四川省成都高三下學(xué)期階段性考試暨三診模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁/共1頁成都（下）階段性考試暨三診模擬考試數(shù)學(xué)（理科）注意事項(xiàng)：1．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．作答時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷及草稿紙上無效．一?選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．）在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若集合，，則集合（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合并集概念課直接得到.【詳解】，故選：D.2.已知復(fù)數(shù)，則以下判斷正確的是（）A.復(fù)數(shù)的模為1 B.復(fù)數(shù)的模為C.復(fù)數(shù)的虛部為 D.復(fù)數(shù)的虛部為【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算即可求得，根據(jù)復(fù)數(shù)模長公式和虛部定義即可判斷結(jié)果.【詳解】由可得；即復(fù)數(shù)的虛部為1，所以CD錯(cuò)誤；則復(fù)數(shù)的模為，即A錯(cuò)誤，B正確；故選：B3.下列說法錯(cuò)誤的是（）A.“”是“”的充分不必要條件B.在回歸直線中，變量時(shí)，變量的值一定是15C.命題：則，，則：，D.若，，，，，則【答案】B【解析】【分析】根據(jù)小范圍能推出大范圍，大范圍推不出小范圍判斷選項(xiàng)A；根據(jù)回歸方程的實(shí)際意義判斷選項(xiàng)B；根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題判斷選項(xiàng)C；根據(jù)面面垂直及線面垂直的性質(zhì)定理判斷選項(xiàng)D.【詳解】若，則成立，反之，若，則或，所以“”是“”的充分不必要條件，故選項(xiàng)A正確；在回歸直線中，變量時(shí)，變量的值估計(jì)為15，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)槊}：則，，所以命題的否定：，，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)椋?，根?jù)面面垂直的性質(zhì)定理得到：，又，所以，故選項(xiàng)D正確.故選：B.4.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用基本初等函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，函數(shù)為奇函數(shù)，但該函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，A選項(xiàng)不滿足條件；對于B選項(xiàng)，函數(shù)為奇函數(shù)，但該函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，B選項(xiàng)不滿足條件；對于C選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以，函?shù)為奇函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)、均為上的增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，C選項(xiàng)滿足條件；對于D選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，該函?shù)為非奇非偶函數(shù)，D選項(xiàng)不滿足條件.故選：C.5.的展開式中的系數(shù)是（）A.45 B.84 C.120 D.210【答案】C【解析】【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，組合數(shù)的性質(zhì)，求得含項(xiàng)的系數(shù)．【詳解】解：的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為，故選：C．6.設(shè)點(diǎn)是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出，令后可求，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的取值范圍可得的范圍，從而可得的取值范圍.【詳解】∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴或.故選：B.7.在等差數(shù)列中，，．記（為正整數(shù)），則數(shù)列（）A.有最大項(xiàng)，也有最小項(xiàng) B.最大項(xiàng)，但無最小項(xiàng)C.無最大項(xiàng)，但有最小項(xiàng) D.無最大項(xiàng)，也無最小項(xiàng)【答案】B【解析】【分析】由已知求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,分析可知數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列,且前5項(xiàng)為負(fù)值,自第6項(xiàng)開始為正值,進(jìn)一步分析得答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由，,得，解得：d=2.所以.令,得,而n∈N*,可知數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列,且前5項(xiàng)為負(fù)值,自第6項(xiàng)開始為正值.可知T1=-9<0,T2=63>0,T3=-315<0,T4=945>0為最大項(xiàng),自T5起均小于0,且逐漸減小∴數(shù)列有最大項(xiàng),無最小項(xiàng).故選:B8.志愿團(tuán)安排去甲?乙?丙?丁四個(gè)精準(zhǔn)扶貧點(diǎn)慰問的先后順序，一位志愿者說：不能先去甲，甲的困難戶最多；另一位志愿者說：不能最后去丁，丁離得最遠(yuǎn).他們共有多少種不同的安排方法（）A.14 B.12 C.24 D.28【答案】A【解析】【分析】由去丁扶貧點(diǎn)的先后順序入手利用加法原理求出結(jié)果.【詳解】解：根據(jù)題意丁扶貧點(diǎn)不能是最后一個(gè)去，有以下兩類安排方法：①丁扶貧點(diǎn)最先去，有種安排方法；②丁扶貧點(diǎn)安排在中間位置去，有種安排方法，綜合①②知共有種安排方法.故選：A.9.已知函數(shù)，以下說法中，正確的是（）①函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱；②函數(shù)在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，的取值范圍為；④將函數(shù)圖像向右平移個(gè)單位長度，所得圖像對應(yīng)的解析式為.A.①② B.②③④ C.①③ D.②【答案】D【解析】【分析】先對化簡變形，得到，再對①②③④逐一分析判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?對于①，由，即，所以對稱中心為，令，得到一個(gè)對稱中心為，所以①錯(cuò)誤；對于②，當(dāng)時(shí)，，由的圖像與性質(zhì)知，在上單調(diào)遞增，所以②正確；對于③，當(dāng)時(shí)，，由的圖像與性質(zhì)知，，所以③錯(cuò)誤；對于④，將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度，得到圖像對應(yīng)的解析式為，所以④錯(cuò)誤.故選：D.10.已知，是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作斜率為的直線與雙曲線的左，右兩支分別交于，兩點(diǎn)，以為圓心的圓過，，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】取MN中點(diǎn)A，連AF2，令，由雙曲線定義及所給條件可得，再借助直線斜率為即可作答.【詳解】取MN中點(diǎn)A，連AF2，由已知令，則，如圖：因點(diǎn)M，N為雙曲線左右兩支上的點(diǎn)，由雙曲線定義得，，則，令雙曲線半焦距為c，中，，中，，則有，即，因直線的斜率為，即，而，即，，于是有，，，所以雙曲線的離心率為.故選：B11.已知三棱錐的底面為等腰直角三角形，其頂點(diǎn)P到底面ABC的距離為3，體積為24，若該三棱錐的外接球O的半徑為5，則滿足上述條件的頂點(diǎn)P的軌跡長度為（）A.6π B.30πC. D.【答案】D【解析】【分析】利用三棱錐的體積，求解底邊邊長，求出的外接圓半徑，以及球心到底面的距離，判斷頂點(diǎn)的軌跡是兩個(gè)不同截面圓的圓周，進(jìn)而求解周長即可．【詳解】依題意得，設(shè)底面等腰直角三角形的邊長為，三棱錐的體積解得：的外接圓半徑為球心到底面距離為，又頂點(diǎn)P到底面ABC的距離為3，頂點(diǎn)的軌跡是一個(gè)截面圓的圓周當(dāng)球心在底面和截面圓之間時(shí)，球心到該截面圓的距離為，截面圓的半徑為，頂點(diǎn)P的軌跡長度為；當(dāng)球心在底面和截面圓同一側(cè)時(shí)，球心到該截面圓的距離為，截面圓的半徑為，頂點(diǎn)P的軌跡長度為；綜上所述，頂點(diǎn)P的軌跡的總長度為故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體外接球的問題以及軌跡周長的求法，考查空間想象能力、轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，題目具有一定的難度．12.已知a，b，，且，，，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題設(shè)，構(gòu)造且研究單調(diào)性，判斷的范圍，作差法比較大小，即可得答案.【詳解】由題設(shè)，，，令且，則，即在上遞增，又，即，由，令且，則，又，令且，則，即遞減，所以，所以，即在上遞增，故，即在上恒成立，故，綜上，，結(jié)合單調(diào)性知：.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)且研究單調(diào)性，再通過作差、構(gòu)造函數(shù)判斷大小，進(jìn)而判斷大小.二?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，寫出一個(gè)滿足下列條件的的公比__________.①，②是遞增數(shù)列，③.【答案】2（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，則，因?yàn)?，且是遞增數(shù)列，所以，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，解得，綜上，故答案為：2（答案不唯一）14.已知向量，方滿足，，且與的夾角為，則向量與的夾角為______.【答案】【解析】【分析】先利用已知條件求得，接著求解向量的模長，最后根據(jù)向量夾角公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，，且與的夾角為，所以，所以，，設(shè)向量與的夾角為，所以，又因?yàn)閮上蛄克蓨A角范圍為，所以向量與夾角為，故答案為：.15.已知直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)并交拋物線于，兩點(diǎn)，則，且在拋物線的準(zhǔn)線上的一點(diǎn)滿足，則______.【答案】2【解析】【分析】由所給向量關(guān)系可得點(diǎn)C在直線AB上，過點(diǎn)A，B分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，結(jié)合拋物線定義求出即可作答.【詳解】過點(diǎn)A，B作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為N，M，令準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)K，如圖：則有，因點(diǎn)C在準(zhǔn)線上且滿足，即點(diǎn)C是直線AB與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，于是有，得，從而有，即點(diǎn)F是線段AC的中點(diǎn)，而，則有,又，所以.故答案為：216.如圖，在棱長為2的正方體中，均為所在棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的序號(hào)是__________．①棱上一定存在點(diǎn)，使得；②三棱錐的外接球的表面積為；③過點(diǎn)作正方體的截面，則截面面積為；④設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)，且平面，則與所成角的余弦值的最大值為．【答案】②③④【解析】【分析】①建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)坐標(biāo)，通過空間向量垂直的坐標(biāo)表示求點(diǎn)進(jìn)行判斷；②使用補(bǔ)形法，將三棱錐補(bǔ)形為長方體求解即可；③畫出正方體過點(diǎn)的截面，為正六邊形，求面積即可；④設(shè)坐標(biāo)，用線面平行得出坐標(biāo)滿足的條件，再由空間向量求線線角余弦值的最大值即可.【詳解】對于①，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則由已知，，，設(shè)棱上一點(diǎn)，則，，若，則，整理得，即，無實(shí)數(shù)解，∴棱上不存在點(diǎn)，使得，故①錯(cuò)誤；對于②，如圖，分別取棱，，，的中點(diǎn)，，，，由已知，，易知棱柱為長方體，其外接球的直徑為，外接球表面積，∵三棱錐的頂點(diǎn)均在長方體的外接球上，故該球也是三棱錐的外接球，∴三棱錐的外接球的表面積為，故②正確；對于③，如圖所示，過點(diǎn)作正方體的截面是邊長為的正六邊形，其可分成六個(gè)全等的，邊長為的等邊三角形，面積，故③正確；對于④，由①中所建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，，∴，設(shè)平面內(nèi)一點(diǎn)，則，∵平面，∴，即，又∵，∴與所成角的余弦值為，其中，，∴，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，與所成角的余弦值的最大值為，故④正確.故答案：②③④.【點(diǎn)睛】解決立體幾何中動(dòng)點(diǎn)問題的有效方法之一，是建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，借助空間向量將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，通過運(yùn)算進(jìn)行求解.三?解答題（本大題共7小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）17.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且.（1）求角的大?。唬?）若，且__________，求的周長.請?jiān)谙铝腥齻€(gè)條件中，選擇其中的一個(gè)條件補(bǔ)充到上面的橫線中，并完成作答.①；②的面積為；③.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，那么按第一解答計(jì)分【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，利用和正弦的和角公式，化簡即可得出結(jié)果；（2）選①，利用正弦定理和條件得出，選②，利用條件和三角形面積公式得出，選③，利用條件和數(shù)量積的定義得出，再利用余弦定即可得到結(jié)果.【小問1詳解】由正弦定理：，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?，得到，又，所?【小問2詳解】若選①，根據(jù)正弦定理和（1）可知，，所以，所以，得到，若選②，由題知，得到，若選③，即，由數(shù)量積定義得，得到，故三個(gè)條件任選一個(gè)條件，都可以得到，由余弦定理，得，整理得，即，則或（舍去），所以的周長為.18.2021年3．15期間，某家具城舉辦了一次家具有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，消費(fèi)每超過1萬元（含1萬元），均可抽獎(jiǎng)一次，抽獎(jiǎng)方案有兩種，顧客只能選擇其中的一種.方案一：從裝有10個(gè)形狀與大小完全相同的小球（其中紅球2個(gè)，白球1個(gè)，黑球7個(gè)）的抽獎(jiǎng)盒中，一次性摸出3個(gè)球，其中獎(jiǎng)規(guī)則為：若摸到2個(gè)紅球和1個(gè)白球，則打5折；若摸出2個(gè)紅球和1個(gè)黑球則打7折；若摸出1個(gè)白球2個(gè)黑球，則打9折：其余情況不打折．方案二：從裝有10個(gè)形狀與大小完全相同的小球（其中紅球2個(gè)，黑球8個(gè)）的抽獎(jiǎng)盒中，有放回每次摸取1球，連摸3次，每摸到1次紅球，立減2000元．（1）若一位顧客消費(fèi)了1萬元，且選擇抽獎(jiǎng)方案一，試求該顧客享受7折優(yōu)惠的概率；（2）若某顧客消費(fèi)恰好滿1萬元，試從數(shù)學(xué)期望的角度比較該顧客選擇哪一種抽獎(jiǎng)方案更合算？【答案】（1）；（2）該顧客選擇第二種抽獎(jiǎng)方案更合算.【解析】【分析】（1）方案一若享受到7折，需要摸出2個(gè)紅球和1個(gè)黑球，由此可計(jì)算出概率；（2）選擇方案一，付款金額元可能的取值為5000、7000、9000、10000，分別計(jì)算出概率的分布列，計(jì)算出期望．選擇方案二，設(shè)摸到紅球的個(gè)數(shù)為，付款金額為，則得關(guān)系式，由，可得，再計(jì)算出，比較后可得．【詳解】（1）選擇方案一若享受到7折，則需要摸出2個(gè)紅球和1個(gè)黑球，設(shè)顧客享受到7折為事件，則．（2）若選擇方案一，設(shè)付款金額為元，則可能的取值為5000、7000、9000、10000，，，，．故X的分布列為，50007000900010000所以（元）若選擇方案二，設(shè)摸到紅球的個(gè)數(shù)為，付款金額為，則，由已知可得，故，所以（元）因?yàn)?，所以該顧客選擇第二種抽獎(jiǎng)方案更合算．19.如圖，已知矩形中，、分別是、上的點(diǎn)，，，，、分別是、的中點(diǎn)，現(xiàn)沿著翻折，使得二面角大小為.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）【解析】【詳解】（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接，，又為的中點(diǎn)，所以，平面，平面，所以平面，同理可證，平面，又因?yàn)椋云矫嫫矫?，平面，所以平?（Ⅱ）在平面內(nèi)，過點(diǎn)作的垂線，易證明這條垂線垂直平面，因?yàn)槎娼谴笮?，所以，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，根據(jù)，令，則，，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量，根據(jù)，令，則，，所以，所以，所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】證明線面平行有兩種方法，法一是利用判定定理，尋求線線平行；法二是尋求面面平行，本題是通過面面平行去證明線面平行.求二面角常用空間向量去求，先建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出兩個(gè)半平面的法向量，再利用公式求出二面角的余弦值.20.已知橢圓離心率為，點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，是橢圓上不同的三點(diǎn)，且為的重心，探究面積是否為定值，若是求出這個(gè)定值；若不是，說明理由【答案】（1）；（2）是定值，.【解析】【分析】（1）由題意列出關(guān)于的方程組，求出，即可得出橢圓方程；（2）先討論直線的斜率不存在時(shí)，根據(jù)題中條件，求出此時(shí)的面積；再討論直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè)，，由韋達(dá)定理，得出，；由弦長公式，得出；根據(jù)為的重心，求出點(diǎn)為坐標(biāo)，代入橢圓方程，得到之間關(guān)系；再由點(diǎn)到直線的距離公式，得出點(diǎn)到直線的距離，由即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由題知：，解得，，所以橢圓的方程為；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，軸，點(diǎn)在軸上，．點(diǎn)到的距離為，則．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線由消去，整理，設(shè)，，則有，，，所以，，因?yàn)闉榈闹匦?，則由，點(diǎn)在橢圓上，則得，點(diǎn)到直線的距離為；所以；綜上：為定值．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解橢圓中三角形面積相關(guān)問題時(shí)，一般需要聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理、弦長公式，以及點(diǎn)到直線距離公式，表示出三角形的面積，再結(jié)合題中條件，即可求解.21.已知函數(shù)，（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）令，若存在，且時(shí)，，證明：.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】(1)求函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，分和兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求出函數(shù)的單調(diào)性.(2)根據(jù)題意可得，通過構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)單調(diào)性及參變分離可得，令，通過導(dǎo)數(shù)得的單調(diào)性，即可證明，從而可證明.【詳解】解：（1）的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由得，由得，∴當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2），∵，由題意知，，∴，令，則，∴在上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，∵，∴，∴，∴∴，∴