千分考數(shù)學2012名校自主暑期

組合數(shù)學中的計數(shù)原理一 組合數(shù)學中的著名問二 排＝8，＝3，玩家一共可以填出的3匹馬號的排列數(shù)為如果在個元素中取出個元素進行排列，這個元素可以重復出現(xiàn)，那么排列數(shù)則有如下83=三 組四 要點考注意:0!=1; =????+ ;????=

???? (n?

???? 兩個：①???? ②????+?????1

??!(n?五 典型例題140404組進行單循環(huán)賽，第二輪由各組的前兩名再進行單3、（交大）2005!的末尾有連 個4、某公司欲在某一條街一側(cè)的6個燈箱中任意布置5個不同的，中間包括一個特定的公益。如果要求其中有兩個燈箱必須布置這個公益，則公司恰好將公益布置在兩個相鄰的燈箱中的方法種數(shù)為。79名翻譯中，6名懂英語，453人擔任英語翻譯，2人擔任日語①1,3,5,7,9,

數(shù)學歸納法②1,2,6,15,31,一 數(shù)學歸納法的一般形式（此章適合復旦班，華約班，名校班例1.1證明：在2n2n的正方形格子中，任意挖去一個格子，余下的部分均可用及其旋轉(zhuǎn)的四種圖形覆蓋，1.2an,滿足a3a3a3aaa)2,求a 第二歸納法的其他形式（第三歸納法例1.3若數(shù)列an滿足：a15,a212，且對一切正整數(shù)n，均有an25an16an，求an的通 將質(zhì)數(shù)從小到大編號,2算作第一個質(zhì)數(shù)，3算作第二個，依次類推，求證:n個質(zhì)數(shù)參加過一次比試，試求n所有可能的值（2012年華約自主招生試題）二 數(shù)學歸納法的其他形式（此講義適合華約班、名校班例2.1設a,a,...a是n個整數(shù)，求證 a1a2...an(均值不等式的證明 例2.2數(shù)列Fn滿足:F11,F21,Fn2Fn1Fn(n )，證明F2F2

n的非負整數(shù)解的組數(shù)為(nmn!(m函數(shù)f:NN具有如下性質(zhì):（1）f(2)2 (2)對任意的正整數(shù)m,n，f(mn)f(m)f(n) 正整數(shù)m,n，mn，有f(m)f(n) 證明:f(n)n數(shù)列ana

3l2,a2l

1l(4l23l2l

,S

1l(4l23l1)f(mn滿足:f(mnf(mn1)f(m1,nmnmn2f(1,nf(m,1mnN，證明:f(mnk①an:a11,ak1ak

數(shù)列遞歸方法②an:a14,a27,an16an③aa2 an1 n 2an一、 №1.線性遞歸型數(shù)列（本講適合復旦班，華約班）k階線性遞歸數(shù)列:k階齊次線性遞歸數(shù)列例1.1已知數(shù)列a滿足：a2，a2 2,求a的通 3 不動點: 1.2已知數(shù)列ana12,a24，以及遞推關系:an24an1一．求證an例1.3已知數(shù)列a滿足ats,ats2,ats3，且有遞推關系: qa,求證:at 1.4問什么樣的等比數(shù)列xn，才能滿足xn2pxn1qxn呢?(假設pq給定1.5求證:假設等比數(shù)列xnyn均滿足遞推xn2pxn1qxn，則數(shù)列an=xnyn也滿足遞推關系an2pan1qan特征方程：二階線性遞推數(shù)列an2pan1qan,以及給定a1a2的統(tǒng)一求法 (1)若特征方程有兩個不同的根xxnyyna 例1.6若數(shù)列an滿足：a15,a212，且對一切正整數(shù)n，均有an25an16an，求an的通 （2）若特征方程有兩個相同的根anxny)xyaan 1.7.已知數(shù)列an滿足:an26an19an,a16,a254,求an的通1.810n階樓梯的不*高階其次線性遞推數(shù)列的求法例1.9設數(shù)列an滿足通項 ：3an34an2an12an，且：a1a21,a32，求數(shù)列an的通項已知數(shù)列a滿足遞推關系:a1, 3a2n24n4(n=1,2...)，求數(shù)列a的通 a2已知數(shù)列an滿足a1a21，an ，求數(shù)列an的通 已知數(shù)列a定義如下：a1， 1(14a )，求數(shù)列a的通 .并求出a的極 (2 3)n(22證(2 3)n(22設數(shù)列ab滿足a1b0,an17an6bn3，求證a的每一項均為某個整數(shù)的平方

8a7b *№2分式型遞歸數(shù)列（本講適合華約班）1一階分式型遞推數(shù)列 axnb以及給定a的統(tǒng)一求法1

cxn 4an1,(n1,2,...)，求數(shù)列a的通n 2a n 7an9,(n1,2,...)，求數(shù)列a的通a an一 預

微積分簡介

1 一只烏龜在海邊沿著直線爬行初速度是1m/s，記作v0速度關于時間的關系是vtv0*2求

1k2（4）烏龜一共爬了多遠？如果假設第k秒維持 2

二 極limana0,N,nN,ana2limfxa0,,x極限運算法則：已知limanalimbn

fxalimanbnalimanbnlimana(b nbn

等比數(shù)列a，若公比q1，那么limSa0 n 1 e的定義：limn

1nn三 導fx0limfxfx0

xfkxfkx高階導fk1

lim 0uvu

xuvuv uuv⑴c⑷cosxsin⑺secxsecxtan

⑵x⑸tanxsec2

v ⑶sinxcos⑹cotxcsc2⑻cscxcscxcot⑼

⑽ax

ln

⑾lnxx11⑿l(wèi)ogx ⒀arcsinx ⒁arccosx11 xln⒂arctanx 1

⒃arccotx ⒄x 1

x 推導tansin2的導

sinx

xxx1lim （4）lim 求fx2x33x212x5有多少個零點2 求和橢圓2

四 積0【例7vvt2100不等一 基本不等aabbab,bcaabab0（作差法ab0a1（作商法b abaccb（三角不等式） 求證：aabacbbcbaccacb0.其中，a,b,cR 求證：xmnymnxmynxnym，其中x,y0,m,n1n 調(diào)和平均數(shù):H n 11... aa...算術平均數(shù)：An 2

na1a2na1a2 na2a2...aHGAQaa、…aR，當且僅當aaa時取“=” n 記兩列數(shù)分別是a,b，則有n

ab

i f 為上凸函數(shù)（滿 fx1fx2fx1x2 ）， f(x1x2...xn)f(x1)f(x2)...f(xn f(a1x1a2x2...anxn)a1f(x1)a2f(x2)...anf(xn ai （1）xy0x2y1

（2）xyz，求證xyzyzxzxy二、常用處理11【例4】a,b,c0且abc1， ab

bc

ca

【例5】a,b,c0且abc1，證 a b c x16x61fx

x

x61x1x3 求fx的最小值三 題型變x24x【例7】x24xx24xx24x求fx的最小gx的最大 【例8】求證：1 ...

10】設ank

a1kn1k 1四 練 11Cauchy(a2)(b2 12aaaa1

i

a a a 13M0,NnN1k114、求sin3cos315a

(ab)b復 a2關于復數(shù)的模運算，最顯然的做法是設出z=a+bi然后z= a2Rez=1z+z22Imz=1zz22 證明：若z1,z

z21二 復數(shù)的幾何意a 在復平面中，一個復數(shù)對應平面上的一個向量。即z=a+bi對應ab，那么arctanbargz由此引申a 2

a2 2 證明

i

，其aibi是復數(shù) 計算arctan14

1arccos argzRezImzzz0

zz1zz2zz1z

寫出下面式子代表的z1z2z3z4的幾何關系z

z4 1 z3

z4

iii三 多項式與單位 求C0+C3+C6 復數(shù)的指數(shù)形式——cos+isin 求數(shù)列an通項，其中a1=1,a2=1,an+2=2an+1 求證：實系數(shù)不可約多項式只有1次和2次四 練A1A2A3A4是圓內(nèi)接四邊形，H1H2H3H4分別是A2A3A4A1A3A4A1A2A4A1A2A3的垂心，求n=1990113C232C433C63994C19883995C1990 fxx10001fxgxx4x32x2x1的余式coscos2cos31

1 1求證k

2

1(1)nn1sink

1n 2組合、案、獨立完成or組隊合作）希望大家能夠在匆忙的暑假抽出一天半天時間，一下自己。、 是否存在一個長為2012的數(shù)列a2012，使得i| 最經(jīng)典的Ramsey定理，求證6個人中，必定存在三個人兩兩認識或兩兩不認識（這里忽略a認識b