隨機講義附錄及習題答案1+2

協(xié)方差矩陣及n維正態(tài)分布1、設n維隨機變量的二階混合中心距：都存在，則稱矩陣為n維隨機變量的協(xié)方差矩陣，它是一對稱矩陣。2、n維正態(tài)分布定義：若n維隨機變量的概率密度可以表示成以下的形式：其中，是的協(xié)方差矩陣，則稱n維隨機變量為n維正態(tài)隨機變量，記為，為n維正態(tài)概率密度函數(shù)。N維正態(tài)隨機變量的性質n維正態(tài)隨機變量的每一個分量都是正態(tài)變量；反之，若都是正態(tài)隨機變量，且相互獨立，則是n維正態(tài)隨機變量。n維隨機變量服從n維正態(tài)分布的充要條件是的任意的線性組合服從一維正態(tài)分布；若服從n維正態(tài)分布，設是的線性函數(shù)，則也服從正態(tài)分布。若，為任意的矩陣，則有：為服從m元正態(tài)分布，即。設服從n維正態(tài)分布，則“相互獨立”與“兩不相關”是等價的。例：設取自正態(tài)總體的簡單隨機樣本，記，求統(tǒng)計量的分布。解：由于，因此因此，。第一章作業(yè)解答1、設隨機向量的兩個分量相互獨立，且均服從標準正態(tài)分布。（1）分別寫出隨機變量和的分布密度。（2）試問：和是否獨立？說明理由。解：（1）（2）由于因此，是服從正態(tài)分布的二項分布，其協(xié)方差矩陣為2、設為獨立的隨機變量，期望和方差分別為。（1）試求Z=XY和X的相關系數(shù)；（2）Z與X能否不相關？能否有嚴格線性函數(shù)關系？若能，試分別寫出條件。解：（1）醫(yī)用X,Y的獨立性，計算可知：（2）當?shù)臅r候，即時，由于，故Z和X之間不會有線性相關關系。3、設是一個實的均值為零、二階矩存在的隨機過程，其相關函數(shù)為，且是一個周期為T的函數(shù)，即，試求方差函數(shù)。解：由定義知，4、考察兩個譜波隨機信號，其中式中A和為正的常數(shù)，是內均勻分布的隨機變量，B是標準正態(tài)分布的隨機變量。求X(t)得均值、方差和相關函數(shù)；若與B獨立，求的互相關函數(shù)。解：（1）（2）5、設而隨機變量X、Y是相互獨立且都服從[0,1]上的均勻分布，求此過程的均值函數(shù)及相關函數(shù)。解：6、設隨機向量令隨機向量。試求隨機向量Y的協(xié)方差矩陣，。試問與是否獨立？證明你的結論。解：根據(jù)n維隨機變量的性質（4），可知隨機向量Y服從正態(tài)分布，且協(xié)方差矩陣、均值向量、相關系數(shù)分別為：第二章離散的馬爾科夫過程（馬爾科夫鏈）1、設為相互獨立同分布的隨機變量序列，其分布為：定義隨機序列和如下：試問隨機序列和是否為馬氏鏈？如果是的話，請寫出其一步轉移概率矩陣并研究各個狀態(tài)的性質。不是的話，請說明理由。2、天氣預報模型如下：今日是否下雨依賴于前三天是否有雨（即一連三天有雨；前兩天有雨，第三天是晴天；…），試將此問題歸納為馬爾可夫鏈，并確定其狀態(tài)空間。如果過去一連三天有雨，今天有雨的概率是0.8；過去三天連續(xù)為晴