數(shù)字信號(hào)課件（鄭楚君）第4章3

4.6FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法引言線性相位濾波器的特點(diǎn)窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器利用等紋波最佳逼近法設(shè)計(jì)FIR濾波器2引言【問(wèn)題的引入】?jī)?yōu)點(diǎn)：能借助模擬濾波器已有成果設(shè)計(jì)；簡(jiǎn)單方便IIR數(shù)字濾波器缺點(diǎn)：相位非線性，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器優(yōu)點(diǎn)：嚴(yán)格線性相位；系統(tǒng)十分穩(wěn)定（傳輸函數(shù)為全零點(diǎn)型）；進(jìn)行濾波時(shí)可采用FFT缺點(diǎn)：幅度特性較差；設(shè)計(jì)繁瑣線性相位濾波器的特點(diǎn)線性相位條件設(shè)FIR系統(tǒng)的單位采樣響應(yīng)為實(shí)序列（長(zhǎng)度為N），則其Z變換為：顯然為關(guān)于的N-1階多項(xiàng)式，它在Z平面上有N-1個(gè)零點(diǎn)、在原點(diǎn)有N-1個(gè)重極點(diǎn)。若滿足下面的“偶對(duì)稱(chēng)”或“奇對(duì)稱(chēng)”條件：則FIR濾波器將具有嚴(yán)格的線性相位特性。對(duì)于長(zhǎng)度為N的單位采樣響應(yīng)h(n)，其頻率響應(yīng)為當(dāng)h(n)為實(shí)數(shù)序列時(shí)，可將頻率響應(yīng)表示為式中，H（w）稱(chēng)為幅度函數(shù)，稱(chēng)為相位特性，稱(chēng)為幅頻特性，稱(chēng)為相頻特性。線性相位是指系統(tǒng)的相位特性是頻率的線性函數(shù)，即54類(lèi)線性相位濾波器知識(shí)拓展（FIR濾波器具有線性相位的充要條件）把系統(tǒng)相位特性與頻率的關(guān)系式代入頻率響應(yīng)表達(dá)式，得等式左右兩側(cè)實(shí)部、虛部分別相等兩式相除，可得7整理，得即：要使上式成立，必須滿足得到第一類(lèi)線性相位濾波器的條件。8第二類(lèi)線性相位濾波器，可作與第一類(lèi)線性相位同樣的推導(dǎo)，得到第二類(lèi)FIR濾波器是線性相位的充要條件

9線性相位FIR濾波器幅度函數(shù)特點(diǎn)1第I種類(lèi)型，h(n)偶對(duì)稱(chēng)，N為奇數(shù)其求和項(xiàng)全為實(shí)數(shù)則：顯然：幅度函數(shù)是標(biāo)量函數(shù)，可正可負(fù)；相位函數(shù)是的線性函數(shù)，且通過(guò)原點(diǎn)，即具有嚴(yán)格的線性相位特性。線性相位FIR濾波器幅度函數(shù)特點(diǎn)11線性相位FIR濾波器幅度函數(shù)特點(diǎn)的各項(xiàng)相對(duì)于對(duì)稱(chēng)的項(xiàng)相等。線性相位FIR濾波器幅度函數(shù)特點(diǎn)將相等項(xiàng)合并，因N為奇數(shù)，余中間項(xiàng)令，則：改換記法其中線性相位FIR濾波器幅度函數(shù)特點(diǎn)∴該類(lèi)濾波器適合于設(shè)計(jì)任何關(guān)于為偶對(duì)稱(chēng)特性頻率的濾波器?！邔?duì)皆為偶對(duì)稱(chēng)，所以幅度函數(shù)對(duì)也是偶對(duì)稱(chēng)。2第II種類(lèi)型：h(n)偶對(duì)稱(chēng)，N取偶數(shù)與情形1推導(dǎo)相同∵N為偶數(shù)，∴余項(xiàng)令，得：FIR數(shù)字濾波器幅度函數(shù)的特點(diǎn)改換記法其中因此這種情況不適合做在處不等于零的濾波器，如高通濾波器、帶阻濾波器。特點(diǎn)：當(dāng)時(shí)，，故，即在z=-1為零點(diǎn)，且由于對(duì)呈奇對(duì)稱(chēng)，因而對(duì)也呈奇對(duì)稱(chēng)。FIR數(shù)字濾波器幅度函數(shù)的特點(diǎn)3第III種類(lèi)型，h(n)奇對(duì)稱(chēng)，N為奇數(shù)16FIR數(shù)字濾波器幅度函數(shù)的特點(diǎn)顯然：相位特性同樣為一嚴(yán)格的直線，但在零點(diǎn)處有的截距。則：幅度特性相位特性FIR數(shù)字濾波器幅度函數(shù)的特點(diǎn)上式表明，當(dāng)時(shí)，，相當(dāng)于在z=1和z=-1有兩個(gè)零點(diǎn)，并且由于對(duì)呈奇對(duì)稱(chēng)，因而對(duì)也呈奇對(duì)稱(chēng)?！噙@種情況不適合做在處為偶對(duì)稱(chēng)的濾波器，如低通和高通濾波器。推導(dǎo)方法與前面類(lèi)似，可得：∵對(duì)為奇對(duì)稱(chēng)，∴18FIR數(shù)字濾波器幅度函數(shù)的特點(diǎn)4第III種類(lèi)型，h(n)奇對(duì)稱(chēng)，N為偶數(shù)∴這種情況不適合做在處為偶對(duì)稱(chēng)的濾波器，如低通濾波器。上式表明：當(dāng)時(shí)，，相當(dāng)于在z=1處有一個(gè)零點(diǎn)；并且由于對(duì)呈奇對(duì)稱(chēng)、對(duì)呈偶對(duì)稱(chēng)，因而也對(duì)呈奇對(duì)稱(chēng)、對(duì)呈偶對(duì)稱(chēng)。19FIR數(shù)字濾波器幅度函數(shù)的特點(diǎn)下表給出了上述4種類(lèi)型的線性相位濾波器的相位響應(yīng)、時(shí)域幅度響應(yīng)和頻域幅度響應(yīng)的示意圖。20知識(shí)拓展I型濾波器適合于設(shè)計(jì)低通、高通、帶通和帶阻濾波器；II型適合于設(shè)計(jì)低通、帶通濾波器;III型適合于設(shè)計(jì)帶通濾波器；IV型適合于設(shè)計(jì)高通、帶通濾波器。但在實(shí)際應(yīng)用中，低通、高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)一般選擇I,II兩種類(lèi)型，III,IV兩種線性相位FIR濾波器常在微分器和希爾伯特變換器中使用。21線性相位FIR濾波器的零點(diǎn)特性線性FIR數(shù)字濾波器零點(diǎn)分布特點(diǎn)

偶對(duì)稱(chēng)取“＋”奇對(duì)稱(chēng)取“－”設(shè)是的零點(diǎn)，∵則也是的零點(diǎn)。當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí)，為實(shí)系數(shù)的多項(xiàng)式，此時(shí)應(yīng)是共軛成對(duì)的，則也是零點(diǎn)?！鄬?duì)于一個(gè)實(shí)線性相位FIR濾波器，其零點(diǎn)相對(duì)于單位圓鏡像共軛成對(duì)。22線性相位FIR數(shù)字濾波器零點(diǎn)分布234.6.1窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器設(shè)濾波器要求的理想頻響特性為,則FIR濾波器的設(shè)計(jì)問(wèn)題就在于：尋求某一系統(tǒng)函數(shù)，使該系統(tǒng)頻響特性逼近；若要求FIR濾波器具有線性相位特性，則必須滿足上節(jié)所述的奇對(duì)稱(chēng)或偶對(duì)稱(chēng)條件。線性相位FIR濾波器的常用設(shè)計(jì)方法窗函數(shù)法、頻率采樣法、等波紋最佳逼近法窗函數(shù)法設(shè)計(jì)的基本思想是設(shè)計(jì)一個(gè)有限長(zhǎng)濾波器頻率響應(yīng)來(lái)逼近理想濾波器的頻率響應(yīng)。24設(shè)計(jì)方法以低通線性相位濾波器為例,一般選擇選擇為線性理想低通濾波器∴理想低通濾波器單位采樣響應(yīng)為：一般先給定理想濾波器的頻率響應(yīng)，設(shè)計(jì)一個(gè)FIR濾波器的頻率響應(yīng)來(lái)逼近要得到有限長(zhǎng)的，最簡(jiǎn)單的方法是用一長(zhǎng)為的矩形窗截?cái)?。按照線性相位濾波器的要求，必須偶對(duì)稱(chēng)，如下圖。對(duì)稱(chēng)中心必須等于濾波器的延時(shí)常數(shù)是中心點(diǎn)在a的偶對(duì)稱(chēng)無(wú)限長(zhǎng)非因果序列。

所以有：設(shè)計(jì)方法26理想矩形幅頻特性和矩形窗函數(shù)序列幅度函數(shù)

設(shè)計(jì)方法下面從頻域卷積的角度來(lái)分析由矩形窗所求得的濾波器的頻率響應(yīng)設(shè)矩形窗的頻率響應(yīng)為

為矩形窗的幅度響應(yīng)。如下圖設(shè)計(jì)方法主瓣旁瓣旁瓣設(shè)計(jì)方法將理想低通濾波器的頻率響應(yīng)表示為：若用代表所設(shè)計(jì)的低通濾波器的幅度函數(shù)，則:可見(jiàn)：設(shè)計(jì)的濾波器的幅度響應(yīng)是矩形窗函數(shù)的幅度響應(yīng)與理想低通濾波器的幅度響應(yīng)的卷積（過(guò)程如下圖所示）30設(shè)計(jì)方法矩形窗對(duì)理想低通濾波幅度特性的影響31設(shè)計(jì)方法加矩形窗處理后，對(duì)理想頻率響應(yīng)產(chǎn)生了以下兩點(diǎn)影響：①使理想頻率特性不連續(xù)點(diǎn)ω=ωc

處，形成了一個(gè)過(guò)渡帶，過(guò)渡帶的寬度等于矩形窗的頻率響應(yīng)WR(ω)的主瓣寬度△ω=4π/N②

在截止頻率ωc的兩邊ω=ωc±2π/N處（即過(guò)渡帶的兩邊），H(ω)出現(xiàn)最大的肩峰值，肩峰的兩側(cè)形成起伏振蕩，其振蕩幅度取決于旁瓣的相對(duì)幅度，而振蕩的快慢，則取決于WR(ω)波動(dòng)的快慢。32設(shè)計(jì)方法若增加截取長(zhǎng)度N，則在主瓣附近的窗的頻率響應(yīng)為：隨著x加大，函數(shù)曲線波動(dòng)的頻率加快，主瓣幅度加高，旁瓣幅度也同樣加高，主瓣與旁瓣的相對(duì)比例保持不變。這個(gè)相對(duì)比例由sinx/x決定,即由矩形窗函數(shù)的形狀決定。

33設(shè)計(jì)方法因而，當(dāng)長(zhǎng)度N增加時(shí)，只會(huì)減小過(guò)渡帶寬(4π/N)，而不會(huì)改變肩峰的相對(duì)值。

在矩形窗情況下，最大相對(duì)肩峰值為8.95%，N增加時(shí)，4π/N減小，起伏振蕩變密，但最大肩峰則總是8.95%，這就是吉布斯(Gibbs)效應(yīng)。由于窗譜肩峰的存在，影響到H(ω)通帶的平坦和阻帶的衰減，使阻帶最小衰減只有21dB左右，因此在實(shí)際中，矩形窗很少采用。為了消除吉布斯效應(yīng)，取得較好頻率特性，一般采用其他類(lèi)型的窗函數(shù)，對(duì)進(jìn)行加窗處理。34窗函數(shù)矩形窗（Rectanglewindow）其頻率響應(yīng)為三角形窗(BartlettWindow)其頻率響應(yīng)為：主瓣寬度為：36其頻率響應(yīng)和幅度響應(yīng)分別為：是三項(xiàng)矩形窗的幅度響應(yīng)的移位加權(quán)和，它使旁瓣相互抵消，能量更集中在主瓣，但主瓣寬度比矩形窗的主瓣加寬了一倍，為漢寧(Hanningwindow)窗，又稱(chēng)升余弦窗37其幅度響應(yīng)為：同漢寧窗的主瓣寬度相同，但旁瓣幅度更小，結(jié)果可將99.963%的能量集中在窗譜的主瓣內(nèi)。漢明(Hamming)窗，又稱(chēng)改進(jìn)的升余弦窗38其窗函數(shù)中包含有余弦的二次諧波分量，幅度響應(yīng)為：通過(guò)加入余弦的二次諧波分量，可進(jìn)一步降低旁瓣，但其主瓣寬度變?yōu)椴既R克曼(Blankman)窗，又稱(chēng)二階升余弦窗39下圖為N=31時(shí)，矩形窗、三角窗、漢寧窗、漢明窗及布萊克曼這5種窗口函數(shù)的包絡(luò)曲線窗函數(shù)40窗函數(shù)下圖為N=311時(shí)矩形窗、三角窗、漢寧窗、漢明窗及布萊克曼5種窗口函數(shù)的幅度響應(yīng)41窗函數(shù)凱塞爾(Kaiser)窗I0(·)是第一類(lèi)修正零階貝塞爾函數(shù)一般取15~25項(xiàng)就可滿足精度要求。β是一個(gè)可選參數(shù)，用來(lái)選擇主瓣寬度和旁瓣衰減之間的交換關(guān)系，一般說(shuō)來(lái)，β越大,過(guò)渡帶越寬，阻帶越小衰減也越大。42窗函數(shù)零階貝塞爾曲線凱塞爾窗函數(shù)曲線

窗函數(shù)基本參數(shù)比較43窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器的步驟求理想濾波器的單位采樣響應(yīng)由過(guò)渡帶帶寬及阻帶最小衰減的要求，選定窗函數(shù)，估計(jì)窗口長(zhǎng)度N；求得所設(shè)計(jì)的FIR濾波器的單位采樣響應(yīng)h(n);求FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)首先是給定所要求的頻率響應(yīng)函數(shù)例題（2）求得：解:(1)設(shè)理想線性相位濾波器的頻率特性為

由阻帶截止頻率與通帶截止頻率近似求得，即一線性相位高通濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)為：通帶截止頻率通帶衰減，阻帶截止頻率阻帶最小衰減。試應(yīng)用窗函數(shù)設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)該濾波器。49例題（4）加窗處理得

（3）已知阻帶最小衰減

，查表6-2知漢寧窗與海明窗均滿足要求，我們選擇漢寧窗。

所設(shè)計(jì)濾波器的過(guò)渡帶帶寬為

，加漢寧窗處理后濾波器過(guò)渡帶寬度為

解之得：

對(duì)于高通線性相位FIR濾波器，選擇N為奇數(shù)，取N=25,得到窗函數(shù)的表達(dá)式：50例題一線性相位FIR帶通濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)為：阻帶下截止頻率阻帶上截止頻率阻帶最小衰減;通帶下截止頻率,通帶上截止頻率通帶最大衰減應(yīng)用MATLAB編程實(shí)現(xiàn)該濾波器。帶通FIR濾波器的頻率響應(yīng)及其單位采樣響應(yīng)4.6.2頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器

由于有限長(zhǎng)序列h(n)和它自身的DFT是一一對(duì)應(yīng)的,因此可以由頻域的N個(gè)頻域采樣值H(k)來(lái)唯一確定有限長(zhǎng)序列h(n)。然后以

作為實(shí)際濾波器的頻率特性的采樣值，即設(shè)計(jì)思想:頻率采樣法是從頻域出發(fā)，把給定的理想濾波器的頻率響應(yīng)加以等間隔采樣

式中h(n)為待設(shè)計(jì)的濾波器的單位采樣響應(yīng)。

待設(shè)計(jì)濾波器的頻率響應(yīng)和系統(tǒng)函數(shù)根據(jù)H(z)的內(nèi)插公式，可以由N個(gè)頻域采樣值H(k)恢復(fù)出FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)和頻率響應(yīng)式中：從內(nèi)插公式可以看出，在各個(gè)頻率采樣點(diǎn)上，濾波器的實(shí)際頻率響應(yīng)是嚴(yán)格地和理想頻率響應(yīng)數(shù)值相等，頻率采樣點(diǎn)之間的頻率響應(yīng)是由各采樣點(diǎn)的加權(quán)內(nèi)插函數(shù)的延伸疊加而形成。理想頻率響應(yīng)特性變化越平緩，則內(nèi)插值越接近理想值，逼近誤差越小。頻率采樣法設(shè)計(jì)線性相位濾波器的條件設(shè)的頻響為：對(duì)于第I類(lèi)線性相位濾波器，h(n)偶對(duì)稱(chēng)，N為奇數(shù)

幅度函數(shù)H(w)g關(guān)于偶對(duì)稱(chēng)，即如果采樣值

也用幅值和相位特性表示，則有式中：必須滿足偶對(duì)稱(chēng)關(guān)系：頻率采樣法設(shè)計(jì)線性相位濾波器的條件第II類(lèi)線性相位濾波器，h(n)偶對(duì)稱(chēng),N為偶數(shù),其幅度函數(shù)H(w)奇對(duì)稱(chēng):對(duì)于第III類(lèi)及第IV類(lèi)線性相位FIR濾波器,兩類(lèi)濾波器的相位特性滿足:這時(shí)滿足奇對(duì)稱(chēng)要求，即：相位特性滿足：第III類(lèi)及第IV類(lèi)濾波器采樣值H(k)的幅值分別滿足奇對(duì)稱(chēng)和偶對(duì)稱(chēng)關(guān)系頻率采樣法設(shè)計(jì)線性相位FIR濾波器的步驟

一般，頻率采樣法設(shè)計(jì)線性相位FIR濾波器步驟可分為以下幾步：

根據(jù)線性相位的約束條件，確定和，進(jìn)而得到H(k)；將代入內(nèi)插公式得到所設(shè)計(jì)的濾波器的頻率響應(yīng)。根據(jù)設(shè)計(jì)要求選擇濾波器的類(lèi)型；例題：利用頻率采樣法，設(shè)計(jì)一個(gè)低通FIR數(shù)字濾波器，其理想頻率特性是矩形的，即已知，采樣點(diǎn)數(shù)為N=33,要求濾波器具有線性相位。例題求解解：(1)根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)要求，采樣點(diǎn)數(shù)N=33是奇數(shù)，濾波器為低通濾波器，因此選擇第I種類(lèi)型濾波器，滿足(2)由通帶截止頻率，確定通帶內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)，即取整數(shù)k=8，應(yīng)在通帶內(nèi)設(shè)置9個(gè)采樣點(diǎn)。(3)根據(jù)，可得因此：(4)將H(k)代入到的內(nèi)插公式，即得到所設(shè)計(jì)濾波器的頻率響應(yīng)。（5）濾波器幅度特性與對(duì)數(shù)幅頻特性的結(jié)果圖60由上圖可以看出過(guò)渡帶帶寬為，最小阻帶衰減為-20dB在大多數(shù)情情況下這一衰減往往是不令人滿意的。為了改善頻率特性，在阻帶和通帶交界處安排一個(gè)或幾個(gè)不等于1的采樣值，就可以使得它的有用頻帶內(nèi)的紋波得以減小。比如在本例中，在處增加一個(gè)，則得到下圖所示結(jié)果，這相當(dāng)于加寬過(guò)渡帶帶寬，其寬度為，算出阻帶最小衰減為4.7FIR數(shù)字濾波器與IIR數(shù)字濾波器的比較

首先，從性能上說(shuō)，IIR數(shù)字濾波器可以用較低的階數(shù)獲得好的選擇特性，所用的存儲(chǔ)單元少，運(yùn)算次數(shù)少，所以經(jīng)濟(jì)高效。FIR數(shù)字濾波器可以得到嚴(yán)格的線性相位，而IIR數(shù)字濾波器的選擇性越好，相位的非線性越嚴(yán)重。4.7FIR數(shù)字濾波器與IIR數(shù)字濾波器的比較

從結(jié)構(gòu)上看，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器采用非遞歸結(jié)構(gòu)，不存在內(nèi)部的反饋，因此系統(tǒng)穩(wěn)定，不論在理論上還是實(shí)際的有限精度運(yùn)算中都不存在穩(wěn)定性問(wèn)題。而IIR數(shù)字濾波器采用遞歸結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)極點(diǎn)位置必須在單位圓以內(nèi)，否則，系統(tǒng)將不穩(wěn)定。FIR數(shù)字濾波器可以采用快速傅里葉變換(FFT)算法大大減少運(yùn)算量，運(yùn)算速度快很多，而IIR數(shù)字濾波器沒(méi)有快速運(yùn)算。

從設(shè)計(jì)工具看，IIR數(shù)字濾波器可以借助于模擬濾波器的成果，因此一般都有有效的封閉形式的設(shè)計(jì)公式可供準(zhǔn)確計(jì)算，計(jì)算工作量比較小，對(duì)計(jì)算工具的要求不高。而FIR數(shù)字濾波器無(wú)法借助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法，只有計(jì)算程序可循，對(duì)計(jì)算工具要求較高。另外，IIR濾波器雖然設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，但主要是用于設(shè)計(jì)具有分段常數(shù)特性的濾波器，如低通、高通、帶通和帶阻濾波器等，往往脫離不了模擬濾波器的局限性。而FIR濾波器則靈活得多，尤其能適應(yīng)某些特殊的應(yīng)用，應(yīng)用于巴特沃斯、切比雪夫等逼近不可能達(dá)到預(yù)定指標(biāo)的情況。71FIR數(shù)字濾波器的Matlab仿真實(shí)現(xiàn)窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器FIR濾波器的優(yōu)化設(shè)計(jì)72窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器窗函數(shù)法是通過(guò)對(duì)理想濾波器的單位取樣響應(yīng)加窗來(lái)逼近理想濾波器的。函數(shù)fir1用于設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)的低通、帶通、高通和帶阻濾波器。73函數(shù)fir1的調(diào)用格式

函數(shù)fir1的調(diào)用格式為>>b=fir1(n,Wc,'ftype',Windows)其中，n為濾波器階數(shù)，Wc為截止