結(jié)構(gòu)化學(xué)題庫

第一章量子力學(xué)基礎(chǔ)知識--要點(diǎn)

1.1微觀粒子的運(yùn)動特征

光和微觀實(shí)物粒子（電子、原子、分子、中子、質(zhì)子等）都具有波動性和微粒

性兩重性質(zhì)，即波粒二象性，其基本公式為：

E=h5vP=h/入

其中能量E和動量P反映光和微粒的粒性，而頻率v和波長X反映光和微

粒的波性，它們之間通過Plank常數(shù)h聯(lián)系起來。h=6.626X10-34J.S?實(shí)物微

粒運(yùn)動時產(chǎn)生物質(zhì)波波長X可由粒子的質(zhì)量m和運(yùn)動度v按如下公式計算。

入=h/mv

量子化是指物質(zhì)運(yùn)動時，它的某些物理量數(shù)值的變化是不連續(xù)的，只能為某

些特定的數(shù)值。如微觀體系的能量和角動量等物理量就是量子化的，能量的改變

為E=hv的整數(shù)倍。

測不準(zhǔn)關(guān)系可表示為：△X?APx2h

△X是物質(zhì)位置不確定度，APx為動量不確定度。該關(guān)系是微觀粒子波動性

的必然結(jié)果，亦是宏觀物體和微觀物體的判別標(biāo)準(zhǔn)。對于可以把h看作0的體系,

表示可同時具有確定的坐標(biāo)和動量，是可用牛頓力學(xué)描述的宏觀物體，對于h

不能看作0的微觀粒子，沒有同時確定的坐標(biāo)和動量，需要用量子力學(xué)來處理。

1.2量子力學(xué)基本假設(shè)

假設(shè)1：對于一個微觀體系，它的狀態(tài)和有關(guān)情況可用波函數(shù)W（x,y,z）

來描述，在原子體系中V稱為原子軌道，在分子體系中V稱為分子軌道，V2dT

為空間某點(diǎn)附近體積元dT中出現(xiàn)電子的兒率，波函數(shù)W在空間的值可正、可

負(fù)或?yàn)榱悖@種正負(fù)值正反映了微觀體系的波動性。W描述的是幾率波，根據(jù)

兒率的性質(zhì)W必須是單值、連續(xù)、平方可積的品優(yōu)函數(shù)。

假設(shè)2.對于微觀體系的每一個可觀測量,都有一個對應(yīng)的線性自規(guī)算符。

其中最重要的是體系的總能量算符（哈密頓算符）H

假設(shè)3.本征態(tài)、本征值和Schrodinger方程

體系的力學(xué)量A的算符與波函數(shù)W若滿足如下關(guān)系

agw

式中a為常數(shù)，則稱該方程為本征方程，a為A的本征值，w為A的本征態(tài)。

Schrodinger方程就是能量算符的本征值E和波函數(shù)W構(gòu)成的本征方程：

將某體系的實(shí)際勢能算符寫進(jìn)方程中，通過邊界條件解此微分方程和對品

優(yōu)波函數(shù)的要求，求得體系不同狀態(tài)的波函數(shù)Wi以及相應(yīng)的能量本征值Ei。

解一體系的Schrbdinger方程所得的一組本征函數(shù)W1,?2,w3…Wn,形成

一個正交歸一的函數(shù)組。

歸一是指1西*涔小1，正交是指"°（iWj）

假設(shè)4.態(tài)疊加原理

若Wl,W2…Wn為某體系的可能狀態(tài)，由它們線性組合所得的W也是該

體系可能存在的狀態(tài)。

W=CWi+G5+…+Cnvn=VG5

式中Ci為任意常數(shù)，其數(shù)值的大小決定V的性質(zhì)中WI的貢獻(xiàn)，Ci大則

相應(yīng)wi的貢獻(xiàn)大。

體系在狀態(tài)W時，力學(xué)量A的平均值<a>

<a>=j*超1

假設(shè)5.Pauli原理

在同一原子軌道或分子軌道中，至多只能容納兩個自旋相反的電子或者說描

述多電子體系軌道運(yùn)動和自旋運(yùn)動的全波函數(shù)，對交換任意兩個粒子的全部坐標(biāo)

必須是反對稱的。

量子力學(xué)的基本假設(shè)是建立在大量實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上的，所以是正確的。

1.3一維勢箱中粒子的Schrodinger方程及其解

本節(jié)以一維勢箱粒子為例，說明用量子力學(xué)解決問題的途徑和方法。

一個質(zhì)量為m的粒子，在一維x方向上運(yùn)動，其勢能函數(shù)為

[0當(dāng)△

rCx)=<

18當(dāng)140,刀之？

粒子的Schrodinger方程為：

期2

--d?

8dx"

根據(jù)勢能邊界條件解此方程得狀態(tài)波函數(shù)Wn(x)和能級分式

WH(X)=(y)5sin(^)

共輒體系中的“電子可近似地當(dāng)成一維勢箱中運(yùn)動的粒子。

受一定勢場束縛的微觀粒子的共同特性，即量子效應(yīng)：

(a)粒子可存在多種運(yùn)動狀態(tài)W

(b)能量量子化

(c)存在零點(diǎn)能

(d)粒子按幾率分布，不存在運(yùn)動軌道

(e)波函數(shù)可為正值、負(fù)值和零值，為零的點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)越多，能量越

FWJ

第一章、量子力學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題解答

一、填空題(在題中的空格處填上正確答案)

110K光波粒二象性的關(guān)系式為o

1102、德布羅意關(guān)系式為；宏觀物體的人值比微觀物體的人值

O

1103、在電子衍射實(shí)驗(yàn)中，|312對一個電子來說，代表。

“04、測不準(zhǔn)關(guān)系是,它說明了?

1105、一組正交、歸一的波函數(shù)L，心,上，…。正交性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為,

歸一性的表達(dá)式為,

1106>I(Xl，Jl，Z\,%2>J2>Z2)|2代表。

1107,物理量中y-W*的量子力學(xué)算符在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式是。

1108、質(zhì)量為m的一個粒子在長為/的一維勢箱中運(yùn)動，

(1)體系哈密頓算符的本征函數(shù)集為:

(2)體系的本征值譜為,最低能量為；

(3)體系處于基態(tài)時，粒子出現(xiàn)在0—U2間的概率為；

(4)勢箱越長，其電子從基態(tài)向激發(fā)態(tài)躍遷時吸收光譜波長；

(5)若該粒子在長1、寬為21的長方形勢箱中運(yùn)動，則其本征函數(shù)集為,

本征值譜為。

1109、質(zhì)量為m的粒子被局限在邊長為a的立方箱中運(yùn)動。波函數(shù)少2ii(x,y>z尸

；當(dāng)粒子處于狀態(tài)力2U時，概率密度最大處坐標(biāo)是

7〃2

________________________；若體系的能量為"耳，其簡并度是_______________O

Ama

3h221h2

1110、在邊長為a的正方體箱中運(yùn)動的粒子，其能級?的簡并度是_____,￡=

Ama8ma'

的簡并度是o

m117

111k雙原子分子的振動，可近似看作是質(zhì)量為產(chǎn)?2的一維諧振子,其勢能為

m}+m2

勺自2/2,它的薛定謂方程是。

1112,1927年戴維遜和革未的電子衍射實(shí)驗(yàn)證明了實(shí)物粒子也具有波動性。欲使電子射線

產(chǎn)生的衍射環(huán)紋與Cu的Ka線(波長為154pm的單色X射線)產(chǎn)生的衍射環(huán)紋相同，電子

的能量應(yīng)為J。

1113、對于波函數(shù)陰、w”其歸一性是指,正交性是指

1114,若算符F滿足或滿足,則算符戶為厄

米算符。

1115、一個質(zhì)量為m的微觀粒子在箱長為a的一維勢箱中運(yùn)動時，體系的勢能

為，體系的零點(diǎn)能為。

1119＞對氫原子1s態(tài)：

(1)"2在「為處有最高值；

(2)徑向分布函數(shù)4兀r2〃2在r為處有極大值；

(3)電子由1s態(tài)躍遷至3d態(tài)所需能量為o

15A2

1120＞對于立方勢箱中的粒子，考慮出的能量范圍，在此范圍內(nèi)有個能級？

Sma2

在此范圍內(nèi)有個狀態(tài)？

二、選擇填空題(選擇正確的答案，填在后面的括號內(nèi))

120L首先提出能量量子化假定的科學(xué)家是：------------------()

(A)Einstein(B)Bohr

(C)Schrodinger(D)Planck

1202、任一自由的實(shí)物粒子，其波長為入，今欲求其能量，須用下列哪個公式----------()

Qh~

(A)E=h-(B)￡=——y

Z2mA

1225

(C)E=e(U—)2(D)A,B,C都可以

A

1203、下列哪些算符是線性算符-------------------------------------()

(A)—d(B)口V2

dx

(C)用常數(shù)乘(D)J

1204、下列函數(shù)中

(A)coskx(B)e"'(C)e(D)

(1)哪些是且的本征函數(shù)；-------------------------------------------()

dx

d2

(2)哪些是的一本征函數(shù)；------------------------------------------()

dx

(3)哪些是害和色的共同本征函數(shù)。................................()

dx-dx

1205、線性算符公具有下列性質(zhì)

R(U+V)=RU+RVR(cV)=cRV

式中c為復(fù)函數(shù)，下列算符中哪些是線性算符？------------------------()

(A)AU=\U,\=常數(shù)

(B)BU=U*

(C)CU=U2

-dU

(D)DU------

dx

(E)E01/(7

1206、電子自旋存在的實(shí)驗(yàn)根據(jù)是：-------------------------------------------()

(A)斯登-蓋拉赫(Stern-Gerlach)實(shí)驗(yàn)(B)光電效應(yīng)

(C)紅外光譜(D)光電子能譜

1207、一個在--維勢箱中運(yùn)動的粒子，

(1)其能量隨著量子數(shù)〃的增大：----------------()

(A)越來越小(B)越來越大(C)不變

(2)其能級差E.+I-E”隨著勢箱長度的增大：------------()

(A)越來越小(B)越來越大(C)不變

1208、立方勢箱中的粒子，具有斤匕夫的狀態(tài)的量子數(shù)。是------()

Sma

(A)211(B)231(C)222(D)213

jrrt

1209、處于狀態(tài)^(x尸sin-x的一維勢箱中的粒子，出現(xiàn)在x=一處的概率為---()

a4

ana兀72

(A)P=W(-)=sin(—?-)=sin—=—

4a442

(B)片［"W)f=\?片怖”一)=.

(E)題目提法不妥，所以以上四個答案都不對

7A2

1210、在一立方勢箱中，E<—的能級數(shù)和狀態(tài)數(shù)分別是(勢箱寬度為/,粒子質(zhì)量為

4ml

w)：---------------------------------------------()

(A)5,11(B)6,17(C)6,6(D)5,14(E)6,14

1211、關(guān)于光電效應(yīng)，下列敘述正確的是：(可多選)------------------()

(A)光電流大小與入射光子能量成正比

(B)光電流大小與入射光子頻率成正比

(C)光電流大小與入射光強(qiáng)度成正比

(D)入射光子能量越大，則光電子的動能越大

1212、提出實(shí)物粒子也有波粒二象性的科學(xué)家是：-------------------()

(A)deBroglie(B)A.Einstein

(C)W.Heisenberg(D)E.Schrodinger

1213、微粒在間隔為leV的二能級之間躍遷所產(chǎn)生的光譜線的波數(shù)7應(yīng)

為：----------------------()

(A)4032cm-1(B)8065cm-1

(C)16130cm'(D)2016cm-1

(leV=1.602X10-19J)

1214、普朗克常數(shù)是自然界的一個基本常數(shù)，它的數(shù)值是：-------------()

(A)6.02X10-23爾格(B)6.625X10-3。爾格?秒

(06.626X10-34焦耳?秒(D)1.38XIO小爾格?秒

1215、首先提出微觀粒子的運(yùn)動滿足測不準(zhǔn)原理的科學(xué)家是：-----------()

(A)薛定源(B)狄拉克

(C)海森堡(D)波恩

1216、下列哪幾點(diǎn)是屬于量子力學(xué)的基本假設(shè)(多重選擇)：-------------()

(A)電子自旋(保里原理)

(B)微觀粒子運(yùn)動的可測量的物理量可用線性厄米算符表征

(C)描寫微觀粒子運(yùn)動的波函數(shù)必須是正交歸?化的

(D)微觀體系的力學(xué)量總是測不準(zhǔn)的，所以滿足測不準(zhǔn)原理

1217、描述微觀粒子體系運(yùn)動的薛定謬方程是：-----------------------()

(A)由經(jīng)典的駐波方程推得(B)由光的電磁波方程推得

(C)由經(jīng)典的弦振動方程導(dǎo)出(D)量子力學(xué)的一個基本假設(shè)

1218、-電子被1000V的電場所加速，打在靶上，若電子的動能可轉(zhuǎn)化為光能，則相應(yīng)的

光波應(yīng)落在什么區(qū)域？

(A)X光區(qū)(B)紫外區(qū)

(C)可見光區(qū)(D)紅外區(qū)

1219、由戴維遜一革末的衍射實(shí)驗(yàn)，觀察某金屬單晶(晶面間距d為104pm)上反射，若一

級衍射的布拉格角控制為45°,則此實(shí)驗(yàn)要用多大的加速電壓來加速電子(單位：V)?—

()

(A)<10(B)25

(C)70(D)150

1220、一維勢箱的薛定謬方程求解結(jié)果所得的量子數(shù)n,下面論述正確的是？

(A)可取任意整數(shù)(B)與勢箱寬度一起決定節(jié)點(diǎn)數(shù)

(C)能量與J成正比例(D)對應(yīng)于可能的簡并態(tài)

三、判斷題(對判斷給出的命題的對錯，正確的題號后畫錯誤的題號后畫X)

1301、根據(jù)測不準(zhǔn)原理，任一微觀粒子的動量都不能精確測定，因而只能求其平均值。

1302、波函數(shù)平方有物理意義，但波函數(shù)本身是沒有物理意義的。

1303、任何波函數(shù)3(x,y,z,f)都能變量分離成％(x,y,z)與％(f)的乘積。

1304、％=cosx,外有確定值，0)沒有確定值，只有平均值。

1305、一維勢箱中的粒子，勢箱長度為1,基態(tài)時粒子出現(xiàn)在x=〃2處的概率密度最小。

1306、波函數(shù)本身是連續(xù)的，山它推求的體系力學(xué)量也是連續(xù)的。

1307、測不準(zhǔn)關(guān)系式是判別經(jīng)典力學(xué)是否適用的標(biāo)準(zhǔn)。

1308、光照射到金屬表面時，金屬中有光電子產(chǎn)生，且照射光的強(qiáng)度越大，電子逸出金屬表

面的動能越大。

1309、量子力學(xué)中力學(xué)量算符都是線性的、厄米的。

1310、在電子的衍射實(shí)驗(yàn)中采用單個電子穿過晶體粉末，在足夠長的時間后，在屏上得到了

衍射環(huán)紋，這說明單個電子也可以產(chǎn)生波。

四、簡答題

1401、對一個運(yùn)動速率的自由粒子，有人作了如下推導(dǎo)：

hhvE\

mv=/?=—=——=—=—mv

Avv2

ABCDE

結(jié)果得出】=■!■的結(jié)論。問錯在何處？說明理由。

2

1402、簡述一個合格的波函數(shù)所應(yīng)具有的條件？

1403、被束縛在0<x<a區(qū)間運(yùn)動的粒子，當(dāng)處于基態(tài)時、出現(xiàn)在0.25a0W0.7“區(qū)間內(nèi)的

概率是多少？

1404、一維勢箱中一粒子的波函數(shù)力(x)=(2//)%in(,g//)是下列哪些算符的本征函數(shù)，并求

出相應(yīng)的本征值。

(A)px(B)p,(C)x(D)(人/2兀)_2

乙匕2mdx2

1405、說明下列各函數(shù)是方，M2,應(yīng)z三個算符中哪個的本征函數(shù)？

心“23和七〃

1406、一維勢箱中運(yùn)動的一個粒子，其波函數(shù)為」2sin里上,a為勢箱的長度，試問當(dāng)粒

Vaa

子處于爐1或k2的狀態(tài)時，在0?a/4區(qū)間發(fā)現(xiàn)粒子的概率是否一樣大，若不一樣，〃取

幾時更大一些，請通過計算說明。

1407、5cos3"3cos。是否是算符戶=—力2(￡+您2_1)的本征函數(shù)，若是，本征值

盼sin。d。

是多少？

1408、下列休克爾分子軌道中哪個是歸一化的？若不是歸一化的，請給出歸一化系數(shù)。(原

子軌道夕「夕”夕3是已歸一化的)

a.%=\(9I+92)

b-5=±@-2%+(())

1409、已知-函數(shù)/'("=2/，問它是否是人的本征函數(shù)？相應(yīng)的本征值是多少？

1410、有一粒子在邊長為a的一維勢箱中運(yùn)動。

⑴計算當(dāng)n=2時，粒子出現(xiàn)在OWxWa/4區(qū)域中的概率；

⑵根據(jù)一維勢箱的也「圖，說明04</4區(qū)域中的概率。

五、證明題

1501、已知一維運(yùn)動的薛定苗方程為：

22

[―hV-5A-+V(x)]昨卻

8兀2加dx2

W\和是屬于同一本征值的本征函數(shù)，證明：

心也一憶也二常數(shù)

drdr

1502、試證明實(shí)函數(shù)6(0=(1/兀嚴(yán)cos20和內(nèi)”尸⑵兀嚴(yán)sin2aos淵是。方程

d2

[—r+4]0(^>)=0的解。

d。-

1503、證明函數(shù)x+iy,x-iy和z都是角動量算符初二的本征函數(shù)，相應(yīng)的本征值是多少？

1504、一知有2n個碳原子相互共輒的直鏈共軌烯慌的論子軌道能量可近似用一維勢阱的能

級公式表示為

kF

k=l,2,…，In

Smr2(2n+I)2

其中，機(jī)是電子質(zhì)量，廠是相鄰碳原子之間的距離，〃是能級序號。試證明它的電子

光譜第一吸收帶（即電子基態(tài)到第一激發(fā)態(tài)的激發(fā)躍遷）波長力與n成線性關(guān)系。假定一個粒

子在臺階式勢阱中運(yùn)動，勢阱寬度為/,而此臺階位于〃2?/之間。

1505、證明同?個厄米算符的、屬于不同本征值的本征函數(shù)相互正交。

1506、證明厄米算符的本征值是實(shí)數(shù)。

1507、已知】和月是厄米算符，證明（4+月）和%?也是厄米算符。

1/2

1508,證明描述在一球面上運(yùn)動的粒子（剛性轉(zhuǎn)子）的波函數(shù)wCOS。是三維空

間中運(yùn)動的自由粒子（勢能v=0）的薛定謂方程的解，并求粒子的能量。

2%之「1a2a、1aaid2

2m廣力drr2sinf）30df）r1sin~0d（p~

i（152

1509、證明描述在一球面上運(yùn)動的粒子（剛性轉(zhuǎn)子）的波函數(shù)“二]底Jcos9sin9e-s

是在三維空間中運(yùn)動的自由粒子（勢能片0）的薛定考方程的解，并求粒子的能量。

-14口2h之「Ia,2a、1ia2、i

已知V?=----[&2)+^——(sin^—)+99—)]。

2m廣drdrr1sind3066r2sin2069,

1510、證明波函數(shù)我cosOsinOe也是角動量平方的本征函數(shù)，并求粒子的角動

已知角動量平方算符瘋2=_方“@[+竺￡2+30

量。

朋2sin。36?sin-3所

六、計算題

1601、波長入=400nm的光照射到金屬鈉上，計算金屬銅所放出的光電子的速率。已知銅的

臨閾波長為600nm（＞

1602、光電池陰極鉀表面的功函數(shù)是2.26eV。當(dāng)波長為350nm的光照到電池時，發(fā)射的電

子最大速率是多少？

（1eV=1.602XIO"?電子質(zhì)量也。=9.109X1ORkg）

1603、設(shè)體系處在狀態(tài)3=C|9211+。2勿210中，角動量序和蟆有無定值。其值為多少?

若無，則求其平均值。

1604、函數(shù)(x)=2、Esin更-3、Rsin也

是不是一維勢箱中粒子的一種可能狀態(tài)？

Vaavaa

如果是，其能量有沒有確定值(本征值)？如有，其值是多少？如果沒有確定值，其平

均值是多少？

1605、在長為/的?維勢箱中運(yùn)動的粒子，處于量子數(shù)為n的狀態(tài)，求：

(1)在箱的左端1/4區(qū)域內(nèi)找到粒子的概率；

(2)n為何值時，上述概率最大？

(3)當(dāng)〃一8時，此概率的極限是多少？

(4)(3)中說明了什么？

1606、(1)寫出一維簡諧振子的薛定四方程；

(2)處于最低能量狀態(tài)的簡諧振子的波函數(shù)是

a2

M=(一)1/4exp[-ay/2]

7C

此處，。=(4/桐/后嚴(yán)，試計算振子處在它的最低能級時的能量。

(3)波函數(shù)3在x取什么值時有最大值？計算最大值處少的數(shù)值。

1607^氫分子在一維勢箱中運(yùn)動，勢箱長度/=100nm,計算量子數(shù)為n時的deBroglie波長

以及n=l和"=2時氫分子在箱中49nm到51nm之間出現(xiàn)的概率，確定這兩個狀態(tài)的

節(jié)面數(shù)、節(jié)面位置和概率密度最大處的位置。

1608、限制在一個平面中運(yùn)動的兩個質(zhì)量分別為處和汲的質(zhì)點(diǎn)，用長為戶的、沒有質(zhì)量

的棒連接著，構(gòu)成一個剛性轉(zhuǎn)子。

(1)建立此轉(zhuǎn)子的Schrodinger方程，并求能量的本征值和歸?一化的本征函數(shù)；

(2)求該轉(zhuǎn)子基態(tài)的角動量平均值。

已知角動量算符而=而產(chǎn)72-^-。

2兀加

1609、氫原子中，歸一化波函數(shù)：*?加+C/JI(FY,Af、]和愀M都

是歸一化的)所描述的狀態(tài)，其能量平均值是(a)R；能量一KX出現(xiàn)的概率是(b)；

角動量平均值是(c)；角動量出現(xiàn)的概率是(d)；角動量Z分量的平均

值是（e）角動量z分量24/2r出現(xiàn)的概率是（f）o

1610、已知類氫離子..的某一狀態(tài)波函數(shù)為：??■

則（a）此狀態(tài)的能量為；（b）此狀態(tài)的角動量的平方值；

（c）此狀態(tài)角動量在Z方向的分量為；（d）此狀態(tài)的值分別為;

（e）此狀態(tài)角度分布的節(jié)面數(shù)為；

第一章、量子力學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題參考答案

1100、填填空題（在題中的空格處填上正確答案）

1101>E=hVp=hl九

1102、Ac=—h=--h-,小.

pmv

1103、電子概率密度

1104、Ax?一

2兀

微觀物體的坐標(biāo)和動量不能同時測準(zhǔn)，其不確定度的乘積不小于用-。

2兀

1105、（a）/9；"dT=0,飪/

（b）/力；“仇=1

1106>電子1出現(xiàn)在xiMZ,同時電子2出現(xiàn)在X2/2,Z2處的概率密度

h33

1107、T?五('篇V添)

2mix

1108、(1)Wlz/=七sm-y-"=1,2,3,…

n2h2h2

(2)E=

8/M/2'8m?

⑶1/2

(4)增長

12

(5)

E=空+

8ml28m⑵>

I8.2兀.兀.兀

1109、⑴弘u(x,y/)=—sin—xsin—ysin—z

aaaa

(2)(R4,all.a/2)(3a/4,a/2,a/2)

(3)6

1110.3,4

I-SV2+VX2/=石〃

mi,

r==2

1112、￡?i(l)=1.016X10"J

1113、(j%*x=1,i=j)(j%*x=0,i豐j)

(J5=+)*5dr)(/比*/52.7=卜2+)匕“)

1114、

壬h~

1115、岑，----7

Sma

1116、⑴9=y-sin-y-片1,2,3,…

n2h2h2

(2)￡=-；-r

8〃?/2r8m/2

2兀.兀.兀

1117、(1)32u(x,y,z)=sin——xsin—sin-z

aaa

(2)(a/4,all,a/2)(3a/4,all,a/2)

⑶6

1118、17,5

1H9>(1)0或核附近

(2)4或52.3pm

(3)8X13.6/9eV

1120>E=(/+〃：+硝

，>-Sma2

共有17個狀態(tài)，這些狀態(tài)分屬6個能級。

1200、選擇填空題（選擇正確的答案，填在后面的括號內(nèi)）

1201、(D)

1202、(B)

1203、(D)

1204、(1)B,C(2)A,B,C⑶B,C

1205、(A),(D)

1206、(A)

1207、(1)B⑵A

1208、(C)

1209、(E)

⑵0、(B)

121k(C),(D)

1212、(A)

I2I3<BX

XX<J

1214zC\

X1x(7

2I5/C\

X\(7

12-6/A\

1-\(7,(B)

12I7/D\

XX\(/)

218/A\

A\{7

29/C\

XIXI(7

20\C

10/\

1^/\(7

1300、判斷題（對判斷給出的命題的對錯，正確的題號后畫錯誤的題號后畫X）

1301、X

1302、X

1303、X

1304、X

1305、X

1306、X

1307、X

1308、X

1309、V

1310、X

1400、簡答題

140kA,B兩步都是對的，A中v是自由粒子的運(yùn)動速率，它不等于實(shí)物波的傳播速率u,C

中用了?這就錯了。因?yàn)槿?/p>

又D中E=hV是粒子的總能量,E中E=；mv2僅為v?c時粒子的動能部分，兩個能量是

不等的。

所以C,E都錯。

1402、（1）單值的。

（2）連續(xù)的，一級微商也連續(xù)。

（3）平方可積的，即有限的。

2I

1403、P=Jo25°-Sin2（一）dr=0.5+-=0.818

“aa兀

1404、（A）不是（B）.是，本征值為〃2九244尸）

（C）.不是（D）.是，本征值為〃2層/（8〃“2）

1405、2P：=2po是自，而\必二共同的本征函數(shù)

2px為2n和2p_1的線性組合,是仇立2共同

的本征函數(shù)

2Pl是瓦曲2,府,共同的本征函數(shù)

42n兀

1

n=2,P=—.

4

”=2時，粒子出現(xiàn)在0—。/4區(qū)間概率更大些。

1407、且cosO=-sin。

d0

--cos6=-cos8

d02

—cos30=-3sin0cos20

d。

cos38=-3cos3^4-6sin20cos6

de2

F(5cos30-3cos0)=

一方2(-15cos'9+30sin?0cos+3cos^-15cos36^+3cos0)

=-/z2(-30cos3^+30sin29cos6+6cos9)

=一方2(-30cos'30cos39+30cos39+30sin?9cos。+6cos夕)

=-方2(-60cos3e+36cos。)

=12(5cos39-3cos。)

是，本征值為12力2

1408、歸一化條件：Zc；=1

/=!

AV=

1,a是歸一化的。

31

B密)=2(在產(chǎn)+(-2)2=2,b不是歸一化的。

V42

歸一化因子A即2

ro

產(chǎn)

1409、pf\x)=-iti—2i

xdr

=-4訪e?x

=-2兩'(x)

=-/?

本征值為2。

/(x)是瓦的本征函數(shù),

1兀

1410、pepsin—)2d

r(當(dāng)片2時)

1500、證明題

1dVi1d>

150K2

22

y/\dx夕2dx

勿警-上魯=0

dxQX"

2”登一心黑廣。

[“華.%?平]=常數(shù)

drdr

1502、將①?（。）=（1/兀）2cos2。代入①（。）方程

+4（1/兀）cos20=（1/兀J"2sin2彷+4（1/0）cos20

=-4（1/兀）-cos20+4（l/0廠cos2。=0

說明①2（。）是①（。）方程的解。

將①1（。）=（2/兀）2sin°COS,代入①（°）方程

2

[4+X（2/7t）'sin°cos0=常（2/兀廠（cos，-sin?。）+4（2/TC）'2sin°cos0

1

-（2/K）[2（-sin^）cos0-2sin0cos0]+4^2/7U）'sin0cos0=O

說明①13）也是①3）方程的解。

而,=7%）卜原）-K%）］

在（X+沙）=T（/K）［X（%，XX+z＞）-y%（x+Z＞）］

故升僅是必z本征函數(shù)，本征值為%兀

而一=T（%K）［X（%J-乂%1

京二（X-加）=7%）卜（%芥-4）-火治）仁-加）］

故心?是必一本征函數(shù)，本征值為一%兀

應(yīng)二（Z）=T（/M（%,）z-y（%Jz]=0=0.Z

故z是人7本征函數(shù)，本征值為0

1504、第一吸收帶是由HOMO到LUMO躍遷產(chǎn)生。

對本題HOMOk=n;LUMOk=n+l;

心房聲”一〃山后

=必

8/"（2〃+1）

牛=A￡所以2=船=8ff?（2“；i）x〃c=8mrc（2n+

即幾=16mrcn/h+Smrc/h

1505、設(shè)w,〃2,…是算符】的分別屬于本征值九'加，…”".的本征函數(shù)，則有

/Um-%非Um，

“l(fā)ln-A/?tin9

（孤,“）

可得

=AJW*i/?dr

J（4Mm）Un-2,?jdz

根據(jù)的厄米性，從上式可得

dr

M?dr=O

??,A?*A,?.?J〃；M"(k=O

1506、按厄米算符的定義，有\(zhòng)uAudr=

同時下列本征方程成立:Au=加(筋)=%"

代入上式，得：AjMi/dr=A*juUAT

由此可得2=/

故人必為實(shí)數(shù)。

d人

1507>(1).Su{A-\-B)vdT=Jw*vdT+/uvdT

=f(Aw)*vdT+f(Bu)*vdT

=f[(A?)*+(Bw)*]vdT

=/[(-〃)+(月〃)“d2

=f[(y4+5)]*vdT

由此得證

(2).fuvdt=5uA(Av)dt

=f(A〃)*(Av)dt

=5{Au)AvdT

=J(AAii)vdz

/\2*

=J(/u)vdT

由此得證

1508、三維空間自由粒子的薛定娉方程

a人五C

H=----V2

'2m

當(dāng)〃為常數(shù)，〃與工。無關(guān)。

力2d2cos。d'

H=--------------------1---------------

2mr~1a。？sin。30)

人方2a2cos。d

+Ncos0

aFsin3dO

Nh2

(-cos。-cos。)

2mr2

三Ncose;三1/f

mrmr

F力2

3荷

當(dāng)“與。無關(guān)，應(yīng)2=_方cos。d

+sin。ae

M2y/=ih.=技

1509、三維空間自由粒子的薛定譚方程

A方2

HXf/=El////=--V2

2m

當(dāng)『為常數(shù)，〃與r無關(guān),

方2a2cos。aia2

H=-H-----------------F

2mr2\dO2sin。30sin20a，

方〃=O(Ncos0sin6?e-s)

ti2N(d2cos。dia2

--T---------1--------rcos。sin久一‘"

2mr2df)2sin。a。sin2。胡

MN

(一“cos。sin9”+e%-sin(9cos&力一)

2mr2sin0sin0

Ncos20

-M^?cosOsinee.'(""—

2mr2sin20+"高

..cos201

式中------+—廠=1

sin-0sin-0

-6ft2N.6為2廠6方2

Hl/J=-------Ncos9sin9ei"0=-----I//,，E=------

2mr2mr2mr"7

fa2cos。d1a?'

1510、22Ncos。sin先~叩

Ml//=-h、薪+22

sin。HOsin^3^>>

=-7V/P(一”cos9sin%T"+e-i0—sin。cos佻-s—e-3)

sin3sin3

=刖2cosOsinee1"("一竺』+14--\—

廠sin2^sin20J

,.cos201,

式v中------+——=1

sin-0sin"0

2

M1//=6力2Ncos6sinee-i"=6方,6韜為一常數(shù)，證畢。

\M\=后力

1600、計算題

1/八1h6.626x10.-i/-24?

1601>p=—=--------------m?kg-s=6.626x110Am-kg-s

2O.lxlO9

p2(6.626x")2

T=—=------------1J=2.410X10-1l77J

2m2X9.109X10T

,hehe

1602、T=hv-hvo=--—

44

r=(i/2)

1、51

v=—)=6.03X105m,s

4

1603、⑴”是必2屬于同一本征值2()2的本征函數(shù)的線性組合，所以，力是府2的本征

2兀

函數(shù)，其本征值亦為2(金~)2

2兀

(2)^是ez屬于本征值力和0的本征函數(shù)的線性組合，它不是瘋z的本征函數(shù)，其％

無確定值，其平均值為〈峪＞="/2兀)

c；+C；

1604、(I).該函數(shù)是一維箱中粒子的一種可能狀態(tài)，因

解，其任意線性組合也是體系可能存在的狀態(tài)。

(2).其能量沒有確定值，因該狀態(tài)函數(shù)不是能量算符的本征函數(shù)。

5h2

(3).<E>=

\3ma2

2nitx

1605、(1)%lz/=)7sm7-

1nit

產(chǎn)“4=片4Hdx=z-

2n兀T

(2)〃=3,P|/4,max=:+--

46兀

「Q一「/11?叫一1

(3)lim^i/4=lim("---sin—)=—

42mt24

(4)(3)說明隨著粒子能量的增加，粒子在箱內(nèi)的分布趨于平均化。

⑹6、⑴%”

a~h2_h

8兀%4兀14=-hV

2

d</2

(3)x=0時，—3=0,有最大值/(0)=(---)1"

dx兀

2

最大值處X=0%2=(幺嚴(yán)=SL

兀Y兀

1607、4=%=炸瓦勢箱中￡=

故4=211rl=(200/〃)nm

p=￡y/'dx=］：(2〃)sin1(g)〃人

=0.02一&777t)x(sin1.02/771-sin0.98〃兀)

n=\8=0.0400

n=2P2=0.0001

n=\時無節(jié)面，概率密度最大在5