(實(shí)驗(yàn)班用)數(shù)學(xué)習(xí)題詳解-19

第十八章 概率論初步與基本統(tǒng)計(jì)方法18.1隨機(jī)事件和古典概型基礎(chǔ)練習(xí)1．在60件產(chǎn)品中，有30件是一等品，20件是二等品，10件是三等品，從中任取3件，試計(jì)算：（1）3件都是一等品的概率．（2）2件是一等品、1件是二等品的概率．（3）一等品、二等品、三等品各有1件的概率．解：（1）．（2）．（3）．2．盒中有規(guī)格相同的紅、白、黑手套各3只，從中任意摸出2只恰好配成同色的概率為多少？解：先選一個(gè)顏色出來，然后從同色中的3只中任選2只出來，則．3．某班36人的血型情況為：型血12人，型血10人，型血8人，型血6人，若從班里隨機(jī)叫出兩人，兩人血型相同的概率是多少？解：．4．一枚硬幣連擲四次，試求：（1）恰好出現(xiàn)兩次是正面的概率．（2）最后兩次出現(xiàn)正面的概率．解：（1）．（2）．5．從一副去掉王牌的牌（52張）中，任取4張，求下列情況的概率：（1）取出4張全是．（2）取出4張的數(shù)字相同．（3）取出4張全是黑桃．（4）取出4張的花色相同．解：取出4張有個(gè)結(jié)果．（1）4張全是“”記為隨機(jī)事件，只有一個(gè)結(jié)果，4手長為4個(gè)花色的，故．（2）取出4張的數(shù)字相同記為隨機(jī)事件，52張牌中共有13種數(shù)字，每種數(shù)字有4個(gè)花色．所以隨機(jī)事件包括個(gè)基本事件，故所求隨機(jī)事件概率為．（3）取出4張全是黑桃記為隨機(jī)事件，13張黑桃中取出4張，所以有．（4）取出4張相同花色記為隨機(jī)事件，4種花色選一種，在選出的花色中13張牌再選出4張相同花色，故隨機(jī)事件共有個(gè)基本事件，故．6．把4個(gè)相同的球放進(jìn)3個(gè)不同的盒子，每個(gè)球進(jìn)盒子都是等可能的．求：（1）沒有一個(gè)空盒子的概率．（2）恰有一個(gè)空盒子的概率．解：4個(gè)相同球放進(jìn)3個(gè)不同的盒子，先加進(jìn)3個(gè)球，變成7個(gè)相同球，放進(jìn)3個(gè)不同盒子，保證每個(gè)盒子至少一個(gè)球，用隔板法解決，有個(gè)結(jié)果，再將多加進(jìn)的球取出．（1）“沒有一個(gè)空盒子”記為隨機(jī)事件，4個(gè)相同球放進(jìn)3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)球，用隔板法解決，有個(gè)結(jié)果，故．（2）“恰好有一個(gè)空盒子”記為隨機(jī)事件，先選一個(gè)盒子，4個(gè)相同球放進(jìn)2個(gè)不同盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)球，所以隨機(jī)事件包含個(gè)結(jié)果，故．7．拋擲兩顆骰子，計(jì)算：（1）事件“兩顆骰子點(diǎn)數(shù)相同”的概率．（2）事件“點(diǎn)數(shù)之和小于7”的概率．解：（1）．（2）事件“點(diǎn)數(shù)之和小于7”為（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（5，1），則概率為．8．、、、、五人分四本不同的書，每人至多分一本．求：（1）不分甲書，不分乙書的概率．（2）甲書不分給、，乙書不分給的概率．解：（1）（或）（2）．9．一批產(chǎn)品共有82只，其中6只特級(jí)品，現(xiàn)任意取出2只，求：（1）全是特級(jí)品的概率．（2）只有1只是特級(jí)品的概率．（3）都不是特級(jí)品的概率．解：（1）．（2）．（3）10．有九張卡片分別寫著數(shù)字1、2、3、4、5、6、7、8、9，甲、乙兩人依次從中各抽取一張卡片（不放回）．（1）求甲抽到寫有奇數(shù)數(shù)字卡片，且乙抽到寫有偶數(shù)數(shù)字的概率．（2）求甲、乙兩人至少抽到一張奇數(shù)數(shù)字卡片的概率．解：（1）；（2）．11．設(shè)有個(gè)人，每個(gè)人都等可能地被分配到個(gè)房間中的任意一間去住，求下列事件的概率：（1）指定的個(gè)房間各有一個(gè)人?。?）恰好有個(gè)房間，每問各住一個(gè)人．解：由于每個(gè)人有個(gè)房間可供選擇，所以個(gè)人住的方式共有種，它們是等可能的，則（1）指定個(gè)房間各有一個(gè)人住記作事件：可能的總數(shù)為!則．（2）恰好有個(gè)房問其中各住一人記作事件，則這個(gè)房間從個(gè)房間中任選共有個(gè)，由（1）可知：．12．有5個(gè)1克砝碼，3個(gè)3克砝碼和2個(gè)5克砝碼，任意取出3個(gè)砝碼，求：（1）其中至少有2個(gè)砝碼同樣重量的概率．（2）3個(gè)砝碼總重量為7克的概率．解：（1）．（2）．能力提高13．由數(shù)據(jù)1，2，3組成可重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，試求三位數(shù)中至多出現(xiàn)兩個(gè)不同數(shù)字的概率．解：．14．從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件產(chǎn)品，設(shè)事件“抽到的是一等品”，事件“抽到的是二等品”，事件“抽到的是三等品”，且已知，，，求下列事件的概率：（1）事件“抽到的是一等品或二等品”．（2）事件“抽到的是二等品或三等品”．解：（1）．（2）．15．從1到9九個(gè)數(shù)字中不重復(fù)地取出3個(gè)組成3位數(shù)，求：（1）這個(gè)3位數(shù)是偶數(shù)的概率．（2）這個(gè)3位數(shù)是5的倍數(shù)的概率．（3）這個(gè)3位數(shù)是4的倍數(shù)的概率．（4）這個(gè)3位數(shù)是3的倍數(shù)的概率．解：9個(gè)數(shù)字中取出3個(gè)組成3位數(shù)，有個(gè)結(jié)果．（1）“3位數(shù)是偶數(shù)”記為隨機(jī)事件，有個(gè)結(jié)果，．（2）“3位數(shù)是5的倍數(shù)”記為隨機(jī)事件，末尾須是5，故隨機(jī)事件包含個(gè)結(jié)果，所以．（3）“3位數(shù)是4的倍數(shù)”記為隨機(jī)事件，3位數(shù)是4的倍數(shù)須后兩位能被4整除，后兩位可以是12、16、24、28、32、36、48、52、56、64、68、72、76、84、94、98，只要定下百位即可，所以隨機(jī)事件包含個(gè)結(jié)果，故．（4）“3位數(shù)是3的倍數(shù)”記為隨機(jī)事件，3位數(shù)是3的倍數(shù)須各個(gè)位置上的數(shù)字之和能被3整除，9個(gè)數(shù)字，其中3、6、9能被3整除，1、4、7被3除余1，2、5、8被3除余2，所以3位數(shù)被3整除包括4種情況：三個(gè)數(shù)字均被3整除；三個(gè)數(shù)字都被3除余1；三個(gè)數(shù)字都被3除余2；三個(gè)數(shù)字一個(gè)被3整除、一個(gè)被3除余1、一個(gè)被3除余2，故．16．某條公共汽車線路沿線共有11個(gè)車站（包括起點(diǎn)站和終點(diǎn)站），在起點(diǎn)站開出的一輛公共汽車上有6位乘客，假設(shè)每位乘客在起點(diǎn)站之外的各個(gè)車站下車是等可能的．求：（1）這6位乘客在互不相同的車站下車的概率．（2）這6位乘客中恰有3人在終點(diǎn)站下車的概率．解：（1）；（2）．17．在某次數(shù)學(xué)考試中，甲、乙、丙三人及格（互不影響）的概率分別是0．4、0．2、0．5，考試結(jié)束后，最容易出現(xiàn)幾個(gè)人及格？解：（1）三人都及格的概率，（2）三個(gè)人都不及格的概率，（3）恰有兩人及格的概率，（4）恰有一人及格的概率．由此可知，最容易出現(xiàn)的是恰有一人及格的情況．18．2頻率與概率基礎(chǔ)練習(xí)1．一個(gè)容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后，組距與頻數(shù)如下：（10，20]，2；（20，30]，3；（30，40]，4；（40，50]，5；（50，60]，4；（60，70]，2．則樣本在區(qū)間上的頻率為__________．解：．2．一個(gè)容量為40的樣本數(shù)據(jù)分組后組數(shù)與頻數(shù)如下：（25，25．3]，6；（25．3，25．6]，4；（25．6，25．9]，10；（25．9，26．2]，8；（26．2，26．5]，8；（26．5，26．8]，4；則樣本在（25，25．9]上的頻率為__________．解：．3．為了了解中學(xué)生的體能情況，抽取了某校一個(gè)年級(jí)的部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖（如圖18—3），已知圖中從左到右前三個(gè)小組的頻率分別為，，，第一小組的頻數(shù)為5．則第四小組的頻率__________；參加這次測試的學(xué)生有__________人．解：；．4．下列說法正確的是（）．A．任何事件的概率總是在（0，1）之間B．．概率是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定C．．頻率是客觀存在的，與試驗(yàn)次數(shù)無關(guān)D．．隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率一定會(huì)越來越接近概率解：正確選項(xiàng)為．5：連續(xù)拋擲10次硬幣，出現(xiàn)5次“正面朝上”的概率是（）．A．變化的量，不同的人得到的概率也不同B．模擬的次數(shù)不同，其概率也不同C．D．是個(gè)確定的值，但不是解：正確選項(xiàng)為．6．某射擊手在同一條件下進(jìn)行射擊，結(jié)果如下：射擊次數(shù)2050100200500擊中靶心次數(shù)9194591179456擊中靶心的頻率（1）計(jì)算表中擊中靶心的各個(gè)頻率．（2）這個(gè)射擊手射擊一次，擊中靶心的概率約是多少？解：（1），，，，，．（2）．能力提高7．從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取三點(diǎn)，構(gòu)成直角三角形的概率是__________．解：從矩形中選三角形，正方體中一共有12個(gè)矩形．．8．設(shè)和分別是先后拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)，用隨機(jī)變量表示方程實(shí)根的個(gè)數(shù)（重根按一個(gè)計(jì)）．（1）求方程有實(shí)根的概率．（2）求在先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的條件下，方程有實(shí)根的概率．解：（1）基本事件總數(shù)為，若使方程有實(shí)根，則，即．當(dāng)時(shí)，，3，4，5，6；當(dāng)時(shí)，，4，5，6；當(dāng)時(shí)，，5，6；當(dāng)時(shí)，，5，6；當(dāng)時(shí)，，6；當(dāng)時(shí)，，6，目標(biāo)事件個(gè)數(shù)為，因此方程有實(shí)根的概率為．（2）記“先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5”為事件，“方程有實(shí)根”為事件，則，，．18.3幾何概型基礎(chǔ)練習(xí)1．如圖18—7，是由一個(gè)圓、一個(gè)三角形和一個(gè)長方形構(gòu)成的組合體，現(xiàn)用紅、藍(lán)兩種顏色為其涂色，每個(gè)圖形只能涂一種顏色，則三個(gè)形狀顏色全相同的概率為（）．A． B．C． D．解：正確選項(xiàng)為．2．如圖18—8所示：向邊長為2的正方形內(nèi)隨機(jī)地投飛鏢，假設(shè)飛鏢都能投入正方形內(nèi)，且投到每個(gè)點(diǎn)的可能性相等，則飛鏢落在陰影部分的概率是（）．A． B．C． D．解：正確選項(xiàng)為．3．在1升高產(chǎn)小麥種子中混入了一種帶麥銹病的種子，從中隨機(jī)取出10毫升，求取出的種子中含有麥銹病的種子的概率．解：．4．平面上畫了一些彼此相距的平行線，把一枚半徑的硬幣任意擲在這平面上，求硬幣不與任一條平行線相碰的概率．解：由于硬幣的半徑為，則當(dāng)硬幣的中心到直線的距離時(shí)，硬幣與直線不相碰．能力提高5．如圖18—9所示，在中，，，高．在內(nèi)作射線交于點(diǎn)，求的概率．解：由幾何概率模型可知，，．6．某人午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了（見圖18—10），他打開收音機(jī)，想聽電臺(tái)報(bào)時(shí)，求他等待的時(shí)間不多于10分鐘的概率．解：由幾何概率模型可知，．7．在坐標(biāo)系中是且的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，是由到原點(diǎn)的距離不大于1的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域．向中隨機(jī)投一點(diǎn)，求落入中的概率．解：由幾何概率模型可知，落入中的概率為．8．若連續(xù)擲兩顆骰子分別得到的點(diǎn)數(shù)，作為點(diǎn)的坐標(biāo)，求點(diǎn)落在圓內(nèi)的概率．解：基本事件的總數(shù)為個(gè)，記事件，則所包含的基本事件為（1，1），（2，2），（1，3），（1，2），（2，3），（3，1），（3，2），（2，1），共8個(gè)．則概率為．9．有五條線段長度為1，3，5，7，9從中任取3條．求不能構(gòu)成三角形的概率．解：能構(gòu)成三角形的組數(shù)為（3，5，7），（3，7，9），（5，7，9），．10．在面積為的的邊上任取一點(diǎn)，求的面積大于的概率．解：由幾何概率模型可知，概率為．11．一個(gè)骰子擲兩次，記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為．試就方程組，解答下列各題：（1）求方程組只有一個(gè)解的概率．（2）求方程組只有正數(shù)解的概率．解：事件的基本事件有36個(gè)．由方程組，可得．（1）方程組只有一個(gè)解，需滿足，而的事件有共3個(gè)．所以方程組只有一個(gè)解的概率為．（2）方程組只有正數(shù)解，需且，即或其包含的事件有13個(gè)：，，，，，，，，，，，，．因此所求的概率為．18.4概率的加法公式和乘法公式基礎(chǔ)練習(xí)1．拋擲一顆骰子，觀察擲出的點(diǎn)數(shù)．設(shè)事件為“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，為“出現(xiàn)3點(diǎn)”，求：（1），．（2）求“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)或3點(diǎn)”的概率．解：（1）．（2）．2．甲、乙兩人各進(jìn)行一次射擊，如果兩人擊中目標(biāo)的概率是．計(jì)算：（1）兩人都擊中目標(biāo)的概率．（2）其中恰有1人擊中目標(biāo)的概率．（3）至少有1人擊中目標(biāo)的概率．解：（1）．（2）．（3）．3．甲、乙等五名奧運(yùn)志愿者被隨機(jī)地分到，，，四個(gè)不同的崗位服務(wù)，每個(gè)崗位至少有一名志愿者．求：（1）甲、乙兩人同時(shí)參加崗位服務(wù)的概率．（2）甲、乙兩人不在同一個(gè)崗位服務(wù)的概率．解：（1）．（2）．4．從1，2，3，…，30中任意選一個(gè)數(shù)，求下列事件的概率：（1）是偶數(shù)．。（2）能被3整除．（3）是偶數(shù)且能被3整除．（4）是偶數(shù)或能被3整除．解：（1）． （2）．（3）． （4）．5．某游戲中，一個(gè)珠子從如圖18—11所示的通道由上至下滑下，從最大面的六個(gè)出口出來，規(guī)定猜中出口者為勝．如果你在該游戲中，猜得珠子從出口3出來，求你取勝的概率．解：．能力提高6．一電路由電池與兩個(gè)并聯(lián)的電池和串聯(lián)而成，見圖18—12．設(shè)、、損壞的概率分別為0．3，0．2，0．2，求電路發(fā)生間斷的概率．解：通路的概率，電路發(fā)生間斷的概率為0.328．7．兩個(gè)人射擊，甲射擊一次中靶概率是，乙射擊一次中靶概率是，求：（1）兩人各射擊1次，中靶至少1次就算完成目標(biāo)，則完成目標(biāo)概率是多少？（2）兩人各射擊2次，中靶至少3次就算完成目標(biāo)，則完成目標(biāo)的概率是多少？（3）兩人各射擊5次，是否有的把握斷定他們至少中靶1次？解：．（2）中靶3次的概率，中靶4次的概率，則中靶至少3次的概率為．（3），能斷定．8．如圖18—13，已知電路中4個(gè)開關(guān)閉合的概率都是，且是相互獨(dú)立的，求電路正常工作的概率．解：上面一條線路通的概率為，下面一條線路通的概率為，電路正常工作的概率為．9．一個(gè)口袋中有3個(gè)黑球，2個(gè)白球，1個(gè)紅球，規(guī)定從中摸出1個(gè)黑球記1分，摸出1個(gè)白球記2分，摸出1個(gè)紅球記3分．（1）求從中摸出2個(gè)球，記4分的概率．（2）求從中摸出3個(gè)球，記6分的概率．（3）若每次摸出1個(gè)球，記分后再放回，求摸3次記6分的概率．解：（1）4分的情況可能是或，．（2）6分的情況可能是，．（3）6分的情況可能是或，．10．用、、三類不同元件連接成兩個(gè)系統(tǒng)、（見圖18—14），當(dāng)元件、、都正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作；當(dāng)元件正常工作且元件、至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作．已知元件、、正常工作的概率依次為、、，分別求系統(tǒng)、正常工作的概率、．解：分別記元件、、正常工作為事件、、，由已知條件，得，，．（1）因?yàn)槭录?、、是相互?dú)立的，所以系統(tǒng)正常工作的概率．故系統(tǒng)正常工作的概率為．（2）系統(tǒng)正常工作的概率，，．故系統(tǒng)正常工作的概率為．11．設(shè)每一架飛機(jī)引擎在飛行中故障率為，且各引擎是否發(fā)生故障是獨(dú)立的，如果有至少的引擎能正常運(yùn)行，飛機(jī)就可以成功地飛行．問對(duì)于多大的而言，4引擎飛機(jī)比2引擎飛機(jī)更安全？解：4引擎飛機(jī)成功飛行的概率為．2引擎飛機(jī)成功飛行的概率為．要使4引擎飛機(jī)比2引擎飛機(jī)安全，只要．化簡，分解因式得．所以，即得．即當(dāng)引擎不出故障的概率不小于時(shí)，4引擎飛機(jī)比2引擎飛機(jī)安全．12．對(duì)貯油器進(jìn)行8次獨(dú)立射擊，且第一次命中只能使汽油流出而不燃燒，第二次命中才能使汽油燃燒起來，每次射擊命中目標(biāo)的概率為，求汽油燃燒起來的概率．（結(jié)果保留3個(gè)有效數(shù)字）解：其概率為：…．13．飛機(jī)俯沖時(shí)，每支步槍射擊飛機(jī)的命中率為．求：（1）250支步槍同時(shí)獨(dú)立地進(jìn)行一次射擊，飛機(jī)被擊中的概率．（2）要求步槍擊中飛機(jī)的概率達(dá)到，需要多少支步槍同時(shí)射擊？解：（1）．（2），得出：，故．14．圖18—15中甲、乙連接的6個(gè)元件，它們斷電的概率第一個(gè)為，第二個(gè)為，其余四個(gè)都為．分別求甲斷電、乙通電的概率．解：圖甲：電器斷電的概率．圖乙：通路的概率．15．工商局于2003年3月份，對(duì)全省流通領(lǐng)域的飲料進(jìn)行了質(zhì)量監(jiān)督抽查，結(jié)果顯示，某種剛進(jìn)入市場的飲料的合格率為，現(xiàn)有甲，乙，丙3人聚會(huì)，選用6瓶飲料，并限定每人喝2瓶，求：（1）甲喝2瓶合格的飲料的概率．（2）甲，乙，丙3人中只有1人喝2瓶不合格的工飲料的概率（精確到）．解：（1）甲喝2瓶飲料都合格的概率為．（2）甲．，乙，丙3人中只有1人喝2瓶不合格的飲料的概率為．16．三人分別獨(dú)立解一道題，已知甲做對(duì)這道題的概率是，甲、丙兩人都做錯(cuò)的概率是，乙、丙兩人都做對(duì)的概率是．求：（1）乙、丙兩人各自做對(duì)這道題的概率．（2）甲、乙、內(nèi)二人中全少有兩人做對(duì)這道題的概率．解：（1）記甲、乙、丙三人獨(dú)立做對(duì)這道題的事件依次為、、，則由已知條件得．由于，又，解得．則乙、丙兩人各自做對(duì)這道題的概率分別為，．（2）甲、乙、丙三人中恰好有兩人做對(duì)這道題的概率為；甲、乙、丙三人都做對(duì)這道題的概率為；則甲、乙、丙三人中至少有兩人做對(duì)這道題的概率為．17．甲、乙兩人各投籃1次，設(shè)甲的命中率是，乙的命中率是．求：（1）兩人都命中的概率．（2）至少一人命中的概率．（3）恰有一人命中的概率．解：（1）．（2）．（3）．18.5隨機(jī)變量和數(shù)學(xué)期望基礎(chǔ)練習(xí)1．隨機(jī)變量的分布列如下：其中，，成等差數(shù)列，若，則的值是__________．解：，則．2．已知時(shí)刻一質(zhì)點(diǎn)在數(shù)軸的原點(diǎn)，該質(zhì)點(diǎn)每經(jīng)過1秒就要向左或右跳動(dòng)一個(gè)單位長度，已知每次跳動(dòng)，該質(zhì)點(diǎn)向左的概率為，向右的概率為．（1）求秒時(shí)刻，該質(zhì)點(diǎn)在數(shù)軸上處的概率．（2）設(shè)秒時(shí)刻，該質(zhì)點(diǎn)在數(shù)軸上處，求、．解：（1）．（2）則；．3．甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為，乙每次擊中目標(biāo)的概率為，（1）記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為，求的概率分布及數(shù)學(xué)期望．（2）求乙至多擊中目標(biāo)2次的概率．（3）求甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率．解：（1）的分布列為0123．（2）（3）甲擊中目標(biāo)3次，或甲擊中目標(biāo)2次，則概率為．4．高二（1）班的一個(gè)研究性學(xué)習(xí)小組在網(wǎng)上查知，某珍貴植物種子在一定條件下發(fā)芽成功的概率為，該研究性學(xué)習(xí)小組又分成兩個(gè)小組進(jìn)行驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)．（1）第一組做了5次這種植物種子的發(fā)芽實(shí)驗(yàn)（每次均種下一粒種子），求他們的實(shí)驗(yàn)至少有3次成功的概率．（2）第一小組做了若干次壽芽試驗(yàn)（每次均種下一粒種子）。如果存一次宴聆中種子發(fā)芽成功就停止實(shí)驗(yàn)，否則將繼續(xù)進(jìn)行下次實(shí)驗(yàn)，直到種子發(fā)芽成功為止，但發(fā)芽實(shí)驗(yàn)的次數(shù)最多不超過5次，求第二小組所做種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)的次數(shù)的概率分布列和期望．解：（1）．（2）的概率分布列為23455．某項(xiàng)選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問題，能正確回答問題者進(jìn)入下一輪考試，否則即被淘汰，已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為、、，且各輪問題能否正確回答互不影響．（1）求該選手被淘汰的概率．（2）該選手在選拔中回答問題的個(gè)數(shù)記，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．（注：本小題結(jié)果可用分?jǐn)?shù)表示）解：（1）．（2）的分布列為123則．6．廠家在產(chǎn)品出廠前，需對(duì)產(chǎn)品做檢驗(yàn)，廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時(shí)，商家按合同規(guī)定也需隨機(jī)抽取一定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗(yàn)，以決定是否接收這批產(chǎn)品．（1）若廠家?guī)旆恐械拿考a(chǎn)品合格的概率為，從中任意取出4件進(jìn)行檢驗(yàn)．求至少有1件是合格品的概率．（2）若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品，其中有3件不合格，按合同規(guī)定該商家從中任取2件，都進(jìn)行檢驗(yàn)，只有2件都合格時(shí)才接收這批產(chǎn)品，否則拒收．求該商家可能檢驗(yàn)出不合格產(chǎn)品數(shù)的分布列及期望，并求該商家拒收這批產(chǎn)品的概率．解：（1）．（2）12商家拒收這批產(chǎn)品的概率為．7．某商場經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客采用的付款期數(shù)的分布列為：2345商場經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤為200元；分2期或3期付款，其利潤為250元；分4期或5期付款，其利潤為300元．表示經(jīng)銷一件該商品的利潤．（1）求事件：“購買該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率．（2）求的分布列及期望．解：（1）由表示事件“購買該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款”，知表示事件“購買該商品的3位顧客中無人采用1期付款”．，．（2）的可能取值為200元，250元，300元．，，．的分布列為300（元）．8．某中學(xué)號(hào)召學(xué)生在今年春節(jié)期間至少參加一次社會(huì)公益活動(dòng)（以下簡稱活動(dòng)）．該校合唱團(tuán)共有100名學(xué)生，他們參加活動(dòng)的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖18—16所示．（1）求合唱團(tuán)學(xué)生參加活動(dòng)的人均次數(shù)．（2）從合唱團(tuán)中任意選兩名學(xué)生，求他們參加活動(dòng)次數(shù)恰好相等的概率．（3）從合唱團(tuán)中任選兩名學(xué)生，用表示這兩人參加活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．解：（1）該合唱團(tuán)學(xué)生參加活動(dòng)的人均次數(shù)為．（2）從合唱團(tuán)中任選兩名學(xué)生，他們參加活動(dòng)次數(shù)恰好相等的概率為．（3）的分布列：１２的數(shù)學(xué)期望：．能力提高9．一個(gè)袋中有若干個(gè)大小相同的黑球、白球和紅球．已知從袋中任意摸出1個(gè)球，得到黑球的概率是；從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是．（1）若袋中共有10個(gè)球：①求白球的個(gè)數(shù)；②從袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望．（2）求證：從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)黑球的概率不大于，并指出袋中哪種顏色的球個(gè)數(shù)最少．解：（1）①故白球有5個(gè)．②隨機(jī)變量的分布列是123的數(shù)學(xué)期望：．（2）設(shè)總球數(shù)為，則黑球數(shù)為，則從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)黑球的概率為．因?yàn)闉閱握{(diào)遞減別，則，得證．從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是．從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)黑球的概率不大于，且．由此可知，袋中自球的數(shù)目多于黑球數(shù)目．已知從袋中任意摸出1個(gè)球，得到黑球的概率是，則從袋中任意摸出1個(gè)球，得到白球的概率是大于，且從袋中任意摸出l個(gè)球，得到紅球的概率是小于，因此袋中紅球的數(shù)目最少．10．某項(xiàng)考試按科目、科目依次進(jìn)行，只有當(dāng)科目成績合格時(shí)，才可繼續(xù)參加科目的考試．已知每個(gè)科目只允許有一次補(bǔ)考機(jī)會(huì)，兩個(gè)科目成績均合格方可獲得證書．現(xiàn)某人參加這項(xiàng)考試，科目每次考試成績合格的概率均為，科目每次考試成績合格的概率均為．假設(shè)各次考試成績合格與否均互不影響．（1）求他不需要補(bǔ)考就可獲得證書的概率．（2）在這項(xiàng)考試過程中，假設(shè)他不放棄所有的考試機(jī)會(huì)，記他參加考試的次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望．解：設(shè)“科目第一次考試合格”為事件，“科目補(bǔ)考合格”為事件；“科目第一次考試合格”為事件，“科目補(bǔ)考合格”為事件．（1）不需要補(bǔ)考就獲得證書的事件為，注意到與相互獨(dú)立，則．答：該考生不需要補(bǔ)考就獲得證書的概率為．（2）由已知得，，注意到各事件之間的獨(dú)立性與互斥性，可得．，，故．答：該考生參加考試次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為．11．甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進(jìn)行乒乓球比賽：第一局由甲、乙參加而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進(jìn)行比賽，而前一局的失敗者輪空．比賽按這種規(guī)則一直進(jìn)行到其中一人連勝兩局或打滿6局時(shí)停止．設(shè)在每局中參賽者勝負(fù)的概率均為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立．求：（1）打滿3局比賽還未停止的概率．（2）比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)的分別列與期望．解：（1）令甲、乙中勝者為，敗者為．由題意可知與丙中勝者必為丙，（丙），且與丙中勝者必為，．（丙）．（2）的分布列23456從而（局）．12．某射擊測試規(guī)則為：每人最多射擊3次，擊中目標(biāo)即終止射擊，第次擊中目標(biāo)得分，3次均未擊中目標(biāo)得0分．已知某射手每次擊中目標(biāo)的概率為，其各次射擊結(jié)果互不影響．（1）求該射手恰好射擊兩次的概率．（2）該射手的得分記為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．解：（1）．（2）的分布列為01230.0080.0320.160.8．13．已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個(gè)紅球和3個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的2個(gè)紅球和4個(gè)黑球．現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取2個(gè)球．（1）求取出的4個(gè)球均為黑球的概率．（2）求取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率．（3）設(shè)為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）．（2）．（3）可能的取值為，1，2，3．由（1），（2）得，，，從而．的分布列為123的數(shù)學(xué)期望．18.6 總體和樣本基礎(chǔ)練習(xí)1．在用樣本頻率估計(jì)總體分布的過程中，下列說法中正確的是（）．A．總體容量越大，估計(jì)越精確 B．．總體容量越小，估計(jì)越精確C．．樣本容量越大，估計(jì)越精確 D．．樣本容量越小，估計(jì)越精確解：正確選項(xiàng)為．2．已知某機(jī)床生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每生產(chǎn)件這樣的產(chǎn)品的次品數(shù)經(jīng)觀察得下表：次品數(shù)0123頻率則估計(jì)該機(jī)床生產(chǎn)這種產(chǎn)品l

000件的次品數(shù)的方差．解：．3．甲、乙兩支女子曲棍球隊(duì)在去年的國際聯(lián)賽中，甲隊(duì)平均每場進(jìn)球數(shù)為，全年比賽進(jìn)球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為3；乙隊(duì)平均每場進(jìn)球數(shù)為，全年比賽進(jìn)球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為．下列說法正確的個(gè)數(shù)是__________．①甲隊(duì)的技術(shù)比乙隊(duì)好；②乙隊(duì)發(fā)揮比甲隊(duì)穩(wěn)定；③乙隊(duì)幾乎每場都進(jìn)球；④甲隊(duì)的表現(xiàn)時(shí)好時(shí)壞．解：4．4．甲、乙、丙三名射箭運(yùn)動(dòng)員在某次測試中各射箭20次，三人的測試成績?nèi)缦卤恚杭椎某煽儹h(huán)數(shù)78910頻數(shù)5555乙的成績環(huán)數(shù)78910頻數(shù)6446丙的成績環(huán)數(shù)78910頻數(shù)4664，，分別表示甲、乙、丙三名運(yùn)動(dòng)員這次測試成績的標(biāo)準(zhǔn)差，試比較，，的大?。猓海?．已知樣本數(shù)據(jù)，，…，的方差為4，求數(shù)據(jù)，，的標(biāo)準(zhǔn)差．解：．6．在北京市“危舊房改造”中，小強(qiáng)一家搬進(jìn)了回龍觀小區(qū)．這個(gè)小區(qū)冬季用家庭燃?xì)鉅t取暖．為了估算冬季取暖第一個(gè)月使用天然氣的開支情況，從11月15日起，小強(qiáng)連續(xù)八天每天晚上記錄了天然氣表顯示的讀數(shù)，如下表（注：天然氣表上先后兩次顯示的讀數(shù)之差就是這段時(shí)間內(nèi)使用天然氣的數(shù)量）：日期日16日17日18日19日20日21日日天然氣表顯示讀數(shù)（單位：）220229241249259270279290小強(qiáng)的媽媽11月15日買了一張面值600元的天然氣使用卡，已知每立方米天然氣元，請(qǐng)你估算這張卡夠小強(qiáng)家用一個(gè)月（按30天計(jì)算）嗎？為什么？解：每天平均用量： 一個(gè)月用量：一個(gè)月費(fèi)用：，所以夠用．7．小明家準(zhǔn)備五月一日到外地旅游，通過上網(wǎng)調(diào)查，小明發(fā)現(xiàn)：旅游目的地的氣溫與海拔高度之間存在著密切關(guān)系．某日，該地日平均氣溫情況如下表所示（參見圖18—17）：海拔（單位：）0.511.21.522.42.63氣溫（單位：℃）1815.113.812.196.65.33若小明家有一旅游目標(biāo)景點(diǎn)處于該地海拔米處，問按氣溫與海拔高度之問的變化規(guī)律，當(dāng)日該景點(diǎn)處的日平均氣溫應(yīng)該約為多少攝氏度？解：℃．8．從某校2

100名學(xué)生隨機(jī)抽取一個(gè)30名學(xué)生的樣本，樣本中每個(gè)學(xué)生用于課外作業(yè)的時(shí)問（單位：）依次為：75，80，85，65，95，100，70，55，65，75，85，110，120，80，85，80，75，90，90，95，70，60，60，75，90，95，65，75，80，80．求該校的學(xué)生中作業(yè)時(shí)間超過一個(gè)半小時(shí)（含一個(gè)半小時(shí)）的學(xué)生有多少人．解：．18.7抽樣技術(shù)與統(tǒng)計(jì)估計(jì)基礎(chǔ)練習(xí)1．已知甲、乙兩名同學(xué)在五次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中的得分如下：甲：85，9l，90，89，95；乙：95，80，98，82，95．則甲、乙兩名同學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績（）．A．甲比乙穩(wěn)定 B．．甲、乙穩(wěn)定程度相同C．．乙比甲穩(wěn)定 D．．無法確定解：選項(xiàng)．2．假設(shè)吉利公司生產(chǎn)的“遠(yuǎn)景”、“金剛”、“自由艦”三種型號(hào)的轎車產(chǎn)量分別是輛、輛和輛，為檢驗(yàn)公司的產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)從這三種型號(hào)的轎車中抽取48輛進(jìn)行檢驗(yàn)，這三種型號(hào)的轎車依次應(yīng)抽?。ǎ瓵．16，16，16 B．8，30，10C．4，33，11 D．12，27，9解：選項(xiàng)．3．從個(gè)編號(hào)中抽取20個(gè)號(hào)碼入樣，采用系統(tǒng)抽樣的方法，則抽樣的間隔為（）．A．99 B． C．100 D．解：選項(xiàng)．4．某公司甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)分別有150個(gè)、120個(gè)、180個(gè)、150個(gè)銷售點(diǎn)．公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況，需從這600個(gè)銷售點(diǎn)中抽取一個(gè)容量為100的樣本，記這項(xiàng)調(diào)查為①；在丙地區(qū)中有20個(gè)特大型銷售點(diǎn)，要從中抽取7個(gè)調(diào)查其收入和售后服務(wù)等情況，記這項(xiàng)調(diào)查為②．則完成①、②這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是（）．A．分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法 B．分層抽樣法，簡單隨機(jī)抽樣法C．系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法 D．簡單隨機(jī)抽樣法，分層抽樣法解：選項(xiàng)．5．一個(gè)容量為40的樣本數(shù)據(jù)分組后組數(shù)與頻數(shù)如下：，6；，4；，10；，8；，8；，4．則樣本在上的頻率為（）．A． B． C． D．解：選項(xiàng)．6．由小到大排列的一組數(shù)據(jù)：，，，，，其中每個(gè)數(shù)據(jù)都小于，則樣本2，，，，，，的中位數(shù)可以表示為（）．A． B． C． D．解：選項(xiàng)．7．有一個(gè)簡單的隨機(jī)樣本：10，12，9，14，13，則樣本平均數(shù)__________，樣本方差__________．解：；．8．某學(xué)校共有教師490人，其中不到40歲的有350人，40歲及以上的有140人．為了了解普通話在該校中的推廣普及情況，用分層抽樣的方法，從全體教師中抽取一個(gè)容量為70人的樣本進(jìn)行普通話水平測試，其中在不到40歲的教師中應(yīng)抽取的人數(shù)為__________．解：50．9．為了了解中學(xué)生的體能情況，抽取了某校一個(gè)年級(jí)的部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖（如圖18—20），已知圖中從左到右前三個(gè)小組的頻率分別為，，，第一小組的頻數(shù)為5．則第四小組的頻率__________；參加這次測試的學(xué)生有__________人．解：，50．10．若取值為，，…，的頻率分別為，，…，，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為__________．解：…．11．某地派出所要了解轄區(qū)平均每戶的人口數(shù)，為方便實(shí)施抽樣，規(guī)定先從20個(gè)居委會(huì)中抽取4個(gè)居委會(huì)，再從人樣的居委會(huì)中等可能地抽取戶．為了保證轄區(qū)內(nèi)每戶入樣的概率相等，應(yīng)等可能抽樣還是不等可能抽樣？如果不是等可能抽樣，那么每個(gè)居委會(huì)人樣的概率應(yīng)是多少？現(xiàn)假定第個(gè)居委會(huì)有戶，，2，…，20，各不相同，試問每戶入樣的概率是多少？解：在抽居委會(huì)時(shí)，采用不等可能抽樣，抽樣的概率為；而在第個(gè)居委會(huì)抽取戶時(shí)應(yīng)是等可能地抽取，每戶入樣的概率為，，2，…，20，所以最終抽取樣本入樣的概率為，是等可能的．12．某地區(qū)為了了解知識(shí)分子的年齡結(jié)構(gòu)，隨機(jī)抽樣50名，其年齡分別如下：42，38，29，36，41，43，54，43，34，44，40，59，39，42，44，50，37，44，45，29，48，45，53，48，37，28，46，50，37，44，42，39，51，52，62，47，59，46，45，67，53，49，65，47，54，63，57，43，46，58．（1）列出樣本頻率分布表．（2）畫出頻率分布直方圖．（3）估計(jì)年齡在歲的知識(shí)分子所占的比例約是多少．解：（1）極差為，取組距為5，分為8組．樣本頻率分布表：分組 頻 數(shù) 頻 率 30.06 5 0.10 8 0.16 15 0.30 7 0.14 5 0.10 4 0.08 3 0.06合 計(jì) 50 1.00（2）樣本頻翠分布直方圖：略．（3）年齡在歲的知識(shí)分子約占．13．在生產(chǎn)過程中，測得纖維產(chǎn)品的纖度（表示纖維粗細(xì)的一種量）共有100個(gè)數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)分組如右表：分組頻數(shù)4253029102合計(jì)100（1）完成頻率分布表，并畫出頻率分布直方圖．（2）估計(jì)纖度落在中的概率及纖度小于的概率．（3）統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)問的中點(diǎn)值（例如區(qū)間的中點(diǎn)值是）作為代表．據(jù)此，估計(jì)纖度的期望．解：（1）頻率分布直方圖如題13解析圖．分組頻數(shù)頻率40.04250.25300.30290.29100.1020.02合計(jì)1001.00（2）纖度落在中的概率約為，纖度小于的概率約為．（3）總體數(shù)據(jù)的期望約為．14．對(duì)某種電子元件進(jìn)行壽命追蹤調(diào)查，情況如下：壽合個(gè)數(shù)2030804030（1）列出頻率分布表．（2）畫出頻率分布直方圖．（3）估計(jì)電子元件壽命在以內(nèi)的概率．（4）估計(jì)電子元件壽命在以上的概率．（5）估計(jì)總體的數(shù)學(xué)期望值．解：（1）樣本頻率分布表：分 組 頻 數(shù) 頻 率 20 0.10 30 0.15 80 0.40 40 0.20 30 0.15合 計(jì) 200 1.00（2）樣本頻率分布直方圖：略（3）．（4）．（5）．18.8概率的綜合應(yīng)用能力提高1．先后2次拋擲一枚骰子，將得到的點(diǎn)數(shù)分別記為，．（1）求直線與圓相切的概率．（2）將，，5的值分別作為三條線段的長，求這三條線段能圍成等腰三角形的概率．解：（1）先后2次拋擲一枚骰子，將得到的點(diǎn)數(shù)分別記為，，事件總數(shù)為．由于直線與圓相切的充要條件是，即，，．直線與圓相切的概率是．（2）先后2次拋擲一枚骰子，將得到的點(diǎn)數(shù)分別記為，，事件總數(shù)為．由于三角形的一邊長為5則當(dāng)時(shí)，，（1，5，5） 1種當(dāng)時(shí)，，（2，5，5） 1種當(dāng)時(shí)，，5，（3，3，5），（3，5，5） 2種當(dāng)時(shí)，，5，（4，4，5），（4，5，5） 2種當(dāng)時(shí)，，2，3，4，5，6，（5，l，5），（5，2，5），（5，3