2023屆遼寧省教研聯(lián)盟高三第一次調(diào)研測試（一模）數(shù)學(xué)試題

2023屆遼寧省教研聯(lián)盟高三第一次調(diào)研測試（一模）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)并集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)榧?，，則.故選：B.2．設(shè)，為兩個(gè)不同的平面，則的一個(gè)充要條件可以是（

）A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B．，垂直于同一個(gè)平面C．，平行于同一條直線 D．，垂直于同一條直線【答案】D【分析】根據(jù)面面平行的判定定理逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，內(nèi)有無數(shù)條直線與平行不能得出內(nèi)的所有直線與平行才能得出，故A錯(cuò)；對(duì)于B、C，垂直于同一平面或平行于同一條直線，不能確定的位置關(guān)系，故B、C錯(cuò)；對(duì)于D，垂直于同一條直線可以得出，反之當(dāng)時(shí)，若垂于某條直線，則也垂于該條直線.故選：D.3．下列函數(shù)中，是偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞增的為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別分析函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可選出結(jié)果.【詳解】解：為奇函數(shù)，，為偶函數(shù)，但在單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞減，而為偶函數(shù)且在單調(diào)遞增.故選：A4．設(shè)是圓上兩點(diǎn)，若，則（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】解法一：設(shè)中點(diǎn)為，利用向量加法和數(shù)量積的運(yùn)算律求解；解法二：直接利用向量數(shù)量積的計(jì)算公式結(jié)合三角函數(shù)關(guān)系求解；解法三：利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解.【詳解】解法一：設(shè)中點(diǎn)為，則，所以.解法二：.解法三：設(shè)中點(diǎn)為，以為軸正方向，線段的中垂線為軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，所以，，因此.故選：C5．若函數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】將和分別代入，聯(lián)立即可求解.【詳解】代入可得①，代入可得②聯(lián)立①②解得，故選：B6．已知角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小正值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過，用誘導(dǎo)公式將點(diǎn)的坐標(biāo)化為，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可寫出，判斷選項(xiàng)即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以，而，所以角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)可寫為：，所以，因此的最小正值為.故選：D7．口袋中裝有大小重量完全相同的2個(gè)紅球,3個(gè)白球，從口袋中一次摸出一個(gè)球，摸出的球不再放回，如果2個(gè)紅球全部被摸出，就停止摸球，則恰好摸球三次就停止摸球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】考慮摸球三次就停止摸球的情況，可分為兩類，第一次和第三次摸到紅球，或者第二次和第三次摸到紅球，根據(jù)互斥事件的概率加法公式即可求得答案.【詳解】根據(jù)題意恰好摸球三次就停止摸球的情況為第一次和第三次摸到紅球，或者第二次和第三次摸到紅球，故概率為，故選：A另解：摸球三次結(jié)果的所有可能情形有種，這三次符合題意的摸球可以分為兩類，第一類為第一次第三次摸到紅球，可能情形有種，第二類為第二次和第三次摸到紅球，可能情形有種，于是摸球三次就停止摸球的概率為，故選：A.8．若，，，則（

）A． B． C．· D．【答案】A【分析】設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可得在單調(diào)遞增，可判斷，設(shè)，通過導(dǎo)數(shù)得到其單調(diào)性即可得到，即可求解【詳解】設(shè)，則當(dāng)時(shí)，.因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)），所以，于是在單調(diào)遞增，所以，可得.設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，所以，可得.綜上，.故選：A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)是基本的解題思路，因此觀察題目所給的數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，以及數(shù)與數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，合理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.二、多選題9．隨機(jī)變量且，隨機(jī)變量，若，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)正態(tài)分布的期望方差性質(zhì)可判斷A、B，根據(jù)及二項(xiàng)分布期望公式可求出，根據(jù)二項(xiàng)分布方差的計(jì)算公式可求出，進(jìn)而求得.【詳解】解：因?yàn)榍?，所以，故，，選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以，解得，選項(xiàng)C正確；，選項(xiàng)D正確.故選：ACD.10．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和是，若，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】設(shè)等差數(shù)列公差為d，由題目條件，可得，由此可得各選項(xiàng)正誤.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d，則由題目條件有：.A選項(xiàng)，，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，故B正確；C選項(xiàng)，，故C正確；D選項(xiàng)，注意到，，又由知為單調(diào)遞減數(shù)列，則，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11．拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，經(jīng)過上的點(diǎn)作的切線m，m與y軸、l、x軸分別相交于點(diǎn)N、P、Q，過M作l垂線，垂足為，則（

）A． B．為中點(diǎn)C．四邊形是菱形 D．若，則【答案】BCD【分析】設(shè)與軸交點(diǎn)為，則未必是的中點(diǎn)，即可判斷A，利用韋達(dá)定理表示出的坐標(biāo)可判斷B，根據(jù)菱形的判定定理可判斷C，利用三角形的全等關(guān)系可判斷D.【詳解】設(shè)，可知斜率存在，可設(shè)，將代入可得，由，即可得，因此，令解得，所以，又因?yàn)?，，要使，則必需為中點(diǎn)，則必有，即，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，才成立，無法滿足任意性，A錯(cuò)誤；中令，于是，因?yàn)?，，所以為中點(diǎn)，選項(xiàng)B正確.因?yàn)?，所以是的垂直平分線，而軸，所以四邊形是菱形，選項(xiàng)C正確；，由，可得，所以.因?yàn)椋?，選項(xiàng)D正確.故選：BCD.12．若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用不等式的性質(zhì)、基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性判斷選項(xiàng)中的結(jié)論是否正確.【詳解】因?yàn)?，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，取等號(hào)，選項(xiàng)B正確；因?yàn)?，所以，可得，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；設(shè)，則D等價(jià)于，等價(jià)于，因?yàn)閱握{(diào)遞增，，所以，所以，選項(xiàng)D正確.故選：BD.三、填空題13．若是純虛數(shù)，，則的實(shí)部為______.【答案】1【分析】依題意有，代入中化簡可求實(shí)部.【詳解】是純虛數(shù)，且，則有，故，實(shí)部為1.故答案為：1.14．中，，D在上，，，則______.【答案】【分析】方法一：根據(jù)的面積等于面積與面積之和即可求解；方法二：利用直角三角形邊與角的關(guān)系表示出，再用正弦定理表示出即可求解.【詳解】解法1：的面積等于面積與面積之和，所以，即.于是.解法2：直角中，因?yàn)?，所?因?yàn)椋?在中，由正弦定理可得，從而.所以.于是.故答案為：.15．正四面體的棱中點(diǎn)為O，平面截球所得半徑為的圓與相切，則球的表面積為______.【答案】【分析】中點(diǎn)為，依題意為球O的半徑，設(shè)正四面體的棱長為a，，由平面截球所得的圓半徑為，求出a，可解球的表面積.【詳解】中點(diǎn)為，連接，如圖所示：由和為等腰三角形，所以O(shè)E為AB和CD的公垂線段；設(shè)正四面體的棱長為a，中，，中，，即球O的半徑，設(shè)中心為，由對(duì)稱性可知球截平面所得圓的圓心在上，平面且平面，則為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)?，由可?于是球的半徑，球的表面積為.故答案為：.16．過雙曲線焦點(diǎn)的直線與的兩條漸近線的交點(diǎn)分分別為M、N，當(dāng)時(shí)，.則的離心率為______.【答案】【分析】依題意，垂直于漸近線，結(jié)合圖形在直角三角形利用三角函數(shù)構(gòu)造齊次式求的離心率.【詳解】解法1：雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為，因?yàn)?，所以垂直于漸近線，如圖所示，則，，，所以的離心率.因?yàn)?，所以?過作另一條漸近線的垂線，垂足為，則，在直角中，.因?yàn)?，因?yàn)?，所?因此的離心率為.解法2：因?yàn)?，所以垂直于漸近線，則，，因?yàn)椋?，在中，，在中，，，，可得，則有，即，所以C的離心率.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由焦點(diǎn)到漸近線的距離為，可得垂直于漸近線，這是本題的著手點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合在直角三角形中利用三角函數(shù)構(gòu)造齊次式可求的離心率.四、解答題17．已知函數(shù)圖像相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為.(1)求值；(2)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】(1)(2)和【分析】（1）由倍角公式和輔助角公式化簡函數(shù)解析式，利用周期求值；（2）利用整體代入法求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】（1），因?yàn)閳D像的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，所以周期為，由，可得；（2）由（1）知，.由，可得.因?yàn)?，所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為和.18．一所中學(xué)組織學(xué)生對(duì)某線下某實(shí)體店2022年部分月份的月利潤情況進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到的數(shù)據(jù)如下：月份24681012凈利潤（萬元）根據(jù)散點(diǎn)圖，準(zhǔn)備用①或②建立關(guān)于的回歸方程.(1)用線性相關(guān)系數(shù)說明上面的兩種模型哪種適宜作為關(guān)于的回歸方程?(2)由參考數(shù)據(jù)，根據(jù)（1）的判斷結(jié)果，求關(guān)于的回歸方程（精確到0.1）.附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（，2，3，?，n），其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.相關(guān)系數(shù).參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，，，.【答案】(1)模型①(2)【分析】(1)計(jì)算相關(guān)系數(shù)比較大小即可確定更適宜的模型；(2)利用最小二乘法相關(guān)公式即可求解.【詳解】（1）由題意的線性相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù).的相關(guān)系數(shù).所以，因此模型①擬合效果更好.（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果，計(jì)算與由參考數(shù)據(jù)，所以.于是關(guān)于的回歸方程①為.19．如圖，四棱錐中，底面是菱形，底面，，M為的中點(diǎn)，且平面平面.(1)證明：；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）過做，由面面垂直性質(zhì)定理可得平面，即，由底面，可得，再根據(jù)線面垂直判定定理可得平面，進(jìn)而得；（2）由（1）結(jié)論建立合適的空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)，根據(jù)長度角度關(guān)系，找出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求得平面和平面的法向量，根據(jù)法向量夾角的余弦值的絕對(duì)值即為二面角大小的余弦值的絕對(duì)值，進(jìn)而求出其正弦值即可.【詳解】（1）解：因?yàn)榈酌?，所以，在平面?nèi)過做，垂足為，如圖所示：因?yàn)槠矫嫫矫?，交線為，且有，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，從而，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，于是；?）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，在平面中，過做平行于的直線為軸，記，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)榈酌媸橇庑?，且M為的中點(diǎn)，所以，由（1）知，所以，所以，又有，故可得，，，，于是，，，設(shè)為平面的法向量，則，即，取，可得；設(shè)為平面的法向量，則，即，取，可得，因?yàn)?，所以二面角的正弦值?20．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)函數(shù)，P，Q是曲線上的不同兩點(diǎn)，直線的斜率為，曲線在點(diǎn)處P，Q切線的斜率分別為，，證明：.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)證明見解析【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)判斷單調(diào)性即可；（2）設(shè)出P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，分別寫出，，的關(guān)于P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)的式子，再代入中化簡至關(guān)于的式子，對(duì)進(jìn)行換元，根據(jù)的范圍進(jìn)行放縮，再根據(jù)（1）中的結(jié)論即可證明.【詳解】（1）解：因?yàn)椋x域?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）證明：設(shè)，，，因?yàn)椋?，則，，，于是，即，由，所以上述不等式等價(jià)于，故，因?yàn)?，所以，設(shè)，，則，由（1）可知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，所以，故，即成立，得證.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：該題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中難題，關(guān)于雙變量問題的思路有：（1）根據(jù)題意建立關(guān)于的等式或不等式；（2）構(gòu)造關(guān)于或的一元函數(shù)，或令構(gòu)造關(guān)于的一元函數(shù)；（3）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，并借助于單調(diào)性，達(dá)到不等式的證明或求參數(shù)范圍.21．等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，數(shù)列中，，，，已知數(shù)列為等比數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記為的前項(xiàng)和，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）設(shè)，根據(jù)數(shù)列單調(diào)性判斷方法確定的單調(diào)性，從而求的最大值.【詳解】（1）解：由題意成等比數(shù)列，所以，則．因?yàn)?，所以，故?shù)列的公比，所以．又，所以．（2）解：由（1）可知，，設(shè)，則．設(shè)，則．故單調(diào)遞減，因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．于是的最大值為．22．已知橢圓離心率為，經(jīng)過的左焦點(diǎn)斜率為1的直線與軸正半軸相交于點(diǎn)，且.(1)求的方程；(2)設(shè)M，N是上異于的兩點(diǎn)，若，求面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率和直線斜率即可求出，則得到值，即得到橢圓方程；（2）設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程得，得到韋達(dá)定理式，再利用得到直線過定點(diǎn)，從而得到，通過換元和導(dǎo)數(shù)即可求出面積最值.【詳解】（1）由已知，可得，.