2023屆山西省際名校高三下學(xué)期4月聯(lián)考二（沖刺卷）數(shù)學(xué)試題（A）

山西省際名校2023屆高三聯(lián)考二（沖刺卷）數(shù)學(xué)試題（A）注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在試卷和答題卡指定位置上。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案用黑色筆跡簽字筆寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)z滿足，則=A.B.C.2.設(shè)A是一個(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)數(shù)，若對(duì)任意，都有(除數(shù))，則稱A是一個(gè)數(shù)域，則下列集合為數(shù)域的是B.ZD.3.如圖，在△ABC中，D是BC邊中點(diǎn)，CP的延長(zhǎng)線與AB交于AN，則A.B.C.D.4.折紙是一種以紙張折成各種不同形狀的藝術(shù)活動(dòng)，折紙大約起游于公元1世紀(jì)或者2世紀(jì)時(shí)的中國(guó)，折紙與自然科學(xué)結(jié)合在一起，不僅成為建筑學(xué)院的教具，還發(fā)展出了折紙幾何學(xué)成為現(xiàn)代幾何學(xué)的一個(gè)分支.如圖，現(xiàn)有一半徑為4的圓紙片(A為圓心，B為圓內(nèi)的一定點(diǎn))，且，如圖將圓折起一角，使圓周正好過(guò)點(diǎn)B，把紙片展開(kāi)，并留下一條折痕，折痕上到A，B兩點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)為P，如此往復(fù)，就能得到越來(lái)越多的折痕，設(shè)P點(diǎn)的軌跡為曲線C.在C上任取一點(diǎn)M，則△MAB面積的最大值是C.D.5.小李，小王相約周日到晉祠游玩，兩人約定早上7:00各自從家出發(fā)，小李乘坐301路公交，路上所需時(shí)間(單位:分鐘)服從正態(tài)分布N(44，4).小王乘坐804路公交，路上所需時(shí)間(單位:分鐘)服從正態(tài)分布N(40，16).下列說(shuō)法從統(tǒng)計(jì)角度可認(rèn)為不合理的是(參考數(shù)據(jù):Z～N(，)，則，，))A.小王在7:28前到達(dá)晉祠的可能性不超過(guò)1%B.小王比小李在7:50前到達(dá)晉桐的可能性更小C.小李和小王在7:48前到達(dá)晉祠的可能性一樣D.小李比小王在7:44前到達(dá)晉祠的可能性更大6.已知，函數(shù))，則A.有最小值，有最大值B.無(wú)最小值，有最大值C.有最小值，無(wú)最大值D.無(wú)最小值，無(wú)最大值7.正四棱柱中，AB=2，P為上底面的中心，M是棱AB的中點(diǎn)，正四棱柱的高，點(diǎn)M到平面PCD的距離的取值范圍是A.[3，]B.[，]C.[，2]D.[，]8.若對(duì)圓C：上任意一點(diǎn)P，曲線上存在點(diǎn)Q，使得.則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.B.C.D.二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.已知函數(shù)，則A.的圖象關(guān)于點(diǎn)(-，0)中心對(duì)稱B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.函數(shù)在[-，]上單調(diào)遞增D.函數(shù)在[-，]上的最小值是-10.正方體ABCD-的棱長(zhǎng)為a，E在棱上運(yùn)動(dòng)(不含端點(diǎn))，則A.側(cè)面中不存在直線與DE垂直B.平面與平面ABCD所成二面角為運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，上存在點(diǎn)P，使BC∥平面AEP為中點(diǎn)時(shí)，三棱錐體積不變11.甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者可將球傳給另外兩人中的任何一人，設(shè)第n次傳球后球在甲手中的方法數(shù)為，在乙手中的方法數(shù)為，則A.B.C.存在唯一實(shí)數(shù)，使得為等比數(shù)列D.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，12.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，l1與C相交于P，Q，l2與C相交于M，N，PQ的中點(diǎn)為G，MN的中點(diǎn)為H，則A.B.C.的最小值為16D.當(dāng)最小時(shí)，直線GH的斜率不存在三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分。年11月底，人工智能對(duì)話聊天機(jī)器人ChatGPT推出，迅速在社交媒體上走紅，短短5天，注冊(cè)用戶數(shù)就超過(guò)100萬(wàn)，截至2023年2月，這款新一代對(duì)話式人工智能便在全球范圍狂1億名用戶，并成功從科技界破圈，成為街頭巷尾的談資，2023年2月各天全球該軟件注冊(cè)人數(shù)數(shù)據(jù)(單位:萬(wàn)人)從小到大排列如下：16223658646870102106108110124126154162165166186210226230256310321458468532789該軟件2023年2月全球注冊(cè)人數(shù)的第75百分位數(shù)是_______________.14.已知直線l1：，l2：，圓C：)，若圓C與直線，都相切，則r=_________.15.楊輝三角在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中被記載，它的開(kāi)頭幾行如圖所示，它包含了很多有趣的組合數(shù)性質(zhì)，如果將楊輝三角從第1行開(kāi)始的每一個(gè)數(shù)都換成分?jǐn)?shù)，得到的三角形稱為“菜布尼茨三角形”，菜布尼茨由它得到了很多定理，甚至影響到了微積分的創(chuàng)立，則“萊布尼茨三角形”第8行第5個(gè)數(shù)是____________；若，則____________(用含n的代數(shù)式作答).(第一空2分，第二空3分)16.已知函數(shù)為奇函數(shù)，g(x)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，若.則g(x)的最大值是______________.四、解答題:本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(10分)A在三棱錐A-BCD中，△BCD是等邊三角形，，M是BC邊的中點(diǎn).(1)求證:；(2)MA=3，，從以下兩個(gè)條件中任選一個(gè)，求直線BD與平面ACD所成角的余弦值.①平面ABC與平面BCD所成二面角為；②三棱錐A-BCD的體積為.18.(12分)已知△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，.(1)求；(2)若，M為△ABC的內(nèi)心，求△AMC的面積.19.(12分)已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，若，，.(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)對(duì)任意的正整數(shù)n，設(shè)求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.20.(12分)在現(xiàn)實(shí)生活中，每個(gè)人都有一定的心理壓力，而且這種壓力將伴隨著現(xiàn)代生活節(jié)奏的加快和社會(huì)競(jìng)爭(zhēng)日趨加速而逐漸增大，心理壓力產(chǎn)生的主要原因是個(gè)人目標(biāo)期望值與現(xiàn)實(shí)狀況之間的差距，這種差距越大產(chǎn)生的心理壓力就越大，當(dāng)心理壓力達(dá)到一定程度時(shí)，不但不會(huì)產(chǎn)生積極的動(dòng)力，反而會(huì)使人的身體經(jīng)絡(luò)系統(tǒng)失去平衡，進(jìn)而產(chǎn)生如焦慮癥、恐慌癥、失眠癥等其他心理疾病，某市為了解市民壓力情況，隨機(jī)對(duì)該市的1000位市民進(jìn)行了心理壓力測(cè)試，并對(duì)他們的壓力分?jǐn)?shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)壓力分?jǐn)?shù)越接近100表示壓力越大，80分為臨界分?jǐn)?shù)，壓力分?jǐn)?shù)不低于臨界分?jǐn)?shù)的則需要降低追求目標(biāo)或充分休息，以樣本的頻率作為總體的概率，在該市隨機(jī)調(diào)查10位市民，X表示其中需要降低追求目標(biāo)或充分休息的人數(shù)，求X的期望；(2)從樣本中壓力分?jǐn)?shù)在[80，90)，[90，100]的兩組市民中，用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)選出3人，求選出的3人中恰有2人壓力分?jǐn)?shù)在[80，90)中的概率；(3)若一個(gè)總體劃分為兩層，通過(guò)分層隨機(jī)抽樣，各層抽取的樣本量，樣本平均數(shù)和樣本方差分別為:m，，，n，，.記總的樣本平均數(shù)為，樣本方差為.證明:①；②.21.(12分)已知雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，A是直線l：上不同于原點(diǎn)O的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，斜率為的直線與雙曲線E交于M，N兩點(diǎn)，斜率為的直線與雙曲線E交于P，Q兩點(diǎn).(1)求的值；(2)若直線OM，ON，OP，OQ的斜率分別為，，，，問(wèn)是否存在點(diǎn)A，滿足+++=0，若存在，求出A點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.22.(12分)設(shè)函數(shù).(1)求在區(qū)間上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若為的極值點(diǎn)，則，求整數(shù)A的最大值.2023年省際名校聯(lián)考二(沖刺卷)數(shù)學(xué)參考答案詳解及評(píng)分說(shuō)明評(píng)分說(shuō)明：1.考生如按其他方法或步驟解答，正確的，同樣給分；有錯(cuò)的，根據(jù)錯(cuò)誤的性質(zhì)，參照評(píng)分說(shuō)明中相應(yīng)的規(guī)定評(píng)分。2.計(jì)算題只有最后答案而無(wú)演算過(guò)程的，不給分；只寫出一般公式但未能與試題所給的具體條件聯(lián)系的，不給分。A卷選擇題答案一、單項(xiàng)選擇題；本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。非選擇題答案三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分。14.或115.16.四、解答題:本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)證明：連接MD，∵△BCD是等邊三角形，∴BD=CD.在△ABD和△ACD中，∠ADB=∠ADC，AD=AD，∴△ABD≌△ACD，∴AB=AC，…………………2分∵M(jìn)是BC邊的中點(diǎn)，∴BC⊥MA,BC⊥MD.∵M(jìn)A?MD=M，MA?平面AMD，MD?平面AMD，∴BC⊥平面AMD，又AD?平面AMD，∴BC⊥AD.………………………4分（2）選①解：以M為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，由題可得:A(-，0，)，B(0，-，0)，C(0，，0)，D(3，0，0)，M(0，0，0).設(shè)平面ACD的法向量為，，，則∴∴令，則，，∴...................................................................................6分又∵∴...................................................................................8分直線BD與平面ACD所成角的余弦值為...................................................................................10分選②解:設(shè)三棱錐的高為h，∵，∴，∴MA⊥底邊BCD，以M為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系如圖所示，則A(0，0，3)，，設(shè)平面ACD的法向量為，則∴∴令，則又∵∴.......................................................................................8分直線BD與平面ACD所角的余弦值為....................................................................10分18.解:由正弦定理得，∴...................................................................................2分∴∴..................................................................................4分∴，∵A為三角形內(nèi)角，，∴.................................................................................................................5分(2)由(1)可得.，∵∴，，...............................................6分∴，...............................................................8分∵，，∴，.∵..................................................................10分設(shè)△ABC內(nèi)切圓半徑為r，則，，∴........................................................................12分19.解:(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q.依題意得...............................................................................................1分解得或(舍)................................................................................................3分故，...............................................................4分(2)...............................................................6分......................................................8分兩式相減得......................................................10分......................................................10分因此，所以，數(shù)列的前2n項(xiàng)和為.................................................12分20.解:(1).即隨機(jī)調(diào)查一位市民需要降低追求目標(biāo)或充分休息的概率為0.2.所以X～B(10，0.2)，∴..............................................................................2分(2)樣本中壓力分?jǐn)?shù)在[80，90)的人數(shù)為，樣本中壓力分?jǐn)?shù)在[90，100]的人數(shù)為，用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取的10人中，壓力分?jǐn)?shù)在[80，90)的樣本量為，在[90，100]的樣本量為.從這10人中隨機(jī)選出3人共種選法，其中恰有兩人壓力分?jǐn)?shù)在[80，90)中有種選法，選出的3人中恰有2人壓力分?jǐn)?shù)在[80，90)中的概率為...................................................5分(3)證明:①，即得證...................................................................7分②............................................................9分∵，∴，同理可得.................................................................10分，，∴，即得證...................................................................12分21.解:(1)雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，設(shè)，，同理可得.∴.........................................................................3分(2)設(shè)，直線方程為，代入雙曲線方程可得：，所以，，..............................................................................5分...............................................................................8分同理，即，................................................................9分即，∴或，又，...................................................