抽象代數(shù)總結(jié)復(fù)習(xí)題包括

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抽象代數(shù)復(fù)習(xí)題及答案

《抽象代數(shù)》試題及答案 本科

一、單項選擇題(在每小題的四個備選答案中，選出一個正確答案，

并將正確答案的序號填在題干的括號內(nèi)。每小題

3分)

1. 設(shè)Q是有理數(shù)集，規(guī)定

(x)等于（B ）

f(x)=

x+2；g(x)=

x2+1,

則（fg

）

A.

x2

2x

1

B.

x2

3

C.

x2

4x

5

D.

x2

x 3

2. 設(shè)f是

（A ）

A到

B的單射，

g是

B到

C的單射，則

gf

是A到

C

的

A. 單射

B. 滿射

C. 雙射

可逆映射

設(shè)S3={（1），（12），（13），（23），（123），（132）}，

S3中與元素（132）不能交換的元的個數(shù)是

(C)。A.1B.2C.3D.44.在整數(shù)環(huán)Z中，可逆元的個數(shù)是(B)。A.1個B.2個C.4個D.無限個5.剩余類環(huán)Z10的子環(huán)有(B)。A.3個B.4個C.5個6個6.設(shè)G是有限群，aG,且a的階|a|=12,則G中元素a8的階為(B)A．2B.3C.6D.9

7．設(shè)G是有限群，對任意a,bG，以下結(jié)論正確的是(A)

A.

整除G的階

(ab)1 b1a1 B. b的階不一定

C.G 的單位元不唯一 D.G 中

消去律不成立設(shè)G是循環(huán)群，則以下結(jié)論不正確的是(A)．．．

A.G 的商群不是循環(huán)群 B.G 的任何子

群都是正規(guī)子群

C.G是交換群 D.G的任何子

群都是循環(huán)群

9.設(shè)集合A={a,b,c}, 以下AA的子集為等價關(guān)系的是( C )

A.

B.

C.

D.

R1

R2

R3

R4

{(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)}

{(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)}

{(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)}

{(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)}

設(shè)f是A到B的滿射，g是B到C的滿射，則gf是A到C的

B）

A. 單射 B. 滿射 C. 雙射

可逆映射

設(shè)S3={（1），（12），（13），（23），（123），（132）}，

則S3中與元素（12）能交換的元的個數(shù)是(B)。A.1B.2C.3D.4

12.在剩余類環(huán)A.1

Z8中，其可逆元的個數(shù)是個B.2個

(

D )。

C. 3個

4個

設(shè)（R，+，·）是環(huán)，則下面結(jié)論不正確的有(

C )。

A. R的零元惟一

C. 對a R，a的負(fù)元不惟一

14. 設(shè)G是群，aG,且a

B. 若x a

D. 若a

的階|a|=12,

0，則x a

b a c，則b

則G中元素

c

a32的

階為(B )A．

2

B.3

C.

6

D. 9

15．設(shè)

G是有限群，對任意

a,b

G，以下結(jié)論正確的是

(A

)

A. |a||G|

元不唯一

D.

B.|b|=

方程ax

b在

∞

G中無解

C.G

的單位

設(shè)G是交換群，則以下結(jié)論正確的是(B)

．．

A.G的商群不是交換群B.G的任何子群都是正規(guī)子群C.G是循環(huán)群D.G的任何子群都是循環(huán)群17.設(shè)A={1，-1,i，-i}，B={1,-1},:A→B,aa2,a∈A，則是從A到B的(A)。A.滿射而非單射B.單射而非滿射C.一一映射D.既非單射也非滿射18.設(shè)A=R（實數(shù)域），B=R（正實數(shù)集），10a，a:a→∈A，則 是從A到B的(C) 。

A.滿射而非單射

B. 單射而非滿射

C. 一一映

射

19.設(shè)

映射作成

D. 既非單射也非滿射

A={所有實數(shù)x}，A的代數(shù)運算是普通乘法，則以下

A到A的一個子集的同態(tài)滿射的是 ( C )。

A.x

C.x

→10x

→|x|

B.x

D.x

→2x

→-x

數(shù)域P上的n階可逆上三角矩陣的集合關(guān)于矩陣的乘法(

C )

A.構(gòu)成一個交換群

B. 構(gòu)成一個循環(huán)群

C.構(gòu)

成一個群 D. 構(gòu)成一個交換環(huán)

21.在高斯整數(shù)環(huán)Z[i]中，可逆元的個數(shù)為（ D ）

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

22.剩余類加群Z8的子群有( B )。

A.3個 B.4個 C.5個 D.6個

23. 下列含有零因子的環(huán)是 （ B ）

A.高斯整數(shù)環(huán)Z[i] B. 數(shù)域P上的n階全矩陣環(huán)

C.偶數(shù)環(huán)2Z D. 剩余類環(huán)Z5

24．設(shè)(R,+,·)是一個環(huán)，則下列結(jié)論正確的是（ D ）

A.R中的每個元素都可逆 B. R的子環(huán)一定是理想 C.

R一定含有單位元 D.R 的理想一定是子環(huán)

25．設(shè)群G是6階循環(huán)群，則群 G的子群個數(shù)為（ A ）

A．4個 B.5 個 C. 6 個 D. 7

個26. 設(shè)A={a,b,c}，B={1,2,3},

則從集合

A到集合

B的滿

射的個數(shù)為 (D)。

A. 1 B. 2 C. 3

D. 6

設(shè)集合A={a,b,c},則以下集合是集合A的分類的

(C)

A. P1={{a,b},{a,c}} B. P2 =

{{a},{b,c},{b,a}}

C. P3={{a},{b,c}} D. P4 =

{{a,b},{b,c},{c}}

28. 設(shè)R=

0a,bZ，那么R關(guān)于矩陣的加法和乘法構(gòu)成0 b

環(huán)，則這個矩陣環(huán)是( A )。

A. 有單位元的交換環(huán) B.

無單位元的交換環(huán)

C. 無單位元的非交換環(huán) D.

有單位元的非交換環(huán)

設(shè)S3={（1），（12），（13），（23），（123），（132）}，

則S3的子群的個數(shù)是(D)。A.1B.2C.3D.630.在高斯整數(shù)環(huán)Z[i]中，單位元是(B)。A.0B.1C.iD.i31..設(shè)G是運算寫作乘法的群，則下列關(guān)于群G的子群的結(jié)論正確的是(B)。A.任意兩個子群的乘積還是子群B.

任意兩個子群的交還是子群群的并還是子群定是正規(guī)子群

C.任意兩個子

D.任意子群一

7階循環(huán)群的生成元個數(shù)是(C)。A. 1

B. 2

C.

6

D. 7

(

33.設(shè)

D

A.

A={a,b,c}

)。

1

，B={1,2,3},

B. 6

則從集合

C.

A到集合B的映射有

18 D.

2734.設(shè)G,為群，其中G是實數(shù)集，而乘法

G中固定的常數(shù)。那么群 G, 中的單位元

:a b

e和元

a b k，這里k為

x的逆元分別是

D）

A.0和x； B.1 和0； C. k和x 2k； D. k和

(x 2k)}

35.設(shè)a,b,c和x都是群G中的元素，且 x2a bxc1,acx xac，那么 x

A）

A.bc1a1； B. c1a1； C. a1bc1； D. b1ca。

36.下列正確的命題是（A）

歐氏環(huán)一定是唯一分解環(huán)；B.主理想環(huán)必是歐氏環(huán)；

C.唯一分解環(huán)必是主理想環(huán)； D. 唯一分解環(huán)必是歐氏

環(huán)。

37．設(shè)H是群G的子群，且G有左陪集分類H,aH,bH,cH。如果|H|6，那么G的階G（B）

A.6；B.24；C.10；D.12。設(shè)G是有限群，則以下結(jié)論正確的是（A）

．．

A.G的子群的階整除G的階B.G的任何子群都是正規(guī)子群

C.G 是交換群 D.G 的任何子群都是循環(huán)

群

39．設(shè)f:G1 G2是一個群同態(tài)映射，那么下列錯誤的命題是

D）

A.f的同態(tài)核是G1的正規(guī)子群；B.G2的正規(guī)子群的原象是G1的正規(guī)子群；

C.G1的子群的象是G2的子群；D.G1的正規(guī)子群的象是G2的正規(guī)子群。

關(guān)于半群，下列說法正確的是：（A）A.半群可以有無窮多個右單位元 B.

群一定有一個右單位元

C.半群如果有右單位元則一定有左單位元

群一定至少有一個左單位元

半

D. 半

二、填空題

(每空

3分)

設(shè)A是m元集，B是n元集，那么A到B的映射共有

（nm）個.2.n次對稱群Sn的階是（n！）.3.一個有限非交換群至少含有（6）個元素.4.設(shè)G是p階群，（p是素數(shù)），則G的生成元有（p1)個.5.除環(huán)的理想共有（2）個.

6.剩余類環(huán)Z6的子環(huán)S={［0］,［2］,［4］}，則S的單位元是

（［4］）.7.在i+3,2,e-3中，（i3）是有理數(shù)域Q上的代數(shù)元.8.2在有理數(shù)域Q上的極小多項式是（x22）.9.設(shè)集合A={a,b}，B={1,2,3}，則AB={(a,1）（,b,1),(a,2),(b,2),(a,3),(b,3)}.）

10.設(shè)R是交換環(huán)，則主理想(a)=（Ra{rama|rR,mZ}.）11．設(shè)(5431),則1(1345).12.設(shè)F是9階有限域，則F的特征是（3）.13．設(shè)1(351),2(2154)是兩個循環(huán)置換，則21（（1342））14.設(shè)F是125階有限整環(huán)，則F的特征是（5）.15.設(shè)集合A含有3個元素，則AA的元素共有（9）個.設(shè)群G的階是2n,子群H是G的正規(guī)子群，其階是n,則G關(guān)于H的商群所含元素的個數(shù)是（2）.

17.設(shè)a、b是群G的兩個元，則(ab)1=（b1a1）.18.環(huán)Z10的可逆元是（[1],[3],[7],[9]）.歐式環(huán)與主理想環(huán)的關(guān)系是（主理想環(huán)不一定是歐式環(huán)，但歐式環(huán)一定是主理想環(huán)）.

20．如果f是A與A間的一一映射，a是A的一個元，則f1fa (a)。

21.設(shè)群G中元素a的階為m，如果an e，那么m與n存在整除關(guān)系為（m整除n）。22．設(shè)(31425)是一個5-循環(huán)置換，那么((52413)).。123．有限群G的階是素數(shù)p，則G是（循環(huán)24．若I是有單位元的環(huán)R的由a生成的主理想，那么

）群。

中的元素

可以表達(dá)為

（{有限和 xiayi|xi,yi R}）。i

25．群(Z12,)的子群有（ 6 ）個。

26．由凱萊定理，任一個抽象群G都同一個（群G的變換群）同構(gòu)。

27．設(shè)A、B分別是 m、n個元組成的集合，則|AB|=

（mn）。28．設(shè)A={a,b,c}，則可定義A的（5）個不同的等價關(guān)系。A的分類M={{a,c},}確定的等價關(guān)系是R({(a,a),(b,b),(c,c),(a,c),(c,a)}）。29.設(shè)G是6階循環(huán)群，則G的生成元有（2）個。非零復(fù)數(shù)乘群C*中由-i生成的子群是

（{i,i,1,1}）。31.剩余類環(huán)Z7的零因子個數(shù)等于（0）。32.素數(shù)階有限群G的子群個數(shù)等于（2）。剩余類環(huán)Z6的子環(huán)S={［0］,［3］},則S的單位元是

（ [3] ）。

34．群 :G~~G，e是G的單位元，則 (e)是（G的單位元 ）。

35.復(fù)數(shù)域的特征是（0）.36.在剩余類環(huán)(Z12,,?)中，[6]?[7]=（[6]）.37.在3-次對稱群S3中，元素(123)的階為：（3）.38.設(shè)Z和Zm分別表示整數(shù)環(huán)和模m剩余類環(huán)，則環(huán)同態(tài)f:ZZm,n[n]的同態(tài)核為（mZ{mr|rZ}）39.32在有理數(shù)域上的極小多項式為（x32）40.無限循環(huán)群一定和（整數(shù)加群(Z,)）同構(gòu).三、判斷題(判斷下列說法是否正確，正確的請打“√”，錯誤的請打“”，每小題3分)設(shè)G是群，則群G的任意兩個子群的并仍是群G的

子群。（）

群的有限子集（非空）構(gòu)成子群，當(dāng)且僅當(dāng)該非空子集的任何兩個元素在G的運算之下，仍在該非空子集之中。（√）

3.設(shè)G是非零實數(shù)在數(shù)的乘法運算之下構(gòu)成的群。 f:

G→G是一個映射，且 f(x)=7x,xG.則f是G到G的同態(tài)映

射。（ ）

一個環(huán)如果有單位元，則它的子環(huán)也一定有單位元。

（）

5.設(shè)G是群，則群G的任意兩個正規(guī)子群的交仍是群G的正規(guī)子群。（√）

設(shè)G是n階有限循環(huán)群，則G同構(gòu)于模n剩余類加群Zn。（√）

7.設(shè):G°G是群同態(tài)，則將G的單位元不一定映射為的單位元。（）°

設(shè)R是環(huán)，A，B是R的任意兩個理想，則AB也是

R的理想。（√）

9. 域 的 特 征 可 以 為 任 何 自 然 數(shù) .

（ ）

群的任何兩個正規(guī)子群的乘積仍然是正規(guī)子群.

（√ ）

4次交錯群A4在4次對稱群S4中的指數(shù)為4.

（ ）

復(fù)數(shù)域是實數(shù)域的單代數(shù)擴張。

（√）

13.除環(huán)一定是域.（）14.3-次對稱群S3的中心是(1).

（ √ ）

15. 整 數(shù) 環(huán) 的 商 域 是 有 理 數(shù) 域 .

（ √ ）

無限循環(huán)群和整數(shù)加群同構(gòu).

（√）17.多項式x23在有理數(shù)域上可約。（）在特征為p的域F中始終有(ab)papbp,a,bF.

（ √ ）

19. 高 斯 整 數(shù) 環(huán) Z[i] 是 唯 一 分 解 環(huán) .

（ √ ）

20．有限集合到有限集合的單射不一定是滿射。

（ ）

有限群的任何子群的階一定整除這個群的階。

（√）

22.設(shè):G1 G2是群G1到群G2的同態(tài)， 則同態(tài)核Ker()是G1的正

規(guī)子群. （ √ ）

素數(shù)階群不一定是循環(huán)群。

（）

24.設(shè)(Z,,?)為整數(shù)環(huán)，p為素數(shù)，則(pZ,,?)是(Z,,?)的極大理想。

（√ ）

四、證明題

設(shè)Q為有理數(shù)域，設(shè)T{ab2|a,bQ}，則T按數(shù)的乘法和加法構(gòu)成一個域.（6分）

證明：T非空，且T是實數(shù)域的一個子集。T關(guān)于數(shù)的加法、乘法封閉是顯然的，而且0ab2T,(ab2)1T,這樣我們就得T關(guān)于加法、乘法構(gòu)成實數(shù)域的一個子域.，因此T按數(shù)的乘法和加法構(gòu)成一個域.。

設(shè)E是F的擴域，且（E：F）=1，則E=F.（6分）

證明：用反證法：若EF，則存在xE,xF，這樣(E:F)2，矛盾！

證明：交換群的商群是交換群.（8分）

證明：設(shè)G為交換群， 且HG，則GHG關(guān)于正規(guī)子群

的商群，且對任意aH,bHH,有,G(aH)(bH)(ab)H(ba)H(bH)(aH)

GH是交換群.

設(shè)A{1,1,i,i},B{1,1}，“·”是數(shù)的乘法，證明：（A，·）～（B，·）。（這里“～”表示（A，·）與（B，·）是滿同態(tài)）（8分）

證明：構(gòu)造映射： f:A B,1 1,1 1,i 1,i 1，則容易驗證 f是

(A,)到（B,)的同態(tài)映射.

5.證明：設(shè)G=a0|aR，則G關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成（R22,）的子00半群.（6分）證明：對任意的

a0b0a0b0ab00,0G,00000G，故由子半群000的判定知， G關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成（ R22,）的子半群，得證 .

設(shè)a是群G的任一元素，若a的階|a|=2，求證：aa1.（6分）證明：由題設(shè)我們知道：a2e,對這個式子的兩邊同時乘

a1得

a1a2 a1e, (a1a)a a1

利用群G中逆元和單位元的性質(zhì)，即得， a a1.7.設(shè)ε=13i，即31=1，G=1,,2，證明：有如下的群同構(gòu)：2（Z3， ）≌（G，·），這里σ（[0]）=1，σ（[1]）=ε，σ（[2]）

2。（8分）

證明：容易驗證下述映射

：Z3G,[0]1,[1],[2]2是雙射，且保持運算，即：([i][j])([i])([j]),[i],[j]Z3.由同構(gòu)映射的定義，即得（Z3，）≌（G，·）.設(shè)G是R2×2中所有可逆矩陣組成的集合，

（i）.證明G關(guān)于矩陣的乘法成群。（6分）

(ii).01的階是多少？（4分）-10(iii).11的階是多少？（4分）01(iv).證明G不是交換群.（6分）

解：（i）注意到由線性代數(shù)知識有：方陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)它的

行列式不為零， 而且兩個方陣的乘積的行列式等于它們行列

式的乘積，由此A,BG,A1G,ABG,故G關(guān)于矩陣的乘法成群.(ii).注意到此時群G的單位元是：10，經(jīng)過簡單計算，我們0101可知-10的階是3.

(iii).11的階是.01(iv).通過簡單計算，得01111101，故G是非交換10010110群。

解答題：

設(shè)Q是有理數(shù)集，“+”是數(shù)的加法，找（Q，+）的所有不同的自同構(gòu)映射。（8分）

解：對任意xQ，定義fx:QQ,aax,對aQ,則集合{fx|xQ,但x0}為(Q,)的所有自同構(gòu)映射.２．設(shè)G=，其中A1=101010A1,A2,,A801,A20-1,A301,A4=10,A5i0,A6i0A7=i0,A8i00-10i0-i0-i0i列出G的乘法（矩陣乘法）運算表。

解：運算表如下：

A1 A2 A3 A4 A5 A6·A7 A8

A1 A1 A2 A3 A4 A5 A6

A7 A8

A2A2A1A4A3A6A5A3A3A8A7A4A4A4A2A8A7A6A5A5A6A5A6A6A3A2A1A7A8A7A7A5A6A8A8A6A8A7A2A1A3A4A5A7A8A1A2A4A3A8A6A5A3A4A2A1A7A5A6A4A3A1A2

３．（１）寫出３－次對稱群 S3的所有元素；（４分）

（２） 求出S3中所有元素的階；（６分）

（３）求出 S3中所有元素的逆元 .（６分）

解：

(１)S3的全部元素為：0123，123，123，3123，1123113222132314323，5123．21312（２）各元素的階為：|1||2||4|2,|3||5|3,|0|1.（３）0，1，2，3，4，5的逆元分別為：0，1，2，5，4，3．

４．找出Z12中的所有零因子．（６分）解：[2],[3],[4],[6],[8],[9],[10]為所有的零因子．５．在有理數(shù)域的擴域Q（32）中，求1+32的逆。（１０分）解：由于32在Q上的最小多項式是p(x)=x3-2，因此由定理，得到Q(32){a0a132a224a0,a1,a2Q}由于1+32在Q(32)的逆元仍然是Q(32)中的元素，故可設(shè)1+32在Q(32)的逆元為a0a132a234,則（1+32）（a0a132a234）=1將p(32)=(32)3-2=0代于上式，并經(jīng)過簡單計算，得到(132)1設(shè)H{[0],[3],[6],[9]}≤Z12，寫出Z1