2022-2023學(xué)年江蘇省鹽城市響水縣灌江高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省鹽城市響水縣灌江高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算逐一判斷即可.【詳解】A，=-1，不是純虛數(shù)；B，=2i，是純虛數(shù)；C，=i-1，不是純虛數(shù)；D，=2，不是純虛數(shù)；故選：B2．若向量，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案【詳解】由向量，，則故選：C3．函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，利用余弦型函數(shù)的周期公式可求得結(jié)果.【詳解】，因此，該函數(shù)的最小正周期為.故選：B.4．（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題可根據(jù)兩角和的余弦公式得出結(jié)果.【詳解】，故選：D.5．一艘海輪從處出發(fā)，以每小時(shí)60海里的速度沿南偏東15°的方向直線(xiàn)航行，20分鐘后到達(dá)處，在處有一座燈塔，海輪在處觀察此燈塔，其方向是南偏東60°，在處觀察，燈塔在其正東方向，那么，兩點(diǎn)間的距離是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】C【分析】由題意畫(huà)出圖形，利用正弦定理即可直接得解.【詳解】如圖所示，易知，在中，海里，，，根據(jù)正弦定理得，解得（海里）．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化出條件，屬于基礎(chǔ)題.6．在中，角所對(duì)的邊分別是，若，則角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由余弦定理即可求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以由余弦定理可得，因?yàn)?，所以，故選：D.7．在中，若，則的形狀是（

）A．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】首先根據(jù)正弦定理邊化角得到，再結(jié)合三角函數(shù)恒等變換得到，即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所以，為直角三角?故選：B8．在平行四邊形中，為的重心，，則（

）A． B．2 C． D．1【答案】C【分析】由題意作圖，根據(jù)重心的幾何性質(zhì)，得到線(xiàn)段的比例關(guān)系，利用平面向量的運(yùn)算，可得答案.【詳解】如圖，設(shè)與相交于點(diǎn)，為的重心，可得為的中點(diǎn)，,可得,故選：C二、多選題9．下列各式中值為的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由余弦的二倍角公式可判斷A；由誘導(dǎo)公式和正弦的兩角差的正弦公式可判斷B；由正切的兩角和公式可判斷CD.【詳解】，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C正確；

，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10．(多選)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)a－2i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，則實(shí)數(shù)a的可能取值為（

）A．2 B．1C．－1 D．無(wú)法確定【答案】AB【分析】由題意可得復(fù)數(shù)a－2i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，－2)，根據(jù)條件有，從而可得答案.【詳解】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)a－2i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，－2)，因?yàn)閺?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，所以所以滿(mǎn)足條件的有選項(xiàng)A,B故選：AB11．對(duì)于任意的平面向量，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若且，則B．C．若，且，則D．【答案】ACD【分析】根據(jù)平面向量共線(xiàn)，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律，依次判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】解：且，當(dāng)為零向量時(shí)，則與不一定共線(xiàn)，即A錯(cuò)誤；由向量數(shù)量積的分配律得，即B正確；因?yàn)椋瑒t，又，則或，即C錯(cuò)誤；取為非零向量，且與垂直，與不垂直，則，，即D錯(cuò)誤．故選：ACD．12．如圖，已知點(diǎn)為正六邊形中心，下列結(jié)論中正確的是（）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)平面向量的的平行四邊形法則和三角形法則，結(jié)合平面向量的數(shù)量積的定義即可判斷.【詳解】對(duì)A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，，B正確；對(duì)C，如圖，設(shè)正六邊形邊長(zhǎng)為1，，，C錯(cuò)誤；對(duì)D，同理：，D正確.故選：BD.三、填空題13．平面內(nèi)單位向量滿(mǎn)足則=_____________.【答案】##【分析】由題可得，兩邊平方后結(jié)合是單位向量，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，故可得，則，則，又均為單位向量，則，解得.故答案為：.14．已知，且，為虛數(shù)單位，則的最大值是__．【答案】8【分析】表示以為圓心，3為半徑的圓，進(jìn)而根據(jù)復(fù)數(shù)減法的幾何意義求解即可.【詳解】解：因?yàn)榍?，所以，根?jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義，表示以為圓心，3為半徑的圓，所以，表示圓上的點(diǎn)和點(diǎn)的距離，因?yàn)閳A心到點(diǎn)的距離為，，故答案為：15．設(shè)為實(shí)數(shù)，已知，則的取值范圍是_______.【答案】【分析】由，利用的范圍可得答案.【詳解】，因?yàn)?，所以，所以，解得，則的取值范圍.故答案為：.16．如圖，在等腰直角三角形中，，E，F(xiàn)將邊BC三等分，則___________.【答案】.【分析】由等腰直角三角形，設(shè)，又點(diǎn)，將三等分，可得，的值，結(jié)合兩角差的正切公式直接求解即可.【詳解】設(shè)，由為等腰直角三角形，可得，由點(diǎn)E，F(xiàn)將BC三等分，故，，，，，故答案為:.四、解答題17．已知，，且與夾角為求：(1)；(2)與的夾角．【答案】(1)12；(2).【分析】（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)平面向量夾角公式，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】（1），，且與夾角為，，，，；（2），，，設(shè)與的夾角為，，又，所以，即與的夾角為．18．已知復(fù)數(shù)，，.（1）當(dāng)時(shí)，求的值.（2）若是純虛數(shù)，求的值.（3）若在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，即可求解；（2）化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，得到，即可求解；（3）化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，根據(jù)在復(fù)平面上復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第二象限點(diǎn)，列出不等式組，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，可得；（2）由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，可得，解得；（3）由，可得在復(fù)平面上復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)位于第二象限點(diǎn)，可得，解得，所以的范圍是.19．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解決該問(wèn)題.在中，分別為內(nèi)角的對(duì)邊，且_______.（1）求C的大??；（2）若，求的面積.【答案】條件選擇見(jiàn)解析，（1）；（2）.【分析】（1）若選①：利用正弦定理進(jìn)行邊化角，然后可求的值，則可求；若選②：利用正弦定理進(jìn)行邊化角，然后結(jié)合二倍角公式求解出的值，則可求；若選③：利用正弦定理進(jìn)行邊化角，由此求解出的值，則可求；（2）根據(jù)余弦定理求解出的值，然后根據(jù)三角形面積公式求解出的面積.【詳解】（1）若選①：因?yàn)?，所以由正弦定理得，又因?yàn)?，所以，所以；若選②：因?yàn)?，所以由正弦定理得，且，所以，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以；若選③：因?yàn)?，所以由正弦定理得，又因?yàn)?，所以，若，等式不成立，所以，則，所以；（2）因?yàn)?，所以，，所?20．已知.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）的最大值為，的最小值為.【分析】（1）運(yùn)用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)，再由正弦函數(shù)的單調(diào)性可求得答案；（2）由（1）得，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得函數(shù)的最值.【詳解】解：（1），由得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）由（1）知，因?yàn)椋瑒t，有，即.所以，的最大值為，的最小值為.21．已知是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中(1)若，且，求的坐標(biāo)；(2)若，且與垂直，求與的夾角θ.【答案】(1)或(2)【分析】（1）設(shè)，由和，可得，解方程組可得答案；（2）由得，求出，代入向量夾角公式可得答案.【詳解】（1）設(shè)，∵，∴，∴，由和，可得，解得或，故或．（2）∵，∴，即，∴，整理得，∴，又，∴.22．下圖所示的畢達(dá)格拉斯樹(shù)畫(huà)是由圖（i）利用幾何畫(huà)板或者動(dòng)態(tài)幾何畫(huà)板Geogebra做出來(lái)的圖片，其中四邊形ABCD，AEFG，PQBE都是正方形.如果改變圖（i）中的大小會(huì)得到更多不同的“樹(shù)形”.（1）在圖（i）中，，且，求；（2）在圖（ii）中，，設(shè)，求的最大值.【答案】（1）；（2）.