2023版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：第五章平面向量

成套的課件成套的教案成套的試題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854聯(lián)系QQ309000116加入百度網(wǎng)盤群2500G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動(dòng)更新，一勞永逸第一節(jié)平面向量的概念及線性運(yùn)算·最新考綱·1．了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量的概念和兩個(gè)向量相等的含義，理解向量的幾何表示．2．掌握向量加、減法運(yùn)算．理解其幾何意義．3．掌握向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義，了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義．·考向預(yù)測·考情分析：平面向量的相關(guān)概念，平面向量的線性運(yùn)算，共線向量定理及其應(yīng)用仍是高考考查的熱點(diǎn)，題型仍將是選擇題與填空題．學(xué)科素養(yǎng)：通過向量的線性運(yùn)算考查數(shù)學(xué)運(yùn)算及直觀想象的核心素養(yǎng)．積累必備知識(shí)——基礎(chǔ)落實(shí)贏得良好開端一、必記4個(gè)知識(shí)點(diǎn)1．向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有____________又有________的量；向量的大小叫做向量的______(或________)平面向量是自由向量零向量長度為________的向量；其方向是任意的記作________單位向量長度等于________的向量非零向量a的單位向量為±a平行向量方向__________或________的非零向量0與任一向量________或共線共線向量________________的向量又叫做共線向量相等向量長度__________且方向________的向量相反向量長度__________且方向________的向量0的相反向量為02.向量的表示方法(1)字母表示法：如a，AB等．(2)幾何表示法：用一條____________表示向量．3．向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算____________法則____________法則(1)交換律：a＋b＝____________．(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝____________．減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差____________法則a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算(1)|λa|＝________．(2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與a的方向________；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與a的方向________；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝________λ(μa)＝______________；(λ＋μ)a＝________________；λ(a＋b)＝________________．4.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使________．二、必明2個(gè)常用結(jié)論1．三點(diǎn)共線的等價(jià)轉(zhuǎn)化A，P，B三點(diǎn)共線?AP＝λAB(λ≠0)?OP＝(1－t)·OA＋tOB(O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點(diǎn)，t∈R)?OP＝xOA＋yOB(O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點(diǎn)，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．2．向量的中線公式若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)一點(diǎn)，則OP＝12三、必練4類基礎(chǔ)題(一)判斷正誤1．判斷下列說法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)．(1)向量就是有向線段．()(2)零向量沒有方向．()(3)若向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反．()(4)兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同．()(5)若向量AB與向量CD是共線向量，則點(diǎn)A，B，C，D必在同一條直線上．()(二)教材改編2.[必修4·P86例4改編]如圖，?ABCD的對(duì)角線交于M，若AB＝a，AD＝b，用a，b表示MD為()A．12a＋12bB．12aC．－12a－12bD．－12a3．[必修4·P87練習(xí)T2改編]化簡：(1)(AB+MB)＋(2)NQ+(三)易錯(cuò)易混4．(對(duì)向量相等隱含條件認(rèn)識(shí)不清)若四邊形ABCD滿足AD∥BC且|AB|＝|DC|，則四邊形ABCD的形狀是________．5．(兩向量的方向關(guān)系不清)已知|a|＝2，|b|＝5，則|a＋b|的取值范圍是________．(四)走進(jìn)高考6．[2020·海南卷]若D為△ABC的邊AB的中點(diǎn)，則CB＝()A．2CD?CAC．2CD+CA提升關(guān)鍵能力——考點(diǎn)突破掌握類題通法考點(diǎn)一平面向量的基本概念[基礎(chǔ)性]1．設(shè)a是非零向量，λ是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)與－λa的方向相反B．|－λa|≥|a|C．a(chǎn)與λ2a的方向相同D．|－λa|＝|λ|a2．給出下列命題：①零向量是唯一沒有方向的向量；②零向量的長度等于0；③若a，b都為非零向量，則使aa+bb＝0成立的條件是其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為()A．0B．1C．2D．33．給出下列命題：①若a與b共線，b與c共線，則a與c也共線；②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則AB＝DC，則四邊形ABCD為平行四邊形；③a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b；④已知λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線．其中真命題的序號(hào)是________．反思感悟向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)平行向量就是共線向量，二者是等價(jià)的；非零向量的平行具有傳遞性；相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量；相等向量具有傳遞性．(2)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù)，可以比較大?。?3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的平移混為一談．(4)非零向量a與aa的關(guān)系：aa是與考點(diǎn)二平面向量的線性運(yùn)算[綜合性]角度1平面向量的加、減運(yùn)算的幾何意義[例1]設(shè)非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則()A．a(chǎn)⊥bB．|a|＝|b|C．a(chǎn)∥bD．|a|＞|b|聽課筆記：角度2向量的線性運(yùn)算[例2](1)[2022·重慶診斷]如圖，AB是圓O的一條直徑，C，D為半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則AB＝()A．AC?ADB．2ACC．AD?ACD．2AD－(2)[2022·北京海淀區(qū)模擬]如圖，在等腰梯形ABCD中，DC＝12AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC于點(diǎn)E，則DEA．12ABC．12AB聽課筆記：角度3利用向量的線性運(yùn)算求參數(shù)[例3](1)[2022·廣東韶關(guān)一模]在△ABC中，點(diǎn)M為AC上的點(diǎn)，且AM＝12MC，若BM＝λBA＋μBC，則λ－A．1B．12C．13(2)[2022·河南八市聯(lián)考改編]在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，若AE＝λAB＋μAD，則λ＋μ＝________．聽課筆記：反思感悟平面向量線性運(yùn)算問題的常見類型及解題策略(1)向量加法或減法的幾何意義．向量加法和減法均適合三角形法則．(2)求已知向量的和或差．共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則；求差用三角形法則；求首尾相連向量的和用三角形法則．(3)求參數(shù)問題可以通過研究向量間的關(guān)系，通過向量的運(yùn)算將向量表示出來，與含參數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行比較，求出參數(shù)的值.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．[2022·河北衡水中學(xué)月考]設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且BC＝3CD，則()A．AD＝－1B．AD＝1C．AD＝4D．AD＝42．在△ABC中，D為線段AB上一點(diǎn)且BD＝3AD，若CD＝λCA＋μCB，則λμA．13B．3C．1考點(diǎn)三共線定理及其應(yīng)用[應(yīng)用性][例4]設(shè)兩個(gè)非零向量a和b不共線．(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)．求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．聽課筆記：一題多變1．(變條件，變問題)若將例4(1)中“BC＝2a＋8b”改為“BC＝a＋mb”，則當(dāng)m為何值時(shí)，A，B，D三點(diǎn)共線？2．(變條件)若將例4(2)中的“共線”改為“反向共線”，則k為何值？反思感悟共線向量定理的應(yīng)用(1)證明向量共線：對(duì)于向量a，b，若存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb(b≠0)，則a與b共線．(2)證明三點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù)λ，使得AB＝λAC，則A，B，C三點(diǎn)共線．(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值．[提醒]證明三點(diǎn)共線時(shí)，要說明共線的兩向量有公共點(diǎn)．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．在四邊形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，則四邊形ABCD的形狀是()A．矩形B．平行四邊形C．梯形D．以上都不對(duì)2．[2022·天水市中學(xué)高三月考]已知兩個(gè)非零向量a，b互相垂直，若向量m＝4a＋5b，n＝2a＋λb共線，則實(shí)數(shù)λ的值為()A．5B．3C．523．[2021·浙江高三期末]設(shè)e1，e2是不共線的向量，若AB＝e1＋λe2，CB＝e1＋e2，CD＝3e1－2e2，A，B，D三點(diǎn)共線，則λ的值為________．微專題21新定義下平面向量的交匯運(yùn)算交匯創(chuàng)新[例]定義兩個(gè)平面向量的一種運(yùn)算a?b＝|a|·|b|sin〈a，b〉則關(guān)于平面向量上述運(yùn)算的以下結(jié)論中，①a?b＝b?a；②λ(a?b)＝(λa)?b；③若a＝λb，則a?b＝0；④若a＝λb且λ＞0，則(a＋b)?c＝(a?c)＋(b?c)．正確的序號(hào)是________．解析：①恒成立；②λ(a?b)＝λ|a|·|b|sin〈a，b〉，(λa)?b＝|λa|·|b|sin〈a，b〉，當(dāng)λ＜0時(shí)，λ(a?b)＝(λa)?b不成立；③a＝λb，則sin〈a，b〉＝0，故a?b＝0恒成立；④a＝λb，且λ＞0，則a＋b＝(1＋λ)b，(a＋b)?c＝|(1＋λ)||b|·|c|sin〈b，c〉，(a?c)＋(b?c)＝|λb|·|c|sin〈b，c〉＋|b|·|c|sin〈b，c〉＝|1＋λ||b|·|c|sin〈b，c〉，故(a＋b)?c＝(a?c)＋(b?c)恒成立．答案：①③④名師點(diǎn)評(píng)本例是新定義下平面向量的運(yùn)算，解答本題關(guān)鍵是把此定義運(yùn)算轉(zhuǎn)化為我們所學(xué)的平面向量數(shù)量積運(yùn)算，命題便可判斷．[變式訓(xùn)練]定義平面向量的一種運(yùn)算a⊙b＝|a＋b|×|a－b|×sin〈a，b〉，其中〈a，b〉是a與b的夾角，給出下列命題：①若〈a，b〉＝90°，則a⊙b＝a2＋b2；②若|a|＝|b|，則(a＋b)⊙(a－b)＝4a·b；③若|a|＝|b|，則a⊙b≤2|a|2；其中真命題的序號(hào)是________．第五章平面向量第一節(jié)平面向量的概念及線性運(yùn)算積累必備知識(shí)一、1．大小方向模長度零01個(gè)單位長度相同相反方向相同或相反平行相等相同相等相反2．(2)有向線段3．三角形平行四邊形b＋aa＋(b＋c)三角形|λ||a|相同相反0λμaλa＋μaλa＋λb4．b＝λa三、1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×2．解析：MD＝12BD＝12(AD?AB)＝12(b－答案：D3．解析：(1)原式＝AB+BO+(2)原式＝NP+答案：(1)AB(2)04．解析：當(dāng)|AD|＝|BC|時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形；當(dāng)|AD|≠|(zhì)BC|時(shí)，四邊形ABCD是等腰梯形．答案：等腰梯形或平行四邊形5．解析：當(dāng)a與b方向相同時(shí)，|a＋b|＝7；當(dāng)a與b方向相反時(shí)，|a＋b|＝3；當(dāng)a與b不共線時(shí)，3＜|a＋b|＜7.所以|a＋b|的取值范圍為[3，7].答案：[3，7]6．解析：∵D為△ABC的邊AB的中點(diǎn)，∴CD＝12(CA+CB)，答案：A提升關(guān)鍵能力考點(diǎn)一1．解析：當(dāng)λ＜0時(shí)，a與－λa的方向相同，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)|λ|＜1時(shí)，選項(xiàng)B不成立，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)棣耸欠橇銓?shí)數(shù)，所以λ2＞0，因此a與λ2a的方向相同，所以選項(xiàng)C正確；又因?yàn)閨－λa|是一個(gè)實(shí)數(shù)，|λ|a是一個(gè)向量，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤．答案：C2．解析：①錯(cuò)誤，零向量是有方向的，其方向是任意的；②正確，由零向量的定義可知，零向量的長度為0；③正確，因?yàn)閍a與bb都是單位向量，所以只有當(dāng)aa與bb是相反向量，即答案：B3．解析：①錯(cuò)誤，若b＝0，則a與c不一定共線．②正確，因?yàn)锳B＝DC，所以|AB|＝|DC|且AB∥DC；又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，所以四邊形ABCD為平行四邊形．③錯(cuò)誤，當(dāng)a∥b且方向相反時(shí)，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件．④錯(cuò)誤，當(dāng)λ＝μ＝0時(shí)，a與b可以為任意向量，滿足λa＝μb，但a與b不一定共線．故填②.答案：②考點(diǎn)二例1解析：方法一利用向量加法的平行四邊形法則．在?ABCD中，設(shè)AB＝a，AD＝b，由|a＋b|＝|a－b|知，|AC|＝|DB|，從而四邊形ABCD為矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.方法二∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.∴a·b＝0.∴a⊥b.答案：A例2解析：(1)連接CD，∵C，D是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，∴CD∥AB且AB＝2CD.∴AB＝2CD＝2(AD?AC)＝2AD－2(2)∵CD＝DA，DE⊥AC，∴點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，∴DE＝12DA+1＝DC?12答案：(1)D(2)A例3解析：(1)由AM＝12MC，得AM＝13AC，所以BM＝BA+AM＝BA+13AC＝BA+13(BC?BA)＝23BA+13BC，又因?yàn)?2)取AB的中點(diǎn)F，連接CF，則由題意可得CF∥AD，且CF＝AD.因?yàn)锳E＝AB+BE＝AB+12BC＝AB＋12(FC?FB)＝AB+12AD?12AB答案：(1)C(2)5對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1．解析：由題意得AD＝AC+CD＝AC+13BC答案：A2．解析：方法一依題意得：CD＝CB+BD＝CB+34BA＝CB+34(CA?CB)＝34方法二以CD為對(duì)角線作平行四邊形CFDE，根據(jù)BD＝3AD，可知CD＝CE+CF＝34CA+14CB，所以λ＝34答案：B考點(diǎn)三例4解析：(1)證明：因?yàn)锳B＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，所以BD＝BC+CD＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5AB，所以AB，BD共線．又AB與BD有公共點(diǎn)B，所以A，B，(2)因?yàn)閗a＋b與a＋kb共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，所以k?λ=0，λk?1=0，所以k2－1＝0，即k＝±1.故當(dāng)k一題多變1．解析：BD＝BC+CD＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b，若A，B，D三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)λ，使BD＝λAB，即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)，所以4=λ，m?3=λ，解得m＝7.故當(dāng)m＝7時(shí)，A，B2．解析：因?yàn)閗a＋b與a＋kb反向共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ＜0)，所以k=λ，kλ=1，所以k＝±1.又因?yàn)棣耍?，k＝λ，所以k＝－1.故當(dāng)k對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1．解析：由已知得，AD＝AB+BC+CD＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC，故AD∥BC.又因?yàn)锳B與答案：C2．解析：因?yàn)閍，b是非零向量，且互相垂直，所以m＝4a＋5b≠0，因?yàn)閙，n共線，所以當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)μ，使n＝μm，即2a＋λb＝μ(4a＋5b)，所以(2－4μ)a＝(5μ－λ)b，又因?yàn)閍，b不共線，所以2?4μ=05μ?λ=0?λ＝5答案：C3．解析：因?yàn)閑1，e2是不共線的向量，所以e1，e2可以作為平面內(nèi)一組基底，因?yàn)锳B＝e1＋λe2，CB＝e1＋e2，CD＝3e1－2e2，所以DB＝CB?CD＝(e1＋e2)－(3e1－2e2)＝－2e1＋3e2，因?yàn)锳，B，D三點(diǎn)共線，所以AB∥DB，所以－2λ＝1×3，解得λ＝－答案：－3微專題eq\o(○,\s\up1(21))新定義下平面向量的交匯運(yùn)算變式訓(xùn)練解析：①中，因?yàn)椤碼，b〉＝90°，則a⊙b＝|a＋b|×|a－b|＝a2＋b2，所以①成立；②中，因?yàn)閨a|＝|b|，所以〈(a＋b)，(a－b)〉＝90°，所以(a＋b)⊙(a－b)＝|2a|×|2b|＝4|a||b|，所以②不成立；③中，因?yàn)閨a|＝|b|，所以a⊙b＝|a＋b|×|a－b|×sin〈a，b〉≤|a＋b|×|a－b|≤a+b2+a答案：①③

第二節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示·最新考綱·1．了解平面向量的基本定理及其意義．2．掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示．3．會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算．4．理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件．·考向預(yù)測·考情分析：平面向量基本定理及其應(yīng)用，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量共線的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用仍是高考考查的熱點(diǎn)，題型仍將是選擇題與填空題．學(xué)科素養(yǎng)：通過平面向量基本定理的應(yīng)用考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．積累必備知識(shí)——基礎(chǔ)落實(shí)贏得良好開端一、必記4個(gè)知識(shí)點(diǎn)1．平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)____________向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝____________．2．平面向量的坐標(biāo)表示在直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與________的兩個(gè)單位向量i，j作為基底，對(duì)任一個(gè)向量a，有唯一一對(duì)實(shí)數(shù)x，y使得：a＝xi＋yj，________叫做向量a的直角坐標(biāo)，記作a＝(x，y)，顯然i＝________，j＝________，0＝________．3．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝________，a－b＝________，λa＝________．(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB＝________，|AB|＝________．4．平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?a＝λb(λ∈R)?________．二、必明2個(gè)常用結(jié)論1．向量共線的充要條件的兩種形式(1)a∥b?b＝λa(a≠0，λ∈R)；(2)a∥b?x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．2．已知△ABC的頂點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標(biāo)為(x1三、必練4類基礎(chǔ)題(一)判斷正誤1．判斷下列說法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)．(1)在△ABC中，AB，(2)在△ABC中，設(shè)AB＝a，BC＝b，則向量a與b的夾角為∠ABC.()(3)平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移變換之后，其坐標(biāo)不變．()(4)若a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，且μ1＝μ2.()(5)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可以表示成x1x2(二)教材改編2．[必修4·P101習(xí)題T5改編]已知向量a＝(4，2)，b＝(x，3)，且a∥b，則x的值是()A．－6B．6C．9D．123．[必修4·P101練習(xí)T6改編]設(shè)P是線段P1P2上的一點(diǎn)，若P1(1，3)，P2(4，0)且P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)P1)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A．(2，2)B．(3，－1)C．(2，2)或(3，－1)D．(2，2)或(3，1)(三)易錯(cuò)易混4．(忽視共線的兩種情況)已知點(diǎn)A(－1，3)，B(2，－1)，則與向量AB共線的單位向量是________．5．(向量共線的坐標(biāo)公式掌握不牢)已知點(diǎn)A(1，1)，B(4，2)和向量a＝(2，λ)，若a∥AB，則實(shí)數(shù)λ＝________；若a＝μAB，則μ＝________．(四)走進(jìn)高考6．[全國卷Ⅰ]在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則EB＝()A．34ABC．34AB提升關(guān)鍵能力——考點(diǎn)突破掌握類題通法考點(diǎn)一平面向量基本定理及其應(yīng)用[基礎(chǔ)性][例1](1)[2022·天水市高三月考]如圖所示，在△ABC中，CB＝3CD，AD＝2AE，若AB＝a，AC＝b，則A．16a－13bB．16aC．13a－13bD．16a(2)[2022·甘肅蘭州高三月考]如圖，在△ABC中，AD＝13DC，P是線段BD上一點(diǎn)，若AP＝mAB+1A．13B．23聽課筆記：反思感悟平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)及解題思路(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．[2022·福州市質(zhì)量檢測]在△ABC中，E為AB邊的中點(diǎn)，D為AC邊上的點(diǎn)，BD，CE交于點(diǎn)F.若AF＝37AB+1A．2B．3C．4D．52．已知在△ABC中，點(diǎn)O滿足OA+OB+OC＝0，點(diǎn)P是OC上異于端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，且OP＝mOA＋nOB，則考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算[基礎(chǔ)性]1．已知AB＝(1，－1)，C(0，1)，若CD＝2AB，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為()A．(－2，3)B．(2，－3)C．(－2，1)D．(2，－1)2．已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，則c的坐標(biāo)為()A．1，83C．133，3．已知平行四邊形ABCD中，AD＝(3，7)，AB＝(－2，3)，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，則CO的坐標(biāo)為()A．?12C．12，?5反思感悟求解向量坐標(biāo)運(yùn)算問題的一般思路(1)向量問題坐標(biāo)化：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線性運(yùn)算都可用坐標(biāo)來進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來，通過建立平面直角坐標(biāo)系，使幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量運(yùn)算．(2)巧借方程思想求坐標(biāo)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，求解過程中要注意方程思想的運(yùn)用．(3)妙用待定系數(shù)法求系數(shù)：利用坐標(biāo)運(yùn)算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出系數(shù).考點(diǎn)三平面向量共線的坐標(biāo)表示[綜合性]角度1利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)[例2]已知梯形ABCD中，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三個(gè)頂點(diǎn)A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，則D點(diǎn)坐標(biāo)為________．聽課筆記：反思感悟利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)，一般地，在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程，求出λ的值后代入λa，即可得到所求向量.角度2利用向量共線求參數(shù)[例3](1)[2022·海南昌茂高三月考]已知向量a＝(x＋2，3)，b＝(x，1)，且a∥b，則x的值是()A．－1B．0C．2D．1(2)已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A、B、C三點(diǎn)共線，則k＝________．聽課筆記：反思感悟平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的解題策略(1)利用兩向量共線求參數(shù)．如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”解題比較方便．(2)利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)．一般地，在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(3)三點(diǎn)共線問題．A，B，C三點(diǎn)共線等價(jià)于AB與AC共線．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．[2022·云南昆明市一中月考]在△ABC中，已知AB＝(2，8)，AC＝(－3，2)，若BM＝MC，則AM的坐標(biāo)為________．2．[2022·廣東廣州高三月考]已知向量m＝(2，－3)，n＝1，12?b，若m∥n微專題22巧借坐標(biāo)系——提升運(yùn)算能力思想方法[例]如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，動(dòng)圓Q的半徑為1，圓心Q在線段BC(含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)，P是圓Q上及內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)向量AP＝mAB＋nAD(m，n為實(shí)數(shù))，則m＋n的取值范圍是()A．1?24C．34，94解析：如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則AB＝(4，0)，AD＝(0，4)，AP＝mAB＋nAD＝(4m，4n)，設(shè)Q(4，t)，t∈[0，4]，則P在圓(x－4)2＋(y－t)2＝1上，設(shè)P(4＋cosθ，t＋sinθ)，則4+cosθ=4m，t+sinθ=4n，4m＋4n＝4＋t＋2sinθ+π4，當(dāng)t＝0，θ＝5π4時(shí)，m＋n取得最小值1－24，當(dāng)t＝4，θ＝π4時(shí)，m答案：A名師點(diǎn)評(píng)巧建系妙解題，常見的建系方法(1)利用圖形中現(xiàn)成的垂直關(guān)系若圖形中有明顯互相垂直且相交于一點(diǎn)的兩條直線(如矩形、直角梯形等)，可以利用這兩條直線建立坐標(biāo)系；(2)利用圖形中的對(duì)稱關(guān)系圖形中雖沒有明顯互相垂直交于一點(diǎn)的兩條直線，但有一定對(duì)稱關(guān)系(如等腰三角形，等腰梯形等)，可利用自身對(duì)稱性建系．建立平面直角坐標(biāo)系的基本原則是盡可能地使頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，或在同一象限．[變式訓(xùn)練]給定兩個(gè)長度為1的平面向量OA和OB，它們的夾角為2π3.如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的AB上運(yùn)動(dòng)．若OC＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，問x＋y第二節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示積累必備知識(shí)一、1．不共線λ1e1＋λ2e22．x軸、y軸正方向相同(x，y)(1，0)(0，1)(0，0)3．(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(x2－x1，y2－y1)x4．x1y2－x2y1＝0三、1．答案：(1)√(2)×(3)√(4)√(5)×2．解析：因?yàn)閍∥b，所以4×3－2x＝0，所以x＝6.答案：B3．解析：由已知得，P1P＝13P1P2，P1P2＝(3，－3)．設(shè)P(x，答案：A4．解析：AB＝(3，－4)，|AB|＝32+?42＝5，所以與AB共線的單位向量是答案：35，?5．解析：由題意得AB＝(3，1)，因?yàn)閍∥AB，所以3λ－2＝0， 解得λ＝23由a＝μAB，得(2，λ)＝(3μ，μ)，所以3μ=2，μ=λ，故μ＝2答案：26．解析：作出示意圖如圖所示．EB＝ED+DB＝12×1＝34故選A.答案：A提升關(guān)鍵能力考點(diǎn)一例1解析：(1)因?yàn)镃B＝3CD，AD所以CE＝12(CA+CD)＝－12b＋12×13CB＝－(2)設(shè)BP＝λBD，因?yàn)锳D＝13DC，所以AD＝則AP＝AB+BP＝AB＋λBD＝AB＋λ(BA+AD)＝(1－λ)又因?yàn)锳P＝mAB+16AC，所以1?λ=m14λ=16答案：(1)B(2)A對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1．解析：方法一如圖，設(shè)AC＝λAD，所以AF＝37AB+17AC＝37AB+λ7AD，因?yàn)榉椒ǘO(shè)BF＝λBD，AD＝μAC，則BF＝λ(AD?AB)＝－λAB＋λμAC，所以AF＝AB+BF＝(1－λ又AF＝37AB+17AC，所以1?λ=3答案：C2．解析：依題意，設(shè)OP＝λOC(0＜λ＜1)，由OA+OB+OC＝0，知OC所以O(shè)P＝－λOA－λOB.由平面向量基本定理可知，m＋n＝－2λ，所以m＋n∈(－2，0)．答案：(－2，0)考點(diǎn)二1．解析：設(shè)D(x，y)，則CD＝(x，y－1)，2AB＝(2，－2)，根據(jù)CD＝2AB，得(x，y－1)＝(2，－2)，即x=2，y?1=?2，解得x=2，答案：D2．解析：設(shè)c＝(x，y)．因?yàn)閍－2b＋3c＝0，所以(5，－2)－2(－4，－3)＋3(x，y)＝(0，0)，即(5＋8＋3x，－2＋6＋3y)＝(0，0)所以13+3x=0，4+3y=0，解得x=?133，y=?答案：D3．解析：因?yàn)锳C＝AB+AD＝(－2，3)＋(3，7)＝(1，10)，所以O(shè)C＝12AC＝12答案：D考點(diǎn)三例2解析：∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥CD，∴DC＝2AB，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則DC＝(4－x，2－y)，AB＝(1，－1)，∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)，即(4－x，2－y)＝(2，－2)，∴4?x=2，2?y=?2，解得故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，4)．答案：(2，4)例3解析：(1)由題意x＋2－3x＝0，x＝1.(2)AB＝OB?OA＝(4－k，－7)，AC＝OC?因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以AB，AC共線，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－答案：(1)D(2)－2對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1．解析：由題設(shè)，點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，∴AM＝12(AB+AC答案：?2．解析：因?yàn)閙∥n，所以212?b＝－3×1?答案：2微專題22巧借坐標(biāo)系——提升運(yùn)算能力變式訓(xùn)練解析：以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(1，0)，B(－12設(shè)∠AOC＝αα∈0，則C(cosα，sinα)，由OC＝xOA＋yOB，得cos所以x＝cosα＋33sinα，y＝233所以x＋y＝cosα＋3sinα＝2sinα+π又α∈0，2π3，所以當(dāng)α＝π3時(shí)，x

第三節(jié)平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例·最新考綱·1．理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義．2．了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系．3．掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．4．能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．5．會(huì)用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題．6．會(huì)用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題．·考向預(yù)測·考情分析：平面向量數(shù)量積的概念及運(yùn)算，與長度、夾角、平行、垂直有關(guān)的問題，平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用仍是高考考查的熱點(diǎn)，題型仍將是選擇題與填空題．學(xué)科素養(yǎng)：通過平面向量數(shù)量積的計(jì)算及應(yīng)用考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．積累必備知識(shí)——基礎(chǔ)落實(shí)贏得良好開端一、必記5個(gè)知識(shí)點(diǎn)1．向量的夾角(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，則________就是向量a與b的夾角．(2)范圍：設(shè)θ是向量a與b的夾角，則0°≤θ≤180°.(3)共線與垂直：若θ＝0°，則a與b________；若θ＝180°，則a與b________；若θ＝90°，則a與b________．[提醒]只有兩個(gè)向量的起點(diǎn)重合時(shí)所對(duì)應(yīng)的角才是兩向量的夾角．2．平面向量的數(shù)量積定義設(shè)兩個(gè)非零向量a，b的夾角為θ，則數(shù)量________叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b投影________叫做向量a在b方向上的投影，________叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影________的乘積3.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b都是非零向量，e是單位向量，θ為a與b(或e)的夾角．則(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.(2)a⊥b?________．(3)當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b＝|a|·|b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b＝－|a|·|b|.特別地，a·a＝________或者|a|＝________．(4)cosθ＝________．(5)a·b≤________．4．?dāng)?shù)量積的運(yùn)算律(1)交換律：a·b＝b·a.(2)數(shù)乘結(jié)合律：(λa)·b＝________＝________．(3)分配律：(a＋b)·c＝________．5．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a與b的夾角為θ，則數(shù)量積a·b＝________模|a|＝________夾角cosθ＝________向量垂直的充要條件a⊥b?a·b＝0?________二、必明5個(gè)常用結(jié)論1．求平面向量的模的公式(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝a·a＝(2)|a±b|＝a±b2(3)若a＝(x，y)，則|a|＝x22．有關(guān)向量夾角的兩個(gè)結(jié)論(1)兩個(gè)向量a與b的夾角為銳角，則有a·b＞0，反之不成立(因?yàn)閵A角為0時(shí)不成立)；(2)兩個(gè)向量a與b的夾角為鈍角，則有a·b＜0，反之不成立(因?yàn)閵A角為π時(shí)不成立)．三、必練4類基礎(chǔ)題(一)判斷正誤1．判斷下列說法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)．(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)向量．()(2)向量在另一個(gè)向量方向上的投影也是向量．()(3)若a·b>0，則a和b的夾角為銳角；若a·b<0，則a和b的夾角為鈍角．()(4)若a·b＝0，則a＝0或b＝0.()(5)(a·b)·c＝a·(b·c)．()(6)若a·b＝a·c(a≠0)，則b＝c.()(二)教材改編2．[必修4·P107例6改編]設(shè)a＝(5，－7)，b＝(－6，t)，若a·b＝－2，則t的值為()A．－4B．4C．327D．－3．[必修4·P108習(xí)題T6改編]已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－63，則a與b的夾角θ為()A．π6B．C．2π3D．(三)易錯(cuò)易混4．(不理解向量的幾何意義致誤)已知AB＝(－1，2)，點(diǎn)C(2，0)，D(3，－1)，則向量AB在CD方向上的投影為________；向量CD在AB方向上的投影為________．5．(向量數(shù)量積的性質(zhì)不熟致誤)若平面四邊形ABCD滿足AB+CD＝0，(AB?AD(四)走進(jìn)高考6．[2021·全國乙卷]已知向量a＝(1，3)，b＝(3，4)，若(a－λb)⊥b，則λ＝________．提升關(guān)鍵能力——考點(diǎn)突破掌握類題通法考點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算[基礎(chǔ)性]1．[2022·河南高三月考]已知向量a，b的夾角為120°，且|a|＝1，|b|＝2，則(a－3b)·(2a＋b)＝()A．－8B．－5C．2D．192．[2022·定遠(yuǎn)縣育才學(xué)校高三開學(xué)考試]正四面體ABCD棱長為a，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，則AE·AF的值為()A．a(chǎn)2B．12a2C．14a2D．33．已知向量a，b滿足a·(b＋a)＝2，且a＝(1，2)，則向量b在a方向上的投影為()A．55B．－55C．－24．已知正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)P滿足AP＝12(AB+AC)，則|PD反思感悟計(jì)算向量數(shù)量積的三個(gè)角度(1)定義法：已知向量的模與夾角時(shí)，可直接使用數(shù)量積的定義求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a與b的夾角)．(2)基向量法：計(jì)算由基底表示的向量的數(shù)量積時(shí)，應(yīng)用相應(yīng)運(yùn)算律，最終轉(zhuǎn)化為基向量的數(shù)量積，進(jìn)而求解．(3)坐標(biāo)法：若向量選擇坐標(biāo)形式，則向量的數(shù)量積可應(yīng)用坐標(biāo)的運(yùn)算形式進(jìn)行求解.考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用[綜合性]角度1平面向量的模[例1](1)[2022·蘇州中學(xué)高三月考]已知非零向量a，b的夾角為60°，且|b|＝1，|2a－b|＝1，則|a|＝()A．12B．1C．2(2)[2022·福建南平市監(jiān)測]已知單位向量e1，e2的夾角為2π3，則|e1－λe2A．22B．12C．3反思感悟1．求向量模長的方法利用數(shù)量積求模是數(shù)量積的重要應(yīng)用，要掌握此類問題的處理方法：(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝a·(2)|a±b|＝a±b2(3)若a＝(x，y)，則|a|＝x2．求向量模的最值(范圍)的方法(1)代數(shù)法，先把所求的模表示成某個(gè)變量的函數(shù)，再用求最值的方法求解；(2)幾何法(數(shù)形結(jié)合法)，弄清所求的模表示的幾何意義，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)表示的圖形求解；(3)利用絕對(duì)值三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|求模的最值(取值范圍)．角度2平面向量的夾角[例2](1)[2020·全國卷Ⅲ]已知向量a，b滿足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，則cos〈a，a＋b〉＝()A．－3135B．－1935C．17(2)[2022·山西省八校高三聯(lián)考]已知向量a＝(－1，2)，單位向量b滿足b·(a＋5b)＝52，則向量a，b的夾角θ聽課筆記：反思感悟求向量夾角問題的方法(1)定義法：當(dāng)a，b是非坐標(biāo)形式時(shí)，求a與b的夾角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它們之間的關(guān)系，由cosθ＝a·(2)坐標(biāo)法：若已知a＝(x1，y1)與b(x2，y2)，則cos〈a，b〉＝x1x2+y1y(3)解三角形法：可以把所求兩向量的夾角放到三角形中進(jìn)行求解．角度3平面向量的垂直[例3](1)已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，若λa－b與b垂直，則λ＝()A．－1B．1C．－2D．2(2)已知向量AB與AC的夾角為120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB+AC，且AP⊥BC，則實(shí)數(shù)聽課筆記：反思感悟有關(guān)平面向量垂直的兩類題型【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．[2022·合肥市第六中學(xué)高三模擬]若單位向量a，b滿足(a－2b)·(a＋b)＝－12，則|a－bA．1B．2C．3D．22．[2022·河北武強(qiáng)中學(xué)高三月考]已知非零向量a，b滿足|a|＝2|b|，且(a－b)·b＝0，則a與b的夾角為________．3．[2022·四川遂寧市高三模擬]已知向量a＝(2，1)，b＝(－3，－1)，且kb－a與a垂直，則k＝________．考點(diǎn)三平面向量的綜合應(yīng)用[綜合性]角度1平面向量與三角函數(shù)[例4][2022·湖北高三月考]已知向量a＝(3sinx，cosx)，b＝(cosx，cosx)．(1)若a∥b，且x∈(－π，0)，求x的值；(2)若函數(shù)f(x)＝2a·b－1，且fx2＝13，求sin聽課筆記：反思感悟平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路(1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解．(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_(dá)形式，解題思路是經(jīng)過向量的運(yùn)算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等．角度2平面向量與解三角形[例5]在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，向量m＝(2sinB，2－cos2B)，n＝2sin2π4+(1)求角B的大?。?2)若a＝3，b＝1，求c的值．聽課筆記：反思感悟本例的第(1)小題，利用向量垂直的充要條件將問題轉(zhuǎn)化為三角方程，使問題獲得解決．第(2)小題突出了余弦定理和正弦定理的應(yīng)用．本例不僅考查了解三角形的技巧和方法，還注重了分類討論思想的考查．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．[2022·河北武強(qiáng)中學(xué)高三月考]已知向量a＝(cosα，3)，b＝(sinα，－4)，a∥b，則3sinA．－12C．－43D．2．[2022·河南洛陽模擬]在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且(a－2b)sinA＝(c＋b)(sinC－sinB)，設(shè)D是AB的中點(diǎn)，若CD＝1，則△ABC面積的最大值是()A．2－1B．2＋1C．3－22D．3＋223．[2022·福建泉州模擬]已知函數(shù)f(x)＝d·e，其中d＝(2cosx，－3sin2x)，e＝(cosx，1)，x∈R.(1)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，f(A)＝－1，a＝7，且向量m＝(3，sinB)與n＝(2，sinC)共線，求邊長b和c的值．微專題23平面向量與三角形的“四心”邏輯推理三角形的“四心”：設(shè)O為△ABC所在平面上一點(diǎn)，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則(1)O為△ABC的外心?|OA|＝|OB|＝|OC|＝a2(2)O為△ABC的重心?OA+(3)O為△ABC的垂心?OA·OB＝OB·OC＝OC·OA.(4)O為△ABC的內(nèi)心?aOA＋bOB＋cOC＝0.類型1平面向量與三角形的“重心”問題[例1][2022·山東萊州一中高三開學(xué)考試]O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP＝OA＋λ(AB+AC)，λ∈[0，＋∞)，則P的軌跡一定通過△A．外心B．垂心C．內(nèi)心D．重心解析：令D為BC的中點(diǎn)，則OP＝OA＋λ(AB+AC)＝OA＋2λ于是有AP＝2λAD，∴點(diǎn)A、D、P共線，即點(diǎn)P的軌跡通過三角形ABC的重心．答案：D類型2平面向量與三角形的“內(nèi)心”問題[例2]在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cosA＝15，O是△ABC的內(nèi)心，若OP＝xOB＋yOC，其中x，y∈[0，1]，則動(dòng)點(diǎn)PA．1063C．43D．62解析：根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以O(shè)B，OC為鄰邊的平行四邊形及其內(nèi)部，其面積為△BOC的面積的2倍．在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得a＝7.設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，則12bcsinA＝12(a＋b＋c)r，解得r＝所以S△BOC＝12×a×r＝12×7×263＝763.故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所覆蓋圖形的面積為2答案：B類型3平面向量與三角形的“垂心”問題[例3]已知O是平面上的一個(gè)定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP＝OA＋λ(ABABcosB+ACACcosC)，λ∈(0，＋A．重心B．垂心C．外心D．內(nèi)心解析：因?yàn)镺P＝OA＋λ(ABAB所以AP＝OP?OA＝λ(所以BC·AP＝BC·λ(ABABcosB+ACACcosC)＝λ(－|BC|＋|BC|)＝0，所以BC⊥AP，所以點(diǎn)P答案：B類型4平面向量與三角形的“外心”問題[例4]已知在△ABC中，AB＝1，BC＝6，AC＝2，點(diǎn)O為△ABC的外心，若AO＝xAB＋yAC，則有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)為()A．45，C．?45解析：取AB的中點(diǎn)M和AC的中點(diǎn)N，連接OM，ON，則OM⊥AB，ON⊥AC，OM＝AM?AO＝12AB－(xAB＋yAC)＝12?xAB－yAC，ON＝AN?由OM⊥AB，得12?xAB2－yAC由ON⊥AC，得12?yAC2－xAC又因?yàn)锽C2＝(AC?AB)2＝AC2－2AC·AB+AB2，所以AC·把③代入①、②得1?2x+y=0，解得x＝45，y＝3故實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)為45答案：A類型5平面向量與三角形的“四心”問題[例5]已知向量OP1，OP2，OP3滿足條件OP1+證明：由已知條件可得OP1+OP2同理OP2·O即∠P1OP2＝∠P2OP3＝∠P1OP3＝120°，∴|P1P2|＝|P從而△P1P2P3是正三角形．第三節(jié)平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例積累必備知識(shí)一、1．(1)∠AOB(3)同向反向垂直2．|a||b|cosθ|a|cosθ|b|cosθ|b|cosθ3．(2)a·b＝0(3)|a|2a·a(4)a·bab(5)|a||4．(2)λ(a·b)a·(λb)(3)a·c＋b·c5．x1x2＋y1y2x1x1x2+y1y2x12三、1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×2．解析：因?yàn)閍·b＝5×(－6)－7t＝－2，所以t＝－4.答案：A3．解析：cosθ＝a·bab＝?632×6＝－32答案：D4．解析：由點(diǎn)C(2，0)，D(3，－1)，得CD＝(1，－1)，所以向量AB在CD方向上的投影為|AB|cos〈AB，CD〉＝AB·CDCD＝－322，向量CD在AB方向上的投影為|CD答案：－3225．解析：由四邊形ABCD滿足AB+CD＝0知，四邊形ABCD為平行四邊形．又由(AB?AD)·AC＝0，即答案：菱形6．解析：因?yàn)閍－λb＝(1，3)－λ(3，4)＝(1－3λ，3－4λ)，所以由(a－λb)⊥b可得，3(1－3λ)＋4(3－4λ)＝0，解得λ＝35答案：3提升關(guān)鍵能力考點(diǎn)一1．解析：∵a·b＝1×2×?1∴(a－3b)·(2a＋b)＝2|a|2－5a·b－3|b|2＝2×1－5×(－1)－3×4＝－5.答案：B2．解析：因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，所以AE·AF＝12(AB+AC)·12AD＝14(a·a·cosπ3＋a·a·cosπ3)＝1答案：C3．解析：由a＝(1，2)，可得|a|＝5，由a·(b＋a)＝2，可得a·b＋a2＝2，∴a·b＝－3，∴向量b在a方向上的投影為a·ba答案：D4．解析：方法一如圖，在正方形ABCD中，由AP＝12(AB+AC)得點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，∴|PD|＝5，PB·PD＝PB·(PC+CD)＝PB·PC+PB方法二∵AP＝12(AB+AC)，∴P為BC的中點(diǎn)，以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意知A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，P(2，1)，∴|PD|＝2?02+1?22＝答案：5－1考點(diǎn)二例1解析：(1)因?yàn)榉橇阆蛄縜，b的夾角為60