2022-2023學(xué)年四川省甘孜州康定中學(xué)高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)（理）試題【含答案】

2022-2023學(xué)年四川省甘孜州康定中學(xué)高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．在平面直角坐標(biāo)系中，“”是“方程表示的曲線是雙曲線”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】C【分析】由雙曲線方程的特征計(jì)算得m的范圍，再由集合的包含關(guān)系可得結(jié)果.【詳解】∵表示雙曲線，∴.∴是表示雙曲線的充要條件.故選：C.2．某地區(qū)7月1日至7月10日白天的平均氣溫的折線圖如圖所示，則下列判斷錯(cuò)誤的是（

）A．從7月2日到7月5日白天的平均氣溫呈下降趨勢(shì)B．這10天白天的平均氣溫的極差大于6℃C．這10天中白天的平均氣溫為26℃的頻率最大D．這10天中白天的平均氣溫大于26℃的有5天【答案】D【解析】觀察折線圖可得選項(xiàng)A和選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，這10天中白天的平均氣溫為26℃的頻率比其他平均氣溫的頻率都要大，所以該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)D，白天的平均氣溫大于26℃的只有4天，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.【詳解】選項(xiàng)A，從7月2日到7月5日白天的平均氣溫呈下降趨勢(shì)，所以該選項(xiàng)正確；.選項(xiàng)B，這10天白天的平均氣溫的極差大于6℃，所以該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)C，這10天中白天的平均氣溫為26℃的頻率為0.3，比其他平均氣溫的頻率都要大，所以該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)D，這10天中白天的平均氣溫大于26℃的只有4天，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.3．盒子內(nèi)裝有黑球、白球、紅球三種，其數(shù)量分別為1，2，3，從中任取兩球，則互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件為（

）A．至少有一個(gè)白球；沒有白球 B．至少有一個(gè)白球；至少有一個(gè)紅球C．恰有一個(gè)白球；一個(gè)白球一個(gè)黑球 D．至少有一個(gè)白球；紅黑球各一個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)互斥事件與對(duì)立事件的定義，對(duì)4個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證即可．【詳解】選項(xiàng)A，“至少一個(gè)白球”是指有1個(gè)白球或都是白球，故和“沒有白球”互斥事件且為對(duì)立事件，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，“至少一個(gè)白球”是指有1個(gè)白球或都是白球，“至少一個(gè)紅球”是指恰有1個(gè)紅球或都是紅球，都包含1個(gè)白球1個(gè)紅球這種結(jié)果，故不是互斥事件，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，“恰有一個(gè)白球”是指有1個(gè)白球1個(gè)紅球或有1個(gè)白球1個(gè)黑球，和“一個(gè)白球一個(gè)黑球”不是互斥事件，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，“至少一個(gè)白球”是指有1個(gè)白球或都是白球，“紅球、黑球各一個(gè)”則沒有白球，故互斥，而沒有白球也不一定是紅球、黑球各一個(gè)，故不對(duì)立，故D正確．故選：D．4．到平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，距離和等于10的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡圖形為（

）A．橢圓 B．直線 C．線段 D．以上均不正確【答案】C【分析】設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求距離公式表示出，化簡(jiǎn)計(jì)算，整理得，即，結(jié)合絕對(duì)值的幾何意義即可求解.【詳解】由題意知，設(shè)，則，有，即，等式兩邊同時(shí)平方，整理得，等式兩邊同時(shí)平方，整理得，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，解得，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，解得，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，等式成立，所以點(diǎn)M的軌跡為線段.故選：C.5．已知，，直線與曲線相切，則的最小值是（

）A．16 B．12 C．8 D．4【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合已知方程求出的關(guān)系，再根據(jù)不等式中“1”的整體代換即可得出答案.【詳解】對(duì)求導(dǎo)得，由得，則，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故選：D．6．在正四面體中，直線與直線所成的角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取的中點(diǎn)，可證得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，，則，，且，所以平面，因此，即直線與直線所成角的大小為.故選：D.7．已知冪函數(shù)過點(diǎn)，則過點(diǎn)的直線與曲線相切的切點(diǎn)橫坐標(biāo)為（

）A．2或4 B．3或65C．3或2 D．2或【答案】D【分析】根據(jù)已知求出冪函數(shù)解析式，設(shè)所求的切線的切點(diǎn)為，則斜率為，得到切線的點(diǎn)斜式方程，將點(diǎn)坐標(biāo)代入，建立關(guān)于的方程，求解即可.【詳解】代入冪函數(shù)方程得，設(shè)曲線過點(diǎn)的切線切點(diǎn)坐標(biāo)為，切點(diǎn)的斜率為，故該切線方程為，由于切線過點(diǎn)，故，，解得或.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，要注意已知點(diǎn)“過”與“切”的區(qū)別，屬于基礎(chǔ)題.8．已知點(diǎn)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)I是的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心），若恒有成立，則離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件和面積公式得出，的關(guān)系，從而得出離心率的范圍.【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為r，則，因?yàn)?，所以，由雙曲線的定義可知，所以，即，又由，所以雙曲線的離心率的取值范圍是.故選：D9．已知函數(shù)在處有極值，且極值為8，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)題意求導(dǎo)后結(jié)合已知極值，得出，即可根據(jù)導(dǎo)數(shù)得出其單調(diào)性，再結(jié)合特值得出其零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】由題意得，因?yàn)楹瘮?shù)在處有極值，且極值為8，則，，解得(經(jīng)檢驗(yàn)適合題意)，或（經(jīng)檢驗(yàn)不合題意舍去）故，，當(dāng)或時(shí)，，即函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)單調(diào)遞減，又因?yàn)?，，，，則有3個(gè)零點(diǎn)，故選：C.10．現(xiàn)有甲、乙兩組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)均由六個(gè)數(shù)組成，其中甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為．若將這兩組數(shù)據(jù)混合成一組，則新的一組數(shù)據(jù)的方差為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平均數(shù)和方差公式可求得新數(shù)據(jù)的方差.【詳解】設(shè)甲組數(shù)據(jù)分別為、、、，乙組數(shù)據(jù)分別為、、、，甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，可得，方差為，可得，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，可得，方差為，可得，混合后，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為.故選：D.11．已知函數(shù)對(duì)任意的滿足（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性比較函數(shù)值大小即可逐項(xiàng)判斷，即可得到結(jié)論．【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，則，所以在上單調(diào)遞增，則，所以，即，故A不正確；則，所以，即，故B不正確；則，所以，即，故C正確；則，所以，即，故D不正確.故選：C.12．設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知數(shù)，構(gòu)造函數(shù)比較a，b大小；構(gòu)造函數(shù)比較a，c大小作答.【詳解】令，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有，因此，即，令，，有，則在上單調(diào)遞增，因此，即，則有，令，，因此在上單調(diào)遞增，即有，則，于是，即，所以．故選：D【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：某些數(shù)或式大小關(guān)系問題，看似與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，細(xì)心挖掘問題的內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)，分析并運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，它能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.二、填空題13．當(dāng)命題“對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立”是假命題時(shí)，則的取值范圍是__________.【答案】【分析】由“對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立”求得的取值范圍，再根據(jù)其為假命題求得的取值范圍的補(bǔ)集，即為最終所求的的取值范圍.【詳解】因?yàn)椤皩?duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立”，則，即，又因?yàn)槊}“對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立”是假命題，所以或.故答案為：14．某三棱錐的三視圖，如圖所示，該三棱錐的體積為___________.【答案】9【分析】判斷幾何體的形狀，利用三視圖的數(shù)據(jù)，求解幾何體的體積即可.【詳解】由題意可知該幾何體是將邊長為3的正方體的6個(gè)面上的對(duì)角線構(gòu)成的正四面體，如圖，可以由正方體的體積截去4個(gè)小棱錐的體積計(jì)算，即該三棱錐的體積為.故答案為：.15．已知傾斜角為的直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），若，則__________.【答案】##【分析】設(shè)點(diǎn)、，則，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出、，利用拋物線的定義可求得的值，再利用拋物線的定義可求得的值.【詳解】易知點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)、，因?yàn)橹本€的傾斜角為，且點(diǎn)在第一象限，則，聯(lián)立可得，解得，，由拋物線的定義可得，可得，因此，.故答案為：.16．若正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為______.【答案】【分析】由不等式變形為，通過換元，根據(jù)不等式恒成立得出a與b的關(guān)系，從而把表示為關(guān)于a的表達(dá)式，再通過構(gòu)造函數(shù)求最值即可．【詳解】因?yàn)椋?，所以，即令，則有()，設(shè)，則，由得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，即，又因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立所以，從而，所以()設(shè)()，則，由得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以的最小值為．故答案為：．三、解答題17．如圖,在四棱錐P－ABCD中,四邊形ABCD是菱形,PA=PC,E為PB的中點(diǎn)．求證:(1)平面AEC;(2)平面AEC⊥平面PBD．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】(1)設(shè),連接,根據(jù)中位線可得,再根據(jù)線面平行的判定定理即可證明;(2)根據(jù)可得,根據(jù)四邊形為菱形,可得,再根據(jù)線面垂直的判斷定理可得平面,再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè),連接,如圖所示:因?yàn)镺,E分別為,的中點(diǎn),所以,又因?yàn)槠矫?平面,所以平面．（2）連接,如圖所示:因?yàn)?為的中點(diǎn),所以,又因?yàn)樗倪呅螢榱庑?所以,因?yàn)槠矫?平面,且,所以平面,又因?yàn)槠矫?所以平面平面．18．若橢圓過拋物線的焦點(diǎn)，且與雙曲線有相同的焦點(diǎn)．(1)求橢圓E的方程；(2)不過原點(diǎn)O的直線與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，求面積的最大值以及此時(shí)直線l的方程．【答案】(1)(2)面積的最大值為，此時(shí)直線的方程為【分析】(1)根據(jù)拋物線和雙曲線的性質(zhì)結(jié)合橢圓的的關(guān)系求解；(2)利用韋達(dá)定理求出弦長，再利用點(diǎn)到直線距離公式為三角形的高即可求解.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，所以，因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以則，所以橢圓E的方程為.（2）設(shè)，聯(lián)立可得，因?yàn)橹本€與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，所以解得，由韋達(dá)定理可得，由弦長公式可得，點(diǎn)到直線的距離為，所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得等號(hào)，所以面積的最大值為，此時(shí)直線的方程為.19．已知四棱錐的底面ABCD為矩形，底面ABCD，且，設(shè)E、F、G分別為PC、BC、CD的中點(diǎn)，H為EG的中點(diǎn)，如圖．(1)求證：平面PBD；(2)求直線FH與平面PBC所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用中位線得到的線線平行，證明線面平行，再證面面平行，由面面平行得證線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求線面角的正弦值.【詳解】（1）證明：∵E、F、G分別為PC、BC、CD的中點(diǎn)，∴，，∵平面PBD，平面PBD，∴平面PBD，同理可證平面PBD，∵，EF、平面EFG，∴平面平面PBD，∵平面EFG，∴平面PBD．（2）∵平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、AP所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、，，，，設(shè)平面PBC的法向量為，則，取，可得，∴，所以，直線FH與平面PBC所成角的正弦值為．20．某中學(xué)為研究本校高一學(xué)生市聯(lián)考的語文成績(jī)，隨機(jī)抽取了100位同學(xué)的語文成績(jī)作為樣本，按分組，，，，，，整理后得到如下頻率分布直方圖.(1)求圖中的值；(2)請(qǐng)用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)本次聯(lián)考該校語文平均成績(jī)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；(3)用分層隨機(jī)抽樣的方法，從樣本內(nèi)語文成績(jī)?cè)冢膬山M學(xué)生中抽取5名學(xué)生，再從這5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，求選出的兩名學(xué)生中恰有一人語文成績(jī)?cè)诘母怕?【答案】(1)(2)107.4分(3)【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中小矩形面積和為1，求得x；（2）用每一組區(qū)間的中點(diǎn)值代替該組數(shù)據(jù)，計(jì)算平均數(shù)；（3）計(jì)算分層抽樣每層抽取人數(shù)，列出所有選出2人的基本事件，求出概率.【詳解】（1）由頻率分布直方可知，，解得；（2）由圖可知，語文成績(jī)?cè)冢?，，，，，的頻率分別為0.12，0.22，0.28，0.18，0.10，0.08，0.02，設(shè)樣本數(shù)據(jù)中語文平均成績(jī)?yōu)?，則故估計(jì)本次聯(lián)考該校語文平均成績(jī)?yōu)?07.4分；（3）由題知，樣本內(nèi)語文成績(jī)?cè)?，的學(xué)生分別有8名和2名，按分層隨機(jī)抽樣抽取的5名學(xué)生中，分?jǐn)?shù)在的學(xué)生有4名，記為A，B，C，D，在的學(xué)生有1名，記為e，從這5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，所有的情況有10種：AB，AC，AD，Ae，BC，BD，Be，CD，Ce，De，其中恰有一人語文成績(jī)?cè)诘挠?種：Ae，Be，Ce，De，則這5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，恰有一人語文成績(jī)?cè)诘母怕蕿?21．已知函數(shù)，其中．(1)若函數(shù)在處取得極值，求的值；(2)若在區(qū)間上，恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由得增區(qū)間，由得減區(qū)間，根據(jù)極值點(diǎn)的概念即可求解；（2）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，分類討論求的最小值，由最小值大于0可得參數(shù)范圍.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，令，得；令，得或，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，所以，若函數(shù)在處取得極值，則，解得．（2）①若，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)樵趨^(qū)間上，恒成立，所以，解得，又，所以.②若，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因?yàn)樵趨^(qū)間上，恒成立，所以，解得.又，所以.綜上，可得，即a的取值范圍是.22．已知函數(shù)．(1)討論在上的單調(diào)性；(2)若時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，，求證：．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)，分類討論函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；（2）令，原不等式即證，通過構(gòu)造函數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)通過單調(diào)性證明.【詳解】（1）由題意得．因?yàn)椋裕?dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，令，則．①若，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；②若，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）證明：方程，即，因?yàn)?，則，令，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)實(shí)根，，令，，則關(guān)于t的方程也有兩個(gè)實(shí)根，，且，要證，即證，即證，即證，由已知，所以，