2019-版高考數(shù)學(xué)(課標(biāo)版-文科)一輪-導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

2019-版高考數(shù)學(xué)(課標(biāo)版-文科)一輪(yīlún)-導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一頁(yè)，共18頁(yè)。考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(yìngyòng)對(duì)于在(a,b)內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)f(x),假設(shè)f'(x)在(a,b)的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等

于0,那么f'(x)≥0?f(x)為增函數(shù),區(qū)間(a,b)為函數(shù)f(x)的增區(qū)間;f'(x)≤0?f(x)為減函數(shù),區(qū)間(a,b)為函數(shù)f(x)的減區(qū)間.(1)判斷f(x0)是極值的方法一般地,當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí),(i)如果在x0的左側(cè)附近f'(x)>0,右側(cè)附近f'(x)<0,那么f(x0)是極大值;(ii)如果在x0的左側(cè)附近f'(x)<0,右側(cè)附近f'(x)>0,那么f(x0)是極小值.§3.2導(dǎo)數(shù)(dǎoshù)的應(yīng)用知識(shí)清單第二頁(yè)，共18頁(yè)。(2)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟(i)求f'(x);(ii)求方程(fāngchéng)f'(x)=0的根;(iii)檢查f‘(x)在方程(fāngchéng)f’(x)=0的根的左、右值的符號(hào).如果左正右負(fù),那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值;如果左負(fù)右正,那么f(x)在這個(gè)根處取得極小

值.(1)假設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增,那么f(a)為函數(shù)的最小值,f(b)為函數(shù)的最

大值;假設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞減,那么f(a)為函數(shù)的最大值,f(b)為函數(shù)的

最小值.(2)設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),求f(x)在[a,b]上的最大值和最第三頁(yè)，共18頁(yè)。小值的步驟如下:(i)求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值;(ii)將f(x)的各極值與f(a)、f(b)比較,其中最大的一個(gè)是最大值,最小的

一個(gè)是最小值.(3)如果函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),那么函數(shù)y=f(x)在[a,b]上必有

最大值和最小值,函數(shù)的最大值和最小值一定產(chǎn)生在極值點(diǎn)或閉區(qū)間的

端點(diǎn)(duāndiǎn)處.知識(shí)拓展1.f'(x)>0是f(x)在(a,b)上為增函數(shù)的充分不必要條件,同理,f'(x)<0

是f(x)在(a,b)上為減函數(shù)的充分不必要條件,例如,f(x)=x3在R上單調(diào)遞

增,但f'(0)=0.第四頁(yè)，共18頁(yè)。2.對(duì)可導(dǎo)函數(shù)而言,極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值一定為0,但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是

極值點(diǎn).例如,f(x)=x3,當(dāng)x=0時(shí),f'(0)=0,但x=0不是極值點(diǎn),因此判斷極值

一般(yībān)用定義法.極值是局部概念,是針對(duì)x=x0附近的值而言的,最值是整體概念,是針對(duì)

整個(gè)定義域而言的.第五頁(yè)，共18頁(yè)。利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性確定(quèdìng)函數(shù)單調(diào)性的根本步驟①確定(quèdìng)函數(shù)f(x)的定義域.②求導(dǎo)數(shù)f'(x).③由f'(x)>0(或f'(x)<0),解出相應(yīng)的xf'(x)>0時(shí),f(x)在相應(yīng)

區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù);當(dāng)f'(x)<0時(shí),f(x)在相應(yīng)區(qū)間上是單調(diào)遞減函

數(shù).還可以通過列表寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.方法技巧方法1例1

(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,21,12分)函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)假設(shè)f(x)有兩個(gè)(liǎnɡɡè)零點(diǎn),求a的取值范圍.第六頁(yè)，共18頁(yè)。解析(jiěxī)(1)f'(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).(i)設(shè)a≥0,那么當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí),f‘(x)<0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f’(xf(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.?(2分)(ii)設(shè)a<0,由f'(x)=0得x=1或x=ln(-2a).①假設(shè)a=-?,那么f'(x)=(x-1)(ex-e),所以f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.②假設(shè)a>-?,那么ln(-2a)<1,故當(dāng)x∈(-∞,ln(-2a))∪(1,+∞)時(shí),f'(x)>0;當(dāng)x∈(ln(-2a),1)時(shí),f'(xf(x)在(-∞,ln(-2a)),(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(ln(-2a),

1)上單調(diào)遞減.?(4分)③假設(shè)a<-?,那么ln(-2a)>1,故當(dāng)x∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)時(shí),f'(x)>0;當(dāng)x∈(1,ln(-2a))時(shí),f'(x)<0.第七頁(yè)，共18頁(yè)。所以f(x)在(-∞,1),(ln(-2a),+∞)上單調(diào)(dāndiào)遞增,在(1,ln(-2a))上單調(diào)(dāndiào)遞減.?(6分)(2)(i)設(shè)a>0,那么由(1)知,f(x)在(-∞,1)上單調(diào)(dāndiào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)(dāndiào)遞增.又f(1)=-e,f(2)=a,取b滿足b<0且b<ln?,那么f(b)>?(b-2)+a(b-1)2=a?>0,所以f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).?(8分)(ii)設(shè)a=0,那么f(x)=(x-2)ex,所以f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).?(9分)(iii)設(shè)a<0,假設(shè)a≥-?,那么由(1)知,f(x)在(1,+∞)上單調(diào)(dāndiào)遞增,又當(dāng)x≤1時(shí),f(x)<0,故f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn);?(10分)假設(shè)a<-?,那么由(1)知,f(x)在(1,ln(-2a))上單調(diào)(dāndiào)遞減,在(ln(-2a),+∞)上單調(diào)(dāndiào)遞增,第八頁(yè)，共18頁(yè)。又當(dāng)x≤1時(shí),f(x)<0,故f(x)不存在(cúnzài)兩個(gè)零點(diǎn).?(11分)綜上,a的取值范圍為(0,+∞).?(12分)第九頁(yè)，共18頁(yè)。利用導(dǎo)數(shù)研究(yánjiū)函數(shù)的極值與最值

方法2第十頁(yè)，共18頁(yè)。例2

(2015課標(biāo)Ⅱ,21,12分)函數(shù)f(x)=lnx+a(1-x).(1)討論f(x)的單調(diào)(dāndiào)性;(2)當(dāng)f(x)有最大值,且最大值大于2a-2時(shí),求a的取值范圍.解題導(dǎo)引

(1)求定義域及f'(x)

對(duì)a分類討論,判斷f'(x)的符號(hào)

結(jié)論(2)用第(1)問的結(jié)論,對(duì)a分類討論

a>0時(shí),求出f(x)的最大值為f

f

>2a-2等價(jià)于lna+a-1<0

構(gòu)造函數(shù)g(a)=lna+a-1

利用g(a)的單調(diào)性求出a的取值范圍第十一頁(yè)，共18頁(yè)。解析(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f'(x)=?-a.假設(shè)a≤0,那么f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增(dìzēng).假設(shè)a>0,那么當(dāng)x∈?時(shí),f'(x)>0;當(dāng)x∈?時(shí),f'(xf(x)在?上單調(diào)遞增(dìzēng),在?上單調(diào)遞減.(2)由(1)知,當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在(0,+∞)上無最大值;當(dāng)a>0時(shí),f(x)在x=?處取得最大值,最大值為f?=ln?+a?=-lna+a-1.因此f?>2a-2等價(jià)于lna+a-1<0.令g(a)=lna+a-1,那么g(a)在(0,+∞)上單調(diào)遞增(dìzēng),g(1)=0.第十二頁(yè)，共18頁(yè)。于是(yúshì),當(dāng)0<a<1時(shí),g(a)<0;當(dāng)a>1時(shí),g(a)>0.因此,a的取值范圍是(0,1).例3

(2016山東,20,13分)設(shè)f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,a∈R.(1)令g(x)=f'(x),求g(x)的單調(diào)(dāndiào)區(qū)間;(2)f(x)在xa的取值范圍.解題導(dǎo)引

(1)求f'(x),從而求出g(x)

求出g'(x)=

對(duì)a分類討論,確定g'(x)的符號(hào)

結(jié)論(2)利用(1)的結(jié)論知f'(x)的單調(diào)性

對(duì)a分類討論,確定f'(x)在各個(gè)區(qū)間的符號(hào)

利用f(x)在x=1處取得極大值求a的取值范圍第十三頁(yè)，共18頁(yè)。解析(1)由f'(x)=lnx-2ax+2a,可得g(x)=lnx-2ax+2a,x∈(0,+∞).那么(nàme)g'(x)=?-2a=?.當(dāng)a≤0時(shí),x∈(0,+∞)時(shí),g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)a>0時(shí),x∈?時(shí),g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,x∈?時(shí),函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.所以當(dāng)a≤0時(shí),g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞);當(dāng)a>0時(shí),g(x)的單調(diào)增區(qū)間為?,單調(diào)減區(qū)間為?.(2)由(1)知,f'(1)=0.第十四頁(yè)，共18頁(yè)。①當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)單調(diào)遞增,所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.所以f(x)在x=1處取得(qǔdé)極小值,不合題意.②當(dāng)0<a<?時(shí),?>1,由(1)知f'(x)在?內(nèi)單調(diào)遞增,可得當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f'(x)<0,x∈?時(shí),f'(x)>0.所以f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在?內(nèi)單調(diào)遞增,所以f(x)在x=1處取得(qǔdé)極小值,不合題意.③當(dāng)a=?時(shí),?=1,f'(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,第十五頁(yè)，共18頁(yè)。在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)