隨機(jī)變量的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)

第三節(jié)隨機(jī)變量的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)協(xié)方差相關(guān)系數(shù)協(xié)方差矩陣相關(guān)系數(shù)矩陣原點(diǎn)矩、中心矩目前一頁(yè)\總數(shù)二十二頁(yè)\編于二點(diǎn)

前面我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差，對(duì)于二維隨機(jī)變量（X，Y），我們除了討論X與Y的數(shù)學(xué)期望和方差以外，還要討論描述X和Y之間關(guān)系的數(shù)字特征，這就是本講要討論的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)目前二頁(yè)\總數(shù)二十二頁(yè)\編于二點(diǎn)

E[X-EX][Y-EY]稱(chēng)為隨機(jī)變量X和Y的協(xié)方差,記為cov(X,Y)，即

一、協(xié)方差cov(X,Y)=E[X-EX][Y-EY]=EXY-EXEY1.定義1)當(dāng)(X,Y)是離散型隨機(jī)變量時(shí),2)當(dāng)(X,Y)是連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí),目前三頁(yè)\總數(shù)二十二頁(yè)\編于二點(diǎn)(6)cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y)(5)cov(aX,bY)=abcov(X,Y)a,b是常數(shù)(7)D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2cov(X,Y)(4)cov(aX+b,Y)=acov(X,Y)a,b是常數(shù)2.簡(jiǎn)單性質(zhì)(3)cov(X,Y)=cov(Y,X)(2)cov(X,X)=D(X)(1)cov(X,C)=0,C為常數(shù)；目前四頁(yè)\總數(shù)二十二頁(yè)\編于二點(diǎn)

協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互間的關(guān)系，但它還受X與Y本身度量單位的影響.

為了克服這一缺點(diǎn)，對(duì)協(xié)方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，這就引入了相關(guān)系數(shù)

.目前五頁(yè)\總數(shù)二十二頁(yè)\編于二點(diǎn)二、相關(guān)系數(shù)為隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)

.定義:

設(shè)D(X)>0,D(Y)>0,稱(chēng)在不致引起混淆時(shí)，記

為

.目前六頁(yè)\總數(shù)二十二頁(yè)\編于二點(diǎn)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：證:由方差的性質(zhì)和協(xié)方差的定義知,對(duì)任意實(shí)數(shù)b,有0≤D(Y-bX)=b2D(X)+D(Y)-2bcov(X,Y)令，則上式為

D(Y-bX)=

由于方差D(Y)是正的,故必有1≥0,所以|≤1。目前七頁(yè)\總數(shù)二十二頁(yè)\編于二點(diǎn)存在常數(shù)a,b(b≠0)，使P{Y=a+bX}=1，即X和Y以概率1線性相關(guān).目前八頁(yè)\總數(shù)二十二頁(yè)\編于二點(diǎn)3.X和Y獨(dú)立時(shí)，

=0，但其逆不真.由于當(dāng)X和Y獨(dú)立時(shí)，cov(X,Y)=0,故=0但由并不一定能推出X和Y獨(dú)立.例1

設(shè)X~N(0,1),Y=X2,求X和Y的相關(guān)系數(shù)。證:目前九頁(yè)\總數(shù)二十二頁(yè)\編于二點(diǎn)4.若，則稱(chēng)X和Y（線性）不相關(guān)。定理：若隨機(jī)變量X與Y的數(shù)學(xué)期望和方差都存在，且均不為零，則下列四個(gè)命題等價(jià)：（1）；（2）cov(X,Y)=0；（3）E(XY)=EXEY；（4）D(X±Y)=DX+DY。注：反應(yīng)了X與Y的線性關(guān)系密切程度；X與Y不相關(guān)表明兩者沒(méi)有線性關(guān)系，但不等于說(shuō)沒(méi)有其他關(guān)系。目前十頁(yè)\總數(shù)二十二頁(yè)\編于二點(diǎn)但可以證明對(duì)下述情形，獨(dú)立與不相關(guān)等價(jià)若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則X與Y獨(dú)立X與Y不相關(guān)若X與Y獨(dú)立，則X與Y不相關(guān)，但由X與Y不相關(guān)，不一定能推出X與Y獨(dú)立.獨(dú)立與不相關(guān)的關(guān)系：目前十一頁(yè)\總數(shù)二十二頁(yè)\編于二點(diǎn)三、協(xié)方差矩陣將二維隨機(jī)變量（X1,X2）的四個(gè)數(shù)量指標(biāo)排成矩陣的形式:稱(chēng)此矩陣為（X1,X2）的協(xié)方差矩陣.這是一個(gè)非負(fù)定對(duì)稱(chēng)矩陣目前十二頁(yè)\總數(shù)二十二頁(yè)\編于二點(diǎn)

類(lèi)似定義n維隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn)的協(xié)方差矩陣.為(X1,X2,…,Xn)的協(xié)方差矩陣.都存在,則稱(chēng)(i,j=1,2,…,n)若矩陣這是一個(gè)非負(fù)定對(duì)稱(chēng)矩陣目前十三頁(yè)\總數(shù)二十二頁(yè)\編于二點(diǎn)為(X1,X2,…,Xn)的相關(guān)系數(shù)矩陣。都存在,則稱(chēng)(i,j=1,2,…,n)若矩陣四、相關(guān)系數(shù)矩陣這是一個(gè)非負(fù)定對(duì)稱(chēng)矩陣目前十四頁(yè)\總數(shù)二十二頁(yè)\編于二點(diǎn)由于故相關(guān)系數(shù)矩陣的主對(duì)角元素均為1.目前十五頁(yè)\總數(shù)二十二頁(yè)\編于二點(diǎn)五、原點(diǎn)矩和中心矩定義設(shè)X和Y是隨機(jī)變量，若存在，稱(chēng)它為X的k階原點(diǎn)矩，簡(jiǎn)稱(chēng)k階矩.

存在，稱(chēng)它為X的k階中心矩.注：均值E(X)是X一階原點(diǎn)矩,

方差D(X)是X的二階中心矩.目前十六頁(yè)\總數(shù)二十二頁(yè)\編于二點(diǎn)注:協(xié)方差cov(X,Y)是X和Y的二階混合中心矩.稱(chēng)它為X和Y的k+l階混合原點(diǎn)矩.若存在，稱(chēng)它為X和

Y的

k+l階混合中心矩.

設(shè)X和Y是隨機(jī)變量，若k,l=1,2