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文檔簡介
千里之行,始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦最佳平方逼近方法2022-2022(1)專業(yè)課程實踐論文用最佳平方靠近法求靠近函數(shù)
肖夏,29,R數(shù)學(xué)12-1班
一、算法理論
設(shè)函數(shù)組φ0,φ1,…,φm都是[a,b]上的延續(xù)函數(shù),并且在[a,b]上線性無關(guān)。以此函數(shù)組為基,生成空間C[a,b]上的一個子空間
H=Span{φ0,φ1,…,φm}
則H中的隨意一個元素為
px=cjφjxm
j=0
對空間C[a,b]的隨意兩個函數(shù)f,g,定義內(nèi)積
f,
g=ωxfxgxdxb
a
對于給定的函數(shù)f(x)∈C[a,b],若p?x∈H,滿足
f?p?,f?p?=minp∈Hf?p,f?p
則稱p?x為子空間H中對于f(x)的最佳靠近平方元素。
特殊地,若φjx=xj,j=0,1,…m則稱滿足條件的p?x∈H,為函數(shù)fx在區(qū)間[a,b]上帶權(quán)ωx的m次最佳平方靠近多項式。設(shè)f(x)∈C[a,b],p?x∈H是子空間H中對于f(x)的最佳平方靠近元素的充分須要條件是f?p?,φj=0,(j=0,1,…,m)或?qū)τ陔S意一個px,總有f?p?,p=0。
求最佳平方靠近元素p?x=ck?φkxmk=0,只要求出ck?
。因
f?p?,φj=f,φj?ck?
φi,φj=0m
k=0
得
ck?
φi,φj=f,φjm
k=0
得
φ0,φ0?φ0,φm???φm,φ0?φm,φmc0?
?cm?=f,φ0?f,φm
求出ck?,帶入p?x=ck?
φkxmk=0即可。
二、算法框圖
三、算法程序
functionS=abc(n,a,b)//創(chuàng)建一個函數(shù),里面填入次數(shù),和區(qū)間范圍base=inline('x^(j-1)','x','j');///定義
quan=inline('1','x');
fork=1:(n+1)
forj=1:(n+1)
symsx
l(k,j)=int(base(x,k)*base(x,j)*quan(x),x,a,b);end
y(k)=int(base(x,k)*(sqrt(x^2+1)),x,a,b);//紅色字體是fxend
l;
y';
c=vpa(inv(l)*y',3)
p=0;
fori=1:(n+1)
p=p+c(i)*base(x,i);
end
p
四、算法實現(xiàn)
例1.求fx=2+1在0,1上的一次最佳平方靠近多項式。解:
f,φ0=x+1dx=1
1
0ln1+2+
2
≈1.147
f,φ1=xx2+1dx
1
0=
22?1
3
≈0.609
由方程組
1
1
121
3
c0
c1
=
1.147
0.609
c0=0.934,c1=0.427,p1?x=0.427x+0.934第一題的解:
例2.求fx=sinx在0,π
3
上的一次最佳平方靠近多項式。
解:
f,φ0=sinxdx=12
π
3
?1=?0.500
f,φ1=xsinxdx=
π
03
?
π
≈0.342
由方程組
112
11c0
c1
=
?0.500
0.342
c0=0.036,c1=0.843,p1?x=0.843x+0.036
其次題的解:
例3.求fx=arctan?x在0,1上的2次最佳平方靠近多項式。解:
f,φ0=arctanxdx=π1
?log2
=0.439
f,φ1=xarctanxdx=
10
π?1
≈0.285f,φ2=x2
arctanxdx=1
π12+log?(2)6?1
6
≈0.211
由方程組
1
1112131413141
5
c0c1c
2=0.4390.2850.211c0=?0.005,c1=1.080,c2=?0.289,p1?x=?0.289x2+1.080x?0.289
第三題的解:
例4.求fx=e2x
在0,1上的一次最佳平方靠近多項式。
解:
f,φ0=e2xdx=12
1
0e2x?
1
2
≈3.195
f,φ1=xe2xdx
1
0=
1
4
e2+
1
4
≈2.097
由方程組
1
1
121
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