關(guān)長(zhǎng)方體，你都知道哪些知識(shí)？你能看出長(zhǎng)方體中線面的平行和垂直關(guān)系嗎？學(xué)生1：長(zhǎng)方體有6個(gè)面，12條棱，8個(gè)頂點(diǎn)；長(zhǎng)方體的表面積、體積。能看出平行和垂直關(guān)系。學(xué)生2：長(zhǎng)方體的三視圖。學(xué)生3：長(zhǎng)方體的表面積。問題3：這個(gè)正方體你最多能看到幾個(gè)面？你能看出正方體這兩個(gè)角度的區(qū)別嗎？（利用實(shí)物展示測(cè)試中的第3題）你能畫出對(duì)應(yīng)的圖形嗎？你能將實(shí)物展示的情況與測(cè)試的第3題對(duì)應(yīng)上嗎？學(xué)生1：3個(gè)，能，不能，不能。學(xué)生2：2個(gè)，能，不能，不能。學(xué)生3：3個(gè)，能，不能，不能。問題4：長(zhǎng)方體、圓柱、圓錐的表面積公式是什么？學(xué)生1：會(huì)長(zhǎng)方體的表面積公式。學(xué)生2：會(huì)長(zhǎng)方體的表面積公式。學(xué)生3：會(huì)長(zhǎng)方體和圓柱的表面積公式。問題5：長(zhǎng)方體、圓柱、圓錐的三視圖你會(huì)畫嗎？學(xué)生1：能畫出三視圖的圖形，但是不明確長(zhǎng)寬高的對(duì)應(yīng)關(guān)系。學(xué)生2：同上。學(xué)生3：同上。通過對(duì)學(xué)生的訪談，了解到學(xué)生對(duì)曾經(jīng)學(xué)習(xí)過的最基礎(chǔ)的知識(shí)掌握的不全面。最最簡(jiǎn)單的知識(shí)還是會(huì)的，稍微復(fù)雜的知識(shí)用不準(zhǔn)或者沒有掌握。學(xué)生會(huì)看立體實(shí)物，但是不會(huì)將其對(duì)應(yīng)圖形畫出來，更別提識(shí)別立體圖形。第二類訪談：?jiǎn)栴}1：你記得小學(xué)、初中都學(xué)習(xí)了哪些立體幾何知識(shí)嗎？?jī)?yōu)秀組：知道，學(xué)習(xí)了幾何體正方體、長(zhǎng)方體、圓柱、圓錐及其表面積公式（公式全部記得）；學(xué)習(xí)了求正方體、長(zhǎng)方體、圓柱的體積（公式全部記得）；學(xué)習(xí)三視圖；圖形的折疊和旋轉(zhuǎn)。良好組：知道，學(xué)習(xí)了幾何體正方體、長(zhǎng)方體、圓柱、圓錐及其求表面積（圓錐的表面積公式不記得）；學(xué)習(xí)了求正方體、長(zhǎng)方體、圓柱的體積（公式全部記得）；學(xué)習(xí)三視圖。低分組：知道，學(xué)習(xí)了幾何體正方體、長(zhǎng)方體、圓柱、圓錐及其求表面積（圓柱、圓錐的表面積公式不記得）；學(xué)習(xí)了求正方體、長(zhǎng)方體、圓柱的體積（圓柱的體積公式不記得）；學(xué)習(xí)三視圖。問題2：本測(cè)試所涉及的知識(shí)有你沒有學(xué)習(xí)到的嗎？你能明確本測(cè)試你不會(huì)的知識(shí)是哪些嗎？?jī)?yōu)秀組：都學(xué)習(xí)過；第5題和第7題的情況想不全面。良好組：知識(shí)都學(xué)習(xí)過；第1,2,3題這樣題型沒有見過，第6題我以前見過，但是不太會(huì)計(jì)算，第5題和第7題不知道怎么樣能不丟情況。低分組：不太明確這些題目考核的是什么知識(shí)；不太清楚哪些知識(shí)不會(huì)，除了第2題和第4題，其他題我根本不知道在考什么。問題3：你熟悉正方體嗎？你知道第7題出題者的意圖嗎？?jī)?yōu)秀組：熟悉；應(yīng)該是考核正方體和這幾個(gè)三棱錐的關(guān)系吧！好像在正方體里看這幾個(gè)三棱錐的三視圖能容易一些。良好組：熟悉；不太清楚出題者的意圖，情況考慮不全面，但是在正方體里看三棱錐的三視圖比較直觀。低分組：熟悉；不明確。問題4：你知道前三道題在考核什么嗎？?jī)?yōu)秀組：應(yīng)該是不同角度看幾何體。第1題是一個(gè)墻角，第2題是一條直線穿過兩個(gè)相交的平面，第3題是兩個(gè)角度看一個(gè)正方體，但是我們經(jīng)常畫的是第二幅圖。良好組：第1題和第2題是不同角度看同一幾何體，看出的效果不同。第3題畫的應(yīng)該是正方體，可是第一個(gè)正方體看著比較怪，好像畫的不對(duì)。低分組：第2題畫的是一條線從張開的書穿過去，一幅圖是從后面看到的效果，另一幅是從前面看到的效果。第1題第一幅圖是三個(gè)三角形拼成一個(gè)大三角形，第二幅圖也是這樣，中間的虛線應(yīng)該是做的輔助線。第3題的第二幅圖畫的是正方體，第一幅圖也是正方體，但是畫的應(yīng)該不對(duì)。問題5：有關(guān)正方體的展開圖的問題在高中之前接觸過嗎？你解決問題的困難在哪里？?jī)?yōu)秀組：在小學(xué)就接觸過。解決此題的困難是尋找不到列舉的規(guī)律，對(duì)自己想到的情況是否全面心里沒底。良好組：接觸過，但是沒這樣問過，沒有想過正方體的展開圖會(huì)有多種情況。困難是對(duì)展開圖的各種情況想不全。低分組：小學(xué)時(shí)提到過。困難是從沒想過正方體的展開圖會(huì)有多種情況，更不知道究竟有多少種情況。調(diào)查結(jié)果成因的分析通過以上測(cè)試結(jié)果和訪談?dòng)涗浛梢钥闯?，高中生的空間想象能力與以下幾個(gè)因素有關(guān)：學(xué)生的畫圖與識(shí)圖能力；實(shí)物模型的轉(zhuǎn)化能力；立體幾何基礎(chǔ)知識(shí)掌握情況；二維圖形與三維圖形的相互轉(zhuǎn)化。詳細(xì)的差異及其成因如下：⑴畫圖與識(shí)圖。畫圖能力方面，由于學(xué)生高中之前接觸的多數(shù)是平面圖形，還沒有專業(yè)的立體圖形的畫法方面的知識(shí)，所以原有的平面幾何的認(rèn)知基礎(chǔ)反而對(duì)立體幾何的學(xué)習(xí)產(chǎn)生了負(fù)遷移。比如虛線與實(shí)線的區(qū)別，水平放置的圖形的畫法，所以學(xué)生勢(shì)必會(huì)產(chǎn)生看到的和想象到的圖形不一樣進(jìn)而引發(fā)不能準(zhǔn)確的識(shí)別圖形的現(xiàn)象。甚至產(chǎn)生很多視覺誤差，比如：看著不平行的卻是平行的，看著不垂直實(shí)際是垂直，看著不等長(zhǎng)的線段卻是等長(zhǎng)的。這些現(xiàn)象都對(duì)學(xué)生原有的空間想象能力產(chǎn)生了極大的沖擊，所以學(xué)生需要有一個(gè)對(duì)立體幾何體系的認(rèn)知過程，包括最基礎(chǔ)的畫圖的培訓(xùn)，從而讓學(xué)生明確畫圖的規(guī)則，進(jìn)而會(huì)識(shí)別立體圖形。⑵實(shí)物模型的直觀性。通過對(duì)極端數(shù)據(jù)的學(xué)生進(jìn)行的訪談，可以看出中下等學(xué)生對(duì)客觀實(shí)物是接受的，但是由實(shí)物模型抽象到二維平面上是欠缺的。所以對(duì)中下等學(xué)生在立體幾何的教學(xué)過程中，需要從學(xué)生對(duì)事物能接受的認(rèn)知現(xiàn)狀起，引導(dǎo)學(xué)生理解立體圖形的畫法中的規(guī)則。這種運(yùn)用直觀的手段，加之感性的認(rèn)識(shí)，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的空間想象能力是行之有效的方法。⑶典型幾何模型的透視性研究的不足。學(xué)生接觸的第一個(gè)幾何體就是正方體、長(zhǎng)方體，對(duì)其耳熟能詳，但是對(duì)其研究和應(yīng)用嚴(yán)重不足，只停留在表面的直觀性上，不僅沒有對(duì)幾何體內(nèi)部的線、面關(guān)系做進(jìn)一步的研究，而且對(duì)長(zhǎng)方體與哪些常見的幾何體相關(guān)沒有研究的意識(shí)。從而導(dǎo)致這樣特殊的幾何體的價(jià)值沒有發(fā)揮出來。⑷平面圖形與立體圖形的相互轉(zhuǎn)化。這方面的知識(shí)主要體現(xiàn)在圖形的折疊、展開和三視圖方面。這部分知識(shí)雖然從考試環(huán)節(jié)體現(xiàn)的不是很充分，但是卻是提高學(xué)生空間想象能力非常好的平臺(tái)。在圖形的折疊與展開方面，高中前學(xué)生只有膚淺的接觸，更多的從感性上的操作，沒有理性方面的分析折疊與展開前后的差異。在三視圖方面，初中專門學(xué)習(xí)過，但是學(xué)生只能停留在對(duì)常規(guī)的幾個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的最直觀感受上，一旦幾何體發(fā)生改變，沒有那么特殊，學(xué)生的空間想象能力又沒有那么強(qiáng)，這樣問題就不會(huì)處理了。這說明學(xué)生并沒有掌握三視圖的本質(zhì)以及空間想象能力需要極大的提高。⑸通過前面的測(cè)試發(fā)現(xiàn)男女生的空間想象能力確實(shí)有差異，但是在初始階段的直觀感覺上并無差異。女性感覺和記憶方面有優(yōu)勢(shì)，而男性在空間想象推理能力和抽象推理能力方面有優(yōu)勢(shì)。女性的大腦對(duì)感官信息反應(yīng)快，而男性的大腦對(duì)處理空間關(guān)系方面擅長(zhǎng)。男性與女性的這些差異和通過測(cè)試發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象是吻合的，女生在對(duì)立體幾何信息的感官上有優(yōu)勢(shì)，但是隨著男生的空間想象推理和抽象推理能力方面的優(yōu)勢(shì)發(fā)揮出來后，女生在立體幾何學(xué)習(xí)的中期所表現(xiàn)出來的空間想象能力嚴(yán)重不足，但是可以通過女生的記憶能力以及良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣的優(yōu)勢(shì)彌補(bǔ)這些不足（以前結(jié)果針對(duì)于筆者本校學(xué)生情況，本校是一個(gè)市級(jí)重點(diǎn)高中，學(xué)生的總體程度略好一些。）。空間想象能力的教學(xué)策略的研究立體幾何是高中階段的重要內(nèi)容之一，通過它的學(xué)習(xí)能培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和空間想象能力。由于教材中引入了空間向量解決立體幾何問題，所以培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的時(shí)間更短，而且學(xué)生需要在必修二中一次性養(yǎng)成較好的空間想象能力。學(xué)生進(jìn)入空間向量的學(xué)習(xí)，會(huì)忽視空間想象能力的重要性，導(dǎo)致空間想象能力沒有得到充分的提高，所以一旦遇到空間向量也不能完全解決的問題學(xué)生束手無策。結(jié)合實(shí)際教學(xué)時(shí)間短和學(xué)生的認(rèn)知方式與能力、思維發(fā)展水平、生理和心理因素等方面的特征，教師在教學(xué)時(shí)不僅要關(guān)注知識(shí)的傳授更應(yīng)該研究適合學(xué)生的有效教學(xué)策略，高效的提高學(xué)生的空間想象能力。本文就學(xué)生空間想象能力的現(xiàn)狀，從學(xué)生的原有的認(rèn)知水平出發(fā)，提出了如下幾條教學(xué)策略。典型圖形對(duì)提高空間想象能力的作用學(xué)生對(duì)空間形式的想象尤其創(chuàng)造性想象是非常困難的，教學(xué)初期應(yīng)該給出典型的圖形，將這些表象儲(chǔ)存到他們頭腦中。開始只進(jìn)行簡(jiǎn)單想象，然后逐步過渡，再做進(jìn)一步的想象。任何事物、任何規(guī)律里都有“典型”模型，典型模型就像一座拔地而起的大廈的地基一樣。在提高學(xué)生的空間想象能力的教學(xué)中，抓住“典型”幾何體也是非常重要的。長(zhǎng)方體具有6個(gè)面、12條棱、8個(gè)頂點(diǎn)，其中棱與棱之間、棱與面之間、面與面之間除了平行關(guān)系就是垂直關(guān)系，由于具有如此特殊的線面關(guān)系，所以無論是從數(shù)形結(jié)合建立空間直角坐標(biāo)系還是從體現(xiàn)空間中的基本元素點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系上，長(zhǎng)方體的“典型”性是毋庸置疑的。所以筆者將“利用長(zhǎng)方體”貫穿于整個(gè)立體幾何初步的教學(xué)做了嘗試。長(zhǎng)方體在三視圖中的直觀作用三視圖知識(shí)是初中開始學(xué)習(xí)的內(nèi)容，但是初中對(duì)三視圖的學(xué)習(xí)停留在求正方體、長(zhǎng)方體、圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球等簡(jiǎn)單的幾何體的三視圖并且多數(shù)題目都是以選擇題形式出現(xiàn)，也就是對(duì)三視圖的要求是對(duì)最簡(jiǎn)單的幾何體的三視圖的直觀識(shí)別。但是隨著高中幾何體的豐富，并且研究三視圖的問題由已知幾何體識(shí)別其三視圖改為已知三視圖畫其幾何體，這種逆向問題也使得三視圖的知識(shí)變得難了，完全顛覆了學(xué)生們初中時(shí)對(duì)其“簡(jiǎn)單”的定位。長(zhǎng)方體能較好地解決學(xué)生的這個(gè)難點(diǎn)，長(zhǎng)方體是學(xué)生們最熟悉的基本圖形，因?yàn)樗娜我忭旤c(diǎn)處的三個(gè)表面兩兩垂直，所以長(zhǎng)方體天生具有三視圖的三個(gè)投射面。長(zhǎng)方體在處理三視圖問題上的優(yōu)勢(shì)學(xué)生能理解，但是實(shí)踐操作的時(shí)候，學(xué)生還不能較好的利用這個(gè)典型幾何體，下面通過幾個(gè)例子來明確一下利用長(zhǎng)方體畫三視圖的原圖的操作流程。例1：如圖5.1，圖5.3畫出下面兩組三視圖的原幾何體：=1\*GB2⑴側(cè)側(cè)（左）視圖正（主）視圖俯視圖圖5.1分析：首先將俯視圖放置到長(zhǎng)方體中，為，根據(jù)主視圖判斷在棱上至少有一個(gè)點(diǎn)，又由于側(cè)視圖判斷在棱上至少有一個(gè)點(diǎn)，又因?yàn)檫@兩視圖都是三角形，那么能滿足這兩個(gè)條件的是點(diǎn)，如圖5.2所示。最后再用確定的幾何體逆向回看三視圖是否為已經(jīng)所給。圖5圖5.2=2\*GB2⑵圖5圖5.3正（主）視圖側(cè)（左）視圖俯視圖圖5.4分析：再一次體會(huì)一下=1\*GB2⑴中所提到的利用長(zhǎng)方體解決三視圖的操作模式。將俯視圖放置到長(zhǎng)方體中是，由主視圖可知在長(zhǎng)方體的棱上至少有一個(gè)點(diǎn)，由側(cè)視圖可知在棱上至少有一個(gè)點(diǎn)，又因?yàn)檫@兩視圖都是三角形，所以只有點(diǎn)符合條件。如圖5.4所示。最后再用確定的幾何體逆向回看三視圖是否符合已經(jīng)條件。圖5.4通過上面例1闡述了一下，在應(yīng)用長(zhǎng)方體做三視圖與原幾何體的相互轉(zhuǎn)化時(shí)的使用程序，但是有一些復(fù)雜一些的問題，學(xué)生還是用不好長(zhǎng)方體。例2：一個(gè)幾何體的三視圖（單位：cm）如圖5.5所示，在長(zhǎng)方體中畫出該幾何體，并求該幾何體的體積是．圖5圖5.5分析：這在三視圖問題中是一個(gè)比較困難的問題，困難的原因是三視圖的三個(gè)正方形中有對(duì)角線，學(xué)生只靠想象力想象不出什么樣的幾何體會(huì)有這樣的三視圖。當(dāng)遇到復(fù)雜問題時(shí)，基本的理論才顯得更為重要。首先，從俯視圖入手，由俯視圖可推測(cè)原幾何體的地面可能是正方形，又因正方形又一條直線對(duì)角線，可推測(cè)在BD上方應(yīng)該有棱，又因?yàn)橹饕晥D也是正方形，可見，很可能是幾何體的頂點(diǎn)，如圖5.6所示，最后通過左視圖確認(rèn)前面的判斷。圖5圖5.6長(zhǎng)方體本身有三視圖的三個(gè)投射面，這樣能很直觀的將幾何體的三視圖投射到各個(gè)投射面上。在將三視圖還原幾何體時(shí)，盡管有長(zhǎng)方體的直觀體現(xiàn)，對(duì)于學(xué)生依然想象不出原幾何體，鑒于我們所接觸的多數(shù)幾何體都是底面與水平面平行的，所以我們用上面提到的還原幾何體的程序，能有效的將三視圖問題順利還原幾何體。在長(zhǎng)方體的線面的特殊關(guān)系的襯托下，降低了一般幾何體的二維圖形和三維圖形之間的轉(zhuǎn)換的難度。在有投射面的襯托下，讓這種轉(zhuǎn)換顯得更直觀，進(jìn)而在學(xué)生頭腦中形成了表象，進(jìn)一步提升了學(xué)生的空間想象能力。長(zhǎng)方體在體現(xiàn)線、面的位置關(guān)系中的作用為了了解長(zhǎng)方體在體現(xiàn)位置關(guān)系中的作用，在學(xué)生進(jìn)行了《空間中的位置關(guān)系預(yù)測(cè)》后兩天做了一個(gè)《空間中的位置關(guān)系再測(cè)》的測(cè)試，試卷內(nèi)容見附錄3。本次測(cè)試旨在了解學(xué)生在沒有學(xué)習(xí)位置關(guān)系的判定及性質(zhì)定理的前提條件下，只靠長(zhǎng)方體的襯托，能否提高學(xué)生的空間想象能力。表5表5.1空間中的位置關(guān)系預(yù)測(cè)與再測(cè)對(duì)比題號(hào)選項(xiàng)12=1\*GB2⑴2=2\*GB2⑵345預(yù)測(cè)再測(cè)預(yù)測(cè)再測(cè)預(yù)測(cè)再測(cè)預(yù)測(cè)再測(cè)預(yù)測(cè)再測(cè)預(yù)測(cè)再測(cè)A1118202210111121202125B31319551619191112116C005756220001通過以上數(shù)據(jù)可見在第2題和第5題的正確率有所提高，因?yàn)檫@兩題的線面是長(zhǎng)方體的棱、面對(duì)角線、體對(duì)角線、表面、對(duì)角面等特殊線和面，看來學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方體本身的線面關(guān)系掌握的較好，所以以長(zhǎng)方體襯托這些特殊的線面關(guān)系，直觀效果很好。但是第1題的面不是特殊面，學(xué)生直觀的看不出來平行。所以單純靠長(zhǎng)方體的襯托不能高效的解決空間中的位置關(guān)系。還有必要進(jìn)一步學(xué)習(xí)空間中的位置關(guān)系的推理方法。在整個(gè)空間中的位置關(guān)系的教學(xué)過程中，只要能利用長(zhǎng)方體襯托的幾何體，都會(huì)在黑板上再畫一幅用長(zhǎng)方體襯托的圖，這樣久而久之，學(xué)生不僅習(xí)慣了利用長(zhǎng)方體，還提高了學(xué)生的空間想象能力。試舉一教學(xué)中的例子。例：如圖5.7，在四棱錐中，底面是正方形，平面，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面；（Ⅲ）求證：；（=4\*ROMANIV）求四面體的體積.圖5.圖5.7分析：這是一道立體幾何初步中典型的幾何體，但是學(xué)生并不能直觀看出其中的線面的位置關(guān)系。本題中的平行位置學(xué)生比較容易看出。對(duì)于學(xué)生來說，垂直關(guān)系是最難的。因?yàn)樽C明平行關(guān)系的根源是線線平行，而線線平行在空間中是沒有視覺誤差的。但是垂直關(guān)系的根源是線線垂直，線線垂直是有視覺誤差的。所以學(xué)生實(shí)踐時(shí)選擇互相垂直的直線是難點(diǎn)。如果把四棱錐放到長(zhǎng)方體中，如圖5.8。通過長(zhǎng)方體的顯然的線面關(guān)系來襯托四棱錐的線面關(guān)系非常直觀，這樣準(zhǔn)確的找到互相垂直的直線為成功的證明結(jié)論提供了前提條件。圖5圖5.8學(xué)生在教師的帶領(lǐng)下，從開始的學(xué)習(xí)就能充分利用長(zhǎng)方體的直觀性，將相關(guān)的幾何體放入長(zhǎng)方體中。而且與長(zhǎng)方體相關(guān)的幾何體就要利用長(zhǎng)方體體現(xiàn)一下直觀性。久而久之，學(xué)生習(xí)慣于利用長(zhǎng)方體，通過長(zhǎng)方體的線面直觀的體現(xiàn)新的幾何體的線面關(guān)系，能有的放矢的進(jìn)行理論論證。通過日常教學(xué)，學(xué)生的思維反復(fù)穿梭于直觀觀察到抽象說理之間，空間想象能力得以提升。長(zhǎng)方體在幾何體中輔助計(jì)算的作用在立體幾何中常有幾何體的計(jì)算問題，許多學(xué)生看似會(huì)算卻算不對(duì)，究其原因還是空間想象能力不足，他們看不出幾何體內(nèi)部的線面的關(guān)系。下面我們通過兩個(gè)例題來體會(huì)一下長(zhǎng)方體對(duì)計(jì)算的輔助作用。例1：如圖5.9，已經(jīng)正四棱錐，底面面積為16，一條側(cè)棱長(zhǎng)為，計(jì)算它的高和斜高．圖5圖5.9分析：這是一道典型的有關(guān)正棱錐的運(yùn)算問題，對(duì)于空間想象能力較弱的學(xué)生卻不一定能算對(duì)。經(jīng)過上課教師的引導(dǎo)學(xué)生是能夠做出輔助線，畫出幾何體的高、斜高、側(cè)棱的關(guān)系，但是不能看出三棱錐是由四個(gè)直角三角形構(gòu)成的。圖5圖5.10如果將三棱錐放到長(zhǎng)方體中，如圖5.10，學(xué)生很容易接受了他們彼此的垂直關(guān)系。也通過長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)、面對(duì)角線、體對(duì)角線的相互關(guān)系，理解了三棱錐的線面關(guān)系，為運(yùn)算的準(zhǔn)確性提供了必要的條件。圖5.11例2：（北京2012年的高考題）某三棱錐的三視圖如圖5.圖5.11圖5.12分析：學(xué)生經(jīng)過系統(tǒng)的學(xué)習(xí)三視圖后，能夠找到三視圖對(duì)應(yīng)的原三棱錐。而這個(gè)問題高考得分率比較低不是因?yàn)檫€原幾何體，而是學(xué)生表面積算不對(duì)，算不對(duì)的原因是學(xué)生不能看出構(gòu)成三棱錐表面的四個(gè)三角形的形狀的特殊性以及算不對(duì)對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)。如果能將三棱錐放到長(zhǎng)方體中，如圖5.12所示，不僅容易看出三棱錐的兩個(gè)表面是直角三角形，而且可以借助于長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)計(jì)算出直觀看著不特殊的圖5.12透視幾何體內(nèi)部對(duì)提高空間想象能力的作用立體幾何對(duì)于有些學(xué)生很難，它究竟難在哪里？難的不是幾何體表面的直觀性，難在學(xué)生不能辨析幾何體內(nèi)部的情況。在教學(xué)中，加強(qiáng)幾何體內(nèi)部的線面情況的分析是解決難點(diǎn)的有效方法。鏤空的幾何體教具對(duì)透視想象力的培養(yǎng)感性認(rèn)識(shí)是一切理性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)，當(dāng)然也是空間想象能力的提高與發(fā)展的基礎(chǔ)。比如在進(jìn)行旋轉(zhuǎn)體的教學(xué)時(shí)，運(yùn)用鏤空的教具，能讓學(xué)生從感官上很容易理解旋轉(zhuǎn)體的形成過程，在學(xué)生的頭腦中形成幾何體在空間的整體形象。動(dòng)態(tài)的形成過程有利于學(xué)生的記憶在幾何體的基本概念的介紹時(shí)，幾何體的體對(duì)角線是一個(gè)全新的概念，如果運(yùn)用鏤空的教具能讓學(xué)生形象的接受體對(duì)角線，并能很好的與面對(duì)角線做以區(qū)分。我們還可以帶領(lǐng)學(xué)生自制鏤空教具，讓學(xué)習(xí)初期基本圖形人手一個(gè)。每次接觸到，都拿出來通過實(shí)物觀察一下，然后再回歸到題目本身。經(jīng)過鏤空的教具與平面上畫的幾何體反復(fù)對(duì)應(yīng)，學(xué)生通過實(shí)物理解圖形，通過圖形想象實(shí)物。在多次的對(duì)應(yīng)中，學(xué)生的空間想象能力得以逐步提升。運(yùn)用截面定位加強(qiáng)幾何體內(nèi)部的空間想象能力。以立體幾何公理、定理、概念等為理論依據(jù)，通過作出幾何體的一些局部截面，來將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，從而使得學(xué)生易于確定相關(guān)幾何元素的位置關(guān)系。下面具體提出兩個(gè)問題，來說明在空間中將三維圖形轉(zhuǎn)化為二維圖形，在提高學(xué)生空間想象能力中的作用。例1：如圖5.13，在正方體中，設(shè)其對(duì)角線與平面交