2023屆內蒙古通遼市爾沁左翼中旗實驗高級中學高三第二次模擬考試數(shù)學試題

2023屆內蒙古通遼市爾沁左翼中旗實驗高級中學高三第二次模擬考試數(shù)學試題一、單選題1．設全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出，再根據交集的定義可求.【詳解】，故，故選：A.2．（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據復數(shù)的乘法和除法運算計算即可.【詳解】解：.故選：D.3．已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】先求得，然后求得.【詳解】因為，所以.故選：D4．若數(shù)列的首項為且滿足數(shù)列的前4項和=（

）A．33 B．45 C．48 D．78【答案】D【分析】根據題中條件，由構造法，得到是等比數(shù)列，確定首項和公比，求出其通項公式，得出的通項，進而可求出其前4項和.【詳解】由，得，故是首項為，公比為2的等比數(shù)列，故，則，所以數(shù)列的前4項和為.故選：D.5．設F為拋物線的焦點，點A在C上，點，若，則（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】根據拋物線上的點到焦點和準線的距離相等，從而求得點的橫坐標，進而求得點坐標，即可得到答案.【詳解】由題意得，，則，即點到準線的距離為2，所以點的橫坐標為，不妨設點在軸上方，代入得，，所以.故選：B6．如圖，在圓心角為直角的扇形中，分別以為直徑作兩個半圓．在扇形內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，把下面的陰影部分平均分成兩部分，然后利用位移割補法，分別平移到圖中劃線部分，再結合幾何概型中面積型概率公式求解即可.【詳解】解：設扇形的半徑為，則扇形的面積為，連接，把下面的陰影部分平均分成兩部分，然后利用位移割補法，分別平移到圖中劃線部分，則陰影部分面積為：，所以此點取自陰影部分的概率是：，故選C.【點睛】本題考查幾何概型的應用以及觀察推理的能力.重點考查了如何求解陰影部分的面積，即如何巧妙地將不規(guī)則圖形的面積化為規(guī)則圖形的面積來求解.屬中檔題.7．已知一個實心銅質的圓錐形材料的底面半徑為4，圓錐母線長，現(xiàn)將它熔化后鑄成一個實心銅球，不計損耗，則銅球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出圓錐的高，即可求出圓錐的體積，從而求出球的半徑，再根據球的表面積公式計算可得.【詳解】解：依題意圓錐的底面半徑，母線，所以圓錐的高，所以圓錐的體積，設銅球的半徑為，則，解得，所以銅球的表面積.故選：B8．在等差數(shù)列中，若是數(shù)列的前項和，則的值為A．48 B．54 C．60 D．66【答案】B【詳解】分析：根據等差數(shù)列的前項和公式和數(shù)列下標和的性質求解．詳解：∵數(shù)列為等差數(shù)列，∴．∴．故選B．點睛：等差數(shù)列中的下標和的性質，即若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq常與前n項和公式結合在一起考查，解題時采用整體代換的思想，可簡化解題過程，提高解題的效率．9．從某中學甲、乙兩班各隨機抽取10名同學的數(shù)學成績，所得數(shù)據用莖葉圖表示如下．由此可估計甲，乙兩班同學的數(shù)學成績情況，則下列結論正確的是（

）A．甲班數(shù)學成績的中位數(shù)比乙班大B．甲班數(shù)學成績的平均值比乙班小C．甲乙兩班數(shù)學成績的極差相等D．甲班數(shù)學成績的方差比乙班大【答案】A【分析】A選項，根據中位數(shù)的定義計算出甲乙兩班的中位數(shù)，比較大??；B選項，根據平均數(shù)的定義計算出甲乙兩班的平均數(shù)，比較出大??；C選項，根據極差的定義計算出甲乙兩班的極差，兩者不相等；D選項，由莖葉圖分析可得到甲班數(shù)學成績更集中在平均數(shù)的周圍，故方差小.【詳解】甲班的數(shù)學成績中位數(shù)為，乙班的數(shù)學成績中位數(shù)為，甲班數(shù)學成績的中位數(shù)比乙班大，A正確；甲班的數(shù)學成績的平均數(shù)為，乙班的數(shù)學成績的平均數(shù)為，故甲班數(shù)學成績的平均值比乙班大，B錯誤；甲班的數(shù)學成績的極差為，乙班的數(shù)學成績的極差為，故甲乙兩班數(shù)學成績的極差不相等，C錯誤；從莖葉圖中可以看出甲班的成績更加的集中在平均數(shù)71.4的附近，而乙班的成績更分散，沒有集中到平均數(shù)70.6的附近，故甲班數(shù)學成績的方差比乙班小，D錯誤.故選：A10．若雙曲線離心率為，過點，則該雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可得，再將點代入雙曲線的方程，求出的值，即可得出雙曲線的標準方程.【詳解】，則，，則雙曲線的方程為，將點的坐標代入雙曲線的方程可得，解得，故，因此，雙曲線的方程為.故選：B11．曲線在點處的切線的斜率為（

）A．－ B． C．－ D．【答案】B【分析】對函數(shù)求導得，再將代入，即可得到答案；【詳解】把代入得導數(shù)值為，即為所求切線的斜率．故選：B12．已知是定義域為的奇函數(shù),滿足.若，則A． B． C． D．【答案】C【詳解】分析：先根據奇函數(shù)性質以及對稱性確定函數(shù)周期，再根據周期以及對應函數(shù)值求結果.詳解：因為是定義域為的奇函數(shù)，且，所以,因此，因為，所以，，從而，選C.點睛：函數(shù)的奇偶性與周期性相結合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉化到已知解析式的函數(shù)定義域內求解．二、填空題13．在5名學生（3名男生，2名女生）中安排2名學生值日，其中至少有1名女生的概率是__________．【答案】##【分析】分別求出在5名學生（3名男生，2名女生）中安排2名學生的方法總數(shù)和其中至少有1名女生的方法總數(shù)，再由古典概率公式代入即可得出答案.【詳解】在5名學生（3名男生，2名女生）中安排2名學生值日，則有種，其中至少有1名女生的情況有中，所以至少有1名女生的概率為：.故答案為：14．直線與圓交于兩點，則________．【答案】【分析】方法一：先將圓的方程化成標準方程，求出圓心，半徑，再根據點到直線的距離公式以及弦長公式即可求出．【詳解】［方法一］：【通性通法】【最優(yōu)解】弦長公式的應用根據題意，圓的方程可化為，所以圓的圓心為，且半徑是，弦心距，所以．故答案為：.［方法二］：距離公式的應用由解得：或，不妨設，所以．故答案為：.［方法三］：參數(shù)方程的應用直線的參數(shù)方程為，將其代入，可得，化簡得，從而，所以．故答案為：.【整體點評】方法一：利用圓的弦長公式直接求解，是本題的通性通法，也是最優(yōu)解；方法二：直接求出弦的端點坐標，再根據兩點間的距離公式求出，是求解一般弦長的通性通法，有時計算偏麻煩；方法三：直線參數(shù)方程中弦長公式的應用．15．已知函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)解析式為___________．【答案】【分析】根據圖象得，，再代入點，可求得函數(shù)的解析式.【詳解】由圖象得，又，，所以，點，代入解析式得：，∴，，因為，所以，所以，故答案為：.16．設函數(shù)，則的單調遞增區(qū)間為_________．【答案】【分析】根據，則單調遞增，求解的范圍即為的單調遞增區(qū)間．【詳解】，則令，則∴的單調遞增區(qū)間為故答案為：．三、解答題17．記的內角的對邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長．【答案】(1)見解析(2)14【分析】（1）利用兩角差的正弦公式化簡，再根據正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可得證；（2）根據（1）的結論結合余弦定理求出，從而可求得，即可得解.【詳解】（1）證明：因為，所以，所以，即，所以；（2）解：因為，由（1）得，由余弦定理可得，則，所以，故，所以，所以的周長為.18．如圖，正三棱柱的底面邊長為，側棱，是延長線上一點，且（1）求證：直線平面；（2）求二面角的大小.【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）證明四邊形是平行四邊形，得即可證明；（2）過作于，連結，得是二面角的平面角.在中，計算即可求解【詳解】（1），又，∴四邊形是平行四邊形，∴又平面，平面，∴直線平面（2）過作于，連結，∵平面是二面角的平面角.∵是的中點，在中，∴即二面角的大小為【點睛】本題考查線面平行的判定，考查二面角的求法，考查空間想象能力，是基礎題19．隨著我國經濟的發(fā)展，居民的儲蓄存款逐年增長.設某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲蓄存款（年底余額）如下表：年份20102011201220132014時間代號12345儲蓄存款（千億元）567810（Ⅰ）求y關于t的回歸方程（Ⅱ）用所求回歸方程預測該地區(qū)2015年（）的人民幣儲蓄存款.附：回歸方程中【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）千億元.【詳解】試題分析：（Ⅰ）列表分別計算出，的值，然后代入求得，再代入求出值，從而就可得到回歸方程，（Ⅱ）將代入回歸方程可預測該地區(qū)2015年的人民幣儲蓄存款．試題解析：（1）列表計算如下i11515226412337921448163255102550153655120這里又從而.故所求回歸方程為.（2）將代入回歸方程可預測該地區(qū)2015年的人民幣儲蓄存款為【解析】線性回歸方程.20．已知橢圓：的一個頂點為，焦距為．(1)求橢圓E的方程；(2)過點作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點M，N，當時，求k的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）依題意可得，即可求出，從而求出橢圓方程；（2）首先表示出直線方程，設、，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達定理，由直線、的方程，表示出、，根據得到方程，解得即可；【詳解】（1）解：依題意可得，，又，所以，所以橢圓方程為；（2）解：依題意過點的直線為，設、，不妨令，由，消去整理得，所以，解得，所以，，直線的方程為，令，解得，直線的方程為，令，解得，所以，所以，即即即整理得，解得21．設函數(shù)(1)討論的單調性；(2)求在區(qū)間的最大值和最小值．【答案】(1)函數(shù)在上單調遞增；在上單調遞減；(2)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【分析】（1）先求函數(shù)的定義域，解不等式求出函數(shù)的單調遞增區(qū)間，解不等式求出函數(shù)的單調遞減區(qū)間；（2）根據函數(shù)的單調性求出函數(shù)的最值.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，又.令，解得或；令，解得.所以函數(shù)在上單調遞增；在上單調遞減；（2）由（1）可得：函數(shù)在區(qū)間內單調遞減，在內單調遞增.所以當時，函數(shù)取得最小值，又，，而，所以當時，函數(shù)取得最大值為：.即在區(qū)間上的最大值為，最小值為.22．已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).（1）求直線l和圓C的普通方程；（2）若直線l與圓C有公共點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；；（2）【分析】（1）利用所給參數(shù)方程消去參數(shù)即可求得普通方程；（2）首先求得圓心到直線的距離，據此得到關于實數(shù)的不等式，求解不等式即可求得最終結果．【詳解】解：（1）直線的參數(shù)方程為，消去可得；圓的參數(shù)方程為，兩式平方相加可得；（2）因為，所以圓心，半徑．由點到直線的距離公式可得圓心到直線的距離．直線與圓有公共點，，即，解得，即．【點睛】本題考查了參數(shù)方程與普通方程的互化，直線與圓的位置關系等，重點考查學生對基礎概念的理解和計算能力，屬于中檔題．23．已知函數(shù)．（1）當時，求不等式的解集;（2）若，求a的取值范圍．【答案】（1）.（2）.【分析】（1）利用絕對值的幾何意義求得不等式的解集.（2）利用絕對值不等式化簡，由此求得的取值范圍.【詳解】（1）[方法一]：絕對值的幾何意義法當時，，表示數(shù)軸上的點到和的距離之和，則表示數(shù)軸上的點到和的距離之和不小于，當或時所對應的數(shù)軸上的點到所對應的點距離之和等于6，∴數(shù)軸上到所對應的點距離之和等于大于等于6得到所對應的坐標的范圍是或，所以的解集為.[方法二]【最優(yōu)解】：零點分段求解法

當時，．當時，，解得；當時，，無解；當時，，解得．綜上，的解集為．（2）[方法一]：絕對值不等式的性質法求最小值依題意，即恒成立，，當且僅當時取等號，,故，所以或，解得.所以的取值范圍是.[方法二]【最優(yōu)解】：絕對值的幾何意義法求最小值由是數(shù)軸上數(shù)x表示的點到數(shù)a表示的點的距離，得，故，下同解法一.[方法三]：分類討論+分段函數(shù)法當時，則，此時，無解．當時，則，此時，由得，．綜上，a的取值范圍為．[方法四]：函數(shù)圖象法解不等式

由方法一求得后，構造兩個函數(shù)和，即和，如圖，兩個函數(shù)的圖像有且僅有一個交點，由圖易知，則．【整體點評】（1）解絕對值不等式的方法有幾何意義法，零點分段法．方法一采用