計算方法第一章誤差

計算方法第一章誤差第1頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四數(shù)值計算方法上課時間：1-18周周三上午三、四節(jié)上課地點：第4，8，12，16周：1班4#機房，2班5#機房其余周次：A1-403考試方式：閉卷成績計算方法：筆試60%，平時20%，上機20%實驗工具：MatLab第2頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四數(shù)值分析數(shù)值分析是數(shù)學(xué)與計算機技術(shù)結(jié)合的一門學(xué)科，是利用計算機解決數(shù)學(xué)問題的理論和方法，是計算數(shù)學(xué)的一個重要分支。

第3頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四現(xiàn)代復(fù)雜工程技術(shù)問題的解決步驟工程問題上機計算數(shù)學(xué)模型結(jié)果分析問題解答設(shè)計算法第4頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四數(shù)值分析涉及的主要內(nèi)容計算機只能進行加減乘除四則運算和一些簡單的函數(shù)計算（即使函數(shù)也是通過數(shù)值分析方法處理，轉(zhuǎn)化為四則運算而形成的小型軟件包）數(shù)值代數(shù)：求解線性方程組和非線性方程組的解法，分直接方法和間接方法插值和數(shù)值逼近。離散的點上的函數(shù)值，想辦法得到點之間的值數(shù)值微分和數(shù)值積分。很多函數(shù)無法求出積分，利用數(shù)值方法求解常微分方程和偏微分方程的數(shù)值解法第5頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四數(shù)值分析需要考慮哪些問題計算速度例如：求解一個20階線性方程組，20個未知量，用加減消原法需3000次乘法運算，用行列式求解需進行9.7*1020次運算，如果用每秒1億次乘法運算的計算機要30萬年。說明了算法方法的重要性2.存儲量。大型問題有必要考慮例如算法所需要保留的中間結(jié)果比較少，則可以省下為保留中間結(jié)果所需要的額外的存儲空間。第6頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四數(shù)值分析需要考慮哪些問題數(shù)值穩(wěn)定性在大量計算中，舍入誤差是積累還是能控制，這與算法有關(guān)。例：一元二次方程

其精確解為如用求根公式：和字長為8位的計算器求解，有又第7頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四數(shù)值分析需要考慮哪些問題

第8頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四誤差的來源和基本概念誤差的來源模型誤差：在建立數(shù)學(xué)模型過程中，不可能將所有因素都考慮，必然要進行必要的簡化，帶來了與實際問題的誤差。不是數(shù)值方法考慮的問題測量誤差：測量已知參數(shù)時，數(shù)據(jù)帶來的誤差。也不是數(shù)值方法考慮的問題截斷誤差：在設(shè)計算法時，必然要近似處理，尋求簡化。這是計算數(shù)學(xué)考慮問題舍入誤差：計算機的字長是有限的，每一步運算均需四舍五入，由此產(chǎn)生的誤差稱舍入誤差。數(shù)值分析主要討論截斷誤差。測量誤差看成初始的舍入誤差，數(shù)值分析也要從整體上討論舍入誤差的影響第9頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四誤差的基本概念絕對誤差和絕對誤差限

X*是精確值，x是它的一個近似值，稱e=x-x*是近似值x的絕對誤差，簡稱誤差。絕對誤差可正可負，是有量綱的。誤差是無法計算的，但可以估計出它的一個上界。即：第10頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四第11頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四相對誤差和相對誤差限相對誤差和相對誤差限記作相對誤差是個相對數(shù)，是無量綱的，也可正可負。相對誤差的估計，即：實際計算中，x*未知，用x代替，兩者的差為：

第12頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四第13頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四例：重力加速度常數(shù)g。兩者均有三位有效數(shù)字后者的絕對誤差大，而相對誤差分別為兩者相等，與量綱的選取無關(guān)第14頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四有效數(shù)字若近似值x的絕對誤差限是某一位數(shù)的半個單位，則說x精確到該位，若從該位到x的左面第一位非零數(shù)字一共有n位，則稱近似值x有n位有效數(shù)字。第15頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四例：3.14有三位有效數(shù)字；3.1416有五位有效數(shù)字，誤差限為0.00005又例：0.003529是四位有效數(shù)字，0.00352900是六位有效數(shù)字。前者的誤差限為，后者為，寫成標(biāo)準(zhǔn)的浮點數(shù)為：第16頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四當(dāng)其中，有效數(shù)字的個數(shù)是l,即第17頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四有效數(shù)字：由絕對誤差決定第18頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四第19頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四第20頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四有效數(shù)字與相對誤差第21頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四此定理說明，相對誤差限是由有效數(shù)字決定。第22頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四第23頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四第24頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四第25頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四第26頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四數(shù)值計算中誤差的傳播1.對函數(shù)的計算：第27頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四數(shù)值計算中誤差的傳播2.對多元函數(shù)的計算：第28頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四數(shù)值計算中誤差的傳播3.四則運算中誤差的傳播：第29頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四證明第二條如下：第30頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四數(shù)值計算中的若干準(zhǔn)則關(guān)于數(shù)值穩(wěn)定性的算法一個程序往往需要進行大量的四則運算才能得出結(jié)果，每一步的運算均會產(chǎn)生舍入誤差。在運算過程中，舍入誤差能控制在某個范圍內(nèi)的算法稱之為數(shù)值穩(wěn)定的算法，否則就稱之為不穩(wěn)定的算法。第31頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四第32頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四第33頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四第34頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四數(shù)值計算中的若干準(zhǔn)則結(jié)果只有一位有效數(shù)字，有效數(shù)字大量損失，造成相對誤差擴大。這是由兩個比較接近的數(shù)相減造成的結(jié)果仍然有四位有效數(shù)字。這說明算法設(shè)計的重要性2.注意避免兩個相近數(shù)的減法第35頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四數(shù)值計算中的若干準(zhǔn)則3.簡化計算步驟，減少運算次數(shù)例：計算的值。只需14次乘法。又如：第36頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四采用“秦九韶算法”例：計算多項式只需n次乘法和n次加法。一般要注意，能在循環(huán)外計算就不要放在循環(huán)內(nèi)計算第37頁，共39頁，2023年