(典型題)高中數學必修四第二章《平面向量》檢測卷(包含答案解析)

一、選擇題1．已知中，，，若是其內一點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．點M，N，P在所在平面內，滿足，，且，則M、N、P依次是的（）A．重心，外心，內心 B．重心，外心，垂心C．外心，重心，內心 D．外心，重心，垂心3．設向量，，滿足，，，則的最小值是（）A． B． C． D．14．過點的直線與函數的圖象交于，兩點，為坐標原點，則（）A． B． C．10 D．205．若平面向量a與b的夾角為60°，|b|=4，(aA．2 B．4 C．6 D．126．已知非零向量，且，為垂足，若，則等于()A． B． C． D．7．在中，為的中點，且，若的面積為，則的長為（）A． B． C．3 D．8．如圖，已知點D為的邊BC上一點，，為AC邊的一列點，滿足，其中實數列中，，，則的通項公式為（）A． B． C． D．9．在中，為的中點，為邊上靠近點的三等分點，且，則的最小值為（）A． B． C． D．10．是邊長為的正三角形，是的中心，則（）A．2 B．﹣2 C． D．11．在中，，，為所在平面上任意一點，則的最小值為（）A．1 B． C．－1 D．-212．在中，是邊上的一點，是上的一點，且滿足和，連接并延長交于，若，則的值為（）A． B．C． D．二、填空題13．不共線向量，滿足，且，則與的夾角為________.14．把單位向量繞起點逆時針旋轉，再把模擴大為原來的3倍，得到向量，點在線段上，若，則的值為__________．15．已知平面非零向量兩兩所成的角相等，，則的值為_____．16．已知平面非零向量，滿足且，已知，則的取值范圍是________17．如圖，在矩形中，，，圓M為的內切圓，點P為圓上任意一點，且，則的最大值為________.18．在中，已知，，.若點C，D滿足，，則的值為_______________.19．已知，，則在的方向上的投影為________．20．已知夾角為的兩個單位向量，向量滿足，則的最大值為______.三、解答題21．已知，．（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）當為何值時，向量與互相垂直？22．已知，，k為何值時，（1）與垂直？（2）與平行？23．已知，，函數．（1）求函數圖象的對稱軸方程；（2）若方程在上的解為，，求的值．24．設，.（1）若，求實數的值；（2）若，且，與的夾角為，求，的值.25．如圖一，在平面直角坐標系中，為坐標原點，，，請根據以下信息，處理問題（1）和（2）.信息一：為坐標原點，，若將順時針旋轉得到向量，則，且；信息二：與的夾角記為，與的夾角記為，則；信息三：；信息四：，叫二階行列式.（1）求證：，（外層“”表示取絕對值）；（2）如圖二，已知三點，，，試用（1）中的結論求的面積.26．已知平行四邊形中，，，，點是線段的中點.(1)求的值；(2)若，且，求的值.【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除一、選擇題1．C解析：C【分析】以為坐標原點，以過點垂直于的直線為軸，建立平面直角坐標系，求出，，設，因為點是其內一點，所以，，計算得最值，即可求解.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系：則，因為，所以，可得，，所以，,設，因為點是其內一點，所以，，當，時最大為，當時最小為，所以的取值范圍是，故選：C【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵點是建立直角坐標系，將數量積利用坐標表示，根據點是其內一點，可求出的范圍，可求最值.2．B解析：B【分析】由三角形五心的性質即可判斷出答案．【詳解】解：，，設的中點，則，，，三點共線，即為的中線上的點，且．為的重心．，，為的外心；，，即，，同理可得：，，為的垂心；故選：．【點睛】本題考查了三角形五心的性質，平面向量的線性運算的幾何意義，屬于中檔題．3．B解析：B【分析】建立坐標系，以向量，的角平分線所在的直線為軸，使得，的坐標分別為，，設的坐標為，由已知可得，表示以為圓心，為半徑的圓，求出圓心到原點的距離，再減去半徑即為所求【詳解】解：建立坐標系，以向量，的角平分線所在的直線為軸，使得，的坐標分別為，，設的坐標為，因為，所以，化簡得，表示以為圓心，為半徑的圓，則的最小值表示圓上的點到原點的距離的最小值，因為圓到原點的距離為，所以圓上的點到原點的距離的最小值為，故選：B【點睛】此題考查平面向量的數量積運算，解題的關鍵是寫出滿足條件的對應的點，考查數學轉化思想，考查數形結合的思想，屬于中檔題4．D解析：D【分析】判斷函數的圖象關于點P對稱，得出過點的直線與函數的圖象交于A，B兩點時，得出A，B兩點關于點P對稱，則有，再計算的值．【詳解】，∴函數的圖象關于點對稱，∴過點的直線與函數的圖象交于A，B兩點，且A，B兩點關于點對稱，∴，則．故選D．【點睛】本題主要考查了函數的對稱性，以及平面向量的數量積運算問題，是中檔題．5．C解析：C【解析】∵(a+2b)·(a-3b)=-72，∴6．B解析：B【解析】試題分析：,即，即，．考點：平面向量的數量積的應用.7．B解析：B【分析】設先化簡得，由的面積為得，即得的長.【詳解】設由題得，所以，所以.因為的面積為，所以.所以.所以.故選：B【點睛】本題主要考查平面向量的數量積運算，考查三角形的面積的應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.8．D解析：D【分析】以和為基底，表示，根據，A，C三點共線，可得，構造等比數列，即可求出通項公式.【詳解】,又因為，A，C三點共線，即，即，所以數列是等比數列，首項為2，公比為3．，即，故選：D．【點睛】本題考查了平面向量基本定理和等比數列的通項公式，考查了運算求解能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.9．D解析：D【分析】作出圖形，用、表示向量、，由可得出，利用基本不等式求得的最小值，結合二倍角的余弦公式可求得的最小值.【詳解】如下圖所示：，，，則，即，可得，當且僅當時，等號成立，所以，.故選：D.【點睛】本題考查二倍角余弦值最值的求解，考查平面向量垂直的數量積的應用，同時也考查了基本不等式的應用，考查計算能力，屬于中等題.10．B解析：B【分析】根據是邊長為的正三角形，是的中心，得到，然后利用平面向量的數量積運算求解.【詳解】因為是邊長為的正三角形，是的中心，所以，所以故選：B.【點睛】本題主要考查平面向量的數量積運算以及三角形的知識，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.11．C解析：C【分析】以為建立平面直角坐標系，設，把向量的數量積用坐標表示后可得最小值．【詳解】如圖，以為建立平面直角坐標系，則，設，，，，，∴，∴當時，取得最小值．故選：C．【點睛】本題考查向量的數量積，解題方法是建立平面直角坐標系，把向量的數量積轉化為坐標表示．12．C解析：C【分析】首先過做，交于，根據向量加法的幾何意義得到為的中點，從而得到為的中點，再利用相似三角形的性質即可得到答案.【詳解】如圖所示，過做，交于.因為，所以為的中點.因為，所以為的中點，因為，所以.因為，所以，即.又因為，所以，故.故選：C【點睛】本題主要考查了向量加法運行的幾何意義，同時考查了相似三角形的性質，屬于中檔題.二、填空題13．【解析】由垂直可知=0即又因為所以填（或）解析：【解析】由垂直可知=0,即,,,又因為,所以.填（或）.14．【分析】由題意可得與夾角為先求得則再利用平面向量數量積的運算法則求解即可【詳解】單位向量繞起點逆時針旋轉再把模擴大為原來的3倍得到向量所以與夾角為因為所以所以故答案為【點睛】本題主要考查平面向量幾何解析：【分析】由題意可得，與夾角為，先求得，則，再利用平面向量數量積的運算法則求解即可.【詳解】單位向量繞起點逆時針旋轉，再把模擴大為原來的3倍，得到向量，所以，與夾角為，因為，所以，所以，故答案為.【點睛】本題主要考查平面向量幾何運算法則以及平面向量數量積的運算，屬于中檔題.向量的運算有兩種方法：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）．15．3或0【分析】由于三個平面向量兩兩夾角相等可得任意兩向量的夾角是或由于三個向量的模已知當兩兩夾角為時直接算出結果；當兩兩夾角為時采取平方的方法可求出三個向量的和向量的?！驹斀狻坑深}意三個平面向量兩兩解析：3或0【分析】由于三個平面向量兩兩夾角相等，可得任意兩向量的夾角是或，由于三個向量的模已知，當兩兩夾角為時，直接算出結果；當兩兩夾角為時，采取平方的方法可求出三個向量的和向量的模．【詳解】由題意三個平面向量兩兩夾角相等，可得任意兩向量的夾角是或，當兩兩夾角為時，方向相同，則；當兩兩夾角為時，由于，則，則，.綜上的值為3或0.故答案為：3或0.【點睛】本題考查平面向量的模的求法，涉及向量的夾角和向量的數量積運算，解題的關鍵是理解向量夾角的定義，考查運算能力.16．【分析】設設則由得到再利用得到再設得到根據可解得結果【詳解】因為所以可設設則由得所以由得化簡得所以所以由得所以設則所以所以由得解得所以所以所以故答案為：【點睛】本題考查了向量的數量積的坐標運算考查了解析：【分析】設，，設，則，由，得到，，再利用，得到，再設，得到，根據，可解得結果.【詳解】因為，所以可設，，設，則，由，得，所以，由，得，化簡得，所以，所以由，得，所以，設，則，所以，所以，由，得，解得，所以，所以，所以，故答案為：.【點睛】本題考查了向量的數量積的坐標運算，考查了向量的模長公式，屬于中檔題.17．【分析】以點B為坐標原點建立平面直角坐標系如下圖所示由已知條件得出點坐標圓M的方程設由得出再設（為參數）代入中根據三角函數的值域可求得最大值【詳解】以點B為坐標原點建立平面直角坐標系如下圖所示因為在解析：【分析】以點B為坐標原點，建立平面直角坐標系如下圖所示，由已知條件得出點坐標，圓M的方程，設，由，得出，再設（為參數），代入中，根據三角函數的值域，可求得最大值.【詳解】以點B為坐標原點，建立平面直角坐標系如下圖所示，因為在矩形中，，，所以圓M的半徑為，所以，，，，，圓M的方程為，設，又，所以，解得，又點P是圓M上的點，所以（為參數），所以，其中，所以，當時，取得最大值，故答案為：.【點睛】本題考查向量的線性表示，動點的軌跡中的最值問題，屬于中檔題.18．【分析】以為基底向量表示再由數量積的運算律定義計算即可【詳解】∵∴D為OB的中點從而∴∵∴∴故答案為：【點睛】本題考查平面向量的數量積需要根據題意確定基底向量再根據平面向量基本定理表示所求的向量數量解析：【分析】以為基底向量表示，再由數量積的運算律、定義計算即可．【詳解】∵，∴D為OB的中點，從而，∴∵，，，∴∴.故答案為：．【點睛】本題考查平面向量的數量積，需要根據題意確定基底向量，再根據平面向量基本定理表示所求的向量數量積，進而根據數量積公式求解．屬于中檔題.19．2【分析】根據向量在的方向上的投影為結合向量的數量積的坐標運算和模的計算公式即可求解【詳解】由題意向量可得則在的方向上的投影為故答案為：【點睛】本題主要考查了平面向量數量積的坐標運算和模計算公式的應解析：2【分析】根據向量在的方向上的投影為，結合向量的數量積的坐標運算和模的計算公式，即可求解.【詳解】由題意，向量，，可得，，則在的方向上的投影為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了平面向量數量積的坐標運算和模計算公式的應用，以及向量的投影的概念與計算，其中解答熟記平面向量的數量積、模及投影的計算公式是解答的關鍵，著重考查推理與運算能力.20．【分析】建立平面直角坐標系設出向量的坐標得出向量的終點的軌跡方程再運用點與圓的位置關系可以得到的最大值【詳解】由已知建立平面直角坐標系設又所以所以點在以為圓心以為半徑的圓上所以的最大值為所以的最大值解析：【分析】建立平面直角坐標系，設出向量的坐標，得出向量的終點的軌跡方程，再運用點與圓的位置關系可以得到的最大值.【詳解】由已知建立平面直角坐標系，設，又，所以，所以點在以為圓心，以為半徑的圓上，所以的最大值為，所以的最大值為，故答案為：.【點睛】本題考查求向量的模的最值，建立平面直角坐標系，設出向量坐標，得出向量的終點的軌跡方程是解決本題的關鍵，屬于中檔題.三、解答題21．（Ⅰ），＝2；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）根據數量積與模的坐標表示計算；（Ⅱ）由向量垂直的坐標表示求解．【詳解】（Ⅰ）由題意；．（Ⅱ），因為向量與互相垂直，所以，解得．【點睛】本題考查向量數量積與模的坐標表示，考查向量垂直的坐標表示，屬于基礎題．22．（1）1（2）-1【分析】（1）分別表示出與，再利用數量積為0求解即可；（2）若與平行，則等價于，化簡即可；【詳解】（1）當時時（2）當與平行時時，與平行【點睛】本題考查向量加法與減法的坐標運算，由兩向量平行與垂直求參數，屬于基礎題23．（Ⅰ）;（Ⅱ）.【分析】（1）先根據向量數量積的坐標表示求出,利用二倍角公式與輔助角公式化簡，結合正弦函數的對稱性即可求出函數的對稱軸；（2）由方程在（上的解為，及正弦函數的對稱性可求，進而可得結果．【詳解】解：，，令可得，函數圖象的對稱軸方程，方程在上的解為，，由正弦函數的對稱性可知，，，.【點睛】本題主要考查了向量數量積的坐標表示，正弦函數的對稱性的應用，屬于基礎試題．以三角形和平面向量為載體，三角恒等變換為手段，對三角函數及解三角形進行考查是近幾年高考考查的一類熱點問題，一般難度不大，但綜合性較強.解答這類問題，兩