最佳平方逼近方法

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦最佳平方逼近方法2022-2022（1）專業(yè)課程實踐論文用最佳平方靠近法求靠近函數(shù)

肖夏，29，R數(shù)學(xué)12-1班

一、算法理論

設(shè)函數(shù)組φ0,φ1,…，φm都是[a,b]上的延續(xù)函數(shù)，并且在[a,b]上線性無關(guān)。以此函數(shù)組為基，生成空間C[a,b]上的一個子空間

H=Span{φ0,φ1,…，φm}

則H中的隨意一個元素為

px=cjφjxm

j=0

對空間C[a,b]的隨意兩個函數(shù)f，g，定義內(nèi)積

f,

g=ωxfxgxdxb

a

對于給定的函數(shù)f(x)∈C[a,b]，若p?x∈H，滿足

f?p?,f?p?=minp∈Hf?p,f?p

則稱p?x為子空間H中對于f(x)的最佳靠近平方元素。

特殊地，若φjx=xj，j=0,1,…m則稱滿足條件的p?x∈H，為函數(shù)fx在區(qū)間[a,b]上帶權(quán)ωx的m次最佳平方靠近多項式。設(shè)f(x)∈C[a,b]，p?x∈H是子空間H中對于f(x)的最佳平方靠近元素的充分須要條件是f?p?,φj=0，(j=0,1,…,m)或?qū)τ陔S意一個px，總有f?p?,p=0。

求最佳平方靠近元素p?x=ck?φkxmk=0，只要求出ck?

。因

f?p?,φj=f,φj?ck?

φi,φj=0m

k=0

得

ck?

φi,φj=f,φjm

k=0

得

φ0,φ0?φ0,φm???φm,φ0?φm,φmc0?

?cm?=f,φ0?f,φm

求出ck?，帶入p?x=ck?

φkxmk=0即可。

二、算法框圖

三、算法程序

functionS=abc(n,a,b)//創(chuàng)建一個函數(shù)，里面填入次數(shù)，和區(qū)間范圍base=inline('x^(j-1)','x','j');///定義

quan=inline('1','x');

fork=1:(n+1)

forj=1:(n+1)

symsx

l(k,j)=int(base(x,k)*base(x,j)*quan(x),x,a,b);end

y(k)=int(base(x,k)*(sqrt(x^2+1)),x,a,b);//紅色字體是fxend

l;

y';

c=vpa(inv(l)*y',3)

p=0;

fori=1:(n+1)

p=p+c(i)*base(x,i);

end

p

四、算法實現(xiàn)

例1.求fx=2+1在0,1上的一次最佳平方靠近多項式。解：

f,φ0=x+1dx=1

1

0ln1+2+

2

≈1.147

f,φ1=xx2+1dx

1

0=

22?1

3

≈0.609

由方程組

1

1

121

3

c0

c1

=

1.147

0.609

c0=0.934，c1=0.427，p1?x=0.427x+0.934第一題的解：

例2.求fx=sinx在0,π

3

上的一次最佳平方靠近多項式。

解：

f,φ0=sinxdx=12

π

3

?1=?0.500

f,φ1=xsinxdx=

π

03

?

π

≈0.342

由方程組

112

11c0

c1

=

?0.500

0.342

c0=0.036，c1=0.843，p1?x=0.843x+0.036

其次題的解：

例3.求fx=arctan?x在0,1上的2次最佳平方靠近多項式。解：

f,φ0=arctanxdx=π1

?log2

=0.439

f,φ1=xarctanxdx=

10

π?1

≈0.285f,φ2=x2

arctanxdx=1

π12+log?(2)6?1

6

≈0.211

由方程組

1

1112131413141

5

c0c1c

2=0.4390.2850.211c0=?0.005，c1=1.080，c2=?0.289，p1?x=?0.289x2+1.080x?0.289

第三題的解：

例4.求fx=e2x

在0,1上的一次最佳平方靠近多項式。

解：

f,φ0=e2xdx=12

1

0e2x?

1

2

≈3.195

f,φ1=xe2xdx

1

0=

1

4

e2+

1

4

≈2.097

由方程組

1

1

121