第四次課45小時(shí)常微分方程初步

微分方程第一節(jié)微分方程的基本概念第二節(jié)一階微分方程第三節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程例常微分方程偏微分方程常微分方程的階數(shù)微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的最高次數(shù)，稱為微分方程的階數(shù)。一階二階一階微分方程的一般表示形式方程的解、通解、特解、所有解能使微分方程成為恒等式的函數(shù)，稱為方程的解。如果n階微分方程的解中含有n個(gè)相互獨(dú)立的任意常數(shù)，則稱此解為n階微分方程的通解。一般說來，不含有任意常數(shù)的解，稱為方程的特解。通常由一定的條件出發(fā)，確定方程通解中的任意常數(shù)來得到特解。但有些特解不能由通解求出，必須利用其它方法直接由方程解出。{所有解}＝{通解}并{不能包含在通解內(nèi)的所有特解}。第一節(jié)微分方程的概念一.實(shí)例例1.曲線過(0,1),且曲線上每個(gè)點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)的橫坐標(biāo),求此曲線方程.設(shè)曲線方程為y=y(x),則例2.質(zhì)量為m的物體自由落下,t=0時(shí),初始位移和初速度分別為求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.則設(shè)運(yùn)動(dòng)方程為S=S(t),兩次積分分別得出:條件代入:二.概念1.微分方程:含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程.未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程.(前例)未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程稱為偏微分方程.本章內(nèi)容2.階:未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù).例1是一階微分方程,例2是二階微分方程.n階方程一般形式:必須出現(xiàn)3.解:如果將函數(shù)y=y(x)代入方程后恒等,則稱其為方程的解.如果解中含有任意常數(shù),且個(gè)數(shù)與階數(shù)相同通解不含任意常數(shù)的解特解必須獨(dú)立n階方程通解一般形式:4.定解條件:確定通解中任意常數(shù)值的條件.定解條件的個(gè)數(shù)要和階數(shù)相同,才能確定唯一特解;定解條件中自變量取相同值時(shí),叫做初始條件.5.幾何意義:通解積分曲線族特解積分曲線例:驗(yàn)證是的通解對(duì)用隱函數(shù)求導(dǎo)法得:故是方程的解,且含有一個(gè)任意常數(shù).通解第二節(jié)一階微分方程本節(jié)介紹一階微分方程的基本類型和常見類型.一階微分方程一般形式:我們研究其基本形式:如果可化成:(1)則(1)稱為可分離變量的方程.解法:1.分離變量:2.兩邊積分:3.得出通解:只寫一個(gè)任意常數(shù)一、可分離變量的方程例:任意常數(shù),記為C絕對(duì)值號(hào)可省略定解條件代入:C=2故特解為:二.一階線性方程微分方程一般形式:(2)(3)一階線性齊次方程一階線性非齊次方程自由項(xiàng)方程(3)是可分離變量方程,其通解為:方程(2)的通解常數(shù)變易法設(shè)(2)的通解:代入方程(2):則方程(2)的通解:(4)注:1.一階線性非齊次方程的通解可用常數(shù)變易法或公式(4)

計(jì)算皆可;.2.公式(4)中不定積分只求一個(gè)原函數(shù)即可;3.非齊次方程的特解齊次方程的通解非齊次方程解的結(jié)構(gòu)例:例:求方程滿足初始條件的特解.將y視為自變量,可以變成關(guān)于x的線性方程:由得:故所求特解為:一.二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)形如:顯然,y=0是(2)的解.平凡解討論非平凡解:定理1.如果是(2)的兩個(gè)解,則也是(1)的解,其中為任意常數(shù).的二階微分方程,由于方程中末知函數(shù)y及其各階導(dǎo)數(shù)都以一次(線性)形式出現(xiàn),故稱為二階線性微分方程。

若則稱為二階齊次線性微分方程。若則方程（1）稱為二階非齊次線性微分方程即：第三節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程例如:是(2)的解,則也是(2)的解.此時(shí)不是通解函數(shù)的線性相關(guān)和線性無關(guān)設(shè)為定義在I

上的n

個(gè)函數(shù),如果存在n個(gè)不全為零的常數(shù),使得注意:不一定是通解.定義：則稱這些函數(shù)線性相關(guān)，否則稱線性無關(guān)。例如:線性相關(guān)在任意區(qū)間I上:取線性無關(guān)要使,必須對(duì)于兩個(gè)函數(shù):如果它們之比為常數(shù),則線性相關(guān);否則,線性無關(guān)定理2.如果是(2)的兩個(gè)線性無關(guān)的特解,則

是(2)的通解,為任意常數(shù).例如:是它的特解,線性無關(guān)通解一般形式:定理3.如果是(3)的一個(gè)特解,是(3)對(duì)應(yīng)的奇次方程(2)的通解,則是(3)的通解.定理4.如果分別是的特解,則是方程的特解.二.二階常系數(shù)線性方程的解法一般形式:p,q為常數(shù)分析由方程特點(diǎn)可看出:為同一類型函數(shù),之間相差常數(shù)因子.因此假設(shè)將代入(1)得:當(dāng)滿足(2)時(shí),是(1)的一個(gè)特解.特征方程特征根根據(jù)特征根的三種不同情形,方程(1)的通解有三種情形.

二階常系數(shù)齊次線性方程解法1.特征根為相異實(shí)根:是(1)的兩個(gè)線性無關(guān)的特解,則(1)的通解為2.特征根為二重根:是(1)的一個(gè)特解,