高中數(shù)學(xué)平面圖形折疊問題的解法

平面圖形折疊問題的法1展示題引入題在立體幾何中常及平面圖形的折疊問題，它也數(shù)學(xué)高考中的熱點(diǎn)問題之一，今年的浙江高考的科試卷客觀題中得分率最低的其中的第題許多考花了不少時(shí)間，最終沒有到正確的結(jié)論，它恰是一個(gè)平圖形的折疊問題；我們這節(jié)課要論的話題就是平面形的折疊問題；下面請(qǐng)我們的賓閃亮登場(chǎng)！2009年高考浙江卷的第17題是如圖，在長(zhǎng)方形

ABCD

中，

，

BC

，

為

DC

的中點(diǎn)，

F

為線段

EC（端點(diǎn)除外）上動(dòng)點(diǎn)．現(xiàn)將

沿

折起，使平面

ABD

平面

．在平面ABD

內(nèi)過點(diǎn)

D

作

DKAB

，

K

為垂足．設(shè)

AK

，則

t

的取值范圍是

D

E

F

C

D2研討法總結(jié)律師生研討這個(gè)問的常規(guī)解法,并總

AK

B

A

K

FB

C結(jié)解決平面圖形疊問題的解題要點(diǎn)．分1：點(diǎn)F確時(shí),不發(fā)現(xiàn)折疊以后的體圖也隨之確定,若令x,且以表示成關(guān)于x的數(shù),再求出函數(shù)的值,可得到的值范圍．解1：題意可知二面角

是直二面角又DKAB,所以DK面

,作

AF

于

,連結(jié)

DG

,則

DGAF

,故在折疊前,

D,,K

三點(diǎn)共線,因此問題又可回到平面圖形之中,設(shè)則1,RtADF和Rt中,

ADKGAKAFD

,所

ADDFAD

，以

xtAD

2

，故t

11x，所以

.評(píng)：決本題的關(guān)鍵是目標(biāo)函的建立，如何把

t

表示成關(guān)于

x

的函數(shù)，即如何得到關(guān)于和的程；由于折疊前后僅僅是與邊ABCF的對(duì)位置生了變化此

x

和

t

的大小在折疊前是不變的述解法的可取之處是在找關(guān)于

x

和

t的方程時(shí)，完全歸到平面圖圖形中進(jìn)行．由此結(jié)解決平面圖形折疊問題要特別注的要點(diǎn)是（師生論總結(jié),1

3轉(zhuǎn)換角優(yōu)化法啟發(fā)學(xué)生從不同視角看這個(gè)問題,得到一些新的解法,交流討論大致還有以三種解法：分２：意到立體圖形中，DK平面，因此可以點(diǎn)K原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，用坐標(biāo)法之．則

解2：在空間圖形中建立空間直坐標(biāo)系如圖設(shè)FC2所以t

,

FDt12

,由于AD所以

2

,即

t

12

,故有

12

．評(píng)：本解法的基思路與解法一本質(zhì)上相同即用目標(biāo)函數(shù)法解之,僅僅是使用的工具不同而其關(guān)鍵是“現(xiàn)”DAF仍直解三角形分3：由于FAB的小確定時(shí)，點(diǎn)也之確定，折后的立體圖形也確定了，因此也可以擇FAB為標(biāo)函數(shù)變量．解法3：設(shè)

，則

2

，設(shè)折疊后

DAK

，則t

，由于二面角

是直二面角所以DAFcosDAK

，即

，所以

tan

，由于點(diǎn)

F

在線段

EC

上（不包括端點(diǎn)以

12

，從而有

12

．評(píng)：解法之所以比前給出的解法簡(jiǎn)單，其主要原因我們選擇了一個(gè)“好的變量常情況下，在用目標(biāo)函數(shù)解立體幾何范圍問題時(shí)，選角的大小為變量比選擇線段長(zhǎng)為變要簡(jiǎn)捷一些．分4：注意到本題是填空題，不需要給出運(yùn)算過程解1顯得過于“隆重因此也可用一些不擇手段的手段”解決之，求極限位置時(shí)的參變量的值即可得結(jié)論解4：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)F與重合時(shí)，可求得

tAKAD，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)C重2

合時(shí)，可求得

tAK

11，以可猜想的值范圍是222

．評(píng)：然這種解法不是很嚴(yán)謹(jǐn)，也是在應(yīng)試中不錯(cuò)的選擇．4順?biāo)蹟U(kuò)大果我們不難發(fā)現(xiàn)點(diǎn)F的置確定時(shí),體圖形也完全確定了,以立體圖形中的一些幾何量的取值圍也是確定的，因此我們可以過“復(fù)制”原問題的解法求解一立體圖中的幾何量范圍問題作時(shí)可先由教師提出問題1后由學(xué)生發(fā)其它問題；問1設(shè)二角

D

的大小為

，求

的取值范圍．解答：由解法1可知：為二面角

D

的平角，

,

Rt中,cos

GK由可cosDG

．問2設(shè)直DA與面ABC所的角為的值范圍．解：見DAK為直線DA與平面ABC所成角為RtDAK中,cos

AK所以AD

cos

，故

0

0

．問：求的長(zhǎng)x的取值范圍．解：

中AB

設(shè)

則由問可知

12

cos

所以

cos

，所以BD

．問：設(shè)四棱錐

DABCF

的體積為

Vf

，求函數(shù)

Vf

的表達(dá)式．解：設(shè)

DFx,

則由解法１可知

xt

，且

DK

，四邊形

的面積為

ADF

12t

，11tS12232t

（其中

12

5改變件多方究若改變?cè)}的條，把題設(shè)改為在長(zhǎng)方形中BC為

D的中點(diǎn)F為線段（點(diǎn)除外動(dòng)點(diǎn)

DEF

C將AFD沿折，使二角DFA為直二面角你能設(shè)計(jì)出幾個(gè)立體幾何問題并給出解面是學(xué)生給出的一些問及解答

A

GM

B

A

M

B

G

F

C問1:

求

的取值范圍.3

解答：設(shè)

FAB

,則

DAF2

,且

12

,直二面DFA,DABcosFAB

即

sin22

,為

1tan，所cos25

．問：設(shè)BDm求m的值范圍．解:在

中

,

DAB

,由問題可知

25

,由余弦定理可得

所以3

855

．問：設(shè)二面角

的小為,求tan的值范圍．解：作DGAF于G則平面AFB,作AB于M連接MD,則DM所DMG是二面角

的設(shè)

,則

2

,

DG

,

GMsin

,

RtDMG中

tan

DGGMsin

cos

,由于

12

為銳）所以

12

,注意到函數(shù)

f

t

是區(qū)間,5

上的增函數(shù)此可得

tan問4:異面直線

DA

和

BC

所成的角為

,

的取值范圍.解設(shè)

則

152

,

AH//

,則

HAF

,DAH

即為直線

和

所成的角為

,于二面角

DH

為直二面角以DAHcosDAFFAH

,即

2

所以

115

．問：設(shè)

DFx

四棱錐

D

的體積為

V

，求函

的表達(dá)式解答:四邊形

ABCF

的面積為

ADF

12

,作

DGAF

于

,則4

DG面AFB

,DG

x1

2

,

42fx1

(其中

x

)．事實(shí)上，對(duì)于“F位置”和“二面

D

的大小”這兩個(gè)件中，若兩者全部加以固，則可以編擬出很多個(gè)有關(guān)立幾何的求值（空間角、空間距離的計(jì)算問題；若兩固定其中之一，則可以編擬出多有關(guān)立體幾何的求空間角、空距離的取值范圍的題．6運(yùn)用疊推陳新不難發(fā),在本問題的敘述程,就描述平面圖折疊成為立體圖形的過程，我們不妨稱之為“顯的”平面圖形折疊問題；其實(shí)立體幾何試題中也有一些題目,題目中雖然沒有平圖形折疊成為立體圖的描述，又可以看成是平面圖形的折疊問，我們不妨稱為“性的”平面圖形折疊問題；對(duì)“隱性的”平面圖形折疊問題往可以包裝成“顯性”平面圖形折疊問題；請(qǐng)同學(xué)把09年浙江省理科試中的立體幾何解答題包裝成個(gè)平面圖形的折疊問如圖平

PAC

平面

ABC

，ABC

是以

為斜邊的等腰直角三角F,O

分別為

，

，

的中點(diǎn)，16

，

PA10

．（1設(shè)

G

是

OC

的中點(diǎn)，證明：

//

平面

；（2）明：在內(nèi)在一點(diǎn)M，使FM平面BOE

，并求點(diǎn)

M

到

，

的距離．如圖平面四邊形PABC中PC10,BA2,ABCRt

,

分別是

、

AC

的中點(diǎn)G

是

OC

的中點(diǎn)，

P

P今沿對(duì)