2013年高考安徽理科數(shù)學試題及答案(word解析版)

年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（安徽卷）數(shù)學（理科）第Ⅰ卷（選擇題共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．（1）【2013年安徽，理1，5分】設是虛數(shù)單位，是復數(shù)的共軛復數(shù)．若，則（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】設，則由得，即，所以，，所以，，即，故選A．（2）【2013年安徽，理2，5分】如圖所示，程序框圖（算法流程圖）的輸出結果是（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】開始，，；返回，，，；返回，，，；返回，不成立，輸出，故選D．（3）【2013年安徽，理3，5分】在下列命題中，不是公理的是（）（A）平行于同一個平面的兩個平面相互平行（B）過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面（C）如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在此平面內（D）如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線【答案】A【解析】由立體幾何基本知識知，B選項為公理2，C選項為公理1，D選項為公理3，A選項不是公理，故選A．（4）【2013年安徽，理4，5分】“”是“函數(shù)在區(qū)間內單調遞增”的（）（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件【答案】C【解析】函數(shù)的圖象有以下三種情形：由圖象可知在區(qū)間內單調遞增時，，故選C．（5）【2013年安徽，理5，5分】某班級有50名學生，其中有30名男生和20名女生．隨機詢問了該班五名男生和五名女生在某次數(shù)學測驗中的成績，五名男生的成績分別為86,94,88,92,90，五名女生的成績分別為88,93,93,88,93．下列說法一定正確的是（） （A）這種抽樣方法是一種分層抽樣（B）這種抽樣方法是一種系統(tǒng)抽樣（C）這五名男生成績的方差大于這五名女生成績的方差（D）該班男生成績的平均數(shù)小于該班女生成績的平均數(shù)【答案】C【解析】解法一：對A選項，分層抽樣要求男女生總人數(shù)之比=男女生抽樣人數(shù)之比，所以A選項錯；對B選項，系統(tǒng)抽樣要求先對個體進行編號再抽樣，所以B選項錯；對C選項，男生方差為40，女生方差為30．所以C選項正確；對D選項，男生平均成績?yōu)?0，女生平均成績?yōu)?1．所以D選項錯，故選C．解法二：五名男生成績的平均數(shù)為，五名女生成績的平均數(shù)為，五名男生成績的方差為，五名女生成績的方差為，所以，故選C．（6）【2013年安徽，理6，5分】已知一元二次不等式的解集為，則的解集為（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】由題意知，所以，故選D．（7）【2013年安徽，理7，5分】在極坐標系中，圓的垂直于極軸的兩條切線方程分別為（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】由題意可知，圓可化為普通方程為．所以圓的垂直于軸的兩條切線方程分別為和，再將兩條切線方程化為極坐標方程分別為和，故選B．（8）【2013年安徽，理8，5分】函數(shù)的圖象如圖所示，在區(qū)間上可找到個不同的數(shù)，使得，則的取值范圍是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】可化為，故上式可理解為圖象上一點與坐標原點連線的斜率相等，即可看成過原點的直線與的交點個數(shù)．如圖所示，由數(shù)形結合知識可得，①為，②為，③為，故選B．（9）【2013年安徽，理9，5分】在平面直角坐標系中，是坐標原點，兩定點，滿足，則點集所表示的區(qū)域的面積是（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】以，為鄰邊作一個平行四邊形，將其放置在如圖平面直角坐標系中，使，兩點關于軸對稱，由已知，可得出，點，點，點，現(xiàn)設，則由得，即，由于，，可得，畫出動點滿足的可行域為如圖陰影部分，故所求區(qū)域的面積為，故選D．（10）【2013年安徽，理10，5分】若函數(shù)有極值點，，且，則關于的方程的不同實根個數(shù)是（）（2）由（1）知，．若，則．當即時，單調遞增；當即時，單調遞減．綜上可知，在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減．（17）【2013年安徽，理17，12分】設函數(shù)，其中，區(qū)間．（1）求的長度(注：區(qū)間的長度定義為；（2）給定常數(shù)，當時，求長度的最小值．解：（1）因為方程有兩個實根，，故的解集為．因此區(qū)間，的長度為．（2）設，則．令，得．，故當時，，單調遞增；當時，，單調遞減．所以當時，的最小值必定在或處取得．而，故．因此當時，在區(qū)間上取得最小值．（18）【2013年安徽，理18，12分】設橢圓E：的焦點在軸上．（1）若橢圓的焦距為1，求橢圓的方程；（2）設分別是橢圓的左、右焦點，為橢圓上第一象限內的點，直線交軸于點，并且．證明：當變化時，點在某定直線上．解：（1）因為焦距為1，所以，解得．故橢圓的方程為．（2）設，，，其中．由題設知，則直線的斜率，直線的斜率，故直線的方程為．當時，，即點坐標為．因此，直線的斜率為．由于，所以．化簡得．①將①代入方程，由于點在第一象限，解得，，即點在定直線上．（19）【2013年安徽，理19，13分】如圖，圓錐頂點為，底面圓心為，其母線與底面所成的角為，和是底面圓上的兩條平行的弦，軸與平面所成的角為．（1）證明：平面與平面的交線平行于底面；（2）求．解：（1）設面與面的交線為．，不在面內，所以面．又因為面，面與面的交線為，所以．由直線在底面上而在底面外可知，與底面平行．（2）設CD的中點為．連接，．由圓的性質，，．因為底面，底面，所以．又，故面．又面，因此面面．從而直線在面上的射影為直線，故為與面所成的角．．設，則．根據(jù)題設有，得．由和，得，因此．在中，，故．（20）【2013年安徽，理20，13分】設函數(shù)．證明：（1）對每個，存在唯一的，滿足；（2）對任意，由（1）中構成的數(shù)列滿足．解：（1）對每個，當時，，故在內單調遞增．由于，當時，，故．又，所以存在唯一的，滿足．（2）當時，，故．由在內單調遞增知，，故為單調遞減數(shù)列，從而對任意，．對任意，由于，①．②①式減去②式并移項，利用，得．因此，對任意，都有．（21）【2013年安徽，理21，13分】某高校數(shù)學系計劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測試活動，分別由李老師和張老師負責．已知該系共有位學生，每次活動均需該系位學生參加(和都是固定的正整數(shù))．假設李老師和張老師分別將各自活動通知的信息獨立、隨機地發(fā)給該系位學生，且所發(fā)信息都能收到．記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的學生人數(shù)為．（1）求該系學生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的概率；（2）求使取得最大值的整數(shù)．解：（1）因為事件：“學生甲收到李老師所發(fā)信息”與事件：“學生甲收到張老師所發(fā)信息”是相互獨立的事件，所以與相互獨立．由于，故，因此學生甲收到活動通知信息的概率．（2）當時，只能取，有．當時，整數(shù)滿足，其中是和中的較小者．由于“李老師和張老師各自獨立、隨機地發(fā)活動通知信息給位同學”所