2023屆四川省名校聯(lián)盟高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題

2023屆四川省名校聯(lián)盟高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知，則（

）A．2 B． C．1 D．【答案】A【分析】先求出，根據(jù)的特征求解【詳解】由得，所以，故選：A2．設(shè)集合，，集合中恰好含有2個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)一元二次不等式的解法求出集合，再根據(jù)交集的定義結(jié)合已知即可得解.【詳解】，，因?yàn)榧现星『煤?個(gè)元素，所以.故選：B.3．我國古代數(shù)學(xué)家朱世杰所著《四元玉鑒》記載有“鎖套吞容”之“方田圓池結(jié)角池圖”，意思是說，有一塊正方形田地，在其一角有一個(gè)圓形的水池（其中圓與正方形一角的兩邊均相切），如圖所示．已知圓O的半徑為2丈，過C作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，若，則對(duì)角線AC長(zhǎng)度為（

）A．丈 B．丈C．丈 D．丈【答案】A【分析】結(jié)合圖形的對(duì)稱性和切線的性質(zhì)，通過三角函數(shù)或勾股定理，由丈，，求出，可得對(duì)角線AC長(zhǎng)度.【詳解】記OC與MN相交于E，過O作AB的垂線，與AB相交于F點(diǎn)，如圖所示，丈，丈，則丈，在中，，則，中，丈，中，丈，，則丈，所以丈.故選：A.4．國家統(tǒng)計(jì)局公報(bào)顯示繪制出的2017-2021年每年本?？?、中等職業(yè)教育及普通高中的招生人數(shù)（單位：萬）統(tǒng)計(jì)圖如下圖所示，則下列關(guān)于2017-2021年說法正確的是（

）A．每年本?？啤⒅械嚷殬I(yè)教育和普通高中的招生人數(shù)都在增長(zhǎng)B．中等職業(yè)教育和普通高中的招生人數(shù)差距最大的年份是2019年C．本?？泼磕甑恼猩藬?shù)增幅最大的年份是2018年D．本專科的招生人數(shù)所占比例最高的年份是2021年【答案】D【分析】根據(jù)柱狀圖的數(shù)據(jù)，逐一分析選項(xiàng)即可得出答案．【詳解】對(duì)于A：中等職業(yè)教育2017年招生人數(shù)為582萬人,2018年招生人數(shù)為557萬人，即2017-2018年中等職業(yè)教育招生人數(shù)出現(xiàn)減少，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：2017-2021年中等職業(yè)教育和普通高中的招生人數(shù)差為：218萬人，236萬人，239萬人，231萬人，249萬人，即中等職業(yè)教育和普通高中的招生人數(shù)差距最大的是2021年，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：2018-2021年本?？泼磕甑恼猩藬?shù)增幅為：，，，，即本?？泼磕甑恼猩藬?shù)增幅最大的年份是2019年，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：2017-2021年本專科的招生人數(shù)所占比例為：，，，，，即本專科的招生人數(shù)所占比例最高的年份是2021年，故D正確，故選：D．5．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先列方程組求得等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比的值，進(jìn)而求得其通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為q，則即解之得，則，故選：D6．設(shè)函數(shù)，則曲線在處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為（

）A．e B． C． D．【答案】C【分析】求出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，得切線方程，分別令，得該切線分別與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，可求三角形面積.【詳解】函數(shù)，有，，，切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，切線方程為，分別令，得該切線分別與兩坐標(biāo)軸交于，兩點(diǎn)，故三角形面積為.故選：C7．函數(shù)的圖象可能為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先判斷出函數(shù)為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)C；再利用特值排除選項(xiàng)AB，進(jìn)而得到正確選項(xiàng)D.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，排除選項(xiàng)C；又，排除選項(xiàng)AB；故選：D8．過拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B點(diǎn)，，且，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)，和拋物線的定義得到，，然后根據(jù)，得到直線的傾斜角為，即可得到，最后將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程中求即可.【詳解】過點(diǎn)，作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線與，，過點(diǎn)作，交與點(diǎn)，因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，，，在直角三角形中，，，所以，即直線的傾斜角為，所以，將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程中可得，解得或（舍去）.故選：C.9．已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)且，在區(qū)間內(nèi)存在最值點(diǎn)，則當(dāng)取得最大值時(shí)，滿足的一個(gè)值可能為（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)單調(diào)區(qū)間長(zhǎng)度及最值確定范圍，再求函數(shù)值可能的值.【詳解】在區(qū)間內(nèi)單調(diào)且,,在區(qū)間內(nèi)存在最值點(diǎn),,則當(dāng)取得最大值時(shí)，,可能為,可得.故選:B.10．已知四棱錐的底面ABCD為梯形，，，，，為正三角形，平面平面ABCD，E，F(xiàn)分別為PA，PB的中點(diǎn)，則（

）A．平面PADB．PD與平面ABCD所成角的正弦值為C．D．四棱錐的體積為【答案】A【分析】A選項(xiàng)根據(jù)四邊形為平行四邊形得到，然后利用線面平行的判定定理證明即可；B選項(xiàng)根據(jù)平面平面，得到為直線與平面所成角,然后求正弦值即可；C選項(xiàng)根據(jù)點(diǎn)為中點(diǎn)，得到，不垂直，即可得到，不垂直；D選項(xiàng)根據(jù)椎體體積公式求體積即可.【詳解】A選項(xiàng)：連接，，因?yàn)?，為，中點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，，，所以，，四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以∥平面，故A正確；B選項(xiàng)：取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)闉檎切?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，為直線與平面所成角，因?yàn)?，，所以，，，，故B錯(cuò)；C選項(xiàng)：連接，因?yàn)?，，，所以，，在三角形中，點(diǎn)為中點(diǎn)，，所以，不垂直，又因?yàn)?，所以，不垂直，故C錯(cuò)；D選項(xiàng)：，故D錯(cuò).故選：A.11．已知雙曲線，，為的左、右焦點(diǎn)，，直線與的一支交于點(diǎn)，且，則的離心率最大值為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】由題意可得，由，得，設(shè)，根據(jù)相似可得，代入雙曲線方程，進(jìn)而得到，再結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解即可.【詳解】由雙曲線，得，由，得，又，設(shè)，則，即，又在雙曲線上，所以，即，即，整理，得，令，，則，因?yàn)楹瘮?shù)對(duì)稱軸為，在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，，即，所以.故選：D.12．已知函數(shù)，函數(shù)的圖象與曲線有3個(gè)不同的交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)依次為，，，設(shè)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將表示為的函數(shù)后，利用換元法和導(dǎo)數(shù)可求其取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與曲線有3個(gè)不同的交點(diǎn)，所以有一個(gè)解且有兩個(gè)不同的解.而，故且，且，故，故，其中.設(shè)，則，設(shè)，，故，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，而，，故在的值域?yàn)榧吹娜≈捣秶鸀?故選：A.二、填空題13．已知向量，，，則向量與的夾角為______．【答案】【分析】由可得，，后由向量夾角的坐標(biāo)表示可得答案.【詳解】，則，則，又，則故答案為：.14．2022年11月29日，神舟十五號(hào)載人飛船成功發(fā)射升空，在飛船入軌后未來6個(gè)月里，空間站將逐步解鎖、安裝并測(cè)試15個(gè)科學(xué)實(shí)驗(yàn)機(jī)柜，開展涵蓋空間科學(xué)研究與應(yīng)用、航天醫(yī)學(xué)、航天技術(shù)等領(lǐng)域的40余項(xiàng)空間科學(xué)實(shí)驗(yàn)和技術(shù)試驗(yàn)．已知此科學(xué)實(shí)驗(yàn)機(jī)柜在投入使用前會(huì)進(jìn)行調(diào)試工作，現(xiàn)有8個(gè)科學(xué)實(shí)驗(yàn)機(jī)柜，其中包括5個(gè)A類型、3個(gè)B類型，兩名調(diào)試員計(jì)劃共抽取3個(gè)機(jī)柜進(jìn)行調(diào)試，則至少有1人抽到B類型機(jī)柜進(jìn)行調(diào)試的概率為______．【答案】【分析】利用古典概型即可求得至少有1人抽到B類型機(jī)柜進(jìn)行調(diào)試的概率.【詳解】記“至少有1人抽到B類型機(jī)柜進(jìn)行調(diào)試”為事件A，則,則至少有1人抽到B類型機(jī)柜進(jìn)行調(diào)試的概率為.故答案為：.15．已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，則______．【答案】18【分析】根據(jù)題中條件，先求出，再判斷數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而可求出.【詳解】當(dāng)時(shí)，由得，即，解得或，因?yàn)槭钦?xiàng)數(shù)列，所以；當(dāng)時(shí)，由得，則，整理得，所以，因此數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，則，所以.故答案為：.三、雙空題16．在直四棱柱中，，，M，N在棱，上，且，，過的平面交于G，則截面的面積為______；若線段上存在一點(diǎn)P，使得，則______．【答案】6【分析】作出圖形，根據(jù)線面的相關(guān)性質(zhì)求出截面為平行四邊形，進(jìn)而求出面積，再利用勾股定理求出線段的比值即可.【詳解】取上靠近點(diǎn)的一個(gè)四等分點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以且，則四邊形為平行四邊形，所以且，過點(diǎn)作，連接，過作，連接，因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅?，則且，所以且，則截面為平行四邊形，由直四棱柱的性質(zhì)可得，，，，在中，由余弦定理得，，所以，則截面的面積為；如圖，設(shè)，則，因?yàn)椋谥?，，在中，，則，解得，即，所以，故答案為：；.四、解答題17．已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．在下列三個(gè)條件①，，且；②；③中任選一個(gè)，回答下列問題．(1)求A；(2)若，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）條件①：根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示轉(zhuǎn)化，求得；條件②：根據(jù)正弦定理轉(zhuǎn)化為，求得；條件③：將條件中的余弦轉(zhuǎn)化為正弦，再用正弦定理與余弦定理求得.（2）根據(jù)余弦定理及基本不等式求得面積的最大值．【詳解】（1）選擇條件①，因?yàn)?，，且，所以，即，所以，由為銳角三角形可知，則，故，，選擇條件②，因?yàn)?，由正弦定理可得，由為銳角三角形可知，所以，則，即，由為銳角三角形可知，故．選擇條件③，因?yàn)?，所以，即，由正弦定理可得，根?jù)余弦定理可得，由為銳角三角形可知，故，（2）因?yàn)?，由?）可得，所以根據(jù)余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，滿足條件．則，故面積的最大值為．18．在三棱錐中，底面ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，側(cè)面底面ABC，，，點(diǎn)E在線段SB上，且．(1)證明：平面ACE；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取AC中點(diǎn)為D，連接SD，BD，由，得到，再由底面ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，得到，進(jìn)而得到平面SBD，則，然后由，得到，利用線面垂直的判定定理證明；（2）由（1）可得DC，DB，DS兩兩垂直，故以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC，DB，DS所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面SAB的一個(gè)法向量為和平面SBC的法向量為，由求解.【詳解】（1）證明：如圖所示：取AC中點(diǎn)為D，連接SD，BD．因?yàn)椋珼為AC中點(diǎn)，所以．又側(cè)面底面ABC，側(cè)面底面，側(cè)面SAC，所以底面ABC，．由于，，則，，由于，則，，因?yàn)?，所以．又，，，且兩直線在平面SBD內(nèi)，所以平面SBD，且平面SBD，所以．又，且兩直線在平面ACE內(nèi)，所以平面ACE．（2）由（1）可得DC，DB，DS兩兩垂直，故以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC，DB，DS所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面SAB的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，，即，設(shè)平面SBC的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，，即，則，，設(shè)二面角的平面角為，則，故二面角的正弦值為．19．錨定2060碳中和，中國能源演進(jìn)“綠之道”，為響應(yīng)綠色低碳發(fā)展的號(hào)召，某地在沙漠治理過程中，計(jì)劃在沙漠試點(diǎn)區(qū)域四周種植紅柳和梭梭樹用于防風(fēng)固沙，中間種植適合當(dāng)?shù)丨h(huán)境的特色經(jīng)濟(jì)作物，通過大量實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，單株經(jīng)濟(jì)作物幼苗的成活率為0.8，紅柳幼苗和梭梭樹幼苗成活的概率均為p，且已知任取三種幼苗各一株，其中至少有兩株幼苗成活的概率不超過0.896．(1)當(dāng)p最大時(shí)，經(jīng)濟(jì)作物幼苗的成活率也將提升至0.88，求此時(shí)三種幼苗均成活的概率（）；(2)正常情況下梭梭樹幼苗栽種5年后，其樹桿地徑服從正態(tài)分布（單位：mm）．㈠梭梭樹幼苗栽種5年后，若任意抽取一棵梭梭樹，則樹桿地徑小于235mm的概率約為多少？（精確到0.001）㈡為更好地監(jiān)管梭梭樹的生長(zhǎng)情況，梭梭樹幼苗栽種5年后，農(nóng)林管理員隨機(jī)抽取了10棵梭梭樹，測(cè)得其樹桿地徑均小于235mm，農(nóng)林管理員根據(jù)抽檢結(jié)果，認(rèn)為該地塊土質(zhì)對(duì)梭梭樹的生長(zhǎng)產(chǎn)生影響，計(jì)劃整改地塊并選擇合適的肥料，試判斷該農(nóng)林管理員的判斷是否合理？并說明理由．附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布，則，，．【答案】(2)（1）0.001；（2）答案見解析【分析】（1）先求得紅柳幼苗和梭梭樹幼苗成活的概率的取值范圍，再利用條件概率公式即可求得三種幼苗均成活的概率；（2）㈠利用正態(tài)分布的性質(zhì)即可求得樹桿地徑小于235mm的概率；㈡答案不唯一，符合概率統(tǒng)計(jì)的原理，言之有理即可.【詳解】（1）由題意得，任取三種幼苗各一株，至少有兩株幼苗成活，包括恰有兩株幼苗成活，三株幼苗均成活兩種情況，故概率為，即，解得或（舍去）又，故p的取值范圍為，故p的最大值為0.8，記紅柳和梭梭樹幼苗均成活為事件A，經(jīng)濟(jì)作物幼苗成活為事件B，則有，．故所求概率為．（2）㈠設(shè)正常情況下，任意抽取一株梭梭樹，樹桿地徑為，由題意可知，因?yàn)椋杂烧龖B(tài)分布的對(duì)稱性及“”原則可知：．㈡理由①：農(nóng)林管理員的判斷是合理的．如果該地塊土質(zhì)對(duì)梭梭樹的生長(zhǎng)沒有影響，由（1）可知，隨機(jī)抽取10棵梭梭樹，樹桿地徑都小于235mm的概率約為，為極小概率事件，幾乎不可能發(fā)生，但這樣的事件竟然發(fā)生了，所以有理由認(rèn)為該地塊對(duì)梭梭樹的生長(zhǎng)產(chǎn)生影響，即農(nóng)林管理員的判斷是合理的．理由②：農(nóng)林管理員的判斷是不合理的．由于是隨機(jī)抽取了10棵梭梭樹，所以不可控因素比較多，例如有可能這10顆樹的幼苗栽培深度較淺，也有可能是自幼苗栽種后的澆水量或澆水頻率不當(dāng)所致．（答案不唯一，言之有理即可）20．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，A，B為其左、右頂點(diǎn)，M為橢圓上一點(diǎn)，且．(1)求C的離心率；(2)若左焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最大距離為3，且直線交C于另一點(diǎn)N，已知的面積是的2倍，求直線MN的方程．【答案】(1)(2)或．【分析】（1）利用題給條件得到出，進(jìn)而求得橢圓C的離心率；（2）先求得橢圓C的方程并設(shè)直線，聯(lián)立二者組成方程組，利用設(shè)而不求的方法求得m的值，進(jìn)而得到直線MN的方程．【詳解】（1）設(shè)，則有，則，又，，則，即，則，解得，故離心率．（2）由左焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最大距離為3可知，又，解得，，則，故橢圓C的方程為．則，設(shè)，，設(shè)點(diǎn)M位于x軸上方，點(diǎn)N位于x軸下方，則，．聯(lián)立，消去x得，，則，，因?yàn)?，所以，代入可知，則，又，即，結(jié)合橢圓對(duì)稱性得，故直線MN的方程為或．21．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）討論，時(shí)的正負(fù)確定單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，先增后減，只需時(shí)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，判斷兩個(gè)極值均大于0，不可能有兩個(gè)零點(diǎn).【詳解】（1）因?yàn)?，定義域?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）因?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，在上只有一個(gè)零點(diǎn)2，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)得，令，解得或，（?。┊?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，則，要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，必有，即，且，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)；又因?yàn)?，因?yàn)?，則，又，則，，故，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)和，因?yàn)?，，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，所以當(dāng)時(shí)，，，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的兩個(gè)極值均大于零，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)最多有一個(gè)零點(diǎn)．綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的常用方法（1）分離參數(shù)法：首先分離出參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法