2022-2023學(xué)年江西省吉安市高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期第一次段考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江西省吉安市高二下學(xué)期第一次段考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．在等差數(shù)列中，已知，，則公差等于（

）A．1 B． C． D．3【答案】C【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?，所以，可得，故選：C.2．已知是等比數(shù)列，且，則（

）A．16 B．32 C．24 D．64【答案】A【分析】由等比數(shù)列的定義先求出公比，然后可解..【詳解】，得故選：A3．已知一個(gè)蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飛出去找回了4個(gè)伙伴；第2天，5只蜜蜂飛出去，各自找回了4個(gè)伙伴，……按照這個(gè)規(guī)律繼續(xù)下去，第20天所有的蜜蜂都?xì)w巢后，蜂巢中一共有蜜蜂（

）A．420只 B．520只 C．只 D．只【答案】B【分析】根據(jù)題意每天的蜜蜂數(shù)構(gòu)成以為5首項(xiàng)，公比為5的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算．【詳解】第一天一共有5只蜜蜂，第二天一共有只蜜蜂，……按照這個(gè)規(guī)律每天的蜜蜂數(shù)構(gòu)成以為5首項(xiàng)，公比為5的等比數(shù)列則第天的蜜蜂數(shù)第20天蜜蜂都?xì)w巢后，蜂巢中共有蜜蜂數(shù)故選：B．4．若5名女生和2名男生去兩地參加志愿者活動(dòng)，兩地均要求既要有女生又要有男生，則不同的分配方案有（

）種．A．20 B．40 C．60 D．80【答案】C【分析】利用分步乘法原理、排列組合數(shù)以及不均勻分組的方法進(jìn)行求解.【詳解】第一步，先安排2名男生，有種排法；第二步，安排5名女生：第1種情況，5名女生分兩組，一組1人，一組4人，有種分法，第2種情況，5名女生分兩組，一組2人，一組3人，有種分法，所以5名女生分兩組去兩地參加志愿者活動(dòng)共有：種排法，所以，總共有種分配方案.故A，B，D錯(cuò)誤.故選：C.5．若定義域?yàn)镽的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，并且滿足，則下列正確的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合各選項(xiàng)的信息構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)單調(diào)性即可判斷作答.【詳解】令函數(shù)，求導(dǎo)得，因此函數(shù)在R上單調(diào)遞增，于是得，即，整理得，B正確.故選：B6．我國《洛書》中記載著世界上最古老的一個(gè)幻方，如圖所示，將1，2，3，…，9填入的方格內(nèi)，使得每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和都相等，便得到一個(gè)3階幻方.一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，…，填入個(gè)方格中，使得每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和都相等，這個(gè)正方形叫作n階幻方.記n階幻方的數(shù)的和（即方格內(nèi)的所有數(shù)的和）為，如，那么下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．B．7階幻方第4行第4列的數(shù)字可以為25C．8階幻方每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和均為260D．9階幻方每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和均為396【答案】D【分析】根據(jù)n階幻方的定義，n階幻方的數(shù)列有項(xiàng)，為首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，故，每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和均為，且n為奇數(shù)時(shí)，n階幻方行列的數(shù)字為該數(shù)列的中間值.【詳解】根據(jù)n階幻方的定義，n階幻方的數(shù)列有項(xiàng)，為首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，故，每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和均為.對(duì)A，，A對(duì)；對(duì)B，7階幻方有7行7列，故第4行第4列的數(shù)字可以為該數(shù)列的中間值，即，B對(duì)；對(duì)C，8階幻方每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和均為，C對(duì)；對(duì)D，9階幻方每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和均為，D錯(cuò).故選：D7．設(shè)則a，b，c之間的大小關(guān)系式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性可得答案.【詳解】，構(gòu)造函數(shù)，得，由得時(shí)，知在區(qū)間上是增函數(shù)，于是，即.故選：B．8．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，進(jìn)而考慮與的交點(diǎn)，分，，，，五種情況討論求解即可.【詳解】設(shè)，則，令，得，我們先來考慮與的交點(diǎn)，令，當(dāng)時(shí)，與只有1個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)，此時(shí)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與只有2個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)，此時(shí)有3個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，與只有3個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)，此時(shí)有5個(gè)零點(diǎn).若與相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)，所以，切線斜率，解得，故當(dāng)時(shí)，與沒有交點(diǎn)，沒有零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，與有2個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)，此時(shí)有2個(gè)零點(diǎn).故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于通過換元，將問題轉(zhuǎn)化為直線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合，分類討論求解即可.二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，，成等差數(shù)列B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為，要使數(shù)列的前項(xiàng)和最大，則的值只能為13C．等差數(shù)列的前項(xiàng)和記為，若，，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，D．正數(shù)等比數(shù)列前項(xiàng)積為，若，則【答案】AD【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，方法1運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和基本量及等差中項(xiàng)法證明即可，方法2：運(yùn)用等差數(shù)列依次n項(xiàng)的和仍為等差數(shù)列；對(duì)于選項(xiàng)B，方法1：由數(shù)列的正負(fù)項(xiàng)來判斷，方法2：利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和最大時(shí)項(xiàng)數(shù)的求法來判斷；對(duì)于選項(xiàng)C，運(yùn)用等差數(shù)列的等和性及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和來判斷；對(duì)于選項(xiàng)D，利用等比數(shù)列的等積性質(zhì)判斷.利用等差數(shù)列的性質(zhì)判斷AC，B，利用等比數(shù)列的性質(zhì)判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，方法1：∵等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，公差為，∴，，，∴，，∴∴，，成等差數(shù)列.故選項(xiàng)A正確；方法2：等差數(shù)列的性質(zhì)，若為等差數(shù)列，則，，，成等差數(shù)列.故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，方法1：∵數(shù)列的通項(xiàng)公式，∴，，∴數(shù)列是首項(xiàng)為24，公差為－2的等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，且，當(dāng)時(shí)，且，所以當(dāng)或時(shí)，取得最大值.故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；方法2：∵數(shù)列的通項(xiàng)公式，∴，，∴數(shù)列是首項(xiàng)為24，公差為－2的等差數(shù)列，∴，∴要使此數(shù)列的前項(xiàng)和最大，則的值為12或13，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，∵為等差數(shù)列，，∴，即，∵，∴，，∴，，∴當(dāng)時(shí)，.故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，∵正數(shù)等比數(shù)列前項(xiàng)積為，若，則，故選項(xiàng)D正確.故選：AD.10．以下結(jié)論正確的是（

）A．具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量x，y的一組觀測數(shù)據(jù)，，，，由此得到的線性回歸方程為，回歸直線至少經(jīng)過點(diǎn)，，，中的一個(gè)點(diǎn)；B．相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1，兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)C．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若，，則D．設(shè)服從正態(tài)分布，若，則【答案】BCD【分析】根據(jù)回歸方程的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)A，根據(jù)相關(guān)系數(shù)與相關(guān)性的強(qiáng)弱關(guān)系可判斷選項(xiàng)B，根據(jù)二項(xiàng)分布的特征可判斷選項(xiàng)C，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于A，由回歸直線的特征可知：樣本點(diǎn)不一定在回歸直線上，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1，兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，因?yàn)殡S機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且，，則，解得：，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，若，則，所以，故選項(xiàng)D正確.故選：.11．已知是函數(shù)的一條切線，則實(shí)數(shù)的值可以為（

）A．0 B．1 C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)的切線過原點(diǎn)求得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得的可能取值.【詳解】設(shè)是函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，，所以在點(diǎn)的切線方程為①，直線過原點(diǎn)，由①令得，，所以或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述，的可能取值為.故選：ABD12．定義：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖像的對(duì)稱中心．已知函數(shù)的對(duì)稱中心為，則下列說法中正確的有（

）A．， B．函數(shù)既有極大值又有極小值C．函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn) D．過可以作三條直線與圖像相切【答案】AB【分析】根據(jù)“拐點(diǎn)”的定義與的對(duì)稱中心，建立方程求出可判斷A，再由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可判斷的極值，從而判斷B，根據(jù)的單調(diào)性及的極值可判斷C，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出的切線方程，從而轉(zhuǎn)化為切點(diǎn)個(gè)數(shù)問題即可判斷D.【詳解】，，，即，解得，故A正確；，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以既有極大值又有極小值，故B正確；由選項(xiàng)B可知在與處取得極大值與極小值，又，，即的極大值與極小值大于0，所以函數(shù)不會(huì)有3個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，又切線過，則，化簡得，即，解得或，即滿足題意的切點(diǎn)只有兩個(gè)，所以滿足題意只有兩條切線，故D錯(cuò)誤.故選：AB.三、填空題13．?dāng)?shù)列滿足，前12項(xiàng)和為243，則___________.【答案】7【分析】對(duì)為奇偶數(shù)分類討論，分別得出奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)的遞推關(guān)系，由奇數(shù)項(xiàng)遞推公式將奇數(shù)項(xiàng)用表示，由偶數(shù)項(xiàng)遞推公式得出偶數(shù)項(xiàng)的和，建立方程，求解即可得出結(jié)論.【詳解】解：，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，即，解方程得.所以，故答案為：.14．的展開式中的系數(shù)為___________.（用數(shù)字作答）【答案】【分析】由展開式的通項(xiàng)得出的展開式中含的項(xiàng)，進(jìn)而得出系數(shù).【詳解】展開式的通項(xiàng)為，則的展開式中含的項(xiàng)為，即的展開式中的系數(shù)為故答案為：15．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，若，則數(shù)列的前2022項(xiàng)和為___________.【答案】2022【分析】由為奇函數(shù)，可得，再由，得，然后利用倒序相加法可求得結(jié)果.【詳解】由于函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，所以，所以，所以，因此數(shù)列的前2022項(xiàng)和為，故答案為：202216．已知函數(shù)，若對(duì)，都有成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為___________．【答案】【分析】將變形為，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，即在上恒成立，轉(zhuǎn)化為最值問題即可.【詳解】，，由得，整理得，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，又，，實(shí)數(shù)a的最大值為故答案為：.四、解答題17．已知數(shù)列滿足(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)求解即可；（2）利用裂項(xiàng)相消法求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，，上述兩式相減，得，所以，又可得，符合上式，所以；（2）由（1）可得，則.18．高二時(shí)舉辦了一次數(shù)學(xué)競賽，這100名學(xué)生的成績（滿分為150分）情況如下表所示．成績不低于135分成績低于135分總計(jì)參加過培訓(xùn)401050未參加過培訓(xùn)203050總計(jì)6040100(1)能否有的把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)競賽成績與是否參加“強(qiáng)基培優(yōu)”拓展培訓(xùn)有關(guān)？(2)從成績不低于135分的這60名學(xué)生中，按是否參加過“強(qiáng)基培優(yōu)”拓展培訓(xùn)采用分層抽樣﹐隨機(jī)抽取了6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人代表學(xué)校參加區(qū)里的數(shù)學(xué)素養(yǎng)大賽，求這2人中至少有一人未參加過培訓(xùn)的概率．參考公式：，其中．0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828【答案】(1)有的把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)競賽成績與是否參加“強(qiáng)基培優(yōu)”拓展培訓(xùn)有關(guān)．(2)【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)和參考公式代入計(jì)算并與比較即可得出結(jié)論；（2）由分層抽樣可知參加過培訓(xùn)的有4人，未參加過的有2人，列舉出6人中隨機(jī)抽取2人的所有基本事件，再選出符合條件的事件數(shù)即可求得結(jié)果.【詳解】（1）根據(jù)列聯(lián)表代入計(jì)算可得：，所以有的把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)競賽成績與是否參加“強(qiáng)基培優(yōu)”拓展培訓(xùn)有關(guān)．（2）由題意可知，所抽取的6名學(xué)生中參加過“強(qiáng)基培優(yōu)”拓展培訓(xùn)的有4人，記為，，，，未參加過“強(qiáng)基培優(yōu)”拓展培訓(xùn)的有2人，設(shè)為．從這6人中隨機(jī)抽取2人的所有基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共15個(gè)，其中至少有一人未參加過培訓(xùn)的基本事件有，，，，，，，，，共9個(gè)．故至少有一人未參加過培訓(xùn)的概率．19．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)的切線方程；(2)若曲線有兩條過點(diǎn)的切線，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義與直線方程的點(diǎn)斜式求解即可；（2）設(shè)切點(diǎn)為，由題意可得有兩個(gè)不等的實(shí)根，由此即可求解【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)為，切線斜率切線方程為，即（2）設(shè)切點(diǎn)為，由知：，整理得①因?yàn)檫^點(diǎn)的切線有兩條，所以①式有兩個(gè)不等實(shí)根所以有，即20．已知數(shù)列中，.(1)求證：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式成立的自然數(shù)恰有4個(gè)，求正整數(shù)的值.【答案】(1)證明見解析，；(2)4.【分析】（1）構(gòu)造，根據(jù)等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式即可求解；（2），利用錯(cuò)位相減法求出，故成立的自然數(shù)恰有4個(gè)，當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立，故當(dāng)時(shí)，不等式成立的自然數(shù)恰有2個(gè).令，根據(jù)其單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，又，所以是等比?shù)列，，所以；（2），所以，，兩式相減，得，所以，因?yàn)槌闪⒌淖匀粩?shù)恰有4個(gè)，即成立的自然數(shù)恰有4個(gè)，由于為正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立，故當(dāng)時(shí)，不等式成立的自然數(shù)恰有2個(gè)，即成立的自然數(shù)恰有2個(gè)，令，則，所以嚴(yán)格減，所以，且，解得，故正整數(shù)的值為4.21．第22屆世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔爾舉辦．在決賽中，阿根廷隊(duì)通過點(diǎn)球戰(zhàn)勝法國隊(duì)獲得冠軍．(1)撲點(diǎn)球的難度一般比較大，假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左?中?右三個(gè)方向射門，門將也會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左?中?右三個(gè)方向來撲點(diǎn)球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．不考慮其它因素，在一次點(diǎn)球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲到點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X的分布列和期望；(2)好成績的取得離不開平時(shí)的努力訓(xùn)練，甲?乙?丙三名前鋒隊(duì)員在某次傳接球的訓(xùn)練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接?。浀趎次傳球之前球在甲腳下的概率為pn，易知．①試證明：為等比數(shù)列；②設(shè)第n次傳球之前球在乙腳下的概率為qn，比較p10與q10的大?。敬鸢浮?1)分布列見解析；期望為(2)①證明見解析；②【分析】（1）方法一：先計(jì)算門將每次可以撲出點(diǎn)球的概率，再列出其分布列，進(jìn)而求得數(shù)學(xué)期望；方法二：判斷，結(jié)合二項(xiàng)分布的分布列和期望公式確定結(jié)論；（2）①記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為，則當(dāng)時(shí)，第次傳球之前球在甲腳下的概率為，由條件確定的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列定義完成證明；②由①求出，比較其大小即可.【詳解】（1）方法一：的所有可能取值為，在一次撲球中，撲到點(diǎn)球的概率，所以，，所以的分布列如下：0123方法二：依題意可得，門將每次可以撲到點(diǎn)球的概率為，門將在前三次撲到點(diǎn)球的個(gè)數(shù)可能的取值為，易知，所以，故的分布列為：0123所以的期望．（2）①第次傳球之前球在甲腳下的概率為