第13等三角形1352線段垂直平分

13.5.2線段垂直平分線典型例題精析

例1如圖13-5-3，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，△ABC與△ABD的周長分別為18cm和12cm，求線段AE的長.解：∵DE是AC的垂直平分線，∴AD=DC，AE=EC.∴C△ABC=AB+AC+BC=18cm，即AB+AC+BD+DC=18cm.①又∵C△ABD=AB+AD+BD=12cm，即AB+DC+BD=12cm.②①-②得AC=6cm，∴AE=AC=3cm.1．(2016天門)如圖13-5-4，在△ABC中，AC的垂直平分線分別交AC、BC于E、D兩點，EC=4，△ABC的周長為23，則△ABD的周長為( ) A．13 B．15 C．17 D．19變式練習B2．如圖13-5-5，點P是∠AOB外的一點，點M、N分別是∠AOB兩邊上的點，點P關于OA的對稱點Q恰好落在線段MN上，點P關于OB的對稱點R落在MN的延長線上．若PM=2．5cm，PN=3cm，MN=4cm，則線段QR的長為( ) A．4．5cm B．5．5cm C．6．5cm D．7cmA3．如圖13-5-6，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，則∠CAF的度數(shù)為

．22.5°典型例題精析例2如圖13-5-7，已知AB∥CD，∠BAE=∠DCF，AC、EF相交于點M，且AM=CM． (1)求證：AE∥CF；證明：(1)∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA.又∵∠BAE=∠DCF，∴∠EAM=∠FCM，∴AE∥CF. (2)若AM平分∠FAE，求證：FE垂直平分AC．(2)∵AM平分∠FAE，∴∠FAM=∠EAM.又∵∠EAM=∠FCM，∴∠FAM=∠FCM，∴△FAC是等腰三角形.又∵AM=CM，∴FM⊥AC，即EF垂直平分AC．變式練習4．如圖13-5-8，AC=AD，BC=BD，則有( ) A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB C.AB與CD互相垂直平分 D.CD平分∠ACBA5．如圖13-5-9，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，以點A為頂點，AC為一邊，在△ABC外部作∠CAE=∠B，邊AE交邊BC延長線于點E.

求證：點E在線段AD的垂直平分線上．解：∵AD為∠BAC的平分線，∴∠BAD=∠DAC.∵∠ADE=∠BAD+∠B，∠DAE=∠DAC+∠CAE，∠B=∠CAE，∴∠ADE=∠DAE，∴AE=DE，∴點E在線段AD的垂直平分線上.1．(2016畢節(jié))到三角形三個頂點的距離都相等的點是這個三角形的( ) A．三條高的交點 B．三條角平分線的交點 C．三條中線的交點 D．三條邊的垂直平分線的交點基礎過關精練D2．如圖13-5-10，在△ABC中，AC=4cm，線段AB的垂直平分線交AC于點N，△BCN的周長是7cm，則BC的長為( ) A．1cm B．2cm C．3cm D．4cmC3．如圖13-5-11，線段MN與線段AB相交于點O，給出下列條件：

①MN=NB,OA=OB; ②MA=MB,NA=NB; ③∠AMO=∠BMO,∠MAO=∠MBO; ④∠AMO=∠BMO,∠ANO=∠BNO.

其中，能說明MN是AB的垂直平分線的是( ) A.①② B.①③ C.②③④ D.①②③④C4．如圖13-5-12，在△ABC中，BC邊的垂直平分線交BC于點D，交AB于點E．若CE平分∠ACB，∠B=40°，則∠A的度數(shù)為

．60°5．如圖13-5-13，在△ABE中，AD⊥BE于點D，C是BE上一點，BD=DC，且點C在AE的垂直平分線上.若△ABC的周長為22cm，則DE的長為

cm．116．如圖13-5-14，D是線段AC、AB的垂直平分線的交點，若∠ACD=30°，∠BAD=40°，則∠BCD的度數(shù)為

.20°7．如圖13-5-15，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線交AB于點D，垂足為點E． (1)若∠A=60°，則∠DCB=

，∠ADC=

； (2)若∠B=30°，BD=5，求△ACD的周長．解：∵BC的垂直平分線交AB于點D，垂足為點E，∠B=30°，BD=5，∴CD=BD=5，∠DCB=30°．∵∠ACB=90°，∴∠A=90°-30°=60°，∠ACD=90°-∠DCB=90°-30°=60°，∴△ACD是等邊三角形，∴△ACD的周長為3CD=3×5=15．30°60°8．如圖13-5-16，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D是BC的中點，CE⊥AD，垂足為點E，BF∥AC且交CE的延長線于點F.求證：AB垂直平分DF.證明：∵∠ACE+∠DCE=90°,∠ACE+∠CAE=90°,∴∠DCE=∠CAE.又∵AC=BC，BF∥AC，∴∠CBF=∠ACD=90°，∴△ACD≌△CBF，∴CD=BF，∴BD=BF.又∵∠CBA=∠FBA=45°，∴AB垂直平分DF(三線合一).9．如圖13-5-17，銳角三角形ABC中，直線l為BC邊的垂直平分線，射線m平分∠ABC，l與m相交于P點．若∠A=60°，∠ACP=24°，則∠ABP等于( ) A．24° B．30° C．32° D．42°10．在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為50°，則∠B等于

.能力提升演練C70°或20°11．如圖13-5-18，已知△ABC中，∠BAC=120°,分別作AC、AB邊的垂直平分線PM、PN交于點P，分別交BC于點F和點E.則下列說法：

①∠EPF=60°; ②∠EAF=60°; ③點P到點B和點C的距離相等；

④PE=PF.

正確的說法是

.①②③【提示】由題意易得∠ANP=∠AMP=90°.∵△ABC中，2∠BAC=120°,∴∠EPF=360°-∠BAC-∠ANP-∠AMP=60°,故①正確；由題意得AE=BE,AF=CF,∴∠BAE=∠B,∠CAF=∠C.∵∠B+∠C=180°-∠BAC=60°,∴∠BAE+∠CAF=60°,∴∠EAF=∠BAC-(∠BAE+∠CAF)=60°,故②正確；連結(jié)PA、PB、PC.∵AC、AB邊的垂直平分線PM、PN交于點P，∴PA=PB，PA=PC，∴PB=PC，即點P到點B和點C的距離相等，故③正確；∵△ABC不一定是等腰三角形，∴BE不一定等于CF，∴無法判定PE與PF是否相等，故④錯誤.12．如圖13-5-19，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22．5°，3斜邊AB的垂直平分線交AC于點D，點F在AC上，點E在BC的延長線上，CE=CF，連結(jié)BF、DE．線段DE和BF在數(shù)量和位置上有什么關系？并說明理由．拓展探究訓練解：DE=BF且DE⊥BF．理由如下：連結(jié)BD，延長BF交DE于點G．∵點D在線段AB的垂直平分線上，∴AD=BD，∴