高等數(shù)學(xué)-第3章課件

高等數(shù)學(xué)-第3章課件第一頁，共36頁。第一節(jié)微分中值定理第二節(jié)洛必達(dá)法那么第三節(jié)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法第四節(jié)函數(shù)的極值(jízhí)與最值第五節(jié)函數(shù)圖形的描繪第二頁，共36頁。第一節(jié)微分(wēifēn)中值定理定理3.1.1(羅爾定理)假設(shè)函數(shù)滿足:(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);(3)f(a)=f(b),那么(nàme)在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f'(ξ)=0.一、羅爾定理(dìnglǐ)第三頁，共36頁。二、拉格朗日中值定理(dìnglǐ)定理3.1.2(拉格朗日中值定理)假設(shè)函數(shù)f(x)滿足:(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)(liánxù);(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);那么在(a,b)的內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)(1)兩個(gè)定理中的條件是充分(chōngfèn)而非必要條件;(2)兩個(gè)定理中ξ的未必唯一.第四頁，共36頁。三、兩個(gè)(liǎnɡɡè)主要推論推論1假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒等于零,那么在區(qū)間I上,f(x)是一個(gè)常數(shù).推論2假設(shè)兩個(gè)函數(shù)f(x)與g(x)的導(dǎo)數(shù)在區(qū)間I上處處(chùchù)相等，即f'(x)=g'(x)(x∈I).那么在區(qū)間上I上f(x)與g(x)之差為一常數(shù)，即f(x)-g(x)=C(x∈I).第五頁，共36頁。第六頁，共36頁。第二節(jié)洛必達(dá)法那么(nàme)第七頁，共36頁。定理(dìnglǐ)3.2.1(洛必達(dá)法那么)第八頁，共36頁。第九頁，共36頁。定理(dìnglǐ)3.2.2(洛必達(dá)法那么)第十頁，共36頁。第十一頁，共36頁。三、其他(qítā)類型未定式除了型和型未定式以外，還有∞-∞,0·∞,00,1∞,∞0等類型.求這些未定式的值時(shí)，通常是先將其轉(zhuǎn)化成或型未定式,然后(ránhòu)用洛必達(dá)法那么來求解.第十二頁，共36頁。第三節(jié)函數(shù)(hánshù)單調(diào)性的判定法定理3.3.1(函數(shù)單調(diào)性的判別法)設(shè)函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)的內(nèi)可導(dǎo)，那么(1)如果在(a,b)的內(nèi)恒有f'(x)>0,那么函數(shù)y=f(x)在(a,b)的上單調(diào)增加(zēngjiā);(2)如果在(a,b)的內(nèi)恒有f'(x)<0,那么函數(shù)y=f(x)在(a,b)的上單調(diào)減少.第十三頁，共36頁。注意：(1)定理(dìnglǐ)中的區(qū)間改成其他區(qū)間(包括無窮區(qū)間)，結(jié)論仍成立.(2)函數(shù)的單調(diào)性是局部概念，如有些函數(shù)僅在定義域的局部區(qū)間上具有單調(diào)性.使f'(x)=0的點(diǎn)x0稱為函數(shù)y=f(x)的駐點(diǎn).使f'(x)不存在的點(diǎn)x0稱為函數(shù)y=f(x)的尖點(diǎn).第十四頁，共36頁。第十五頁，共36頁。下面是確定函數(shù)單調(diào)(dāndiào)性的一般步驟:(1)確定函數(shù)f(x)的定義域;(2)求出使函數(shù)f'(x)=0和f'(x)不存在的點(diǎn)，并以這些點(diǎn)為分界點(diǎn)，將定義域劃分成假設(shè)干個(gè)子區(qū)間;(3)確定f'(x)在各個(gè)子區(qū)間的正負(fù)，從而確定f(x)的單調(diào)(dāndiào)區(qū)間.第十六頁，共36頁。第四節(jié)函數(shù)(hánshù)的極值與最值定義3.4.1設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義，如果對于該鄰域內(nèi)的任何點(diǎn)x(x≠x0),恒有f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0)),那么(nàme)稱f(x0)為函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值(或極小值)，稱x0為f(x)的極大值點(diǎn)(或極小值點(diǎn)).函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱(tǒngchēng)為極值.極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(tǒngchēng)為極值點(diǎn).第十七頁，共36頁。定理3.4.1(極值存在的必要條件)假設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),且在x0處取得極值,那么必有f'(x0)=0.定義3.4.2使導(dǎo)數(shù)f'(x)等于零的點(diǎn)x0,稱為(chēnɡwéi)函數(shù)f(x)的駐點(diǎn).第十八頁，共36頁。定理3.4.2(極值存在的第一充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域(línyù)(x0-δ,x0+δ)內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)(但f'(x)可以不存在).那么(1)如果當(dāng)x∈(x0-δ,x0)時(shí)f'(x)>0,而當(dāng)x∈(x0,x0+δ)時(shí)f'(x)<0,那么x0是極大值點(diǎn),f(x0)為f(x)的極大值;(2)如果當(dāng)x∈(x0-δ,x0)時(shí)f'(x)<0,而當(dāng)x∈(x0,x0+δ)時(shí)f'(x)>0,那么x0是極小值點(diǎn),f(x0)為f(x)的極小值;(3)如果當(dāng)x∈(x0-δ,x0)和x∈(x0,x0+δ)時(shí),f'(x)不改變符號,那么x0不是極值點(diǎn).第十九頁，共36頁。第二十頁，共36頁。定理(極值存在的第二充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處具有二階導(dǎo)數(shù)(dǎoshù)且f'(x0)≠0,那么(1)當(dāng)f''(x0)<0時(shí),x0為極大值點(diǎn).f(x0)為極大值;(2)當(dāng)f''(x0)>0時(shí),x0為極小值點(diǎn).f(x0)為極小值;第二十一頁，共36頁。第二十二頁，共36頁。二、函數(shù)(hánshù)的最值函數(shù)的最大值和最小值可按如下方法求得:(1)求出函數(shù)f(x)在(a,b)的內(nèi)所有可能的極值點(diǎn)(駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn));(2)求出函數(shù)f(x)在這些點(diǎn)處相應(yīng)的函數(shù)值及端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)、f(b),然后比較它們的大小(dàxiǎo)，其中最大者為f(x)在[a,b]上的最大值，最小者為f(x)在[a,b]上的最小值.第二十三頁，共36頁。第二十四頁，共36頁。第五節(jié)函數(shù)(hánshù)圖形的描繪定義3.5.1設(shè)曲線(qūxiàn)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)各點(diǎn)均有切線.如果曲線(qūxiàn)弧總位于切線的上方，那么稱曲線(qūxiàn)y=f(x)在(a,b)內(nèi)是凹弧或凹的，也稱(a,b)為曲線(qūxiàn)y=f(x)的凹區(qū)間.如果曲線(qūxiàn)弧總位于切線的下方，那么稱曲線(qūxiàn)y=f(x)在(a,b)內(nèi)是凸弧或凸的，也稱(a,b)為曲線(qūxiàn)y=f(x)的凸區(qū)間.一、曲線(qūxiàn)的凹凸性與拐點(diǎn)第二十五頁，共36頁。定理3.5.1(曲線凹凸性判別定理)設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，那么(1)如果(rúguǒ)在(a,b)內(nèi)恒有f''(x0)>0,那么曲線y=f(x)在(a,b)內(nèi)為凹弧;(2)如果(rúguǒ)在(a,b)內(nèi)恒有f''(x0)<0,那么曲線y=f(x)在(a,b)內(nèi)為凸弧;定義3.5.2連續(xù)曲線y=f(x)上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)，叫做該曲線的拐點(diǎn).第二十六頁，共36頁。定理3.5.2設(shè)曲線y=f(x)是連續(xù)曲線，那么(nàme)(1)假設(shè)點(diǎn)M(x0,f(x0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn),那么(nàme)f'(x0)=0或f'(x)在x0處不存在.(2)假設(shè)除x0外,f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)二階可導(dǎo),且在點(diǎn)x0左、右兩側(cè)f''(x0)異號,那么(nàme)點(diǎn)(x0,f(x0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn).第二十七頁，共36頁。判斷曲線y=f(x)的凹凸性與拐點(diǎn)的一般步驟如下:(1)確定函數(shù)f(x)的定義域，并求出f''(x);(2)求出使f''(x)=0和f''(x)不存在的點(diǎn)，這些點(diǎn)將定義域劃分成假設(shè)(jiǎshè)干個(gè)子區(qū)間，在每個(gè)區(qū)間上確定f''(x)的符號，從而確定曲線y=f(x)的凹凸區(qū)間;(3)假設(shè)(jiǎshè)在f''(x)=0的實(shí)根x0的兩側(cè)f''(x)的符號相反，那么(x0,f(x0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn).第二十八頁，共36頁。第二十九頁，共36頁。二、曲線(qūxiàn)的漸近線1.水平(shuǐpíng)漸近線2.鉛垂?jié)u近線第三十頁，共36頁。3.斜漸近線那么(nàme)曲線y=f(x)有斜漸近線y=kx+b.定理(斜漸近線)假設(shè)函數(shù)(hánshù)f(x)滿足:第三十一頁，共36頁。三、函數(shù)(hánshù)圖形的描繪描繪函數(shù)y=f(x)的圖形的一般步驟如下:(1)確定(quèdìng)函數(shù)的定義域，并討論其對稱性