第05章整數規(guī)劃與分配問題

畢德春遼東學院信息技術學院運籌學第五章整數規(guī)劃與分配問題第一節(jié)整數規(guī)劃問題的數學模型例：某服務部門各時段（每2小時為一時段）需要的服務員人數如下表，按規(guī)定，服務員連續(xù)工作8小時（即4個時段）為一班，現(xiàn)要求安排服務員的工作時間，使服務部門服務員總數最小。時段12345678服務員最少數目10891113853解：設第j時段開始時上班的服務員人數為xj，由于第j時段開始時上班的服務員將在第(j+3)時段結束時下班，故決策變量只需考慮x1,x2,x3,x4,x5，此問題的數學模型為：第一節(jié)整數規(guī)劃問題的數學模型此類問題數學模型的一般形式為：求一組變量X1,X2,…,Xn，使第一節(jié)整數規(guī)劃問題的數學模型例：某單位有5個擬選擇的投資項目，其所需投資額與期望收益如下表。由于各項目之間有一定聯(lián)系，A、C、E之間必須選擇一項且僅需選擇一項；B和D之間需選擇也僅需選擇一項；又由于C和D兩項目密切相關，C的實施必須以D的實施為前提條件，該單位共籌集資金15萬元，問應該選擇哪些項目投資，使期望收益最大？項目所需投資額（萬元）期望收益（萬元）A610B48C27D46E59第一節(jié)整數規(guī)劃問題的數學模型解：決策變量：設目標函數：期望收益最大約束條件：投資額限制條件6x1+4x2+2x3+4x4+5x515項目A、C、E之間必須且只需選擇一項：x1+x3+x5=1項目C的實施要以項目D的實施為前提條件：x3

x4項目B、D之間必須且只需選擇一項：x2+x4=1歸納起來，其數學模型為：第一節(jié)整數規(guī)劃問題的數學模型上例表明，利用0-1變量處理一類“可供選擇條件”的問題非常簡明方便。下面再進一步分別說明對0-1變量的應用。假定現(xiàn)有m種資源對可供選擇的n個項目進行投資的數學模型為：求一組決策變量X1,X2,…,Xn，使第一節(jié)整數規(guī)劃問題的數學模型根據變量取整數的情況，將整數規(guī)劃分為：（1）純整數規(guī)劃，所有變量都取整數.（2）混合整數規(guī)劃，一部分變量取整數,一部分變量取實數（3）0-1整數規(guī)劃,所有變量均取0或1第一節(jié)整數規(guī)劃問題的數學模型考慮純整數問題：整數問題的松弛問題：第一節(jié)整數規(guī)劃問題的數學模型求解ILP問題方法的思考：“舍入取整”法：即先不考慮整數性約束，而去求解其相應的LP問題（稱為松馳問題），然后將得到的非整數最優(yōu)解用“舍入取整”的方法。這樣能否得到整數最優(yōu)解？第一節(jié)整數規(guī)劃問題的數學模型例

：設整數規(guī)劃問題如下

首先不考慮整數約束，得到線性規(guī)劃問題（松弛問題）。第一節(jié)整數規(guī)劃問題的數學模型用圖解法求出最優(yōu)解x1＝3/2,x2=10/3且有Z=29/6?，F(xiàn)求整數解（最優(yōu)解）：如用“舍入取整法”可得到4個點即(1，3)(2，3)(1，4)(2，4)。顯然，它們都不可能是整數規(guī)劃的最優(yōu)解。按整數規(guī)劃約束條件，其可行解肯定在線性規(guī)劃問題的可行域內且為整數點。故整數規(guī)劃問題的可行解集是一個有限集，如圖所示。x1x2⑴⑵33(3/2,10/3)第一節(jié)整數規(guī)劃問題的數學模型因此，可將集合內的整數點一一找出，其最大目標函數的值為最優(yōu)解，此法為完全枚舉法。如上例：其中（2，2）（3，1）點為最大值，Z=4。常用的求解整數規(guī)劃的方法有：割平面法和分支定界法，對于0－1規(guī)劃問題采用隱枚舉法和匈牙利法。第一節(jié)整數規(guī)劃問題的數學模型第二節(jié)分配問題與匈牙利法在實際中經常會遇到這樣的問題，有n項不同的任務，需要n個人分別完成其中的一項，但由于任務的性質和各人的專長不同，因此各人去完成不同的任務的效率（或花費的時間或費用）也就不同。于是產生了一個問題，應指派哪個人去完成哪項任務，使完成n項任務的總效率最高（或所需時間最少），這類問題稱為指派問題或分派問題。分配第i個人去完成第j項任務不分配第i個人去完成第j項任務例：有一份說明書，要分別譯成英、日、德、俄四種文字，交甲、乙、丙、丁四個人去完成。因各人專長不同，他們完成翻譯不同文字所需的時間（h）如下表，應如何分配，使這四個人分別完成這四項任務總的時間為最??？第二節(jié)分配問題與匈牙利法第二節(jié)分配問題與匈牙利法分配問題的數學模型：設n個人被分配去做n件工作，規(guī)定每個人只做一件工作，每件工作只有一個人去做。已知第I個人去做第j件工作的的效率（時間或費用）為Cij(i=1.2…n;j=1.2…n)并假設Cij≥0。問應如何分配才能使總效率（時間或費用）最高？設決策變量1分配第i個人去做第j件工作

xij=0相反(I,j=1.2.…n)其數學模型為：第二節(jié)分配問題與匈牙利法

任務人員ABCD甲215134乙1041415丙9141613丁78119例：用匈牙利法求解下列指派問題，已知效率矩陣分別如下：第二節(jié)分配問題與匈牙利法2497第二節(jié)分配問題與匈牙利法42第二節(jié)分配問題與匈牙利法◎?◎??◎◎第二節(jié)分配問題與匈牙利法例：

有一份中文說明書，需譯成英、日、德、俄四種文字，分別記作A、B、C、D?，F(xiàn)有甲、乙、丙、丁四人，他們將中文說明書譯成不同語種的說明書所需時間如下表所示，問如何分派任務，可使總時間最少？

任務人員ABCD甲67112乙4598丙31104丁5982第二節(jié)分配問題與匈牙利法第一步，變換系數矩陣：－5第二步，試指派：◎◎◎??

只找到3個獨立零元素第二節(jié)分配問題與匈牙利法第三步，作最少的直線覆蓋所有0元素：◎◎◎??√√√獨立零元素的個數m等于最少直線數l，即l＝m=3<n=4；第四步，變換矩陣(bij)以增加0元素：沒有被直線覆蓋的所有元素中的最小元素為1，然后打√各行都減去1；打√各列都加上1，得如下矩陣，并轉第二步進行試指派：第二節(jié)分配問題與匈牙利法000000得到4個獨立零元素，所以最優(yōu)解矩陣為：◎◎◎??√√√◎◎◎??最優(yōu)值:15=2+4=1+8◎◎◎??◎第二節(jié)分配問題與匈牙利法115764戊69637丁86458丙9117129乙118957甲EDCBA費工作用人員例：用匈牙利法求解下列指派問題，已知效率矩陣分別如下：第二節(jié)分配問題與匈牙利法-1-2第二節(jié)分配問題與匈牙利法◎?◎◎◎??第二節(jié)分配問題與匈牙利法◎?◎◎◎??√√√第二節(jié)分配問題與匈牙利法◎?◎◎◎??第二節(jié)分配問題與匈牙利法◎?◎?◎?◎?√√√√√√√第二節(jié)分配問題與匈牙利法◎?◎?◎?◎?√√√√√√√第二節(jié)分配問題與匈牙利法◎?◎?◎?◎?√√√√√√√第二節(jié)分配問題與匈牙利法◎??◎??◎?◎?◎此問題有最優(yōu)解是唯一的嗎？最優(yōu)值：28=5+7+6+6+4第二節(jié)分配問題與匈牙利法◎??◎??◎?◎?◎第二節(jié)分配問題與匈牙利法◎??◎??◎?◎?◎第二節(jié)分配問題與匈牙利法例：用匈牙利法求解下列指派問題，已知效率矩陣分別如下：第二節(jié)分配問題與匈牙利法4821第二節(jié)分配問題與匈牙利法非標準型的指派問題最大化指派問題：設m為最大化指派問題系數矩陣C中最大元素。令矩陣B＝（m-cij）nn則以B為系數矩陣的最小化指派問題和原問題有相同的最優(yōu)解。例：

某人事部門擬招聘4人任職4項工作，對他們綜合考評的得分如下表（滿分100分），如何安排工作使總分最多。第二節(jié)分配問題與匈牙利法解:選矩陣中最大元素95，減去其他元素。用匈牙利法求解C’，最優(yōu)解為：即甲安排做第二項工作、乙做第三項、丙做第四項、丁做第三項,最高總分Z＝92＋95＋90＋80＝357第二節(jié)分配問題與匈牙利法不平衡的指派問題當人數m大于工作數n時，加上m－n項虛擬工作，例如：當人數m小于工作數n時，加上n－m個人，例如第二節(jié)分配問題與匈牙利法一個人可做幾件事的指派問題：若某人可做幾件事，則將該人化作相同的幾個“人”來接受指派，且費用系數取值相同。例：丙可以同時任職A和C工作，求最優(yōu)指派方案。第二節(jié)分配問題與匈牙利法某事一定不能由某人做的指派問題：將該人做此事的效率系數取做足夠大的數，可用M表示。例：分配甲、乙、丙、丁四個人去完成A、B、C、D、E五項任務。每個人完成各項任務的時間如表所示。由于任務數多于人數，考慮任務E必須完成，其他4項中可任選3項完成。試確定最優(yōu)分配方案，使完成任務的總時間最少。

任務人員ABCDE甲2529314237乙3938262033丙3427284032丁2442362345第二節(jié)分配問題與匈牙利法解:這是不平衡的指派問題，首先轉換為標準型，再用匈牙利法求解。由于任務數多于人數，所以假定一名虛擬人，設為戊。因為工作E必須完成，故設戊完成E的時間為M（M為非常大的數），其余效率系數為0，則標準型的效率矩陣表示為：

任務人員ABCDE甲2529314237乙3938262033丙3427284032丁2442362345戊0000M第二節(jié)分配問題與匈牙利法用匈牙利法求出最優(yōu)指派方案為：即甲－B，乙－D，丙－E，?。瑼,任務C放棄。最少時間為105。第二節(jié)分配問題與匈牙利法第三節(jié)0-1整數規(guī)劃與隱枚舉法例：求解下列0－1規(guī)劃問題解：對于0－1規(guī)劃問題，由于每個變量只取0，1兩個值，一般會用窮舉法來解，即將所有的0，1組合找出，使目標函數達到極值要求就可求得最優(yōu)解。x1.x2.x3約束條件滿足條件Z值(1)(2)(3)(4)是∨否×(0.0.0)0000∨0(0.0.1)

－1101∨5(0.1.0)2414∨－2(1.0.0)1110∨3(0.1.1)15 ×(1.0.1)0211∨8(1.1.0)3×(1.1.1)26×第三節(jié)0-1整數規(guī)劃與隱枚舉法由上表可知，問題的最優(yōu)解為X*=(x1=1x2=0x3=1)由上表可知：x1=0x2=0x3=1是一個可行解，為盡快找到最優(yōu)解，可將3x1－2x2＋5x3≥5作為一個約束，凡是目標函數值小于5的組合不必討論，如下表。x1.x2.x3約束條件滿足條件Z值(0)(1)(2)(3)(4)是∨否×(0.0.0)00000∨0(0.0.1)5－1101∨5(0.1.0)-2×(0.1.1)3×(1.0.0)3×(1.0.1)80211∨8(1.1.0)1×(1.1.1)4×第三節(jié)0-1整數規(guī)劃與隱枚舉法例：求解下列0－1規(guī)劃問題解：由于目標函數中變量x1,x2,

x4

的系數均為負數，可作如下變換：令x1

＝1－

x1′

,x2=1-x2′,x3=x3′,x4=1-x4′帶入原題中，但需重新調整變量編號。令x3′=x1′,x4′=x2′得到下式。第三節(jié)0-1整數規(guī)劃與隱枚舉法

可以從(1.1.1.1)開始試算，x′(3)＝(1.1.0.1)最優(yōu)解。x(3)＝(1.0.1.0)是原問題的最優(yōu)解，Z*=－2第三節(jié)0-1整數規(guī)劃與隱枚舉法例：求解下列0－1規(guī)劃問題令y1=x5,y2=x4,y3=x2,y4=x3,y5=x1

得到下式第三節(jié)0-1整數規(guī)劃與隱枚舉法y1.y2.y3.y4.y5約束條件滿足條件Z值(1)(2)是∨否×(0，0，0，0，0)00×(1，0，0，0，0)1-1×(0，1，0，0，0)-11×(0，0，1，0，0)-21×(0，0，0，1，0)4-4∨8(0，0，0，0，1)3-2×所以，

Y*=（0.0.0.1.0），原問題的最優(yōu)解為：X*

＝（0.0.1.0.0），Z*=8第三節(jié)0-1整數規(guī)劃與隱枚舉法（0，1，1，0，0）練習：用隱枚舉法求解0—1規(guī)劃問題第三節(jié)0-1整數規(guī)劃與隱枚舉法割平面法的基本思想：若的分量不全是整數，則對增加一個割平面條件，將的可行區(qū)域割掉一塊，恰好在被割掉的區(qū)域內，而原ILP問題的任何一個可行解（格點）都沒有被割去.第四節(jié)割平面法把增添了割平面條件的問題記為，用對偶單純形法求解LP問題.若的最優(yōu)解是整數向量，則是原ILP問題的最優(yōu)解，計算結束；否則對問題在增加一個割平面條件，形成問題，…，如此繼續(xù)下去，通過求解不斷改進的松弛LP問題，知道得到最優(yōu)整數解為止。第四節(jié)割平面法第四節(jié)割平面法例

：用割平面法求解整數規(guī)劃問題解：增加松弛變量x3和x4

，得到(LP)的初始單純形表和最優(yōu)單純形表：Cj0100CBXBbx1x2x3x40x3632100x40-3201－Z00100Cj0100CBXBbx1x2x3x40x11101/6-1/61x23/2011/41/4－Z-3/200-1/4-1/4第四節(jié)割平面法此題的最優(yōu)解為：X＊

(1,3/2)Z=3/2但不是整數最優(yōu)解，引入割平面。以x2為源行生成割平面，由于1/4=0+1/4,3/2=1+1/2,我們已將所需要的數分解為整數和分數，所以，生成割平面的條件為:第四節(jié)割平面法將x3=6-3x1-2x2,x4=3x1-2x2,帶入中，得到等價割平面條件：x2≤1如圖。x1x2⑴⑵33第一個割平面第四節(jié)割平面法Cj01000CBXBbx1x2x3x4s10x11101/6-1/601x23/2011/41/400s1-1/200-1/4-1/41－Z-3/200-1/4-1/40現(xiàn)將生成的割平面條件加入松弛變量，然后加到表中：CBXBbx1x2x3x4s10x12/3100-1/32/31x21010010x320011-4－Z-10000-1第四節(jié)割平面法

此時，X1

＝(2/3,1),Z=1,仍不是整數解。繼續(xù)以x1為源行生成割平面，其條件為：用上表的約束解出x4和s1，將它們帶入上式得到等價的割平面條件：x1≥x2，見圖：x1x2⑴⑵33第一個割平面第二個割平面第四節(jié)割平面法將生成的割平面條件加入松弛變量，然后加到表中：CBXBbx1x2x3x4s1s20x12/3100-1/32/301x210100100x320011-400s2-2/3000-2/3-2/31－Z-10000-10CBXBbx1x2x3x4s1s20x10100-1011x20010-103/20x3600150-60s1100011-3/2－Z000010-3/2第四節(jié)割平面法CBXBbx1x2x3x4s1s20x1110001-1/21x210100100x310010-53/20x4100011-3/2－Z-10000-10至此得到最優(yōu)表，其最優(yōu)解為X＊=(1,1),Z=1,這也是原問題的最優(yōu)解。第四節(jié)割平面法例：

用割平面法求解數規(guī)劃問題Cj1100CBXBbx1x2x3x40x3621100x4204501－Z1100CBXBbx1x2x3x41x15/3105/6－1/61x28/301－2/31/3－Z-13/300－1/6－1/6初始表最優(yōu)表第四節(jié)割平面法將系數和常數都分解成整數和非負真分數之和第四節(jié)割平面法以上式子只須考慮一個即可，解題經驗表明，考慮式子右端最大真分數的式子，往往會較快地找到所需割平面約束條件。以上兩個式子右端真分數相等，可任選一個考慮?，F(xiàn)選第二個式子，并將真分數移到右邊得：引入松弛變量s1后得到下式，將此約束條件加到上表中，繼續(xù)求解。第四節(jié)割平面法Cj11000CBXBbx1x2x3x4s11x15/3105/6－1/601x28/301－2/31/300s1－2/300－1/3－1/31－Z－13/300－1/6－1/60Cj11000CBXBbx1x2x3x4s11x10100－101x240101－20x320011－3－Z－40000－1/2﹡此整數規(guī)劃有兩個最優(yōu)解：X＊=(0,4),Z=4,或X＊=(2,2),Z=4。

第四節(jié)割平面法例：用分枝定界法求解整數規(guī)劃問題（用圖解法計算）記為（IP）解：首先去掉整數約束，變成一般線性規(guī)劃問題記為（LP）第五節(jié)分枝定界法用圖解法求（LP）的最優(yōu)解，如圖所示。x1＝18/11,x2=40/11,Z(0)=－218/11≈(－19.8)即Z也是（IP）最小值的下限。對于x1＝18/11≈1.64，取值x1≤1，x1≥2對于x2=40/11≈3.64，取值x2≤3，x2≥4先將（LP）劃分為（LP1）和（LP2）,取x1≤1,x1≥2x1x2⑴⑵33(18/11,40/11)⑶第五節(jié)分枝定界法

現(xiàn)在只要求出（LP1）和（LP2）的最優(yōu)解即可。第五節(jié)分枝定界法x1x2⑴⑵33(18/11,40/11)⑶先求（LP1）,如圖所示。此時B在點取得最優(yōu)解。x1＝1,x2=3,Z(1)＝－16找到整數解，問題已探明，此枝停止計算。同理求（LP2）,如圖所示。在C

點取得最優(yōu)解。即x1＝2,x2=10/3,Z(2)

＝－56/3≈－18.7∵Z2<Z1＝－16∴原問題有比（－16）更小的最優(yōu)解，但x2不是整數，故利用3≥10/3≥4加入條件。11BAC第五節(jié)分枝定界法加入條件：x2≤3,x2≥4有下式：只要求出（LP3）和（LP4）的最優(yōu)解即可。第五節(jié)分枝定界法x1x2⑴⑵33(18/11,40/11)⑶11BAC先求（LP3）,如圖所示。此時D在點取得最優(yōu)解。即x1＝12/5≈2.4,x2=3,Z(3)＝-87/5≈-17.4<Z≈-19.8但x1＝12/5不是整數，可繼續(xù)分枝。即3≤x1≤2。求（LP4），如圖所示。無可行解，不再分枝。D第五節(jié)分枝定界法

在（LP3）的基礎上繼續(xù)分枝。加入條件3≤x1≤2有下式：只要求出（LP5）和（LP6）的最優(yōu)解即可。第五節(jié)分枝定界法x1x2⑴⑵33(18/11,40/11)⑶11BACD先求（LP5）,如圖所示。此時E在點取得最優(yōu)解。即x1＝2,x2=3,Z(5)＝－17找到整數解，問題探明，此枝停止計算。求（LP6），如圖所示。此時F在點取得最優(yōu)解。x1＝3,x2=2.5,Z(6)＝－31/2≈－15.5>Z(5)

如對Z(6)

繼續(xù)分解，其最小值也不會低于－15.5，問題探明,剪枝。EF第五節(jié)分枝定界法至此，原問題（IP）的最優(yōu)解為：x1=2，x2=3,Z*=Z(5)

＝－17以上的求解過程可以用一個樹形圖表示如右：LP1x1=1,x2=3Z(1)

＝－16LPx1=18/11,x2=40/11Z(0)

＝－19.8LP2x1=2,x2=10/3Z(2)

＝－18.5LP3x1=12/5,x2=3Z(3)

＝－17.4LP4無可行解LP5x1=2,x2=3Z(5)

＝－17LP6x1=3,x2=5/2Z(6)

＝－15.5x1≤1x1≥2x2≤3x2≥4x1≤2x1≥3＃＃＃＃第五節(jié)分枝定界法例：用分枝定界法求解整數規(guī)劃問題（圖解法）

第五節(jié)分枝定界法LP1x1=1,x2=7/3Z(1)

＝10/3LPx1=3/2,x2=10/3Z(0)

＝29/6LP2x1=2,x2=23/9Z(2)

＝41/9x1≤1x1≥2LP5x1=1,x2=2Z(5)

＝3LP6無可行解＃＃x2≤2x2≥3LP3x1=33/14,x2=2Z(3)

＝61/14LP4無可行解x2≤2x2≥3＃LP7x1=2,x2=2Z(7)

＝4LP8x1=3,x2=1Z(8)

＝4x1≤2x1≥3＃＃第五節(jié)分枝定界法LP1x1=1,x2=7/3Z(1)

＝10/3LPx1=2/3,x2=10/3Z(0)

＝29/6LP2x1=2,x2=23/9Z(2)

＝41/9LP3x1=33/14,x2=2Z(3)

＝61/14LP4無可行解LP7x1=2,x2=2Z(7)

＝4LP8x1=3,x2=1Z(8)

＝4x1≤1x1≥2x2≤2x2≥3x1≤2x1≥3＃＃＃＃第五節(jié)分枝定界法3200CB

XB

b

x1x2x3x40x3921109/20x414230114/2-Z032003200CB

XB

b

x1x2x3x43x113/4103/4-1/42x25/201-1/21/2-Z-59/400-5/4-1/4解:用單純形法解對應的(LP)問題,如表所示,獲得最優(yōu)解。初始表最終表例：用分枝定界法求解整數規(guī)劃問題（單純形法）第五節(jié)分枝定界法x1=13/4x2=5/2Z(0)=59/4≈14.75.選x2進行分枝，即增加兩個約束，2≥x2≥3有下式：分別在(LP1)和(LP2)中引入松弛變量x5、x6

，將新約束條件加入上表計算。即x2+x5=2,－x2+x6=－3

如表:第五節(jié)分枝定界法32000CB

XB

b

x1x2x3x4x53x113/4103/4-1/402x25/201-1/21/200x5201001-Z-59/400-5/4-1/403x113/4103/4-1/402x25/201-1/21/200x5-1/2001/2

-1/21-Z-59/400-5/4-1/403x17/2101/20-1/22x22010010x4100-11-2-Z-29/200-3/20-1/2x1=7/2，

x2=2，Z(1)=29/2=14.5繼續(xù)分枝，加入約束3≥x1≥4LP1第五節(jié)分枝定界法32000CB

XB

b

x1x2x3x4x63x113/4103/4-1/402x25/201-1/21/200x6-30-1001-Z-59/400-5/4-1/403x113/4103/4-1/402x25/201-1/21/200x6-1/200-1/2

1/21-Z-59/400-5/4-1/403x15/21001/23/22x230100-10x31001-1-2-Z-27/2000-3/2-5/2LP2x1=5/2,x2=3，Z(2)=27/2=13.5∵Z(2)<Z(1)∴先不考慮分枝第五節(jié)分枝定界法接(LP1)繼續(xù)分枝，加入約束4≤x1≤3，有下式：分別引入松弛變量x7和x8，然后進行計算。第五節(jié)分枝定界法CB

XB

bx1x2x3x4x5x73x17/2101/20-1/202x220100100x4100-11-200x73100001-Z-29/200-3/20-1/203x17/2101/20-1/202x220100100x4100-11-200x7-1/200-1/2