廣西壯族自治區(qū)南寧市高三下學(xué)期5月診斷數(shù)學(xué)（文）試題-1

南寧市2022屆高三下學(xué)期5月診斷數(shù)學(xué)文科一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知全集，集合，，則（）．A． B． C．4 D．2．歐拉公式（i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面內(nèi)（）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．四川省現(xiàn)在的高考模式仍要分文理科，某中學(xué)在統(tǒng)計(jì)高一學(xué)生文理科選擇意愿時(shí)，抽取了部分男、女學(xué)生意愿的一份樣本，制作出如下兩個(gè)等高條形圖，根據(jù)這兩幅圖中的信息，下列結(jié)論中正確的是（）．A．樣本中的女生數(shù)量少于男生數(shù)量B．樣本中有文科意愿的學(xué)生數(shù)量多于有理科意愿的學(xué)生數(shù)量C．樣本中的男生偏愛(ài)理科D．樣本中的女生偏愛(ài)文科4．2021年12月1日，國(guó)家發(fā)展改革委印發(fā)《滬蘇浙城市結(jié)對(duì)合作幫扶皖北城市實(shí)施方案》．滬蘇浙城市（城區(qū)）將與我省部分地市開(kāi)展“一對(duì)一”結(jié)對(duì)合作幫扶．現(xiàn)有上海市A，B，C三個(gè)區(qū)，若分別隨機(jī)結(jié)對(duì)幫扶皖北D，E，F(xiàn)三座城市，則A區(qū)恰好幫扶D市的概率是（）．A． B． C． D．5．在等比數(shù)列中，，，則（）．A．80 B．242 C． D．2446．“”是方程“表示橢圓”的（）．A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件7．已知，則（）．A． B． C． D．08．如圖所示，圓柱的軸截面是正方形ABCD，母線，若點(diǎn)E是母線BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）．A． B．點(diǎn)F到平面ABCD的距離為2C． D．BF與平面ABCD所成的角的大小為9．已知函數(shù)，，則圖象為下圖的函數(shù)可能是（）．A． B．C． D．10．甲、乙兩人解關(guān)于x的方程，甲寫(xiě)錯(cuò)了常數(shù)b，得到的根為或，乙寫(xiě)錯(cuò)了常數(shù)c，得到的根為或，則原方程的根是（）．A．或 B．或C．或 D．或11．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A，M為C的一條漸近線上一點(diǎn)，延長(zhǎng)FM交y軸于點(diǎn)N，直線AM經(jīng)過(guò)ON（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的中點(diǎn)B，且，則雙曲線C的離心率為（）．A．2 B． C．3 D．412．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)曲線上一點(diǎn)P作C的切線，交x軸于點(diǎn)A，則面積取最大值時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為（）．A． B． C． D．二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13．已知向量，，若，則______．14．已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組，則x的最小值為_(kāi)_____．15．已知等差數(shù)列前n項(xiàng)和為，若，則______．16．關(guān)于函數(shù)的下列四個(gè)結(jié)論中①關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；②在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；③若，則；④的對(duì)稱軸是．則所有正確結(jié)論的編號(hào)是______．三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．已知中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且．（1）求角A的大?。唬?）設(shè)點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，AD是的角平分線，且，，求的面積．18．某高科技公司對(duì)其產(chǎn)品研發(fā)年投資額x（單位：百萬(wàn)元）與其年銷售量y（單位：千件）的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，整理后得到如下統(tǒng)計(jì)表1和散點(diǎn)圖．表1x12345y13（1）求年銷售量y關(guān)于年投資額x的線性回歸方程；（2）該公司科研團(tuán)隊(duì)通過(guò)進(jìn)一步分析散點(diǎn)圖的特征后，計(jì)算得年銷售量y關(guān)于年投資額x的非線性回歸方程，根據(jù)，及表2數(shù)據(jù)，請(qǐng)用殘差平方和比較（1）和（2）中回歸方程的擬合效果哪個(gè)更好？表2n2345的近似值參考公式：，．19．如圖，在三棱錐中，側(cè)棱底面ABC，，，D、E分別是BC，的中點(diǎn)．（1）證明：平面ADE；（2）試探究三棱錐的體積與三棱錐的體積之比是否為定值，若是定值，再進(jìn)一步求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．20．已知平面上一動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離相等，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的軌跡方程；（2）已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B引圓的兩條切線BP；BQ，切線BP、BQ與曲線C的另一交點(diǎn)分別為P、Q，線段PQ中點(diǎn)N的縱坐標(biāo)記為，求的取值范圍．21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（1）若恒成立，求a；（2）若的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，，證明：．請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．22．［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線C與直線相交于M，N兩點(diǎn)．（1）求的面積；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求外接圓的極坐標(biāo)方程．23．［選修4-5：不等式選講］已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若函數(shù)有三個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．南寧市2022屆高三下學(xué)期5月診斷答案數(shù)學(xué)文科一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分．1．C 【解析】因?yàn)?，所以．故選C．2．D【解析】∵，此復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故選D．3．C【詳解】由圖1知，樣本中的女生數(shù)量多于男生數(shù)量，故A錯(cuò)誤；由圖2知，樣本中有理科意愿的學(xué)生數(shù)量多于有文科意愿的學(xué)生數(shù)量，故B錯(cuò)誤；由圖2知，樣本中的男生、女生均偏愛(ài)理科，故C正確，D錯(cuò)誤．故選C．4．B【詳解】三個(gè)區(qū)幫扶三個(gè)城市共種情況，A區(qū)恰好幫扶D市有種情況，所以所求概率．故選C．5．B【詳解】等比數(shù)列的公比，∴，∴．故選B．6．A【解答】當(dāng)方程表示橢圓時(shí)，必有，所以且；當(dāng)時(shí)，該方程不一定表示橢圓，例如當(dāng)時(shí)，方程變?yōu)?，它表示一個(gè)圓．即“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件．故選A．7．D【詳解】因?yàn)椋?，即，所以，所以；故選D．8．B【解析】如圖所示，設(shè)O是AB的中點(diǎn)，連接OE，OF，在正方形ABCD中，，可得，在中，可得，則EF與AC不平行，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；因?yàn)镕是的中點(diǎn)，所以平面ABCD，所以點(diǎn)F到平面ABCD的距離為2，選項(xiàng)B正確；是BF與平面ABCD所成的角，因?yàn)?，且，，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；BF與AB不垂直，因此也推不出，選項(xiàng)C錯(cuò)誤．故選B．9．D【詳解】由題意，函數(shù)，，根據(jù)函數(shù)圖象可得函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)為奇函數(shù)，對(duì)于A中，函數(shù)不是奇函數(shù)，所以A不符合題意；對(duì)于B中，函數(shù)不是奇函數(shù)，所以B不符合題意；對(duì)于C中，函數(shù)，此時(shí)函數(shù)為奇函數(shù)，又由，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，而圖象中先增后減，所以C不符合題意．故選D．10．D【詳解】方程，即，設(shè)，即轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)為方程，甲寫(xiě)錯(cuò)了常數(shù)b，得到的根為或，即甲得到的根為，，則，所以，乙寫(xiě)錯(cuò)了常數(shù)c，得到的根為或，即乙得到的根為，，所以，所以，所以方程為，解得或，即，或，解得或．故選D．11．A【解析】記M為雙曲線的漸近線上的點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以，．所以．因?yàn)橛医裹c(diǎn)到漸近線的距離，所以．所以，所以，所以≌，所以，又因?yàn)?，．所以為等邊三角形，所以，所以，即，所以?2．C【解析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，∴切線方程為，令，得，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∵，∴，∴，令，，令，，，解得（舍去），，∴在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減∴當(dāng)時(shí)，最大，即面積最大，故點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為．故選C．二、填空題（每題5分，滿分20分）13．【解析】因?yàn)?，所以，即，代入坐?biāo)得，解得．故答案為：．14．【詳解】，設(shè)．畫(huà)出可行域如下圖所示，由圖可知x的最小值為．15．51【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，所以，即，即，所以．故答案為?1．16．②③【詳解】因?yàn)椋?，所以不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故①錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，作出的圖象如圖所示，由圖象可知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故②正確；因?yàn)?，所以，，，，，，所以，故③正確；由圖象可知的圖象不關(guān)于對(duì)稱，故④錯(cuò)誤．三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．【解析】（1）在中，由正弦定理及得：，由余弦定理得，又，所以．（2）AD是的角平分線，，由可得，因?yàn)椋?，即有，，故?8．【解析】（1）由題意，，，所以線性回歸方程為．（2）按（1）可得x12345y13，按（2）可得x12345y13，顯然，第二種非線性回歸方程擬合效果更好．19．【解析】（1）證明：在三棱柱中，，所以，所以，所以，所以∽，所以．因?yàn)?，，所以，即．（法二：?jì)算，得）所以且D為BC的中點(diǎn)所以．又已知得在直三棱柱中，平面平面ABC，且交于BC，所以平面，所以．又因?yàn)?，所以平面ADE．（2）結(jié)論：三棱錐的體積與三棱錐的體積比是定值．設(shè)，則，因?yàn)镈、E分別是BC，的中點(diǎn)，所以，，所以，，由等體積法可知：，，．20．【解析】（1）設(shè)，根據(jù)題意可得，化簡(jiǎn)得，所以，所以曲線C的方程為．（2）由已知，所以切線BP，BQ的斜率存在，設(shè)切線BP的方程為，則圓心到切線AP的距離，所以，設(shè)切線BQ的方程為，同理可得，所以，是方程的兩根，所以，，設(shè)，，聯(lián)立，得，所以，所以，同理，所以，因?yàn)?，所以，所以．所以的取值范圍為?1．（本小題滿分12分）【解析】（1）定義域?yàn)?，得，即，設(shè)，因?yàn)?，，故，而，，得，若，則．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以是的極小值點(diǎn)，故．綜上，．（2）由題意知，兩式相加得，兩式相減得，即，所以，即，顯然，記，令，則，所以在上單調(diào)遞增，則，所以，則，即，所以，所以，所以，即，令，則時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，又，故，所以，所以，則，即．22．（10分）解：（1）令，得，即或，將，分別代入，得或，∴點(diǎn)，點(diǎn)．∴∴，即為直角三角形，∵，∴．（2）由（1）可知外接圓的圓心為M，N的中心，∴外接圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為3．∴圓的直角坐標(biāo)方程為，即，由，，代入得，即，∴外接圓的極坐標(biāo)方程為．23．（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，不等式可化為恒成立；當(dāng)時(shí)，不等式可化為，解得；當(dāng)