直線、平面垂直的判定與性質(zhì)-2022年（新高考）數(shù)學(xué)高頻重點(diǎn)題型（含答案解析）

專題35直線、平面垂直的判定與性質(zhì)-2022年（新高考）

數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)+重點(diǎn)題型

一、關(guān)鍵能力

1.了解平面的含義，理解空間點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系的定義，掌握公理、判定定理和性

質(zhì)定理；

2.掌握公理、判定定理和性質(zhì)定理.

二、教學(xué)建議

1.以幾何體為載體，考查線線、線面、面面垂直證明.

2.利用垂直關(guān)系及垂直的性質(zhì)進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，處理綜合問(wèn)題.

3.本節(jié)是高考的必考內(nèi)容.預(yù)測(cè)2020年高考將以直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)為重點(diǎn)，

涉及線線垂直、線面垂直及面面垂直的判定及其應(yīng)用，題型為解答題中的一問(wèn)，或與平行

相結(jié)合進(jìn)行命題的判斷.以及運(yùn)用其進(jìn)一步研究體積、距離、角的問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化與化歸思

想、運(yùn)算求解能力及空間想象能力.

三、自主梳理

定義：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個(gè)平面垂

直.

定理:

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

aa、

如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)

1ba

判定定理的兩條相交直線都垂直，那區(qū)IVa>=/_La

么該直線與此平面垂直.rl-Lb

ar\h=A>

如果兩條直線同垂直于一個(gè)

性質(zhì)定理=>a//b

平面，那么這兩條直線平行.b±a\

知識(shí)點(diǎn)2.平面與平面垂直的判定與性質(zhì)

定義：兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是直二面角,就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.

定理：

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面

判定定理的一條垂線,那么這兩個(gè)平面*

ABLa\

互相垂直.￡J

如果兩個(gè)平面互相垂直，那么aL3]

aR8=MN

性質(zhì)定理在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線N

￡JABB

的直線垂直于另一個(gè)平面.A/ABLMNJ

知識(shí)點(diǎn)3.線面、面面垂直的綜合應(yīng)用

1.直線與平面垂直

(1)判定直線和平面垂直的方法

①定義法.

②利用判定定理：如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個(gè)平面垂

直.

③推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平

面.

(2)直線和平面垂直的性質(zhì)

①直線垂直于平面，則垂直于平面內(nèi)任意直線.

②垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.

③垂直于同一直線兩平面平行.

2.斜線和平面所成的角

斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫斜線和平面所成的角.

3.平面與平面垂直

(1)平面與平面垂直的判定方法

①定義法

②利用判定定理：如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線,則這兩個(gè)平面互相垂直.

(2)平面與平面垂直的性質(zhì)

如果兩平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面.

四、高頻考點(diǎn)+重點(diǎn)題型

考點(diǎn)一與線、面垂直相關(guān)命題的判定

例1-1.（2021?浙江期末）己知a,夕是兩個(gè)不同的平面，直線/ua,則是

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

【答案】A

【解析】

由面面垂直的判定定理及面面垂直的性質(zhì)，結(jié)合充分必要條件的定義即可判斷.

【詳解】

根據(jù)面面垂直的判定定理，可知若/ua,則則。4成立，滿足充分性；

反之，若aipjua,則/與￡的位置關(guān)系不確定，即不滿足必要性；

所以尸”是“。，尸”的充分不必要條件，

故選：A.

例1-2.（2021?湖南省安化二中模擬）如圖，在正四面體P-ABC中，D,E,尸分別

是AB,BC,C4的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論不成立的是（）

A.8C〃平面PD尸B.J_平面朋E

C.平面「川」平面出ED.平面PDE_L平面ABC

【答案】D

【解析】因?yàn)锽C〃￡>RDFu平面PDF,

BCQ平面PDF,

所以BC〃平面PDF,故選項(xiàng)A正確；

在正四面體中，AELBC,PELBC,AECPE=E,

且AE,PEu平面抬E,

所以BC_L平面PAE,

因?yàn)椤Ｊ˙C,所以O(shè)F,平面以E,

又u平面PDF,

從而平面P￡>F_L平面PAE.

因此選項(xiàng)B,C均正確.

訓(xùn)練1.【多選題】（2021?南京市寧海中學(xué)高一月考）

I.如圖，在正方體ABC0-A'3'C'。'中，線段8。上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E,F,若線段

EE長(zhǎng)度為一定值，則下列結(jié)論中正確的是（）

AB

A.ACLBEB.BO_L平面ABE

C.￡73/平面ABC。D.三棱錐B-毋'的體積為定值

【答案】ACD

【解析】

【分析】選項(xiàng)A,連接BD,通過(guò)證明AC_L平面88'。'。，可判定AC_L8E；選項(xiàng)

B,通過(guò)乙45。=45?？膳卸ǎ贿x項(xiàng)C,利用平面A8CD〃平面A'8'C'?！膳卸?/p>

M〃平面ABCD；選項(xiàng)D,可利用三棱錐的高和底面積為定值來(lái)判定.

【詳解】選項(xiàng)A：

連接B。，???底面ABC。是正方形，.?.ACL8D,

又平面A8C￡>,ACu平面ABC。，:.DD'±AC,

,;BDcDD=D,..AC_L平面88'。'。，

又?.?BEu平面B反。O，.?.ACJ.BE,故選項(xiàng)A正確；

選項(xiàng)B：

若8。J?平面ABE,?.?ABu平面：.BDLAB,

但顯然乙48。=45。，所以8。，平面ABE不成立，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C：

正方體中，平面ABCO〃平面A'B'C'Z）',?.?E尸u平面A'3'C。'，.^.E/〃平面

ABCD,故選項(xiàng)C正確；

選項(xiàng)D：

???點(diǎn)A到平面BEF的距離也是點(diǎn)A到平面BBDD的距離，等于AC的一半，

即三棱錐高為定值，而ABEE的邊EE為定值，高為88'為定值，故體積為定值,

故選項(xiàng)D正確.

故選：ACD.

考點(diǎn)二直線與平面垂直的判定與性質(zhì)

例2-1.（線面垂直的判定）

（2021?河北易縣中學(xué)）在二棱錐ABC中，PA=PB=PC-AC=2A/2>

BA=BC=2,O是線段AC的中點(diǎn)，M是線段BC的中點(diǎn).

B

（1）求證：PO_L平面ABC：

【解析】

（1）利用勾股定理得出線線垂直，結(jié)合等邊三角形的特點(diǎn)，再次利用勾股定理得出線線垂

直，進(jìn)而得出線面垂直；

（1）由8A=BC=2,AC=2后，有5A?+BC?=,從而有/A8C=^|,

.-.30_LAC且B0=及

又APAC是邊長(zhǎng)等于2亞的等邊三角形，

PO±AC,PO=y/6.

又PB=2桓,從而有QB?=DO?+BO2,：.NPOB=-,：.POA.BO.

又4。八8。=。,二2。_1平面回。.

例2-2.（線面垂直的性質(zhì)）

（2020?云南省下關(guān)第一中學(xué)高二月考（文））如圖，四棱錐P—ABC。的底面是邊長(zhǎng)為2

的菱形，PDJ_底面ABCD.

（1）求證：ACJL平面

（2）若PO=2,直線形與平面ABC。所成的角為45。，求點(diǎn)B到平面PAC的距離.

【答案】（1）證明見解析；（2）巫.

5

【解析】

（1）證明出ACL8D,AC±PD,利用線面垂直判定定理可得出結(jié)論；

（2）設(shè)ACD8D=O,則。為8C中點(diǎn)，連接PO,分析可知直線PB與平面ABC。所

成的角為NPBD=45。，求得BO的長(zhǎng)，分析出△A8O為等邊三角形，可計(jì)算出三棱錐

P-ABC的體積，并計(jì)算出△PAC的面積，利用等體積法可計(jì)算出點(diǎn)8到平面P4C的

距離.

【詳解】

(1)因?yàn)樗倪呅蜛BC。是菱形，所以ACLBD,

又因?yàn)镻Z5_L平面ABC。，ACu平面ABC。，故ACJ.PD,

又PDcBD=D，故ACJ?平面P83；

(2)設(shè)ACn8O=O,則。為BC中點(diǎn)，連接P。，設(shè)8到平面PAC的距離為

因?yàn)锽D_L平面A5CD,所以ZP3O是直線P8與平面A8CD所成的角，于是

NPBD=45、因此3D=P￡>=2.

又?.?A8=AD=2,故△A3。為等邊三角形，

所以三角形ABC的面積為Sw=；46?BC?sin120°=6,

故三棱錐P-ABC的體積VP_AliC=|S"PD昔.

在直角三角形P8中，PO=2,OD=\,所以「0=亞仔=布,

?.?AC_L平面P8D,POu平面則AC_LPO,

則=；AC.P0=gx2國(guó)小=岳,

所以三棱錐B-PAC的體積=后x/?=半％=手，解得

,2亞

h=----，

5

所以，點(diǎn)8到平面24c的距離為述.

5

考點(diǎn)三面面垂直的判定與性質(zhì)

例3-1.(面面垂直的判定)

（2020?全國(guó)高考真題（文））如圖，。為圓錐頂點(diǎn)，。是圓錐底面的圓心，AABC是底

面的內(nèi)接正三角形，尸為。。上一點(diǎn)，ZAPC=90°.

（1）證明：平面%BJ_平面%C；

（2）設(shè)力。=拉，圓錐的側(cè)面積為百兀，求三棱錐尸-4BC的體積.

【答案】（1）證明見解析；（2）亞.

8

【解析】

（1）連接Q4,OB,OC,QO為圓錐頂點(diǎn)，。為底面圓心，平面ABC，

?rP在。。上，OA=OB=OC,PA=PB=PC,

?.?△48。是圓內(nèi)接正三角形，，4。=8。，△PAC^APBC,

:.ZAPC=ZBPC=90°,即P8_LPC,PA_LPC,

PAHPB=P,PC±平面PAB,PCu平面PAC,■■平面PAB，平面PAC；

（2）設(shè)圓錐的母線為/,底面半徑為，，圓錐的側(cè)面積為萬(wàn)"=岳,"=6,

OD”=F—a=2,解得r=l,/=V^,AC-2rsin60=>J3>

在等腰直角三角形APC中，AP^—AC^—，

22

在中,PO=\IAP2-OA2=怖一1=與,

???三棱錐P-ABC的體積為V=工PO.S.=-x—x—x3=—.

rp-ABC3ZAA/lBoC3248

D

如圖，在四棱錐P—ABC。中，底面ABC。為菱形，AB=2，N84￡>=60°，面

24。，面ABC。，MAZ）為等邊三角形，。為AZ）的中點(diǎn).若E是PC的中點(diǎn)，求三

棱錐產(chǎn)一EDB的體積.

【答案】/

【解析】因?yàn)?。為等邊ARD中邊A。的中點(diǎn)，

所以面Q4￡>_L面A8CD，所以PO_L底面A8CO,

因?yàn)榈冗叀?/）的邊長(zhǎng)為2,所以尸0=百，

易知ABC。為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

2

所以三棱錐P—BCD的體積為：V?.rn=lx^lx2x>/3=l.

r-DCD34

因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，所以j

所以三棱錐P-EDB的體積為1.

訓(xùn)練1.

2.如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,AD=AB,NBCD=45。,ZBAD^90°,將

△A3。沿8。折起，使平面ABO,平面BCD,構(gòu)成三棱錐A-3CD,則在三棱錐A-

BCO中，下列結(jié)論正確的是（）

A.平面A8OL平面ABCB.平面4￡>C_L平面BOC

C.平面ABC_L平面BDCD.平面ADC_L平面ABC

【答案】D

【解析】

【分析】由題意推出COLAB,AD±AB,從而得到43,平面ADC,又ABi

平面ABC,可得平面ABC_L平面AOC.

【詳解】解：如圖所示：

因?yàn)锳D//3C,^BAD=90,AD=AB,所以四邊形A8CO為直角梯形.

所以ZAB。=ZAO8=ZD8C=45。.

又因?yàn)?BCD=45°,所以NCD3=90°,即8，皿).

又因?yàn)槠矫鍭B￡>_L平面BCD,平面ABDc平面3c￡>=BD,CZ)u平面BCD,

CDA.BD,

所以CD1?平面43。,

若平面ABC_L平面板)，那么CDu平面A8C,顯然不成立，故A錯(cuò)誤；

?.?CD_L平面A3D,

又因?yàn)槠矫嫠訡O_L48.又至，4),ADC\CD=D,AD,CDu

平面ADC,所以AB_L平面ADC.

又因?yàn)锳Bl平面ABC,所以平面4BCJ_平面ADC,故D正確；

???平面平面BCD,過(guò)點(diǎn)A作平面8。。的垂線AE,垂足落在BO上，顯然

垂線不在平面A8C內(nèi)，所以平面ABC與平面BDC不垂直，故C錯(cuò)誤，同理B也

錯(cuò)誤.

故選：D

訓(xùn)練2(2021?全國(guó)高考真題(文))

3.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PZ)，底面ABC。，M為8C的中點(diǎn),

且.

(1)證明：平面/VbW_L平面P8E)；

(2)若PD=DC=1,求四棱錐P—43CD的體積.

【答案】（1）證明見解析；（2）二.

3

【解析】

【分析】（1）由尸。_L底面ABCD可得PDJ.A",又由線面垂直的

判定定理可得AM，平面PBD,再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證出平面PVWJ.

平面PBD；

（2）由（1）可知，AM±BD,由平面知識(shí)可知，ADAB~AABM,由相似比可

求出AO,再根據(jù)四棱錐尸-ABCD的體積公式即可求出.

【詳解】（1）因?yàn)镻Z）_L底面ABCD,40u平面ABC。，

所以

又依_LAM,PBp\PD=P,

所以平面尸斑>,

而4Vfu平面94〃，

所以平面BVWJ_平面P3Z）.

（2）［方法一］:相似三角形法

由（1）可知

_?,,ADAB

于是AABAABMA,故F=

ABBM

因?yàn)?M=；8C,AZ）=6C,AB=1,所以gsc'l,即BC=&.

故四棱錐P-ABCD的體積V=LAB.BC.PD=—.

33

［方法二］:平面直角坐標(biāo)系垂直垂直法

由（2）知AMLDB,所以的MMBO=T?

建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)BC=2a（a>0）.

因?yàn)椤=l,所以A(0,0),8(1,0),0(0,2d),.

kk=ZX=1

從而AM-BDT^^-Tax(-2a)=-la=-1.

所以。=也，即D4=&.下同方法一.

2

［方法三］【最優(yōu)解】：空間直角坐標(biāo)系法

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-型，

設(shè)|DA|=f,所以力(0,0,0),C(0,l,0),P(0,0,l),A(r,0,0),即,1,0).

所以加(；,1,0),而=?』,—1),而7=(,i,o1

所以而W=7.(T+lxl+0x(—1)=—g+l=0.

所以t=S|J\DA\=y/2.下同方法一.

［方法四］:空間向量法

由^PBAM=O-

所以（而+方+而）?W=（）.

即P￡j-^+O&AA/+A月-A必=0.

又底面ABCO,AM在平面ABC。內(nèi)，

因此所以麗?麗7=0.

所以礪?府+福?應(yīng)=0，

由于四邊形ABCO是矩形，根據(jù)數(shù)量積的幾何意義，

得」|甌2+|而|2=o,即」由『+i=o

22

所以|不仁|=/，即BC=0.下同方法一.

【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一個(gè)邊長(zhǎng)，從而求得該

四棱銖的體積；

方法二構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，利用直線垂直的條件得到矩形的另一個(gè)邊長(zhǎng)，從而求

得該四棱錐的體積；

方法三直接利用空間直角坐標(biāo)系和空間向量的垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求得矩形的另一個(gè)邊

長(zhǎng)，為最常用的通性通法，為最優(yōu)解；

方法四利用空間向量轉(zhuǎn)化求得矩形的另一邊長(zhǎng).

考點(diǎn)四、線線垂直的判定

例4.（2021?全國(guó)高考真題（文））已知直三棱柱ABC-4與6中，側(cè)面44,5/為正方

形，AB=BC=2,E,F分別為AC和CG的中點(diǎn)，5F1A.B,.

（1）求三棱錐尸—的體積；

（2）己知。為棱4月上的點(diǎn)，證明：BF^DE.

【答案】（1）g；（2）證明見解析.

【解析】

（1）首先求得AC的長(zhǎng)度，然后利用體積公式可得三棱錐的體積；

（2）將所給的幾何體進(jìn)行補(bǔ)形，從而把線線垂直的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，然后再由線

面垂直可得題中的結(jié)論.

【詳解】

（1）如圖所示，連結(jié)AF,

由題意可得：BF=yjBC2+CF2=74+1=75>

由于BC_LAB,84nBe=8,故平面BCG4,

而6/u平面8CC￡,故

從而有AF=JAB2+B尸2=百萬(wàn)=3,

從而4C=JAE2_CE2=7^1=20，

則AB2+BC2=AC2,:.ABIBC,AABC為等腰直角三角形，

SZ\8CE=]S“BC=]x（ex2x2）=l,VF_EBC=馬乂S&BCExCF=—xlxl=—.

（2）由（1）的結(jié)論可將幾何體補(bǔ)形為一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體A8CM-A4GMI，如圖

所示，取棱A",8C的中點(diǎn)”,G,連結(jié)A","G,Gg,

正方形BCGB|中，G,F為中點(diǎn)，則Bf_L8Q,

又BF±A4,44Cl4G=B],

故5尸，平面A3。"，而DEu平面A4GH,

從而BE_LDE.

訓(xùn)I練1.

4.如圖，在正方體4B8-ASCQ中，求證80_LAC.

【答案】證明見解析.

【解析】

【分析】連接切>可得BO_LAC,結(jié)合。R_LAC,利用線面垂直的判定定理可

證明ACL面即可求證.

【詳解】連接3￡>,因?yàn)樗倪呅蜛8CO是正方形，可得8OJ_AC,

因?yàn)開L面ABCQ,ACu面ABC。，所以。A_LAC,

因?yàn)??？?。2=。，所以ACL面8。。，

因?yàn)锽Ru面BDR,所以32,AC.

訓(xùn)練2.

5.如圖，在正方體ABCD-4BC。中，￡是CD的中點(diǎn)，戶是BC的中點(diǎn)，求證

FD11AE.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】先根據(jù)?！?，平面A8CD證明。A，AE；再由ABC。是正方形證明

DF±AE；再最后證明AEJ_平面DRF，進(jìn)而證明FR1AE.

【詳解】???ABCD-A8CQ是正方體DR±5PffiABCDAEABCD

DD,±AE,又?.?AB8是正方形且E是。。的中點(diǎn)，尸是的中點(diǎn).

AADE=4DCFZ.DAE=ZCDF,ZDEA=ZCFD

ZDAE+ZDEA=90°,ZCDF+ZCF￡>=90°,ZDEA+ZC￡>F=90°:.DF±AE

DF±AE

又?【DD.1AE;.AE_L平面。/.FDt±AE

DFnD￡>j=D

訓(xùn)練3.

6.如圖，在長(zhǎng)方體ABCO-ABCQ中，AB=6AD，E是AB的中點(diǎn)，求證8鼻

±EC.

【解析】

【分析】連接30,設(shè)8OnCE=O，由OB2+OE2=BE2,證得CE_LBD,再由

。。_1平面4?8,得到CE_L。。，利用線面垂直的判定定理，證得CE_L平面

BDD-從而證得BRLCE.

【詳解】如圖所示，連接80,設(shè)8OnCE=。，

設(shè)AB=2,因?yàn)锳8=&A。，所以AO=&，

在矩形A8CD中，可得BD=娓,CE=M,

由△3QE與△COD相似，且殷=’,可得OB=45,OE=",

CD233

所以O(shè)B'OE?=BE2,所以C￡_L3。，

又由。R_L平面ABC。，CEu平面ABC。，所以。七，。2，

因?yàn)?OnO2=。，所以CE_L平面BOQ,

又因?yàn)?,u平面BOR,所以BRLCE.

7.如圖，在長(zhǎng)方體ABC。-ABC。中，AB=2,AD=1,E是A6的中點(diǎn)，求證:

ED、1EC.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】連接DE,由。02=。e2+0石2,證得OEJ_CE,再由。?平面

ABCD,證得CEJ.OR,利用線面垂直的判定定理，證得CE_L平面。。也，進(jìn)而

證得ER_LCE.

【詳解】連接OE,在矩形ABC。中，由AB=2,AO=1,E是AB的中點(diǎn)，

可彳導(dǎo)CE=DE=g,DC=2,所以CO?=。￡2+。后2,所以￡）七，。石，

又由。R_L平面ABC。，且C￡u平面ABC。，所以CE1DR,

因?yàn)椤?gt;4nOE=。，且。平面。。E,所以C￡_L平面。RE,

又因?yàn)镽Eu平面DRE,所以EQLCE.

訓(xùn)練5.

8.如圖，在四棱錐P-ABC。中，PDJ_底面ABCD,且底面ABCD是菱形，求證

PBLAC.

【答案】見解析

【解析】

【分析】要證明線線垂直，首先轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，即證明ACL平面尸砒）,即

可證明.

【詳解】證明：連結(jié)B。，交于點(diǎn)0,

因?yàn)樗倪呅蜛BC。是菱形，所以AC_L8O,

又因?yàn)槠矫鍭BC。，所以且PDcBD=D,

所以AC_L平面PBu平面PBD,

所以4c_LPB

訓(xùn)練6.

9.如圖，AB是圓。的直徑，94垂直于圓。所在平面，C是圓上不同于A3的任

一點(diǎn)，求證：平面PAC.

【答案】證明見解析

【分析】根據(jù)題意分別證得和BC_LAC,結(jié)合線面垂直的判定定理，即

可求解.

【詳解】由24垂直于圓0所在平面，且8C在底面圓。所在平面內(nèi)，所以

BCLPA,

又由AB是圓。的直徑，可得3C_LAC,

因?yàn)镻A。AC=4且PAACu平面PAC,

所以平面PAC.

考點(diǎn)五、平行與垂直的互相利用

例5-1.

（2021?安徽省舒城中學(xué)）設(shè)，"，"是空間兩條不同的直線，a,夕是空間兩個(gè)不同的平

面.給出下列四個(gè)命題：

①若n//p,a〃￡,則，“〃“；②若a_LW，，Ma,則〃?〃a；

③若m_L〃，md_a,a//P，則“〃尸；④若ajj?,aC\[i—l,m//a,m±l,則機(jī)_L￡.

其中正確的是（）

A.①②B.②③C.②④D.③④

【答案】C

【解析】

由網(wǎng)的是空間兩條不同的直線，43是空間兩個(gè)不同的平面.

在①中，若喇a(chǎn)WMx曄,則腳與力相交、平行或異面，故①錯(cuò)誤；

在②中，設(shè)ac6=I/ua^JJ,因?yàn)閍J?4，所以*JL。，又》?J■尸，所以又

”ua,所以m//2，故②正確；

在③中，若和JL.兩，6。川外則力與《平行或“uA，故③錯(cuò)誤；

在④中，設(shè)樣u，,yca=??,因?yàn)榧印ǜ`，所以加/加，又JWJJ，所以*JJ，

又因?yàn)閍JL6,，cA-1,??ua,所以*_L￡,所以牌工戶，故④正確.

故選：C.

例5-2.

（2021?湖南期末）如圖，在三棱柱ABC—AgG中，44=43=4。=2血，

AB=AC=2,NB4C=90°.證明：平面ABC,平面4耳G；

B

【解析】如圖，取BC的中點(diǎn)M,連AM,4M,

因?yàn)锳B=AC=2,ZBAC=90°,

所以8。=2拒，AM=日

又因?yàn)锳3=A,C=2j5,所以="，

在AAAM中，由4A=20,滿足4屋=

所以AM1AM,且AMBCr>AM=M,BC,AMu平面ABC,

所以A"J■平面ABC,

又AMu平面ABC,所以平面ABC_L平面ABC,

又平面ABC//平面ABC,所以平面\BC1平面4B&.

訓(xùn)練1.(2021?浙江高考真題)

10.如圖己知正方體A8CL?-AACQ,M,N分別是A。，。出的中點(diǎn)，則()

A.直線4。與直線。乃垂直，直線MV//平面ABC。

B.直線A。與直線。石平行，直線MN_L平面

C.直線4。與直線QB相交，直線MV//平面ABCD

D.直線4。與直線。乃異面，直線MN_L平面

【答案】A

【解析】

【分析】由正方體間的垂直、平行關(guān)系，可證平面4SR,即可得

出結(jié)論.

【詳解】

連A。1，在正方體A88-ABCQ中，

M是4。的中點(diǎn)，所以M為4烏中點(diǎn)，

又N是。田的中點(diǎn)，所以MN〃A8,

MN?平面ABCD,ABu平面ABCD,

所以MN〃平面ABCD

因?yàn)锳B不垂直BO,所以MN不垂直BO

則MN不垂直平面BOOg，所以選項(xiàng)B,D不正確；

在正方體ABCO-A4CQ中，AD.LA.D,

43_1平面4人〃。，所以45_L4。，

A0cA8=A,所以4。，平面ABD一

28u平面AB。-所以

且直線4。,。聲是異面直線，

所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)A正確.

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：熟練掌握正方體中的垂直、平行關(guān)系是解題的關(guān)鍵，如兩條

棱平行或垂直，同一個(gè)面對(duì)角線互相垂直，正方體的對(duì)角線與面的對(duì)角線是相交但

不垂直或異面垂直關(guān)系.

考點(diǎn)六、垂直的探索

例6-1.如圖所示，在四棱錐中，以，底面ABCD,且底面各邊都相等，M

是邊PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足時(shí)，平面“8。J_平面PCD（只要填寫

一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可）

【解析】

連接AC,BD,則因?yàn)殛帲酌鍭8CD,所以周，3D又出nAC=A,

所以BO_L平面山C,所以尸C.所以當(dāng)OMLPC（或5MJ_PC）時(shí);即有PC,平

面

而PCu平面PCD,所以平面MB。，平面PCD

【答案】?！ǎ?。（或臺(tái)同工2。

例6-2.在矩形A8CD中，AB<BC,現(xiàn)將△A3。沿矩形的對(duì)角線8。所在的直線進(jìn)

行翻折，在翻折的過(guò)程中，給出下列結(jié)論：

①存在某個(gè)位置，使得直線AC與直線8。垂直；

②存在某個(gè)位置，使得直線AB與直線CD垂直；

③存在某個(gè)位置，使得直線AO與直線3C垂直.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是.（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

【解析】①假設(shè)AC與B。垂直，過(guò)點(diǎn)A作。于點(diǎn)E,連接CE.則““,如，

5DJLJCJ

平面A￡C今8O_LCE,而在平面8C￡>中，EC與8。不垂直，故假設(shè)不成

立，①錯(cuò).

②假設(shè)AB，C￡>,因?yàn)锳BLA。，所以ABJ_平面4CD,所以AB_LAC,由ABVBC

可知，存在這樣的等腰直角三角形，使故假設(shè)成立，②正確.

③假設(shè)

因?yàn)镺CJ_BC,所以BCL平面AOC,

所以BCLAC,即△ABC為直角三角形，且AB為斜邊，而A8VBC,故矛盾，假

設(shè)不成立，③錯(cuò).綜上，填②.

【答案】②

例6-3.如圖，直三棱柱ABC-AIQ中，側(cè)棱長(zhǎng)為2,AC=BC=\,N4CB=90。，

。是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是381上的動(dòng)點(diǎn)，ABi,?？诮挥邳c(diǎn)E.要使AB_L平面CiOR

則線段8尸的長(zhǎng)為.

【解析】設(shè)BF=x,因?yàn)锳Bi_L平面CDF,OR=平面GOF,所以ABi_LDF.

由已知可以得48=5，

設(shè)RtA/UiB,斜邊上的高為h,則DE=

又2x啦=2x^22+(小)2,

所以/?=區(qū)回，?！辏?亞.

33

在中，BiE=2=W

6

由面積相等得'x,得X=；.即線段5F的長(zhǎng)為;.

【答案w

JT

例6-4.如圖，四棱錐P-ABCO中，底面A8CD是邊長(zhǎng)為2的菱形，ZBAD=y

△玄。是等邊三角形，尸為AD的中點(diǎn)，PD±BF.

(1)求證：ADLPB^

⑵若E在線段8c上，且EC=；BC,能否在棱PC上找到一點(diǎn)G,使平面

OEG，平面AB。？若存在，求出三棱錐。一CEG的體積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

由.

解：（1）證明：連接PF,因?yàn)椤鞑?。是等邊三角形，F(xiàn)是的中點(diǎn)，所以

PFLAD.

因?yàn)榈酌鍭BCO是菱形，ZBAD=j,所以B—AD

XPFHBF=F,所以平面8m又P8u平面BFP,

所以AD_LP8.

（2）能在棱PC上找到一點(diǎn)G,使平面。EG,平面ABCD

由（1）知AOL5R因?yàn)镻OLBF,ADQPD=D,所以BF_L平面%D

又引上平面A3CD,所以平面A3CO_L平面出。，

又平面ABCOC平面PAD=AD,且PF1AD,所以平面ABCD.

連接CF交DE于點(diǎn)H,過(guò)H作HG〃PF交PC于點(diǎn)G,所以G4,平面ABCD

又G〃u平面DEG,所以平面￡>EG_L平面ABCD.

因?yàn)锳D〃BC,所以△DFHs^ECH,所以幕=篙=［，

HFDF2

所以6尸一而_5'

所以GH=*F昔,

所以VD-CEG—Vic-CDE=；SACDE?GH=sin號(hào)GH==.

鞏固訓(xùn)練

一、單項(xiàng)選擇題

11.已知互相垂直的平面a，A交于直線1.若直線m,n滿足m〃a,n±p,貝U

A.m//lB.m〃nC.n±lD.m±n

【答案】C

【解析】

【詳解】試題分析：

由題意知ac月J_/.故選C.

【考點(diǎn)】空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.

【思路點(diǎn)睛】解決這類空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系問(wèn)題，一般是借助長(zhǎng)方體（或正

方體），能形象直觀地看出空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.

詢視頻n

（2021.河北唐山模擬）

12.如圖，在以下四個(gè)正方體中，直線A6與平面CDE垂直的是

A.①②B.②④C.①③D.②③

【答案】B

【解析】

【分析】由已知幾何體為正方體，利用線面垂直的判定逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得答案.

【詳解】對(duì)于①，由AB與CE所成角為45。，可得直線AB與平面COE不垂直；

對(duì)于②，由ABLCE,AB±ED,且CEAED=E,可得AB,平面CDE；

對(duì)于③，由AB與CE所成角為60°,可得直線與平面CDE不垂直；

對(duì)于④，由ED_L平面ABC,可得ED_LAB,同理：EC1AB,可得AB_L平面CDE；

故選B

【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等

基礎(chǔ)知識(shí)，是中檔題.

13.如圖，在四面體D—ABC中，若A8=CB,AD=CD,E是AC的中點(diǎn)，則下列

結(jié)論正確的是（）

D

A

A.平面ABC，平面A8O

B.平面平面BDC

C,平面ABC_L平面BDE,且平面AOC_L平面BDE

D.平面A3CJ_平面AOC,且平面AOC,平面BDE

【答案】C

【解析】

【分析】利用垂直關(guān)系，結(jié)合面面垂直的判斷定理，即可判斷選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)锳B=CB,且E是AC的中點(diǎn)，所以BELAC,同理有OELAC,于

是AC,平面因?yàn)锳C在平面ABC內(nèi)，所以平面A8C_L平面8DE.又由于4Cu

平面AC。，所以平面ACO_L平面8DE.

故選：C

（2020,四川省眉山中學(xué)模擬）

14.如圖所示，在斜三棱柱A8C-A山iG中，ZBAC=90°,BCxLAC,則點(diǎn)G在平

面ABC上的射影〃必在（）

A.直線上B.直線BC上C.直線AC上D.AABC的內(nèi)部

【答案】A

【解析】

【分析】

由線面垂直判定有AC_L平面ABC\,再由面面垂直的判定有平面ABG_L平面

ABC,即可知點(diǎn)G在平面A8c上的射影”的位置.

【詳解】連接AG,

'：AC±AB,ACLBCi,ABHBCi=B,

平面ABC,又ACu平面ABC,

工平面ABCil.平面ABC,

，點(diǎn)Ci在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了判斷線面、面面垂直的方法，并確定點(diǎn)在面上射影的位置，屬

于基礎(chǔ)題.

15.如圖，在正方體力8口一4笈G〃中，點(diǎn)。，弘/V分別是線段物，㈤，

的中點(diǎn)，則直線〃”與〃；，版的位置關(guān)系是（）

A.與然，腸V均垂直

B.與4C垂直，與肱V不垂直

C.與47不垂直，與網(wǎng)『垂直

D.與4G/%V均不垂直

【答案】A

【解析】

【詳解】因?yàn)镺Di,平面ABCO,所以AC_LOOi,又因?yàn)锳C_LB。，DDCBD=D,

所以4C_L平面BDDB,因?yàn)镺Mu平面BDDiBi,所以O(shè)M^AC設(shè)正方體的棱長(zhǎng)

為2,則OM=VT+2=G,MN=VT+T=V2，ON=71+4=#），所以

OI^1+MN1=ON1,所以。故選A.

16.如圖所示，A8是。。的直徑，3垂直于。。所在的平面，點(diǎn)C是圓周上不同

于A,B的任意一點(diǎn)，M,N分別為儂，VC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是

()

A.MN//ABB.MN與BC所成的角為45。

C.0cl平面以CD.平面以C1平面

【答案】D

【解析】

【分析】由中位線性質(zhì)，平移異面直線即可判斷不與平行，根據(jù)異面直線

平面角知MN與BC所成的角為90。，應(yīng)用反證知OC不與平面儂C垂直，由面面

垂直的判定知面儂CJ_面V8C,即可知正確選項(xiàng).

【詳解】M,N分別為例,VC的中點(diǎn)，在△中有MN//AC,

在面ABC中A8cAC=A,MN不與48平行；

ACnBC=C,知：與BC所成的角為NBC4=90。；

因?yàn)镺Cc面VAC=C,0c與平面內(nèi)交線AC,VC都不垂直，0C不與平面必1C垂

直；

由Wl_LtMA8C,8Cu面ABC即儂，3C,而ZBC4=90°知ACL8C,

47<*>儂=4有3。1面MIC,又BCu面VBC,所以面出。，面色。；

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線的位置關(guān)系、夾角，以及線面垂直的性質(zhì)，面面垂直

判定的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

二、多項(xiàng)選擇題

17.判斷下列結(jié)論中正確的是（）

A.垂直于同一個(gè)平面的兩平面平行.

B.直線a_La,b_l_a,JJi]a//b.

C.若直線a_L平面a,直線b〃a,則直線。與匕垂直.

D.若平面a內(nèi)的一條直線垂直于平面尸內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則aJ_4

【答案】BC

【解析】

【分析】結(jié)合點(diǎn)線面的位置關(guān)系，逐項(xiàng)分析即可得出結(jié)論.

【詳解】A：三個(gè)平面可能兩兩垂直，比如：三維直角坐標(biāo)系，故A錯(cuò)誤；

B：垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)直線平行，故B正確；

C：因?yàn)橹本€平面a,所以直線平面a內(nèi)的任意一條直線，又因?yàn)閎〃a,

所以直線。與b垂直，故C正確；

平面￡與平面a不垂直，直線/（=平面a,直線〃?u平面且直線/J_直線加，但

是線/與直線〃不垂直，所以直線/與平面△不垂直，進(jìn)而平面a與平面萬(wàn)不垂

直，但是滿足直線/I平面夕內(nèi)所有與直線機(jī)平行的直線，故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

18.如圖所示，PA_L圓。所在平面，A3是圓。的直徑，C是圓。上一點(diǎn)，

AEYPC,AF±PB,給出下列結(jié)論，其中真命題的是（）

A.AE±BCB.EFLPB

C.AFLBCD.AE_L平面PBC,

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】由24，圓。所在平面，可得

又由AB是圓。的直徑，C是圓。上一點(diǎn)，可得AC_LBC,

因?yàn)镻AnAC=A,所以平面PAC,

又因?yàn)锳Eu平面P4C,所以BCJ.AE,所以A正確；

由AEL8GAEJ.PC且5CcPC=C,所以短，平面PBC,

又由PBu平面PBC,所以AE_LPB,

又因?yàn)锳FLPB,且AEcAF=A,所以依_L平面AEF,

因?yàn)镋Fu平面AE尸，所以所以B、D正確；

若AEJ.3C,可證得Ab_L平面PBC,此時(shí)A/7/AE與已知矛盾，所以C不正

確；

故選：ABD.

三、填空題

（2021.北京101中學(xué)期末）

19.設(shè)a,夕是兩個(gè)不同的平面，/是直線且/ua,則“/是“aJ■戶”的

.條件（參考選項(xiàng)：充分不必要，必要不充分，充分必要，既不充分也不必

要）.

【答案】充分不必要

【解析】

【分析】

面面垂直的判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直.根據(jù)題

意由判斷定理得/J>4.若廣，直線/ua則直線/，，，或直線

/〃￡,或直線/與平面￡相交，或直線/在平面/內(nèi).由。，力，直線/ue得不到

I工P，故可得出結(jié)論..

【詳解】面面垂直的判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂

直.

因?yàn)橹本€/ua且/，力

所以由判斷定理得aJ?4.

所以直線/ua,且/_L〃=>a_LP

若直線/ua則直線/，4，或直線/〃分，或直線/與平面月相交，或直

線/在平面￡內(nèi).

所以“/_L/是“aJ?月”成立的充分不必要條件.

故答案為：充分不必要.

【點(diǎn)睛】本題考查充分條件，必要條件的判斷，涉及到線面、面面關(guān)系，屬于基礎(chǔ)

題.

20.如圖，ZBAC=90°,PCJ_平面ABC,則在△A5C和的邊所在的直線

中，與PC垂直的直線有；與AP垂直的直線有.

【答案】①.43,BC,AC?.AB

【解析】

【分析】①利用線面垂直的性質(zhì)定理可證；②由線面垂直的判定定理證明A6L平

面出C,再由線面垂直的性質(zhì)定理證明.

【詳解】?.'PUL平面ABC,；.PC垂直于直線A8,BC,AC；

'：AB±AC,ABLPC,ACQPC=C,."5,平面fiAC,...與AP垂直的直線是

AB.

故答案為：AB,BC,AC；AB

21.在正三棱錐（底面為正三角形且側(cè)棱相等）P-ABC中，D,E分別是AB,BC

的中點(diǎn)，有下列三個(gè)論斷：①AC_LP3；②AC〃平面PQE；③45,平面

PDE.其中正確論斷的序號(hào)為.

【答案】①②

【解析】

【分析】取AC的中點(diǎn)連接PM,8"證明AC,面即可判斷①；利用直

線與平面平行的判定定理可判斷②利用直線與平面垂直的性質(zhì)可判斷③，進(jìn)而可得

正確答案.

對(duì)于①：取AC的中點(diǎn)連接尸M,BM,

由PA=PC,胡=3。可得PM,AC,BMLAC,因?yàn)?

所以4