人教版課標(biāo)初中八年級下《勾股定理的逆定理》三課時教學(xué)設(shè)計

人教版課標(biāo)初中八年級下《勾股定理的逆定理》三課時教學(xué)設(shè)計人教版課標(biāo)初中數(shù)學(xué)八年級八年級數(shù)學(xué)下第十八章勾股定理勾股定理的逆定理18.2

勾股定理的逆定理(一)教學(xué)目標(biāo)一、知識與技能:1．掌握直角三角形的判別條件．2．熟記一些勾股數(shù)．3．掌握勾股定理的逆定理的探究方法．b5E2RGbCAP二、過程與方法:1．用三邊的數(shù)量關(guān)系來判斷一個三角形是否為直角三角形，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想．2．通過對Rt△判別條件的研究，培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想，勇于探索的創(chuàng)新精神．p1EanqFDPw三、情感態(tài)度與價值觀:1．通過介紹有關(guān)歷史資料，激發(fā)學(xué)生解決問題的愿望．2．通過對勾股定理逆定理的探究；培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和創(chuàng)新精神．DXDiTa9E3d教學(xué)重點:探究勾股定理的逆定理，理解互逆命題，原命題、逆命題的有關(guān)概念及關(guān)系．教學(xué)難點:歸納、猜想出命題2的結(jié)論．教具準(zhǔn)備:

多媒體課件．教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)問屬情境，引入新課

活動2

問題：據(jù)說古埃及人用下圖的方法畫直角：把一根長蠅打上等距離的13個結(jié)，然后以3個結(jié)，4個結(jié)、5個結(jié)的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中一個角便是直角．xHAQX74J0X

這個問題意味著，如果圍成的三角形的三邊分別為3、4、5．有下面的關(guān)系“32＋42＝52”

畫畫看，如果三角形的三邊分別為2.5cm，6cm，6.5cm，有下面的關(guān)系，“2.52＋62＝6.52，畫出的三角形是直角三角形嗎?換成三邊分別為4cm、7.5cm、8.5cm．再試一試．Zzz6ZB2Ltk設(shè)計意圖：由特殊到一般，歸納猜想出“如果三角形三邊a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形就為直免三角形的結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生動手操作能力和尋求解決數(shù)學(xué)問題的一般方法．dvzfvkwMI1師生行為

讓學(xué)生在小組內(nèi)共同合作，協(xié)手完成此活動．教師參與此活動，并給學(xué)生以提示、啟發(fā)．在本活動中，教師應(yīng)重點關(guān)注學(xué)生：①能否積極動手參與．②能否從操作活動中，用數(shù)學(xué)語言歸納、猜想出結(jié)論．③學(xué)生是否有克服困難的勇氣．rqyn14ZNXI

生：我們不難發(fā)現(xiàn)上圖中，第(1)個結(jié)到第(4)個結(jié)是3個單位長度即AC＝3；同理BC＝4，AB＝5．因為32＋42＝52．我們圍成的三角形是直角三角形．EmxvxOtOco

生：如果三角形的三邊分別是2.5cm，6cm，6.5cm．我們用尺規(guī)作圖的方法作此三角形，經(jīng)過測量后，發(fā)現(xiàn)6.5cm的邊所對的角是直角，并且2.52＋62＝6.52．SixE2yXPq5

再換成三邊分別為4cm，7.5cm，8.5cm的三角形，目標(biāo)可以發(fā)現(xiàn)8.5cm的邊所對的角是直角，且也有42＋7.52＝8.52．6ewMyirQFL

是不是三角形的三邊只要有兩邊的平方和等于第三邊的平方，就能得到一個直角三角形呢?活動3

下面的三組數(shù)分別是一個三角形的三邊長a，b，c

5，12，13；7，24，25；8，15，17．

(1)這三組效都滿足a2＋b2＝c2嗎?

(2)分別以每組數(shù)為三邊長作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎?設(shè)計意圖：本活動通過讓學(xué)生按已知數(shù)據(jù)作出三角形，并測量三角形三個內(nèi)角的度數(shù)來進(jìn)一步獲得一個三角形是直角三角形的有關(guān)邊的條件．kavU42VRUs師生行為：學(xué)生進(jìn)一步以小組為單位，按給出的三組數(shù)作出三角形，從而更加堅信前面猜想出的結(jié)論，

教師對學(xué)生歸納出的結(jié)論應(yīng)給予解釋，我們將在下一節(jié)給出證明．本活動教師應(yīng)重點關(guān)注學(xué)生：①對猜想出的結(jié)論是否還有疑慮．②能否積極主動的操作，并且很有耐心．y6v3ALoS89

生：(1)這三組數(shù)都滿足a2＋b2＝c2．(2)以每組數(shù)為邊作出的三角形都是直角三角形．

師：很好，我們進(jìn)一步通過實際操作，猜想結(jié)論．

命題2

如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2那么這個三角形是直角三角形．

同時，我們也進(jìn)一步明白了古埃及人那樣做的道理．實際上，古代中國人也曾利用相似的方法得到直角．直至科技發(fā)達(dá)的今天——人類已跨人21世紀(jì)，建筑工地上的工人師傅們?nèi)匀浑x不開“三四五放線法”．M2ub6vSTnP

“三四五放線法”是一種古老的歸方操作．所謂“歸方”就是“做成直角”。譬如建造房屋，房角一般總是成90°，怎樣確定房角的縱橫兩線呢?0YujCfmUCw如下圖，欲過基線MN上的一點C作它的垂線，可由三名工人操作：一人手拿布尺或測繩的0和12尺處，固定在C點；另一人拿4尺處，把尺拉直，在MN上定出A點，再由一人拿9尺處，把尺拉直，定出B點，于是連結(jié)BC，就是MN的垂線．eUts8ZQVRd

建筑工人用了3，4，5作出了一個直角，能不能用其他的整數(shù)組作出直角呢?

生：可以，例如7，24，25；8，15，17等．

據(jù)說，我國古代大禹治水測量工程時，也用類似的方法確定直角．活動4

問題：命題1

如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2．命題2

如果三角形的三邊長分別為a，b，c，滿足a2＋b2＝c2那么這個三角形是直角三角形．它們的題設(shè)和結(jié)論各有何關(guān)系?sQsAEJkW5T設(shè)計意圖：認(rèn)識什么樣的兩個命題是互逆命題，明白什么是原命題，什么是逆命題?你前面遇到過有互逆命題嗎?師生行為：學(xué)生閱讀課本，并回憶前面學(xué)過的一些命題．教師認(rèn)真傾聽學(xué)生的分析．教師在本活動中應(yīng)重點關(guān)注學(xué)生；①能否發(fā)現(xiàn)互逆命題的題設(shè)和結(jié)論之間的關(guān)系．②能否積極主動地回憶我們前面學(xué)過的互逆命題．GMsIasNXkA

生：我們可以看到命題2與命題1的題設(shè)．結(jié)論正好相反，我們把像這樣的兩個命題叫做互逆命題．如果把其中的一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題．例如把命題1當(dāng)成原命題，那么命題2是命題1的逆命題．TIrRGchYzg

生：我們前面學(xué)過平行線的性質(zhì)和判定．其中“兩直線平行，同位角相等”和“同位角相等，兩直線平行”是互逆命題．“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”和“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”也是互逆命題．7EqZcWLZNX

生：“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”和“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”也是互逆命題．三、課時小結(jié)活動5問題：你對本節(jié)內(nèi)容有哪些認(rèn)識?設(shè)計意圖：這種形式的小結(jié)，激發(fā)了學(xué)生的主動參與意識，調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為每一位學(xué)生都創(chuàng)造了在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中獲得成功體驗的機會，并為程度不同的學(xué)生提供了充分展示自己的機會，尊重學(xué)生的個體差異，滿足學(xué)生多極化學(xué)習(xí)的需要．lzq7IGf02E師生行為：教師課前準(zhǔn)備卡片，卡片上寫出三個數(shù)，讓學(xué)生隨意抽出，判斷以這三個數(shù)為邊的三角形能否構(gòu)成直角三角形．zvpgeqJ1hk

在活動5中，教師應(yīng)重點關(guān)注學(xué)生：(1)不同層次的學(xué)生對本節(jié)的認(rèn)知程度．(2)學(xué)生再談收獲是對不同方面的感受．(3)學(xué)生獨立面對困難和克服困難的能力．NrpoJac3v1板書設(shè)計

18.2

勾股定理的逆定理(二)教學(xué)目標(biāo)一、知識與技能:1．了解證明勾股定理逆定理的方法．2．理解逆定理，互遞定理的概念．二、過程與方法:1．經(jīng)歷證明勾股定理逆定理的過程，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象能力．2．經(jīng)歷互為逆定理的討論，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和實事求是求學(xué)精神．1nowfTG4KI三、情感態(tài)度與價值觀:1．經(jīng)歷探索勾股定理逆定理證明的過程，培養(yǎng)學(xué)生克服困難的勇氣和堅強的意志．2．培養(yǎng)學(xué)生與人合作、交流的團(tuán)隊意識．fjnFLDa5Zo教學(xué)重點:

勾股定理逆定理的證明，及互逆定理的概念．教學(xué)難點:

互逆定理的概念．教具準(zhǔn)備:

多媒體課件．教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課

活動1

以下列各組線段為邊長，能構(gòu)成三角形的是____________(填序號)，能構(gòu)成直角三角形的是____________．tfnNhnE6e5①3，4，5②1，3，4③4，4，6

④6，8，10

⑤5，7，2

⑥13，5，12

⑦7，25，24HbmVN777sL設(shè)計意圖：幫助學(xué)生回憶構(gòu)成三角形的條件和判定一個三角形為直角三角形的條件．師生行為：由學(xué)生自己獨立完成，教師巡視學(xué)生填的結(jié)果．

在此活動中，教師應(yīng)重點關(guān)注：①學(xué)生是否熟練地完成填空；②學(xué)生是否積極主動地完成任務(wù)．

生：能構(gòu)成三角形的是：①③④⑥⑦，能構(gòu)成直角三角形的是；①④⑥⑦二、講授新課

活動2問題：命題2是命題1的逆命題，命題1我們已證明過它的正確性，命題2正確嗎?如何證明呢?設(shè)計意圖：由特例猜想得到的結(jié)論，會讓一些同學(xué)產(chǎn)生疑慮，我們的猜想是否正確，必須有嚴(yán)密的推理證明過程，才能讓大家用的放心．通過對命題2的證明，還可以提高學(xué)生的邏輯推理能力V7l4jRB8Hs師生行為：讓學(xué)生試著尋找解題思路；教師可引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)證明的思路．

本活動中，教師應(yīng)重點關(guān)注學(xué)生：①能否在教師的引導(dǎo)下，理清思路．②能否積極主動地思考問題，參與交流、討論．83lcPA59W9

師：△ABC的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2．如果△ABC是直角三角形，它應(yīng)與直角邊是a，b的直角三角形全等，實際情況是這樣嗎?mZkklkzaaP我們畫一個直角三角形A'B'C'，使B'C'＝a，A'C'＝b，∠C'＝90°(如下圖)把畫好的△A'B'C'剪下，放在△ABC上，它們重合嗎?AVktR43bpw

生：我們所畫的Rt△A'B'C'，A'B'＝a2＋b2，又因為c2＝a2＋b2，所以A'B'2＝c2，即A'B'＝c

△ABC和△A'B'C'三邊對應(yīng)相等，所以兩個三角形全等，∠C＝∠C'＝90°．△ABC為直角三角形．即命題2是正確的．ORjBnOwcEd

師：很好，當(dāng)我們證明了命題2是正確的，那么命題就成為一個定理．由于命題1證明正確以后稱為勾股定理，命題2又是命題1的逆命題，在此，我們就稱定理2是勾股定理的逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理稱為互為逆定理．2MiJTy0dTT

師：但是不是原命題成立，逆命題一定成立嗎?

生：不一定，如命題“對頂角相等”成立，它的逆命題“如果兩個角相等，那么它們是對頂角”不成立．

師：你還能舉出類似的例子嗎?

生：例如：如果兩個實數(shù)相等，那么它們的絕對值也相等．

逆命題：如果兩個數(shù)的絕對值相等，那么這兩個實數(shù)相等．

顯示原命題成立，而逆命題不成立．活動3

練習(xí)：1．如果三條線段長a，b，c滿足a2＝c2－b2．這三條線段組成的三角形是不是直角三角形?為什么?gIiSpiue7A

2．說出下列命題的逆命題．這些命題的逆命題成立嗎?

(1)兩條直線平行，內(nèi)錯角相等．

(2)如果兩個實數(shù)相等，那么它們的絕對值相等．

(3)全等三角形的對應(yīng)角相等．

(4)在角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．設(shè)計意圖進(jìn)一步理解和掌握勾股定理的逆定理的本質(zhì)特征，以及互為逆命題的關(guān)系及正確性；提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和邏輯推理能力．uEh0U1Yfmh師生行為：學(xué)生獨立思考，自主完成；教師巡視完成練習(xí)的情況，以不同層次的學(xué)生給予輔導(dǎo)．在此活動中，教師應(yīng)重點關(guān)注學(xué)生．①學(xué)生對勾股定理的逆定理的理解．②學(xué)生對互為逆命題的掌握情況．③學(xué)生面對困難，是否有克服困難的勇氣．IAg9qLsgBX

師：我們先來完成練習(xí)第1題．

生：a2＝c2－b2，移項得a2＋b2＝c2，所以根據(jù)勾股定理的逆定理，這三條線段組成的三角形是直角三角形．WwghWvVhPE

生：2．(1)逆命題：如果內(nèi)錯角相等，那么兩直線平行，此逆命題成立．

(2)逆命題：如果兩個數(shù)的絕對值相等，那么這兩個實數(shù)也相等，此逆命題不成立．

(3)逆命題：如果兩個三角形的對應(yīng)角相等，那么這兩個三角形全等，此逆命題不成立．

(4)逆命題：到角兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上，此逆命題成立．三、鞏固提高

活動4[例1]一個零件的形狀如下圖所示，按規(guī)定這個零件中∠A和∠DBC都應(yīng)為直角．工人師傅量出了這個零件各邊尺寸，那么這個零件符合要求嗎?asfpsfpi4k

[例2](1)判斷以a＝10，b＝8，c＝6為邊組成的三角形是不是直角三角形．

解：因為a2＋b2＝100＋64＝164≠c2，即a2＋b2≠c2，所以由a，b，c不能組成直角三角形．ooeyYZTjj1

請問：上述解法對嗎?為什么?

(2)已知：在△ABC中，AB＝13cm，BC＝10cm，BC邊上的中線AD＝12cm．

求證：AB＝AC．設(shè)計意圖：這是利用勾股定理的逆定理解決實際問題的例子，可以使學(xué)生進(jìn)一步理解勾股定理的逆定理，體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系．BkeGuInkxI

學(xué)生只要能用自己的語言表達(dá)清楚解決問題的過程即可．師生行為：先由學(xué)生獨立完成，然后小組交流，討論；教師巡視學(xué)生完成問題的情況，及時給予指導(dǎo)．在此活動中，教師應(yīng)重點關(guān)注學(xué)生：①能否進(jìn)一步理解勾股定理的逆定理，②能否用語言比較規(guī)范地書寫過程，說明理由．③能否從中體驗到學(xué)習(xí)的樂趣。PgdO0sRlMo

生：例1：分析：這是一個利用直角三角形的判定條件解決實際問題的例子．

解：在△ABD中，AB2＋AD2＝9＋16＝25＝BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角．

在△BCD中，BD2＋BC2＝25＋144＝169＝132＝CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角．3cdXwckm15

因此這個零件符合要求．

例2：(1)解：上述解法是不對的．因為a＝10，b＝8，c＝6，b2＋c2＝64＋36＝100＝102＝a2，即b2＋c2＝a2．所以由a，b，c組成的三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，利用勾股定理的逆定理可知a，b，c可構(gòu)成直角三角形，其中a是斜邊，b，c是兩直角邊．h8c52WOngM

評注：在解題時，我們不能簡單地看兩邊的平方和是否等于第三邊的平方，而應(yīng)先判斷哪一條邊有可能作為斜邊．往往只需看最大邊的平方是否等于另外蔭邊的平方和．v4bdyGious(2)證明：根據(jù)題意，畫出圖形，AB＝13cm，BC＝10cm．

AD是BC邊上的中線→BD＝CD＝5cm，在△ABD中AD＝12cm，BD＝5cm，AB＝13cm，AB2＝169，AD2＋BD2＝122＋52＝169．所以AB2＝AD2＋BD2．則∠ADB＝90°．∠ADC＝180°－∠ADB＝180°－90°＝90°．J0bm4qMpJ9

在Rt△ADC中，AC2＝AD2＋CD2＝122＋52＝132．

所以AC＝AB＝13cm．四；課時小結(jié)活動5

問題：你對本節(jié)的內(nèi)容有哪些認(rèn)識，掌握勾股定理的逆定理及其應(yīng)用，熟記幾組勾股數(shù)．

設(shè)計意圖：

這種形式的小結(jié)，激發(fā)了學(xué)生主動參與意識，調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．為每一位學(xué)生都創(chuàng)造了在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中獲得成功的體驗機會．XVauA9grYP

小結(jié)活動既要注重引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識體系化，又要從能力、情感態(tài)度等方面關(guān)注學(xué)生對課堂的整體感受．

師生行為：

教師可準(zhǔn)備好寫有勾股數(shù)的卡片，讓學(xué)生隨機抽取，讓學(xué)生說明如果將直角三角形的三條邊長同時擴大一個相同的倍數(shù)，得到的三角形還是直角三角形嗎?bR9C6TJscw

在活動5，教師應(yīng)重點關(guān)注學(xué)生：

①不同層次的學(xué)生對本節(jié)知識的認(rèn)識程度．

②學(xué)生再談收獲是對不同方面的感受．

③學(xué)生獨立面對困難和克服困難的能力，板書設(shè)計＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝pN9LBDdtrd

18.2

勾股定理的逆定理(二)勾股定理的逆定理的證明構(gòu)造Rt△A'B'C'，使兩直角邊為a，b，∠C'＝90°，從而得斜邊A'B'＝c，得到△ABC≌△A'B'C'，所以∠C＝∠C＝90°，△ABC為直角三角形．DJ8T7nHuGT＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝QF81D7bvUA

18.2

勾股定理的逆定理(三)教學(xué)目標(biāo)一、知識與技能:

能運用勾股定理的逆定理解決簡單的實際問題．二、過程與方法:1．經(jīng)歷將實際問題轉(zhuǎn)化為敷學(xué)模型的過程，體會用勾股定理的逆定理解決實際問題的方法，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用章識．2．在解決實際問題的過程中，體驗解決問題的策略，發(fā)展學(xué)生的實踐能力和創(chuàng)新精神．3．在解決實際問題的過程中，學(xué)會與人合作，并能與他人交流思維過程和結(jié)果，形成反思的意識．4B7a9QFw9h三、情感態(tài)度與價值觀:1．在用勾股定理的逆定理探索解決實際問題的過程中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心．2．在解決實際問題的過程中，形成實事求是的態(tài)度以及進(jìn)行質(zhì)疑和獨立思考問題的習(xí)慣．ix6iFA8xoX教學(xué)重點

:運用勾股定理的逆定理解決實際問題．教學(xué)難點

:將實際問題轉(zhuǎn)化成用勾股定理的逆定理解決的數(shù)學(xué)問題．教具準(zhǔn)備

:多媒體課件．教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課

活動1問題1：小紅和小軍周日去郊外放風(fēng)箏，風(fēng)箏飛得又高又遠(yuǎn)，他倆很想知道風(fēng)箏離地面到底有多高，你能幫助他們嗎?wt6qbkCyDE問題2：如下圖所示是一尊雕塑的底座的正面，李叔叔想要檢測正面的AD邊和BC邊是否垂直于底邊AB，但他隨身只帶了卷尺．Kp5zH46zRk

(1)你能替他想想辦法完成任務(wù)嗎?

(2)李叔叔量得AD的長是30厘米，AB的長是40厘米，BD的長是50厘米，AD邊垂直于AB邊嗎?

(3)小明隨身只有一個長度為20厘米的刻度尺，他能有辦法檢驗AD邊是否垂直于AB邊嗎?BC邊與AB邊呢?Yl4HdOAA61

設(shè)計意圖：

通過對兩個實際問題的探究，讓學(xué)生進(jìn)一步體會到勾股定理和勾股定理的逆定理在實際生活中的廣泛應(yīng)用，提高學(xué)生的應(yīng)用意識，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新精神和應(yīng)用能力．ch4PJx4BlI

在將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題時，肯定要有一定的困難，教師要給學(xué)生充分的時間和空間去思考，從而發(fā)現(xiàn)解決問題的途徑．qd3YfhxCzo

師生行為：

先由學(xué)生自主獨立思考，然后分組討論，交流各自的想法．

教師應(yīng)深入到學(xué)生的討論中去，對于學(xué)生出現(xiàn)的問題，教師急時給予引導(dǎo)．

在此活動中，教師應(yīng)重點關(guān)注學(xué)生，

①能否獨立思考，尋找解決問題的途徑．

②能否積極主動地參加小組活動，與小組成員充分交流，且能靜心聽取別人的想法．

③能否由此活動，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．生：對于問題1，我們組是這樣考慮的：小紅拉著風(fēng)箏站在原地，小軍到風(fēng)箏的正下方也就是說小軍的頭頂就是風(fēng)箏．小紅放線，使線端到達(dá)他所站的位置，然后在線端做一記號，最后收回風(fēng)箏，量出放出的風(fēng)箏線的總長度AB，再量出小明和小軍所站位置的兩點間的距離BC，利用勾股定理便可以求出AB的長度(如下圖所示)E836L11DO5

生：對于問題2，我們組是這樣考慮的：李叔叔隨身只帶卷尺檢測AD，BC是否與底邊垂直，也就是要檢測∠DAB＝90°，∠CBA＝90°，連接BD或AC，也就是要檢測△DAB和△CBA是否為直角三角形．很顯然，這是一個需要用勾股定理的逆定理來解決的實際問題．S42ehLvE3M

根據(jù)我們的分析，用勾股定理的逆定理來解決，要檢測△DA月是否為直角三角形，即∠DAB＝90°，李叔叔只需用卷尺分別量出AB，BD、DA的長度，然后計算AB2＋DA2和BD2，看他們是否相等，若相等，則說明AD⊥AB，同理可檢測BC是否垂直于AB．501nNvZFis

師：很好，對于問題2中的第(2)個小問題，李叔叔已量得AD，AB，BD的長度，根據(jù)他量出的長度能說明DA和AB垂直嗎?jW1viftGw9

生：可以，因為AD2＋AB2＝302＋402＝2500，而BD2＝2500，所以AD2＋AB2＝BD2．可得AD與AB垂直．xS0DOYWHLP

師：小明帶的刻度尺長度只有20厘米，他有辦法檢驗AD與AB邊的垂直嗎?

生：可以利用分段相加的方法量出AD，AB，BD的長度．

生：這樣做誤差太大，可以AB，AD上各量一段較小的長度．例如在AB邊上量一小段AE＝8cm，在AD邊上量一小段AF＝6cm，而AE2＋AF2＝82＋62＝64＋36＝100＝102，這時只要量一下EF是否等于10cm即可．LOZMkIqI0w

如果EF＝10cm，EF2＝100，則有AE2＋AF2＝EF2，根據(jù)勾股定理的逆定理可知△AEF是直角三角形，∠EAF＝90°即∠DAB＝90°所以AD⊥AB；如果EF≠10cm，則EF2≠100，所以AE2＋AF2≠EF2，△AEF不是直角三角形，即AD不垂直于AB．ZKZUQsUJed

師：看來，同學(xué)們方法還真多，沒有被困難嚇倒，祝賀你們．

接下來，我們繼續(xù)用勾股定理的逆定理解決幾個問題．二、講授新課活動2

問題：[例1]判斷由線段a、b、c組成的三角形是不是直角三角形．

(1)a＝15，b＝8，c＝17；

(2)a＝13，b＝14，c＝15；

(3)求證：m2－n2，m2＋n2，2mn(m＞n，m，n是正整數(shù))是直角三角形的三條邊長．

設(shè)計意圖：

進(jìn)一步讓學(xué)生體會用勾股定理的逆定理，實現(xiàn)數(shù)和形的統(tǒng)一，第(3)題又讓學(xué)生從一次從一般形式上去認(rèn)識勾股數(shù)，如果能讓學(xué)生熟記幾組勾股數(shù)，我們在判斷三角形的形狀時，就可以避開很麻煩的運算．dGY2mcoKtT

師生行為：

先由學(xué)生獨立完成，然后小組交流．

教師應(yīng)巡視學(xué)生解決問題的過程，對成績較差的同學(xué)給予指導(dǎo)．

在此活動中，教師應(yīng)重點關(guān)注學(xué)生：

①能否用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀。

②能否發(fā)現(xiàn)問題，反思后及時糾正．

③能否積極主動地與同學(xué)交流意見．

生：根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷一個三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊長的平方和是否等于最大邊長的平方．rCYbSWRLIA

解：(1)因為152＋82＝225＋64＝289，

172＝289，

所以152＋82＝172，這個三角形是直角三角形．

(2)因為132＋142＝169＋196＝365

152＝225

所以132＋142≠152．這個三角形不是直角三角形．

生：要證明它們是直角三角形的三邊，首先應(yīng)判斷這三條線段是否組成三角形，然后再根據(jù)勾股定理的逆定理來判斷它們是否是直角三角形的三邊長．FyXjoFlMWh

(3)證明：m＞n、m、n是正整數(shù)

(m2－n2)＋(m2＋n2)＝2m2＞2mn，

即(m2－n2)＋(m2＋n2)＞2mn

又因為(m2－n2)＋2mn＝m2＋n(2m－n)，

而2m－n＝m＋(m－n)＞0，

所以(m2－n2)＋2mn＞m2＋n2

這三條線段能組成三角形．

又因為(m2－n2)2＝m4＋n4－2m2n2

(m2＋n2)2＝m4＋n4＋2m2n2

(2mn)2＝4m2n2，

所以(m2－n2)2＋(2mn)2

＝m4＋n4－2m2n2＋4m2n2

＝m4＋n4＋2m2n2

＝(m2＋n2)2

所以，此三角形是直角三角形，m2－n2、2mn、m2＋n2(m＞n、m、n是正整數(shù))這三邊是直角三角形的三邊．TuWrUpPObX

師：我們把像15、8、7這樣，能夠成為三角形三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．

而且我們不難發(fā)現(xiàn)m2－n2、m2＋n2、2mn也是一組勾股數(shù)，而且這組勾股數(shù)由于m可取值的不同會得到不同的勾股數(shù)，7qWAq9jPqE

例如m＝2，n＝1時，m2－n2＝22－12＝3，m2＋n2＝22＋12＝5，2mn＝2×2×1＝4，而3、4、5就是一組勾股數(shù)．llVIWTNQFk

你還能找到不同的勾股數(shù)嗎?

生：當(dāng)m＝3，n＝2時，m2－n2＝32－22＝5，m2＋n2＝13，2mn＝2×3×2＝12，所以5、12、13也是一組勾股數(shù)，yhUQsDgRT1

當(dāng)m＝4，n＝2時，m2－n2＝42－22＝12，m2＋n2＝20，2mn＝2×4×2＝16，所以12、16、20也是一組勾股數(shù)．MdUZYnKS8I

……

師：由此我們發(fā)現(xiàn)，勾股數(shù)組有無數(shù)個，而上面介紹的就是尋找勾股數(shù)組的一種方法．

17世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家費馬也研究了勾股數(shù)組的問題，并且在這個問題的啟發(fā)下，想到了一個更一般的問題，1637年，他提出了數(shù)學(xué)史上的一個著名猜想——費馬大定理，即當(dāng)n＞2時，找不到任何的正整數(shù)組，使等式xn＋yn＝zn成立，費馬大定理公布以后，引起了各國優(yōu)秀數(shù)學(xué)家的關(guān)注，他們圍繞著這個定理頑強地探索著，試圖來證明它．1995年，英籍?dāng)?shù)學(xué)家懷爾斯終于證明了費馬大定理，解開了這個困惑世間無數(shù)智者300多年的謎．09T7t6eTno

活動3

問題：[例2]“遠(yuǎn)航”號，“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號每小時航行16海里，“海天”號