2023屆內(nèi)蒙古高三仿真模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題

2023屆內(nèi)蒙古高三仿真模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】解不等式可求得集合，根據(jù)并集定義可得結(jié)果.【詳解】由得：，解得：，即；由得：，即，.故選：A.2．若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C．5 D．17【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則、模的計算公式即可得出．【詳解】∵，∴，∴.故選：C.3．在中，內(nèi)角所對應(yīng)的邊分別是，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用余弦定理直接構(gòu)造方程求解即可.【詳解】由余弦定理得：，即，解得：（舍）或，.故選：D.4．已知直線被圓截得的線段長為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由圓的一般方程可確定圓心和半徑，根據(jù)直線被圓截得的弦長為可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由圓方程得：圓心，半徑，圓心到直線的距離，，解得：.故選：B.5．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的對稱軸可構(gòu)造方程求得的取值，進(jìn)而可確定的最小值.【詳解】關(guān)于直線對稱，，解得：，當(dāng)時，取得最小值.故選：A.6．在直三棱柱中，是等邊三角形，，D，E，F(xiàn)分別是棱，，的中點，則異面直線BE與DF所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】取等邊△ABC的AC邊的中點O，以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系，運用異面直線所成角的計算公式即可得結(jié)果.【詳解】取等邊△ABC的AC邊的中點O，連接OB，則，過O作的平行線，則以O(shè)為原點，分別以O(shè)B、OC、Oz為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)等邊△ABC的邊長為2，則，，，，∴，，∴.所以異面直線BE與DF所成角的余弦值為.7．某校舉行校園歌手大賽，5名參賽選手的得分分別是9，8.7，9.3，x，y.已知這5名參賽選手的得分的平均數(shù)為9，方差為0.1，則（

） 【答案】D【分析】先由平均數(shù)和方差分別得到和的值，再整體代入計算的值即可.【詳解】因為平均數(shù)為，所以.因為方差為所以，所以，又因為，所以，所以，所以.故選：D.8．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若在其定義域內(nèi)存在，使得，則稱是“有源”函數(shù)，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)“有源”函數(shù)概念，轉(zhuǎn)化為函數(shù)有解問題，利用導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)值域即可得到參數(shù)a的范圍【詳解】∵，∴，由是“有源”函數(shù)定義知，存在，使得，即有解，記，所以a的取值范圍是就是函數(shù)的值域，則，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，所以，所以，即a的取值范圍是.故選：A9．從商業(yè)化書店到公益性城市書房，再到“會呼吸的文化森林”——圖書館，建設(shè)高水平、現(xiàn)代化、開放式的圖書館一直以來是大眾的共同心聲.現(xiàn)有一塊不規(guī)則的地，其平面圖形如圖1所示，（百米），建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，將曲線看成函數(shù)圖象的一部分，為一次函數(shù)圖象的一部分，若在此地塊上建立一座圖書館，平面圖為直角梯形（如圖2），則圖書館占地面積（萬平方米）的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由條件求的解析式，設(shè)，利用表示梯形的面積，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值.【詳解】因為曲線是函數(shù)的圖象，點的坐標(biāo)為，所以，故，所以，設(shè)線段對應(yīng)的函數(shù)解析式為，因為直線經(jīng)過點，所以，所以，設(shè)，則點的坐標(biāo)為由可得，所以點的坐標(biāo)為，所以，所以直角梯形的面積，所以，令，可得，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)取最大值，最大值為.故選：D.10．如圖，這是第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)的大致圖案，它是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計的.現(xiàn)給這5個區(qū)域涂色，要求相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，且每個區(qū)域只涂一種顏色.若有5種顏色可供選擇，則恰用4種顏色的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求用5種顏色任意涂色的方法總數(shù)，再求恰好用完4種顏色涂色的方法總數(shù)，最后按照古典概型求概率即可.【詳解】若按要求用5種顏色任意涂色：先涂中間塊，有5種選擇，再涂上塊，有4種選擇.再涂下塊，若下塊與上塊涂相同顏色，則左塊和右塊均有3種選擇；若下塊與上塊涂不同顏色，則下塊有3種選擇，左塊和右塊均有2種選擇.則共有種方法.若恰只用其中4種顏色涂色：先在5種顏色中任選4種顏色，有種選擇.先涂中間塊，有4種選擇，再涂上塊，有3種選擇.再涂下塊，若下塊與上塊涂相同顏色，則左塊有2種選擇，為恰好用盡4種顏色，則右塊只有1種選擇；若下塊與上塊涂不同顏色，則下塊有2種選擇，左塊和右塊均只有1種選擇.則共有種方法，故恰用4種顏色的概率是.故選：C.11．已知拋物線的焦點為，過點作兩條互相垂直的直線，且直線分別與拋物線交于和，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的結(jié)論，結(jié)合拋物線焦點弦長公式可求得，同理可得，從而得到，由，利用基本不等式可取得最小值.【詳解】由拋物線方程得：；由題意知：直線的斜率存在且不為，設(shè)，，，由得：，，此時，，，同理可得：，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），的最小值為.故選：B.12．設(shè)函數(shù)的定義域為，且滿足，，當(dāng)時，，則（

）A．是周期為的函數(shù)B．C．的值域是D．方程在區(qū)間內(nèi)恰有個實數(shù)解【答案】D【分析】根據(jù)抽象函數(shù)關(guān)系式可推導(dǎo)得到，并確定為上的奇函數(shù)，由此可確定AB錯誤；利用導(dǎo)數(shù)可求得在上的值域，結(jié)合對稱性和周期性可求得在上的值域，知C錯誤；將問題轉(zhuǎn)化為與的交點個數(shù)問題，采用數(shù)形結(jié)合的方式可確定D正確.【詳解】對于A，由得：，，是周期為的周期函數(shù)，A錯誤；對于B，，，又，，為定義在上的奇函數(shù)，，又，，，B錯誤；對于C，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上的單調(diào)遞增，，又，，當(dāng)時，；為奇函數(shù)，當(dāng)時，，則當(dāng)時，；由得：關(guān)于直線對稱，當(dāng)時，；又的周期為，當(dāng)時，，C錯誤；對于D，方程解的個數(shù)等價于與的交點個數(shù)，作出與的部分圖象如下圖所示，的周期為，且當(dāng)時，與有兩個交點，當(dāng)時，與有個交點，，當(dāng)時，與有且僅有一個交點，當(dāng)時，與有且僅有一個交點；綜上所述：當(dāng)時，與有個交點，即方程恰有個實數(shù)解，D正確.故選：D.【點睛】方法點睛：本題D選項考查了方程根的個數(shù)的求解，解決此類問題的常用方法有：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，從而確定根的個數(shù)；（2）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.二、填空題13．已知向量，，若，則______．【答案】##【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示直接構(gòu)造方程求解即可.【詳解】由題意得：，，，解得：.故答案為：.14．已知是第二象限角，且，則______．【答案】【分析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系和二倍角正弦公式可直接求得結(jié)果.【詳解】是第二象限角，，，，.故答案為：.15．設(shè)為坐標(biāo)原點，雙曲線的左、右焦點分別是，若雙曲線的離心率為，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，則______．【答案】【分析】根據(jù)離心率和雙曲線關(guān)系可用表示出，并得到漸近線方程；在和中，結(jié)合余弦定理可用表示出，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】雙曲線的離心率，，，雙曲線漸近線為：，不妨設(shè)在上，如下圖所示，，，則，在中，，在中，由余弦定理得：，，.故答案為：.16．在棱長為3的正方體中，點P在平面上運動，則的最小值為______.【答案】【分析】根據(jù)正方形體對角線與平面垂直，找到點關(guān)于平面的對稱點，將轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系得的最小值為，最后通過建系利用坐標(biāo)計算得的長度即可.【詳解】如下圖所示設(shè)與平面交于點，易知，平面，由平面，所以，又，面，所以平面，面，所以，同理可證，由，面，所以平面.因為，所以，又因為,所以.倍長至，則，故點是點關(guān)于平面的對稱點.那么有，.所以.如下圖，以為原點，分別為軸、軸、軸建系，則，，，即.所以，即的最小值為.故答案為：.三、解答題17．設(shè)數(shù)列的前n項和為，且，.(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)，可得數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，從而可得數(shù)列的通項，再根據(jù)與的關(guān)系結(jié)合構(gòu)造法即可得解；（2）先求出數(shù)列的通項，再利用裂項相消法即可得解.【詳解】（1）因為，所以，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，則，當(dāng)時，，兩式相減得，即，所以數(shù)列為常數(shù)列，且，所以；（2）由（1）得，所以，所以.18．某企業(yè)為鼓勵員工多參加體育鍛煉，舉辦了一場羽毛球比賽，經(jīng)過初賽，該企業(yè)的A，B，C三個部門分別有3，4，4人進(jìn)入決賽.決賽分兩輪，第一輪為循環(huán)賽，前3名進(jìn)入第二輪，第二輪為淘汰賽，進(jìn)入決賽第二輪的選手通過抽簽確定先進(jìn)行比賽的兩位選手，第三人輪空，先進(jìn)行比賽的獲勝者和第三人再打一場，此時的獲勝者贏得比賽.假設(shè)進(jìn)入決賽的選手水平相當(dāng)（即每局比賽每人獲勝的概率都是）.(1)求進(jìn)入決賽第二輪的3人中恰有2人來自同一個部門的概率；(2)記進(jìn)入決賽第二輪的選手中來自B部門的人數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)【分析】（1）進(jìn)入決賽第二輪的3人中恰有2人來自同一個部門分為來自A，B，C三個部門，分別求出其概率，由分類加法計數(shù)原理即可得出答案.（2）求出X的可能取值及每個變量X對應(yīng)的概率，即可求出分布列，再由期望公式即可求出.【詳解】（1）設(shè)進(jìn)入決賽第二輪的3人中恰有2人來自同一個部門為事件，則.故進(jìn)入決賽第二輪的3人中恰有2人來自同一個部門的概率為.（2）X的可能取值為，，，，，則X的分布列為：0123所以.19．如圖，在四棱錐中，四邊形是直角梯形，，，，，，是棱的中點．(1)證明：平面；(2)若，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線面垂直判定可證得平面，進(jìn)而得到；利用勾股定理和線面垂直的判定得到平面，從而得到；利用勾股定理可證得，由此可得結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由二面角的向量求法可求得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求得的最大值.【詳解】（1）連接，，，，又，，為棱中點，，又，，平面，平面，又平面，；在直角梯形中，取中點，連接，，，又，，，四邊形為正方形，，，，又，，，，平面，平面，平面，；，，，，又，平面，平面.（2）以為坐標(biāo)原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，，；，，；設(shè)平面的法向量為，則，令，解得：，，；軸平面，平面的一個法向量，設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則當(dāng)時，，，即平面與平面所成的銳二面角余弦值的最大值為.20．已知橢圓C：的離心率是，點在橢圓C上.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)直線l：與橢圓C交于A，B兩點，在y軸上是否存在點P（點不與原點重合），使得直線PA，PB與x軸交點的橫坐標(biāo)之積的絕對值為定值？若存在，求出P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）根據(jù)題意求出，即可得解；（2）設(shè)，則，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，在分別求出直線PA，PB的方程，從而可得兩直線與交點的橫坐標(biāo)，再相乘整理結(jié)合其積為定值，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由題意可得，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）假設(shè)存在，設(shè)，則，聯(lián)立，消得，則，即，，則直線的方程為，令，則，直線的方程為，令，則，則，則要使直線PA，PB與x軸交點的橫坐標(biāo)之積的絕對值為定值，則，解得，所以存在，且.【點睛】本題考查了橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了點的存在性問題及定值問題，有一定的難度.21．已知函數(shù)．(1)求在上的極值；(2)若，求的最小值．【答案】(1)為極小值，無極大值.(2)【分析】(1)求導(dǎo)后，借助導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，借助單調(diào)性分析極值的情況；(2)令,令，設(shè)，再借助導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性，分析原函數(shù)的單調(diào)性確定極值，再反推的單調(diào)性，判斷極大值情況.【詳解】（1），令，得，在為負(fù)，單調(diào)遞減，在為正，單調(diào)遞增，故為極小值，無極大值.（2）由題知,令，令，則，設(shè)則，，為正，在單調(diào)遞增，，為負(fù)，在單調(diào)遞減，故為極大值，若，即，此時，則在單調(diào)遞減，又，所以時，在單調(diào)遞增，時，，在單調(diào)遞減，故為極大值，所以，則當(dāng)時，符合條件；，即此時，存在，在上；，則在單調(diào)遞增，又，則在區(qū)間上所以在區(qū)間上，單調(diào)遞減，則，不滿足條件.綜上所述的最小值為.22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程是.(1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線l與曲線C交于A，B兩點，點，求的值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）曲線C的參數(shù)方程通過平方消元得到普通方程；通過極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程關(guān)系得到直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）由題可知點P過直線l，利用直線的參數(shù)方程中參數(shù)與定點位置