2023屆甘肅省蘭州市第五十八中學教育集團高三下學期2月建標考試數(shù)學（文）試題

2023屆甘肅省蘭州市第五十八中學教育集團高三下學期2月建標考試數(shù)學（文）試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)交集的概念可求出結(jié)果.【詳解】由已知得，所以.故選：C.2．若復數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則復數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由復數(shù)除法的運算法則求出復數(shù)，然后根據(jù)共軛復數(shù)的定義即可求解.【詳解】解：由題意，，所以.故選：B.3．已知的一個極值點為，若，則實數(shù)的值為（

）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】先求導,令導數(shù)為零,即可求參.【詳解】已知,則,因為極值點為,可得,即得,則,則故選:.4．已知實數(shù)，滿足約束條件則的最小值是（

）A． B． C．3 D．5【答案】B【分析】作出可行域，根據(jù)幾何意義求解即可.【詳解】根據(jù)題意，畫出可行域，如圖中陰影部分所示.聯(lián)立方程得,所以.由，得.由圖知，當直線過點時，取得最小值，即.故選:B.5．執(zhí)行下邊的程序框圖，輸出的（

）A．35 B．56 C．84 D．120【答案】B【分析】根據(jù)程序框圖，模擬程序運行即可得出結(jié)果.【詳解】第一次執(zhí)行程序，，第二次執(zhí)行程序，，以此類推，第六次執(zhí)行程序，，，不滿足，輸出.故選：B6．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)誘導公式和二倍角公式直接計算即可.【詳解】．故選：A7．在正方體中，點P在正方形內(nèi)，且不在棱上，則正確的是（

）A．在正方形內(nèi)一定存在一點Q，使得B．在正方形內(nèi)一定存在一點Q，使得C．在正方形內(nèi)一定存在一點Q，使得平面D．在正方形內(nèi)一定存在一點Q，使得平面∥平面【答案】A【分析】對于A，找到特殊點，說明在正方形內(nèi)一定存在一點，使得可判斷A；對于B，通過作輔助線，利用平行的性質(zhì)，推出矛盾，可判斷B；利用線面垂直的性質(zhì)定理推出矛盾，判斷C；利用面面平行的性質(zhì)推出矛盾，判斷D.【詳解】對于A，假設(shè)P為正方形的中心，Q為正方形的中心，作，垂足分別為H，G，連接H，G，則為矩形，則，且H，G為的中點，連接，則，∵，∴，即，故A正確；對于B，假設(shè)在正方形內(nèi)存在一點Q，使得，作，垂足分別為E，F(xiàn)，連接，則為矩形，且與相交，∴，，∴，這與相交矛盾，故B錯誤；對于C，假設(shè)在正方形內(nèi)一定存在一點Q，使得平面，平面，則，又平面，故，而平面平面，故，而平面，故平面，∵平面，故C，D重合，與題意不符，故C錯誤．對于D，在正方形內(nèi)一定存在一點Q，使得平面∥平面，由于平面平面，平面平面，∴，而，則Q在上，這與題意矛盾，故D錯誤；故選：A．8．已知函數(shù)的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由于當時，，所以當時，求出的最小值，使其最小值小于等于1即可.【詳解】當時，，當時，，因為函數(shù)的值域為，所以，得，所以實數(shù)的取值范圍是，故選：D.9．沙漏是我國古代的一種計時工具，是用兩個完全相同的圓錐頂對頂疊放在一起組成的（如圖）．在一個圓錐中裝滿沙子，放在上方，沙子就從頂點處漏到另一個圓錐中，假定沙子漏下來的速度是恒定的．已知一個沙漏中沙子全部從一個圓錐中漏到另一個圓錐中需用時1小時．當上方圓錐中沙子的高度漏至一半時，所需時間為（

）A．小時 B．小時 C．小時 D．小時【答案】B【分析】根據(jù)題意，問題轉(zhuǎn)化為求，根據(jù)圓錐體積公式計算即可.【詳解】如圖，依題意可知，，所以，1小時小時．故選：B．10．已知函數(shù)的最小正周期為，且當時，函數(shù)取最小值，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則a的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)最小正周期求出，根據(jù)當時，函數(shù)取最小值，求出，從而，由得到，由單調(diào)性列出不等式，求出，得到答案.【詳解】因為，所以，故，所以，解得：，因為，所以只有當時，滿足要求，故，因為，所以，故，解得：，故a的最小值為.故選：A11．對于數(shù)列，定義為的“優(yōu)值”，現(xiàn)已知某數(shù)列的“優(yōu)值”，記數(shù)列的前n項和為，則（

）A．2023 B．2021 C．1011 D．1013【答案】D【分析】由題意，根據(jù)，得到，進而求得，作差求出通項，判斷為等差數(shù)列，即可求解.【詳解】由，得，

①，②①-②得，即，，當時，，即，也適合，綜上，，因為所以是以2為首項，公差為1的等差數(shù)列，所以，所以.故選：D.12．已知，分別是雙曲線的左、右焦點，直線l經(jīng)過且與C左支交于P，Q兩點，P在以為直徑的圓上，，則C的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)P在以為直徑的圓上，得到，設(shè)，，得到，由雙曲線定義得到，求出，由勾股定理求出，從而求出離心率.【詳解】不妨設(shè)，，因為P在以為直徑的圓上，所以，即，則．因為Q在C的左支上，所以，即，解得，則．因為，所以，即，故，故．故選：A二、填空題13．已知向量，，且，則______．【答案】【分析】根據(jù)向量垂直，向量數(shù)量積的坐標表示及向量數(shù)量積的運算律即得.【詳解】向量，，且，，則，故答案為：．14．在區(qū)間上任取一個實數(shù)．使得的概率為______________．【答案】【分析】根據(jù)幾何概型，由區(qū)間長度比求解即可.【詳解】由可得，即滿足條件的，由幾何概型可得，.故答案為：15．蘭州黃河樓，位于黃河蘭州段大拐彎處，是一座講述黃河故事的人文地標，是傳承和記錄蘭州文化的精神產(chǎn)物，展現(xiàn)了甘肅濃厚的歷史文化底蘊及黃河文化的獨特魅力．某同學為了估算該樓的高度，采用了如圖所示的方式來進行測量：在地面選取相距90米的C、D兩觀測點，且C、D與黃河樓底部B在同一水平面上，在C、D兩觀測點處測得黃河樓頂部A的仰角分別為，并測得，則黃河樓的估計高度為_____________米．【答案】90【分析】根據(jù)仰角分別得出,，在中由余弦定理求解即可.【詳解】在中，，所以，在，，所以，即，在中，，，由余弦定理，，即，解得或（舍去），即黃河樓的估計高度為米.故答案為：16．設(shè)函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，．若，則_____________．【答案】【分析】由題設(shè)條件得與，利用賦值法得到，從而求得當時，，再由上述兩等式推得是以4為周期的函數(shù)，由此可求得的值.【詳解】因為為奇函數(shù)，則，令，則，故，則，令，則，又因為為偶函數(shù)，則，令，則，令，則因為，即，所以，聯(lián)立，解得，所以當時，.又因為，即，則，所以函數(shù)是以4為周期的函數(shù)，故.故答案為：.三、解答題17．在數(shù)列中，．(1)求證：是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式．(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項的和．【答案】(1)證明見解析，；(2)【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系式，由等差數(shù)列的定義、通項公式求解即可；（2）根據(jù)裂項相消法求和即可得解.【詳解】（1）因為，所以，否則與矛盾，故，又，∴數(shù)列是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以，因此．（2）由（1）知，∴.18．近年來，隨著社會對教育的重視，家庭的平均教育支出增長較快，某機構(gòu)隨機調(diào)查了某市2016-2022年的家庭教育支出（單位：萬元），得到如下折線圖.（附：年份代碼1-7分別對應2016-2022年）.經(jīng)計算得，，，，.(1)用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，求出相關(guān)系數(shù)r，并說明與相關(guān)性的強弱；（參考：若，則線性相關(guān)程度一般，若，則線性相關(guān)程度較高，計算r時精確度為0.01）(2)求出與的回歸直線方程；(3)若2024年該市某家庭總支出為10萬元，預測2024年該家庭的教育支出.附：①相關(guān)系數(shù)；②在回歸直線方程，，.【答案】(1)，線性相關(guān)程度較高(2)(3)萬元.【分析】（1）由公式計算相關(guān)系數(shù)并判斷相關(guān)性即可；（2）由公式算，再由算即可；（3）2024年對應的年份代碼，代入回歸方程即可得到教育支出占比，即可預測2023年該家庭的教育支出【詳解】（1）解：由題意得，，則，故，故，∵，∴與高度相關(guān)，即與的相關(guān)性很強．（2）解：根據(jù)題意，得，，∴關(guān)于的回歸直線方程為．（3）解：由題知，2024年對應的年份代碼，所以，當時，，所以，預測2024年該家庭的教育支出為（萬元）．19．如圖，已知四棱錐，底面是邊長為2的菱形，直線平面，，E是的中點．(1)證明：；(2)若，點M在平面內(nèi)，直線平面，求四棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明，再由線面垂直的判定定理證明平面，可得線線垂直；（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可證面，得出重合，由相似可得，據(jù)此求出到底面的距離，再由棱錐體積公式求解即可.【詳解】（1）由四邊形菱形，，可得為正三角形．因為E為的中點，所以．又，因此．因為平面平面，所以．而平面平面且，所以平面．又平面．所以．（2）連接交于O，連接，如圖，因為，平面，所以面，又面所以面面，過A作交于點N，則面，由平面知重合，因為，所以，又，所以，因此，∴點M到底面的距離為，又∴.20．設(shè)粗圓的左焦點為F，上頂點為P，離心率為．O是坐標原點，且．(1)求橢圓C的方程；(2)A、B分別是橢圓長軸的左右兩個端點，過點的直線交橢圓于M、N兩點（與A、B均不重合），設(shè)直線的斜率分別是．討論是否為定值，若是求出定值，若不是請說明理由．【答案】(1)(2)是，．【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率及建立方程求出即可得解；（2）設(shè)直線方程，聯(lián)立橢圓方程，消元后由根與系數(shù)關(guān)系，斜率公式化簡即可得出.【詳解】（1）設(shè)橢圓C的焦距為，則，所以因為，所以，又，所以，即，所以所以（2）由題意設(shè)直線，聯(lián)立，消去x，得，則，所以.21．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的圖像在點處的切線方程；（2）若，且對任意恒成立，求的最大值.【答案】（1）；（2）3.【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義求解即可；（2）根據(jù)題意得對任意恒成立，進而令，求導研究函數(shù)最值即可.【詳解】解：（1）因為，所以，函數(shù)的圖像在點處的切線方程；（2）由（1）知，，所以對任意恒成立，即對任意恒成立.令，則，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.因為，所以方程在上存在唯一實根，且滿足.當時，，即，當時，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以.所以.故整數(shù)的最大值是3.【點睛】本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集．22．在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）.以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為.(1)求曲線C的極坐標方程；(2)設(shè)射線的極坐標方程為，射線與曲線C交于兩點O、A，與直線l交于點B，且，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）參數(shù)方程與極坐標方程的相互轉(zhuǎn)化，先將參數(shù)方程化為直角坐標方程，將代入化簡即可；（2）利用極坐標方程聯(lián)立解出,代入化簡求解即可.【詳解】（1）曲線C的參數(shù)方程：（為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為，即，根據(jù)，轉(zhuǎn)換為極坐標方程為.（2）將射線的極