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高等數學說課稿第1頁，共12頁，2023年，2月20日，星期四一.引論二.經典回顧三.路徑積分的基本思想四.路徑積分的計算五.從路徑積分到薛定諤方程六.路徑積分的應用第2頁，共12頁，2023年，2月20日，星期四一.引論量子化的三種主要方式：波動力學，矩陣力學，路徑積分。

第3頁，共12頁，2023年，2月20日，星期四二.經典回顧在經典力學中，用坐標和動量來描述宏觀粒子在某一時刻的狀態(tài).在時空坐標中，當粒子從時空點a(r1,t1)到達時空點b(r2,t2)時，a與b兩點之間有許多通道，而宏觀粒子只走使作用量S取極小值的路徑.這就是經典力學中的最小作用量原理.第4頁，共12頁，2023年，2月20日，星期四三.路徑積分的基本思想粒子走各種路徑的可能性都是存在的，對應a、b兩時空點之間的每條路徑r(t)都有一概率波幅Φ[r(t)]（概率波幅的絕對值平方｜Φ［r(t)｜2反映概率)，對各路徑均應等權地加以考慮.粒子從時空點a出發(fā)到達時空點b的概率波幅是連接a、b兩點之間所有路徑的概率波幅之和Φ[r(t)。每條路徑對總概率波幅所貢獻的概率是相同的，但是各路徑的概率波幅的相位不同。第5頁，共12頁，2023年，2月20日，星期四概率波的相位與經典力學中作用量S成正比，即第6頁，共12頁，2023年，2月20日，星期四粒子從一個確定的時空點a出發(fā)，到達時空點b的概率波幅等于a、b二點之間沿所有路徑的概率波幅的總和，即K(b,a)就是費曼路徑積分理論中的傳播子。t時刻粒子出現在r的概率

第7頁，共12頁，2023年，2月20日，星期四四.路徑積分的計算求粒子在某一時刻在空間某一位置的概率波幅，在費曼路徑積分理論中就是求傳播函數問題。由于a、b兩點之間的各種可能的路徑是連續(xù)變化、不可數的，因此對a、b兩點之間所有路徑概率波幅求和就成了對所有連續(xù)變化路徑的積分，故稱為路徑積分，即第8頁，共12頁，2023年，2月20日，星期四把時間分為N個小段，當N足夠大時每段可以近似為勻速運動。于是對不同路徑的積分轉化為對各個時間段的坐標分別積分。第9頁，共12頁，2023年，2月20日，星期四五.從路徑積分到薛定諤方程考慮t+ε(ε→0+)時刻粒子的狀態(tài)φ（r,t+ε）：考慮到ε→0+，傳播子可以表示成第10頁，共12頁，2023年，2月20日，星期四把積分變量改為η，并把被積函數對η作Taylor展開，保留一極小量得：令即：第11頁，共12頁，2023年，2月20日，星期四六.路徑積分的應用路徑積分可以用來解釋許多物理現象，例如衍射、最短光程原理、惠更斯-

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