2023屆江西省吉安市泰和縣高三下學(xué)期第一次?？紨?shù)學(xué)（理）試題

泰和縣2023屆高三下學(xué)期第一次?？紨?shù)學(xué)（理）試題一、選擇題（本大題共12個小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1．已知，，且，滿足這樣的集合的個數(shù)（

）A．6 B．7 C．8 D．92．若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C．1 D．3．由國家信息中心“一帶一路”大數(shù)據(jù)中心等編寫的《“一帶一路”貿(mào)易合作大數(shù)據(jù)報告（2017）》到2016年這六年中，中國與“一帶一路”沿線國家出口額和進口額圖表如下，下列說法中正確的是（

）中國與“一帶一路”沿線國家出口額和進口額（億美元）A．中國與沿線國家貿(mào)易進口額的極差為億美元B．中國與沿線國家貿(mào)易出口額的中位數(shù)不超過5782億美元C．中國與沿線國家貿(mào)易順差額逐年遞增（貿(mào)易順差額＝貿(mào)易出口額－貿(mào)易進口額）D．中國與沿線國家前四年的貿(mào)易進口額比貿(mào)易出口額更穩(wěn)定4．設(shè)數(shù)列滿足，且，記的前項和為，則等于（）A．1025 B．1024C．10250 D．202405．“數(shù)列（）滿足（其中為常數(shù)）”是“數(shù)列（）是等比數(shù)列”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件6．已知，，則的值為（

）A． B． C． D．7．若圓柱的底面半徑是1，其側(cè)面展開是一個正方形，則這個圓柱的側(cè)面積是（

）A． B． C． D．8．已知向量，滿足，，，那么與的夾角為（

）A． B． C． D．9．設(shè)雙曲線的一條漸近線為，且一個焦點與拋物線的焦點相同，則此雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．10．如圖是某幾何體挖去一部分后得到的三視圖，其中主視圖和左視圖相同都是一個等腰梯形及它的內(nèi)切圓，俯視圖中有兩個邊長分別為2和8的正方形且圖中的圓與主視圖圓大小相等并且圓心為兩個正方形的中心.問該幾何體的體積是A． B． C． D．11．已知曲線在點的切線與曲線相切，則實數(shù)的值為()A． B．或 C． D．或12．若存在實常數(shù)和，使得函數(shù)和對其公共定義域上的任意實數(shù)都滿足：和恒成立，則稱此直線為和的“隔離直線”，已知函數(shù)，，有下列命題：①在內(nèi)單調(diào)遞增；②和之間存在“隔離直線”，且的最小值為；③和之間存在“隔離直線”，且的取值范圍是；④和之間存在唯一的“隔離直線”．其中真命題的個數(shù)有(

)A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分。)13．已知函數(shù)f(x)＝則f(f(－2))＝________.14．滿足不等式組的點所圍成的平面圖形的面積為________．15．某單位安排A，B，C，D，E，F(xiàn)等6名工作人員到4個不同的地方開展工作，每個地方至少需安排一名工作人員，其中A，B被安排到同一個地方工作，D，E不能被安排到同一個地方工作，則不同的分配方法共有______種．16．給出下列命題：①是奇函數(shù)；②若是第一象限角，且，則；③函數(shù)的一個對稱中心是；④函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，其中正確命題的序號是____________（把正確命題的序號都填上）.三、解答題(本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明或推理、驗算過程。)17．公差不為零的等差數(shù)列的前項和為，若，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)是首項為,公比為的等比數(shù)列,求數(shù)列的通項公式及其前項和.18．袋中有2個白球，3個紅球，5個黃球，這10個小球除顏色外完全相同.(1)從袋中任取3個球，求恰好取到2個黃球的概率；(2)從袋中任取2個球，記取到紅球的個數(shù)為，求的分布列、期望和方差.19．如圖，四棱錐中，底面ABCD，且底面ABCD為平行四邊形，若，，（1）求證：；（2）若，求直線PB與平面PCD所成角的正弦值．20．已知橢圓的離心率，直線與橢圓交于兩點，為橢圓的右頂點，.(1)求橢圓的方程；(2)若橢圓上存在兩點，使，，求面積的最大值.21．設(shè)，函數(shù).(1)若，求曲線在處的切線方程；(2)若無零點，求實數(shù)的取值范圍；(3)若有兩個相異零點，求證：請從下面所給的22、23兩題中選定一題作答，并用2B鉛筆在答題卡上將所選題目對應(yīng)的題號方框涂黑，按所涂題號進行評分；不涂、多涂均按所答第一題評分；多答按所答第一題評分.22．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點，軸非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點為曲線上的動點，點在線段的延長線上且滿足點的軌跡為.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點的極坐標(biāo)為，求面積的最小值.23．選修4-5：不等式選講已知函數(shù).(1)若的最小值為，求的值；(2)在（1）的條件下，，，為正實數(shù)，且，求證：.

1．B【分析】先判斷出中必有的元素，余下元素構(gòu)成的集合為的非空子集，利用非空子集個數(shù)的計算方法可得滿足條件的的個數(shù).【詳解】因為，故且，又，故中除了這兩個元素，余下元素構(gòu)成的集合為的非空子集，故滿足條件的集合的個數(shù)為，故選：B.【點睛】本題考查集合的包含關(guān)系及非空子集的個數(shù)計算，注意根據(jù)包含關(guān)系明確集合中哪些元素是明確的，再找出不確定的元素滿足的條件，另外，要掌握有限集的子集（非空子集、真子集、非空真子集等）個數(shù)的計算公式.2．B【分析】復(fù)數(shù)的分式運算，同乘共軛復(fù)數(shù)，利用模長公式即可得到答案.【詳解】,,故選：B.3．D【分析】根據(jù)圖表中的數(shù)據(jù)，結(jié)合統(tǒng)計中的相關(guān)概念逐一計算判斷即可得出答案.【詳解】對于A,中國與沿線國家貿(mào)易進口額的極差為．所以A錯誤；對于B，由已知圖中的數(shù)據(jù)可得出口額額的中位數(shù)為，故B錯誤；對于C，2011年至2016年的貿(mào)易順差額依次為，，，，，，2016年開始下降，故C錯誤；由圖表可知中國與沿線國家前四年的貿(mào)易出品額比貿(mào)易進口額波動性更大，故D正確．故選：D．4．C【分析】由已知可推出是等比數(shù)列，求出公比，再利用片段和的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【詳解】∵，∴，且，∴為等比數(shù)列，且公比，∴.故選:C.【點睛】本題考查等比數(shù)列的定義以及前和的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.5．B【詳解】試題分析：當(dāng)時，，但此時數(shù)列（）不是等比數(shù)列，但當(dāng)數(shù)列（）是等比數(shù)列時，必定滿足，故選B.考點：充分條件與必要條件.6．A【解析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，；【詳解】解：因為，，所以，因為，所以，所以故選：A7．A【分析】側(cè)面展開圖的面積就是側(cè)面積．【詳解】由題意側(cè)面展開圖的邊長不，面積為．故選：A.【點睛】本題考查圓柱的側(cè)面積，考查圓柱的側(cè)面展開圖，圓柱側(cè)面展開圖是矩形，矩形的一邊是圓柱的高，另一邊長是圓柱的底面周長．8．B【解析】根據(jù)模的向量運算，將平方后化簡，即可由平面向量的數(shù)量積定義求得與的夾角.【詳解】向量，滿足，，，則所以，代入，，可求得，由平面向量數(shù)量積定義可知，設(shè)與的夾角為，則，則，因為，所以，故選：B.【點睛】本題考查了平面向量夾角的求法，平面向量數(shù)量積定義及模的運算，屬于基礎(chǔ)題.9．C【解析】求得拋物線的焦點坐標(biāo)，可得雙曲線方程的漸近線方程為，由題意可得，又，即，解得，，即可得到所求雙曲線的方程.【詳解】解：拋物線的焦點為可得雙曲線即為的漸近線方程為由題意可得，即又，即解得，.即雙曲線的方程為.故選：C【點睛】本題主要考查了求雙曲線的方程，屬于中檔題.10．B【詳解】解：由題意可知：該幾何體是一個正四棱臺內(nèi)切一個球，且上平面的邊長為2，下平面的邊長為8，由平面幾何關(guān)系可知球的半徑為，據(jù)此可得組合體的體積：.本題選擇B選項.11．C【分析】根據(jù)已知求得切線方程，又該切線與曲線相切，聯(lián)立得一元方程有唯一解，即可得實數(shù)的值.【詳解】解：由，求導(dǎo)得，所以曲線在點處的切線的斜率為，所以在點處的切線的方程為，其也為曲線的切線．由，得，此方程只有唯一解，所以當(dāng)時，方程無解，舍去；當(dāng)時，，解得或(舍)，所以.故選：C.12．C【分析】對于命題①，對函數(shù)進行求導(dǎo)，判斷出函數(shù)在的單調(diào)性；對于命題②，③，因為是，的隔離直線，所以分別構(gòu)造不等式和，從而得到關(guān)于和的不等式，從而求出范圍；對于命題④，因為存在隔離直線，從而分別構(gòu)造不等式，通過一元二次不等式在上恒成立，從而判斷不等式是否成立，以及構(gòu)造不等式，構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)判斷不等式是否在上恒成立.【詳解】對于命題①，，，，在內(nèi)單調(diào)遞增，故①正確；對于命題②，③，設(shè)，的隔離直線為，則對一切實數(shù)成立，即有，又對一切成立，則，即，，，即有且，所以，即同理，可得，故②正確，③錯誤；對于命題④，函數(shù)和的圖象在處有公共點，因此存在和的隔離直線，那么該直線過這個公共點，設(shè)隔離直線的斜率為，則隔離直線方程為，即，由，可得，當(dāng)恒成立，則，只有，此時直線方程為，下面證明，令，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，取到極小值，極小值是，也是最小值，，則，函數(shù)和存在唯一的隔離直線，故④正確，真命題的個數(shù)有三個，故選：C13．3【詳解】∵f(x)＝∴f(－2)=，∴f(f(－2))＝f()=故答案為3點睛：本題主要考查分段函數(shù)的解析式、分段函數(shù)求函數(shù)值，屬于中檔題.對于分段函數(shù)解析式的考查是命題的動向之一，這類問題的特點是綜合性強，對抽象思維能力要求高，因此解決這類題一定要層次清出，思路清晰.本題解答分兩個層次：首先求出f(－2)的值，進而得到f(f(－2))的值.14．【分析】畫出約束條件表示的可行域，利用微積分基本定理求出可行域的面積．【詳解】畫出約束條件表示的可行域，如圖中陰影部分，由題意不等式組，表示的平面區(qū)域如圖所示，其中解得：或，即，,所以平面圖形的面積為：．故答案為：．15．216##【分析】采用先分組后排序的方法計算出不同的分配方法數(shù).【詳解】第一步，將6名工作人員分成4組，要求A，B在同一組，D，E不在同一組．若分為3，1，1，1的四組，則A，B必須在3人組，有（種）分組方法；若分為2，2，1，1的四組，則A，B必須在兩人組，有（種）分組方法．則一共有（種）分組方法．第二步，將分好的四組全排列，分配到四個地方，有（種）分配方法．故不同的分配方法共有（種）．故答案為：16．①③【分析】對每個命題進行一一驗證.【詳解】①因為函數(shù)的定義域為關(guān)于原點對稱，令，故①正確；②若，但，故②不正確；③函數(shù)的所有對稱中心為，當(dāng)時，對稱中心為，故③正確；④函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)即的圖象，故④不正確.17．(1)(2)，【分析】（1）由已知利用等差數(shù)列的前項和公式和等比數(shù)列的性質(zhì)列出方程組，求出首項和公差，由此能求出數(shù)列的通項公式；(2)結(jié)合（1）可得，,根據(jù)分組求和法，利用等比數(shù)列與等差數(shù)列求和公式可得結(jié)果.（1）由，得．又∵成等比數(shù)列，

∴，即，解得或（舍去），

∴，故．（2）由題意，所以，所以．故：，.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式與求和公式及等比數(shù)列的求和公式，利用“分組求和法”求數(shù)列前項和，屬于中檔題.利用“分組求和法”求數(shù)列前項和常見類型有兩種：一是通項為兩個公比不相等的等比數(shù)列的和或差，可以分別用等比數(shù)列求和后再相加減；二是通項為一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的和或差，可以分別用等差數(shù)列求和、等比數(shù)列求和后再相加減.18．(1)；(2)的分布列見解析，期望為，方差為.【分析】(1)利用古典概型的概率公式求解即可；(2)結(jié)合題意寫出可能的取值，分別求出相應(yīng)的概率即可得到的分布列，然后利用期望和方差公式求解即可.【詳解】(1)從袋中任取3個球，共有種情況，若從袋中任取3個球中，恰好取到2個黃球共有種，故從袋中任取3個球，求恰好取到2個黃球的概率為；(2)由題意可知，可能取值為，0，1，2，，，，故的分布列如下表：012從而期望，方差.19．（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）由平面知識可先證明出，即可證出平面PAD，即可得；（2）過B作于H，連接PH，易證直線PB與平面PCD所成的角，再解三角形，即可求出直線PB與平面PCD所成角的正弦值．【詳解】（1）∵，，∴即，．∵平面ABCD，平面ABCD∴，又．∴平面PAD∵平面PAD，∴．（2）過B作于H，連接PH∵平面ABCD，平面ABCD∴又∵，∴平面PCD∴直線PB與平面PCD所成的角易求，又∵，，∴易證：，∴∴∴直線PB與平面PCD所成角的正弦值．【點睛】本題主要考查線面垂直的定義和判定定理應(yīng)用，線面角的求法，意在考查學(xué)生的直觀想象能力和數(shù)學(xué)運算能力，屬于中檔題．20．(1)；(2).【分析】（1）設(shè)，通過，以及橢圓的離心率，A在橢圓上，列出方程求出橢圓的幾何量，然后求解橢圓方程；（2）設(shè)，，中點為，利用，得到方程組，利用E,F在橢圓上，代入橢圓方程，利用平方差法求出的斜率，得到直線的方程代入橢圓方程，利用韋達定理求出，求出三角形的高，表示出三角形的面積，利用基本不等式求出最值．【詳解】（1）根據(jù)題意，不妨設(shè)，則，，∴，，，，解得：，，∴橢圓的方程為：.（2）設(shè)，，中點為，由（1），∵，∴，∵橢圓上，則，相減可得，，∴直線的方程為：，即，代入整理得：，∴，，，∵原點到直線的距離為，，當(dāng)時等號成立，所以面積的最大值為.21．(1)；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率為，再根據(jù)點斜式求切線方程；（2）對分三種情況討論得解；（3）利用分析法證不等式，要證，只要證，根據(jù)零點條件可得，令，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)性，即得，逆推可得結(jié)論.（1）解：函數(shù)的定義域為，，當(dāng)時，，則切線方程為，即切線方程為.（2）解：①若時，則，是區(qū)間上的增函數(shù)，∵，，∴，函數(shù)在區(qū)間有唯一零點；②若，有唯一零點；③若，令，得，在區(qū)間上，，函數(shù)是增函數(shù)；在區(qū)間上，，函數(shù)是減函數(shù)