2022-2023學(xué)年福建省福州高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期第三學(xué)段考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年福建省福州高一下學(xué)期第三學(xué)段考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】先求出，即可根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，得出答案.【詳解】由已知可得，，所以，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限.故選：A.2．化簡(jiǎn)的結(jié)果等于（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】運(yùn)用向量加法法則及相反向量計(jì)算即可.【詳解】，故選：B.3．已知，則（

）A．2 B．5 C．6 D．8【答案】B【分析】利用“齊次式”和條件可直接求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：B.4．如圖，在△OAB中，點(diǎn)P在邊AB上，且．則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算求得正確答案.【詳解】由于，所以，所以.故選：B二、填空題5．已知向量，．若，則實(shí)數(shù)k的值為________．【答案】8【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合平行滿足的坐標(biāo)關(guān)系即可求解.【詳解】由題意可知，由可得，故答案為：86．一艘船在靜水中的航行速度為10km/h，河水的流速為4km/h，則船的實(shí)際航行的速度（單位：km/h）取值范圍________．【答案】【分析】由向量的模的性質(zhì)求解.【詳解】由公式及等號(hào)成立的條件可知，當(dāng)船速與水速方向相同時(shí)，船的實(shí)際航行的速度最大，為10+4=14（km/h）；當(dāng)船速與水速方向相反時(shí)，船的實(shí)際航行的速度最小，為10-4=6（km/h）.故答案為：三、解答題7．已知復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）.(1)求復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)和模；(2)若.求a，b的值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用復(fù)數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)，從而求得的共軛復(fù)數(shù)以及模.（2）根據(jù)復(fù)數(shù)相等列方程，化簡(jiǎn)求得的值.【詳解】（1），所以z的共軛復(fù)數(shù)，.（2）因?yàn)?，即，也即，所以，解?8．在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、．若，，．(1)求角；(2)邊上高的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理計(jì)算可得；（2）由（1）可得，即可得到三角形為等腰三角形，再由等面積法計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)椋?，由正弦定理，即，所以，又，所?（2）又（1）可證，所以，則，所以，所以.四、單選題9．設(shè)，則的一個(gè)可能值是（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)輔助角公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而可求解.【詳解】由于，又，所以，所以，所以，，故選：B10．已知曲線：，：，則下面結(jié)論正確的是（

）A．把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線B．把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C．把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線D．把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線【答案】C【分析】化簡(jiǎn)可得.然后根據(jù)圖象的變換，逐項(xiàng)求出變換后的解析式，即可得出答案.【詳解】因?yàn)?對(duì)于A項(xiàng)，把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.11．已知是的外心，且滿足，若在上的投影向量為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意可得是的中點(diǎn)，即可得到是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，過點(diǎn)向作垂線，垂足為，連接，即可得到，從而得到，再由銳角三角函數(shù)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，即，所以三點(diǎn)共線且是的中點(diǎn)，因?yàn)槭堑耐庑?，所以是圓的直徑，故是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，過點(diǎn)向作垂線，垂足為，連接，如圖所示：因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛?，所以在上的投影向量為，而，則，因?yàn)?，所?故選：D.12．已知邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD內(nèi)接于圓O，點(diǎn)P是正方形ABCD四條邊上的動(dòng)點(diǎn)，MN是圓O的一條直徑，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知可求得，進(jìn)而根據(jù)圖象可推得，求出的范圍，即可得出答案.【詳解】設(shè)圓的半徑為，則，所以.如圖，根據(jù)向量加法的三角形法則可知，，且，所以.由已知可得，正方形上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，所以，所以.故選：D.五、多選題13．已知復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則的值可以為（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)題目條件與余弦二倍角公式得到，,求出或，結(jié)合，求出的值.【詳解】由條件知，，∴，∴或，∵，∴，或．故選：ACD14．在中，若，，，則a的值可以為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】AC【分析】根據(jù)條件，利用余弦定理即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，，，由余弦定理，得，即，解得或，故選：AC.六、單選題15．在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．若，則的面積是 D．若，則外接圓半徑是【答案】C【分析】根據(jù)題意，由正弦定理可判定A錯(cuò)誤；由余弦定理求得，結(jié)合向量的數(shù)量積的定義，可判定B錯(cuò)誤；由三角形的面積公式，可判定C正確；由正弦定理求得外接圓的半徑，可判定D錯(cuò)誤.【詳解】由題意，在中，滿足，對(duì)于A中，由正弦定理，所以，所以A不正確；對(duì)于B中，設(shè)三邊的長(zhǎng)分別為，由余弦定理得，所以，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，若，可得，可得，則，所以的面積為，所以C正確；對(duì)于D中，設(shè)三邊的長(zhǎng)分別為，由，即，可得，所以，設(shè)外接圓的半徑為，則，所以，所以D錯(cuò)誤.故選：C.七、多選題16．給出下列命題，其中正確的選項(xiàng)有（

）A．若非零向量，滿足，則與的夾角為B．若非零向量，滿足，則與共線且同向C．在中，若，則為等腰三角形D．若單位向量，的夾角為，則當(dāng)取最小值時(shí)，【答案】BC【分析】選項(xiàng)A：根據(jù)得到以，，為三邊的三角形為等邊三角形，即可判斷；選項(xiàng)B：把平方得到，然后根據(jù)，得出，從而得出；選項(xiàng)C：根據(jù)題意可得向量所在的直線為角的角平分線，再根據(jù)條件，即可判斷為等腰三角形，選項(xiàng)D：利用平方法得到，從而判斷出時(shí)取最小值；【詳解】對(duì)于A：非零向量，滿足，則以，，為三邊的三角形為等邊三角形，所以與的夾角都為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：對(duì)非零向量，，，若使成立，即成立，則，即，所以與共線且同向，故B正確；對(duì)于C：由于表示向量方向上的單位向量，表示向量方向上的單位向量，所以向量所在的直線為角的角平分線，因?yàn)?，所以，所以，故為等腰三角形，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)閱挝幌蛄?、的夾角為，所以，所以時(shí)，取最小值，故D錯(cuò)誤；故選：BC八、填空題17．如圖，作用于同一點(diǎn)O的三個(gè)力，，處于平衡狀態(tài)，已知，，與的夾角為，則________．【答案】【分析】先根據(jù)三力平衡，得到，再由向量模的計(jì)算公式，即可得出結(jié)果．【詳解】解：因?yàn)?，，三個(gè)力處于平衡狀態(tài)，所以，所以，所以,故答案為：.18．已知函數(shù)，，若當(dāng)時(shí)，總有，則實(shí)數(shù)t的最小值為________．【答案】/【分析】由已知可推得，原不等式可化為.構(gòu)造，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性，即可得出實(shí)數(shù)t的取值范圍，即可得出答案.【詳解】由已知可得，.由可得，.令，所以有.要使當(dāng)時(shí)，恒成立，則在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增.又在上單調(diào)遞增，所以由可得，，所以，所以實(shí)數(shù)t的最小值為.故答案為：.九、解答題19．已知，，．(1)若，夾角為，求；(2)設(shè)，若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的定義求出，再根據(jù)及數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得；（2）依題意可得，，將兩式兩邊平方再相加即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，，又，夾角為，所以，所以.（2）因?yàn)?，且，所以，所以，，所以，，所以，即，即，所?20．在①，，；②；③三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解決該問題．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且滿足________．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．(1)求角；(2)若，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）選①：由，得到，利用正弦定理和三角形內(nèi)角性質(zhì)化簡(jiǎn)得到，求得，即可求解；選②：由正弦定理和三角函數(shù)的性質(zhì)得到，得到，即可求解；選③：由余弦定理求得，即可求解；（2）由余弦定理求得，結(jié)合基本不等式求得，結(jié)合面積公式，即可求解.【詳解】（1）解：選①：因?yàn)?，由，可得，由正弦定理?，因?yàn)?，可得，所以，又因?yàn)椋傻?，所以，因?yàn)?，所?選②：因?yàn)?，由正弦定理得，又因?yàn)?，可得，則，即，可得，因?yàn)?，所?選③：因?yàn)?，可得，由余弦定理得，又因?yàn)?，所?（2）解：因?yàn)椋遥捎嘞叶ɡ碇?，即，可得，又由，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以的面積，即的面積的最大值為.21．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，且，，．(1)若，求的值；(2)若BC邊上點(diǎn)E滿足，，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理即可求解，（2）由正弦定理可得的值，進(jìn)而根據(jù)向量的模長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】（1）在中，點(diǎn)在邊上，，，，，．由正弦定理可得（2）由（1）知，且為鈍角三角形，由得，,，，在中,由正弦定理得，解得,所以，，所以22．在路邊安裝路燈，燈柱AB與地面垂直（滿足），燈桿BC與燈柱AB所在平面與道路垂直，且，路燈C采用錐形燈罩，射出的光線如圖中陰影部分所示，已知∠ACD是固定的，路寬．設(shè)燈柱高，．(1)經(jīng)測(cè)量當(dāng)，時(shí)，路燈C發(fā)出錐形燈罩剛好覆蓋AD，求∠ACD；(2)因市政規(guī)劃需要，道路AD要向右拓寬6m，求燈柱的高h(yuǎn)（用來表示）；(3)在（2）的條件下，若燈桿BC與燈柱AB所用材料相同，記此用料長(zhǎng)度和為，求S關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最小值．【答案】(1)(2)(3)，最小值為.【分析】（1）由余弦定