對(duì)角互補(bǔ)和角含半角旋轉(zhuǎn)作業(yè)

年中考 在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中點(diǎn)，P是線段BM上的動(dòng)點(diǎn)，將線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α得到線段PQ．若α=60°且點(diǎn)P與點(diǎn)M重合（如圖1），線段CQ的延長(zhǎng)線交射線BM于點(diǎn)D，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并寫出∠CDB答 ∠CDB=30°解 ∠CDB=30°考 幾何初步角角的計(jì)算與證在圖2中，點(diǎn)P不與點(diǎn)、M重合，線段CQ的延長(zhǎng)線與射線M交于點(diǎn)D，猜想∠C的大?。ㄓ煤恋拇鷶?shù)式表示），并加以證明．答 ∠CDB=90°?α解 猜想：∠CDB=90°?α證明：如圖2，連結(jié)AD，PC∵BA=BC，M是AC∴BM⊥AC∵點(diǎn)B，P在直線BM∴PA=PC，DA=DC又∵DP∴△ADP≌△CDP∴∠DAPDCP，∠ADPCDP．又∵PA=PQ為公共邊，∴PQ=PC∴∠DCP=∠PQC∴∠DAP=∠PQC∵∠PQC+∠DQP=180°∴∠DAP+∠DQP=180°在四邊形APQD中，∠ADQAPQ180°∵∠APQ=2α∴∠ADQ=180°?2α∴∠CDB=1∠ADQ=90°?α2考 幾何變換圖形的旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)全對(duì)于適當(dāng)大小的α，當(dāng)點(diǎn)P段BM上運(yùn)動(dòng)到某一位置（不與點(diǎn)B，M重合）時(shí)，能使得線段CQ的延長(zhǎng)線與射BM交于點(diǎn)D，且PQ=QD，請(qǐng)直接寫出α答 60°．解 α<60°考 幾何變換圖形的旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)全在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P從B出發(fā)向C運(yùn)動(dòng)，MQ⊥MP交AC于點(diǎn)Q，試說明△MPQ的形狀和面積將如何變化．答案 △MPQ是等腰直角三角形，在P的運(yùn)動(dòng)過程中形狀不變．當(dāng)點(diǎn)P從B出發(fā)到BC中點(diǎn)時(shí)，面積由大變??；當(dāng)P是BC中點(diǎn)時(shí)，三角形的面積最??；P繼續(xù)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，面積又由小變大．解 連接．因?yàn)锳C=BC且∠ACB=90°，所以∠B=45°因?yàn)镸是AB的中點(diǎn)，所以∠AMC=∠BMC=90°，∠ACM45°且CMBM∠ACM=∠B因?yàn)镸Q⊥MP，所以∠QMC=90°?∠CMP= ，所以△QCM≌△PBM，所QMPM．因此△MPQ是等腰直角三角形，在P的運(yùn)動(dòng)過程中形狀不變．△MPQ的面積與邊MP的大小有關(guān)．當(dāng)點(diǎn)P從B出發(fā)到BC中點(diǎn)時(shí)，面積由大變??；當(dāng)P是BC中點(diǎn)時(shí)，三角形的面積最??；P繼續(xù)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，面積又由小變大．考 三角形直角三角形等腰直角三角形幾何變換圖形的旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)全如圖所示，在四邊形ABCD中，∠ADCABC90°，ADCD，DP⊥AB于P，若四邊形ABCD的面積是16DP答 DP=4解析 如圖，過點(diǎn)D作，延長(zhǎng)BC交DE于點(diǎn)E，容易證得△ADP≌△CDE（實(shí)際上就是把△ADP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到正方形DPBE）．∵正方形DPBE的面積等于四邊形ABCD面積為∴DP=4考 四邊形正方形正方形的判定幾何變換圖形的旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)全在五邊形ABCDE中，已知AB=AE，BCDE=CD，∠ABCAED=180°AD．求證：AD平分答 解 連接AC由于ABAE，∠ABCAED180°以A為中心，將△ABC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AEF∵AB=AE∴B點(diǎn)與E∠AEF+∠AED=∠ABC+∠AED= ∴D、E、F在一條直線上，C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后落在點(diǎn)FAF=AC，EF=BC∴DF=DE+EF=DE+BC= 在△ACD與△AFD∵AC=AF，CD=FD，AD=AD故△ACD≌△AFD因此∠ADC=∠ADF，即AD平分∠CDE考 幾何變換圖形的旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)全在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+6與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)答 ∠BAO=45°解 直線y=x+6與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)∴A(?6,0)，B(0,6)∴OA=OB∴∠BAO=在△AOB中，∠AOB90°∴∠BAO=∠ABO=45°考 一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)函數(shù)一次函如圖1，P為線段AB上一點(diǎn)，在AP上方以AP為斜邊作等腰直角三角形APD．點(diǎn)Q在AD上，連結(jié)PQ，過PPF⊥PQ交x軸于點(diǎn)F，作PG⊥x軸于點(diǎn)G．求證：PF=P答 解 在等腰直角三角形APD中∠PDA=90°，DA=DP，∠1=∠APD=45°∴DP⊥AD于由（1）可得∠BAO45∴∠BAO∠1PG⊥x∴PG=PD∴∠AGP=∠PGF=∠D=90°∴∠4APDDPG90°．即∠3GPQ=90°．又∵PG=PD∴∠2=∠3在△PGF和△PDQ??∠PGF=?∠2=∴△PGF≌△PDQ∴PF=PQ考 幾何變換圖形的旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)全如圖2，E為線段AB上一點(diǎn)，在AE上方以AE為斜邊作等腰直角三角形AED．若P為線段EB的中點(diǎn)，連接PD、PO，猜想線段PD、PO有怎樣的關(guān)系？并說明理由．答 OP⊥DP，OP=DP解 延長(zhǎng)DP至H，使得PH=PD∵P為BE∴PB=PE在△PBH≌△PEDPB=

∠1=PH=∴△PBH≌△PED∴BH=ED∴∠3=∠4∴BH//ED在等腰直角三角形ADE中，AD=ED，∠DAE=∠DEA=．∴AD=BH，∠DAE+∠BAO=∠DAO=90°∴DE//x軸，BH//x軸，BH⊥y∴∠DAOHBO90°．由（1）可得OA=OB．在△DAO和??∠DAO=OA=∴△DAO≌△HBO∴OD=OH，∠5=∠6∵∠AOB=∠5+∠DOB=90°∴∠DOH=∠6+∠DOB=90°∴在等腰直角三角形△DOH∵DH=HP∴OP⊥DP，∠7=1∠DOH=45°2∴∠ODP=∠7∴OP=DP考 幾何變換圖形的旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)全6.其E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=45°，AH⊥EF，H為垂足．求證：AH=AB．答 解 延長(zhǎng)CB至G，使BG=DF，連結(jié)易證△ABG≌△ADF，∠BAG= ，AG=AF再證△AEG≌△AEF，全等三角形的對(duì)應(yīng)高相等（利用三角形全等可證得），則有AH=．考 三角形全等三角形全等三角形的性質(zhì)全等三角形的判定幾何變換圖形的旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)全 學(xué) 月海淀區(qū)附中初三上學(xué)期月考 年海淀區(qū)初三一模 學(xué)年朝陽區(qū)師范大學(xué)朝陽附屬中學(xué)初三上學(xué)期期中第10題3P是以BB=25P旋轉(zhuǎn)時(shí)，它的斜邊和直角邊所在的直線與直徑AB分別相交于C、D兩點(diǎn)．設(shè)線段AD的長(zhǎng)為x，線段C的長(zhǎng)為y，則下列圖象中，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）． 答 解析 由角中半角可知，AC2+BD2=CD2，AD=x，BC=y，AB=2，AC=2?y，BC=2?x，CD=x+y?2， 4?4y+y2+4?4x+x2=x2+y2+4+2xy?4x? 22y ，(1?x?2)x考 函數(shù)函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象三角形相似三角形相似三角形的性遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，∠EAF=45°，連結(jié)EFEF=BEDF是這樣思考的：要想解決這個(gè)問題，首先應(yīng)想辦法將這些分散的線段相對(duì)集中．她先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，最后發(fā)現(xiàn)線段AB，AD是共點(diǎn)并且相等的，于是找到解決問題的方法．方法是將△AE繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AG，再利用全等的知識(shí)解決了這個(gè)問題（如圖2）．如圖3，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF=45°．若 關(guān)系時(shí)，仍有EF=BE+DF答 如圖4，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，CE=，求DE答案 DE=√5．解析 ∵AB=AC，∴把△ABD繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ACG，可使AB與AC∠B=∠ACG，BD=CG，AD=AG∵△ABC中，∠BAC90°∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=．即∠ECG90°∴EC2+CG2=EG2在△AEG與△AED∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°?∠EAD=45°=．又∵AD=AG，AE=AE∴△AEG≌△AED∴DE=EG又∵CGBD∴BD2+EC2=DE2∴DE=√5考 幾何變換圖形的旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)全如圖1，點(diǎn)E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的點(diǎn)，∠EAF=45°，連接EF，則EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系是：EF=BE+FD．連結(jié)BD，交AE、AF于點(diǎn)M、N，且MN、BM、DN滿足MN2=BM2+DN2答 MN2=DN2+BM2，證明見解析解 在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°∠ABM=ADN=45°把△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°△ADM′．連結(jié)NM′．則DM′=BM，AM′AM∠ADM′=∠ABM=∵∠EAF=45°∴∠BAM+∠DAN=∠DAM′=∠DAF=∠M′AN=∠MAN=∴△AM′N≌△AMN∴M′N=MN

，∠DAM′=∠BAM，，．在△DM′N中，∠M′DN=∠ADN+∠ADM′= M′N2=DN2+DM′2∴MN2=DN2+BM2考 幾何變換圖形的旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)全在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E分別為BC邊上的兩點(diǎn)．如圖2，當(dāng)∠BAC=60°，∠DAE=30°時(shí)，BD、 答 DE2=BD2+BD?EC+EC解 考 幾何變換圖形的旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)全在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E分別為BC邊上的兩點(diǎn)．如圖3，當(dāng)∠BAC=α(0°<α<90°)，∠DAE=12時(shí)，BD、DE、CE應(yīng)滿足的等量關(guān)系 答 解 考 三角形銳角三角函數(shù)解直角三角形幾何變換圖形的旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)全如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=BC=CD，點(diǎn)M，N分別在AD，CD∠MBN 1∠ABC，試探究線段MN，AM，CN2答案 猜想的結(jié)論：MN=AM+CN．解析 MN=AM+CN．考 幾何變換圖形的旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)全如圖2，在四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，點(diǎn)M，N分別在DA，CD∠MBN 1∠ABC仍然成立，請(qǐng)你進(jìn)一步探究線段MN，AM，CN2答案 猜想的結(jié)論：MN=CN?AM，證明見解析．解析 猜想的結(jié)論：MN=CN?AM 在NC截取CF=AM，連接BF∵∠ABC+∠ADC=180°∴∠DAB+∠C=180°又∵∠DABMAB180°∴∠MAB=∠C∵AB=BC，AM=CF∴△AMB≌△CFB∴∠ABM=∠CBF，BM=BF∴∠ABM+∠ABF=∠CBF+ 即∠MBF=∠ABC∵∠MBN=1∠ABC2∴∠MBN=1 2即∠MBN= 又∵BNBN，BMBF∴△MBN≌△FBN∴MN=NF∵NF=CN?CF∴MN=CN?AM考 幾何變換圖形的旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)全在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為△ABC外一點(diǎn)，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=CD．探究：當(dāng)點(diǎn)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及△AMN的周長(zhǎng)Q與等如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且DM=DN時(shí) 、MN之間的數(shù)量關(guān)系 ；此時(shí)QL．答 1．MN=BM+2．3解 MN=BM+CN，Q=2 考 幾何變換圖形的旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)全如圖2，當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且當(dāng)DM≠DN時(shí)，猜想（1）問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎?寫出你的猜想并加以答案 解析 如圖，延長(zhǎng)AC至E，使得CE=BM，連接DE∵BD=CD，∠BDC=120°∴∠DBCDCB30°．又∵△ABC∴∠MBD=∠NCD=90°在△MBD與△ECD?BM=?∠MBD=∠ECDBD=∴△MBD≌△ECD(SAS)∴DM=DE，∠BDM=∠CDE∴∠EDN=∠BDC?∠MDN=60° 在△MDN與△EDNDM=∠MDN= DN=∴△MDN≌△EDN(SAS)∴MN=NE=BM+ △AMN的周長(zhǎng)Q=AM+AN+MN=AB+ ∴Q=2 考 幾何變換圖形的對(duì)稱軸對(duì)稱全等圖形的旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)全如圖3，當(dāng)點(diǎn)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，若AN=x，則Q (用x、L表示答

=2x+3解析 如圖，當(dāng)M、N分別在AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，若AN=x，則Q=2x+2L．3考 幾何變換圖形的對(duì)稱軸對(duì)稱全等圖形的旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)全在△ABC中，AB=AC，將線段AC繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段CD，旋轉(zhuǎn)角為α，且0°<α<180°，連接．（1）如圖1，當(dāng)∠BAC=100°，α=60°時(shí)，∠CBD的大小 答 （2）2，當(dāng)∠BAC100°，α20°時(shí)，求∠CBD答 ∠CBD=30°解 如圖作等邊△AFC，連結(jié)DF、BF∴AF=FC=AC，∠FAC=∠AFC= ∵∠BAC=100°，AB=AC∴∠ABC=∠BCA=40°∵∠ACD=20°∴∠DCB=20°∴∠DCB=∠FCB=20°．∵AC=CD，AC=FC∴DC=FC∵BC=BC∴由①②③，得△DCB≌△FCB∴DB=BF，∠DBC=∠FBC∵∠BAC=100°，∠FAC=60°∴∠BAF=40°∵∠ACD=20°，AC=CD∴∠CAD=80°∴∠DAF=20°∴∠BAD=∠FAD=20°．∵AB=AC，AC=AF∴AB=AF∵AD=AD∴由④⑤⑥，得△DAB≌△DAF∴FD=BD∴FD=BD=FB∴∠DBF=60°∴∠CBD=30°考點(diǎn) 三角形全等三角形全等三角形的性質(zhì)全等三角形的判定幾何變換圖形的對(duì)稱軸對(duì)稱全等圖形的旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（3）∠BAC的大小為m（60°<m<120°），若∠CBD的大小與（2）中的結(jié)果相同，請(qǐng)直接寫出α答 年門頭溝區(qū)初三一模 學(xué)年月石景山區(qū)九中初三下學(xué)期月考 已知：在△ABC中，∠ABC=∠ACB=α，點(diǎn)D是AB邊上任意一點(diǎn)，將射線DC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α與過點(diǎn)ABC邊的直線交于點(diǎn)如圖1，當(dāng)α=60°時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段BD與AE之間的數(shù)量關(guān) 答 BD=解 BD=AE考 三角形全等三角形全等三角形的性質(zhì)全等三角形的判如圖2，當(dāng)α=45°時(shí)，判斷線段BD與AE答案 BD=√2AE，證明見解析．解析 BD=√2AE．過點(diǎn)D作DF//AC，交BC于F∵DF//AC∴∠ACB=∠DFC∵∠ABC=∠ACB=α，α=45°∴∠ABC=∠ACB=∠DFB= ∴△DFB∴BD=DF=√2BF2∵AE//BC∴∠ABC+∠BAE=180°∵∠DFB+∠DFC=180°∴∠BAE=∠DFC∵∠ABC+∠BCD= ，∠ABC=∠CDE=α∴∠ADE=∠BCD∴△ADE～△FCD∴AE=AD ∵DF//AC∴BD=AD ∴AE=BD=√2 ∴BD=√2AE考 三角形相似三角形相似三角形的性質(zhì)相似三角形的判 表示，其中0°<α<90°）答 解 關(guān)系：BD2cosαAE考 三角形相似三角形相似三角形的性質(zhì)相似三角形的判年密云縣初三一模 如圖1所示，將一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD和一個(gè)長(zhǎng)為2、寬為1的長(zhǎng)方形CEFD拼在一起，構(gòu)成一個(gè)大的長(zhǎng)方形．現(xiàn)將小長(zhǎng)方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′，旋轉(zhuǎn)角為當(dāng)點(diǎn)D′恰好落在EF邊上時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角α的值；答案 α=30°．解 ∵DC//EF∴∠DCD′=∠CD′E=α∴sinα=CE=CE=1 ∴α=30°考 三角形直角三角形含30°角的直角三角形幾何變換圖形的旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)的性如圖2，G為BC中點(diǎn)，且0α90°，求證：GD∵G為BC∴GC=CG′=CE=1，，∴∠D′CG=∠DCE′又∵CDCD ≌△E′CD∴GD′=E′D考 三角形全等三角形全等三角形的性質(zhì)全等三角形的判小長(zhǎng)方形CEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，DC′與△C′能否全等？若能，直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的值；若不能，說明理由．答 能，α=135°或α315°．解 能，α=135°或=315°考 幾何變換圖形的旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)全等旋轉(zhuǎn)與幾何最在圖1至圖3中，點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段CE的中點(diǎn)．四邊形 如圖1，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)N與點(diǎn)G重合時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，求證：FM=MH，F(xiàn)M⊥MH．答案 解析 ∵四邊形BCGF和CDHN都是正方形，又∵點(diǎn)N與點(diǎn)G重合，點(diǎn)M與點(diǎn)C重合∴FB=BM=MG=MD=∴△FBM≌△MDH∴FM=MH∵∠FMB=∠DMH= ∴∠FMH=90°∴FM⊥HM考 四邊形正方形正方形的性

，∠FBM=∠MDH=90°將圖1中的CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，得到圖2，求證 MH是等腰直角三角形答 解 連接MB、MD，如圖，設(shè)FM與AC交于點(diǎn)P∵BDM分別是ACCEAE∴MD//BC且MD=BC且MBCD=

；MB//CD．∴四邊形BCDM∴∠CBM=∠CDM．又∵∠FBP=∠HDC∴∠FBM= ∴△FBM≌△MDH∴FM=MH，且∠MFB=∠HM ∴∠FMH=∠FMD?∠HMD=∠APM?∠MFB=∠FBP= ∴△FMH考 幾何變換圖形的旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)全將圖2中的CE縮短到圖3的情況，△FMH還是等腰直角三角形嗎