2023屆河南省新鄉(xiāng)市高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題

2023屆河南省新鄉(xiāng)市高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)z滿足，則的虛部為（

）A．1 B． C．i D．【答案】B【分析】由復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再由共軛復(fù)數(shù)的定義求出，即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，故的虛部為．故選：B.2．已知集合，，若，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，分，和三種情況討論即可.【詳解】因?yàn)?，且，若，則，不符題意，若，則，與題意矛盾，若，則，由，所以，即a的取值范圍為.故選：C.3．已知隨機(jī)變量X的分布列為X024Pm則（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)及期望公式即得.【詳解】由題可知，，解得，則．故選：D.4．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線C上，，若的面積為，則（

）A．4 B．3 C．5 D．2【答案】A【分析】根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合拋物線定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意知,準(zhǔn)線方程為，設(shè)．因?yàn)?，的面積為，所以，則，所以．故選：A5．已知等差數(shù)列滿足，則的前20項(xiàng)和（

）A．400 B．380 C．340 D．280【答案】A【分析】設(shè)，，則解方程即可求出，再由等差數(shù)列的前項(xiàng)和即可得出答案.【詳解】設(shè)，所以，所以．因?yàn)椋运詣t，所以．故選：A.6．在如圖所示的正方體或正三棱柱中，M，N，Q分別是所在棱的中點(diǎn)，則滿足直線BM與平面CNQ平行的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正方體，正三棱柱的性質(zhì)，線面的位置關(guān)系及線面平行的判定定理結(jié)合條件逐項(xiàng)分析即得.【詳解】A選項(xiàng)中，由正方體的性質(zhì)可知，所以直線BM與平面CNQ不平行，故錯(cuò)誤；B選項(xiàng)中，因?yàn)椋势矫鍯NQ即為平面ACNQ，而，平面CNQ，平面CNQ，所以直線BM與平面CNQ平行，故正確；C選項(xiàng)中，因?yàn)?，故平面CNQ即為平面BCNQ，則直線BM與平面CNQ相交于點(diǎn)B，故錯(cuò)誤；D選項(xiàng)中，假設(shè)直線BM與平面CNQ平行，過(guò)點(diǎn)M作CQ的平行線交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D是在上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，由，平面CNQ，平面CNQ，可得平面CNQ，又BM與平面CNQ平行，平面，則平面平面CNQ，而平面與平面，平面CNQ分別交于BD，QN，則BD與QN平行，顯然BD與QN不平行，假設(shè)錯(cuò)誤，所以直線BM與平面CNQ不平行，故錯(cuò)誤．故選：B.7．定義在上的函數(shù)滿足，且為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．0 B． C． D．1【答案】A【分析】由和為偶函數(shù)，可知的周期為4，且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，利用函數(shù)的周期性和對(duì)稱性將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，所以的周期?．又為偶函數(shù)，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則．故選：A.8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)程序框圖得到，計(jì)算得到答案.【詳解】由題可知，．故選：D9．剪紙是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，剪紙時(shí)常會(huì)沿著紙的某條對(duì)稱軸對(duì)折．將一張紙片先左右折疊，再上下折疊，然后沿半圓弧虛線裁剪，展開(kāi)得到最后的圖形，若正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)在四段圓弧上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得的取值范圍.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，易知，以為半徑的左半圓的方程為，以為半徑的右半圓的方程為，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是，又因?yàn)?，，所以?故選：B.10．已知函數(shù)在上存在零點(diǎn)，且在上單調(diào)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)和單調(diào)性求出，從而可得根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)，即可求的取值范圍.【詳解】，因?yàn)樵谏洗嬖诹泓c(diǎn)，所以，解得．又在上單調(diào)，所以，即，解得，則，則則解得．故選：C.11．已知F是雙曲線的左焦點(diǎn)，P是E右支上一點(diǎn)，PF與E的漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，且，則E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)點(diǎn)，由可表示出，點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)镻是E右支上一點(diǎn)，帶入橢圓得方程化簡(jiǎn)即可得出答案.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)，，由，可得為的中點(diǎn)，所以，由，解得．因?yàn)椋瑒t得因?yàn)镻是E右支上一點(diǎn)，則，則，故E的離心率為．故選：B.12．若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知數(shù)的形式構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】令函數(shù)，則．設(shè)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，所以，則，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即．因?yàn)?，所以，則，故．故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)數(shù)的形式構(gòu)造新函數(shù)，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的以直代曲是解題的關(guān)鍵.二、填空題13．函數(shù)的圖象在處的切線方程為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線點(diǎn)斜式方程進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，則，，故的圖象在處的切線方程為．故答案為：三、雙空題14．用0，2，3，4，5五個(gè)數(shù)組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則不同的四位數(shù)共有______個(gè)，其中偶數(shù)共有______個(gè)．【答案】

96

60【分析】五個(gè)數(shù)組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)只需滿足首位不為0即可，其中偶數(shù)分為個(gè)位數(shù)是0和個(gè)位數(shù)不是0，即可得出答案.【詳解】由題可知，滿足條件的四位數(shù)共有個(gè)，其中偶數(shù)分為個(gè)位數(shù)是0和個(gè)位數(shù)不是0，若這個(gè)偶數(shù)的個(gè)位數(shù)是0，則有個(gè)；若這個(gè)偶數(shù)的個(gè)位數(shù)不是0，則有個(gè).故滿足條件的四位數(shù)中偶數(shù)的總個(gè)數(shù)為；故答案為：96；60四、填空題15．若正四面體的棱長(zhǎng)為4，則該四面體內(nèi)切球的球心到其一條側(cè)棱的距離為_(kāi)_____．【答案】【分析】設(shè)O為正四面體的內(nèi)切球球心，也是外接球球心，D為的外心，過(guò)作，垂足為G，由題意求出，，又因?yàn)?，求出，再由，即可求出答?【詳解】如圖，設(shè)O為正四面體的內(nèi)切球球心，也是外接球球心，D為的外心，過(guò)作，垂足為G，，．因?yàn)?，所以，解得．因?yàn)椋?，解得，即該四面體內(nèi)切球的球心到其一條側(cè)棱的距離為．故答案為：.16．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，，，若是唯一的最大項(xiàng)，則k的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系得到是等比數(shù)列，進(jìn)一步求出的通項(xiàng)公式，利用是最大項(xiàng)建立不等式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又，，所以是首?xiàng)為64，公比為k的等比數(shù)列，則，則，因?yàn)槭俏ㄒ坏淖畲箜?xiàng)，所以，即，解得，即k的取值范圍為.故答案為：.五、解答題17．世界上的能源消耗有是由摩擦和磨損造成的，一般機(jī)械設(shè)備中約有80%的零件因磨損而失效報(bào)廢．零件磨損是由多方面因素造成的，某機(jī)械設(shè)備的零件隨著使用時(shí)間的增加，“磨損指數(shù)”也在增加．現(xiàn)根據(jù)相關(guān)統(tǒng)計(jì)，得到一組數(shù)據(jù)如下表．使用時(shí)間t/年12345磨損指數(shù)r/%(1)求r關(guān)于t的線性回歸方程；(2)在每使用完一整年后，工人會(huì)對(duì)該零件進(jìn)行檢測(cè)分析，若該零件在下一年使用過(guò)程中的“磨損指數(shù)”超過(guò)10%，則該零件需要在本次檢測(cè)后立即進(jìn)行報(bào)廢處理．根據(jù)（1）中的回歸方程，估計(jì)該零件使用多少年后需要進(jìn)行報(bào)廢處理？參考數(shù)據(jù)：，．附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．【答案】(1)(2)8年【分析】（1）根據(jù)題中所給的公式和數(shù)據(jù)進(jìn)行求解即可；（2）運(yùn)用代入法進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以．又，，所以，所以．故r關(guān)于t的線性回歸方程為．（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．故估計(jì)該零件使用8年后需要進(jìn)行報(bào)廢處理．18．如圖，在中，D，E在BC上，，，．(1)求的值；(2)求面積的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式結(jié)合條件可得，，進(jìn)而可得，然后利用正弦定理即得；（2）設(shè)，根據(jù)余弦定理及三角形面積公式結(jié)合條件可表示三角形面積，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件即得.【詳解】（1）因?yàn)椋?，，所以，，故，即，則在中，根據(jù)正弦定理可得，；（2）設(shè)，則，由解得，在中，，則，，由，得，則，故面積的取值范圍為．19．如圖，在斜三棱柱中，，，分別為，的中點(diǎn)，．(1)證明：四邊形為正方形．(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)．【分析】（1）連接，，依題意可得，，即可得到平面，從而得到，再由得到，即可得到為矩形，再證明鄰邊相等即可得證；（2）由題可知，四面體為正四面體，以的中心點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【詳解】（1）證明：連接，，因?yàn)?，所以與均為正三角形．因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，．又，平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以．又，所以，則四邊形為矩形．因?yàn)?，，所以，故四邊形為正方形．?）解：由題可知，四面體為正四面體，以的中心點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得．設(shè)直線與平面所成的角為，則．20．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為橢圓C的右頂點(diǎn)，B為橢圓C的上頂點(diǎn)，且的面積為．(1)求橢圓C的方程．(2)過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，與直線AQ相交于點(diǎn)M，N是PM的中點(diǎn)，試問(wèn)直線AN的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)直線AN的斜率為定值，定值為．【分析】（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)列方程組求解；（2）聯(lián)立直線l與橢圓方程，求出點(diǎn)M，點(diǎn)N的坐標(biāo)，再由斜率公式結(jié)合韋達(dá)定理得出直線AN的斜率為定值.【詳解】（1）由題可知，解得故橢圓C的方程為．（2）由題可知，直線l的斜率一定存在，設(shè)l的方程為，，，聯(lián)立方程組,消去y整理得．，解得，，．直線AQ的方程為，令，得，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為．直線AN的斜率．故直線AN的斜率為定值，且該定值為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決問(wèn)題（2）的關(guān)鍵在于，聯(lián)立直線和橢圓方程，利用韋達(dá)定理建立的聯(lián)系，從而證明直線AN的斜率為定值.21．已知，函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，證明：，．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，分和，討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，即可得出函數(shù)的單調(diào)性.（2）當(dāng)時(shí)，由（1）可知，，由此可得，由裂項(xiàng)相消法結(jié)合題意放縮可證明，即可證明.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以．?dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，由，解得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）證明：當(dāng)時(shí)，由（1）可知，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，則，則．又，所以，故，從而．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問(wèn)題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．22．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．(1)求出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；(2)若與有公共點(diǎn)，求m的取值范圍．【答案】(1)：，：(2)【分析】（1）消參法求的普通方程，公式法求的直角坐標(biāo)方程；（2）根據(jù)與有公共點(diǎn)，即圓心到直線距離小于等于半徑列不等式求參數(shù)范圍.【詳解】（1）因?yàn)?，所以的普通方程為．因?yàn)椋?，故的直角坐?biāo)方程為．（2）因?yàn)榕c有公共點(diǎn)，且不在上，且圓