2023北京海淀高考二模數(shù)學(xué)理(含解析)

1/1海淀區(qū)高三年級(jí)第二學(xué)期期末練習(xí)數(shù)學(xué)〔理科〕2023．5一、選擇題：本大題共8小題，每題5分，共40分．在每題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1．集合，，那么〔〕．A．B．C．D．2．?dāng)?shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，，那么的值為〔〕．A．B．C．或D．或3．如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形內(nèi)有不規(guī)那么圖形．向正方形內(nèi)隨機(jī)撒豆子，假設(shè)撒在圖形內(nèi)和正方形內(nèi)的豆子數(shù)分別為，那么圖形面積的估計(jì)值為〔〕．A．B．C．D．4．某空間幾何體的三視圖如右圖所示，那么該幾何體的外表積為〔〕．A．B．C．D．5．在四邊形中，“，使得〞是“四邊形為平行四邊形〞的〔〕．A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件6．用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，且5不排在百位，2，4都不排在個(gè)位和萬(wàn)位，那么這樣的五位數(shù)個(gè)數(shù)為〔〕．A．B．C．D．7．雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，且恰為拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)雙曲線與該拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為，假設(shè)是以為底邊的等腰三角形，那么雙曲線的離心率為〔〕．A．B．C．D．8．假設(shè)數(shù)列滿足：存在正整數(shù)，對(duì)于任意正整數(shù)都有成立，那么稱(chēng)數(shù)列為周期數(shù)列，周期為．?dāng)?shù)列滿足，那么以下結(jié)論中錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔〕．A．假設(shè)，那么可以取個(gè)不同的值B．假設(shè)，那么數(shù)列是周期為的數(shù)列C．且，存在，是周期為的數(shù)列D．且，數(shù)列是周期數(shù)列二、填空題：本大題共6小題，每題5分，共30分．9．在極坐標(biāo)系中，極點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)______．10．，那么按照從大到小排列為_(kāi)_____．11．直線過(guò)點(diǎn)且傾斜角為，直線過(guò)點(diǎn)且與直線垂直，那么直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______．12．在中，，那么_____；_____．13．正方體的棱長(zhǎng)為，假設(shè)動(dòng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，那么的取值范圍是__________．14．在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到兩條坐標(biāo)軸的距離之和等于它到點(diǎn)的距離，記點(diǎn)的軌跡為曲線．〔I〕給出以下三個(gè)結(jié)論：①曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；②曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；③曲線與軸非負(fù)半軸，軸非負(fù)半軸圍成的封閉圖形的面積小于；其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是_____；〔Ⅱ〕曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值為_(kāi)_____．三、解答題：本大題共6小題，共80分．解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．15．〔本小題總分值13分〕函數(shù)．〔Ⅰ〕求函數(shù)的定義域；〔Ⅱ〕求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

16．〔本小題總分值13分〕福彩中心發(fā)行彩票的目的是為了獲取資金資助福利事業(yè)，現(xiàn)在福彩中心準(zhǔn)備發(fā)行一種面值為元的福利彩票刮刮卡，設(shè)計(jì)方案如下：〔1〕該福利彩票中獎(jiǎng)率為；〔2〕每張中獎(jiǎng)彩票的中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金有元，元和元三種；〔3〕顧客購(gòu)置一張彩票獲得元獎(jiǎng)金的概率為，獲得元獎(jiǎng)金的概率為．〔Ⅰ〕假設(shè)某顧客一次性花元購(gòu)置兩張彩票，求其至少有一張彩票中獎(jiǎng)的概率；〔Ⅱ〕為了能夠籌得資金資助福利事業(yè)，求的取值范圍．

17．〔本小題總分值14分〕如圖1，在直角梯形中，，，，．把沿對(duì)角線折起到的位置，如圖2所示，使得點(diǎn)在平面上的正投影恰好落在線段上，連接，點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn)．〔Ⅰ〕求證：平面平面；〔Ⅱ〕求直線與平面所成角的正弦值；〔Ⅲ〕在棱上是否存在一點(diǎn)，使得到點(diǎn)四點(diǎn)的距離相等？請(qǐng)說(shuō)明理由．

18．〔本小題總分值13分〕函數(shù)，點(diǎn)為一定點(diǎn)，直線分別與函數(shù)的圖象和軸交于點(diǎn)，，記的面積為．〔Ⅰ〕當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；〔Ⅱ〕當(dāng)時(shí)，假設(shè)，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

19．〔本小題總分值14分〕橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)恰好是一邊長(zhǎng)為，一內(nèi)角為的菱形的四個(gè)頂點(diǎn)．〔Ⅰ〕求橢圓的方程；〔Ⅱ〕直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求〔為原點(diǎn)〕面積的最大值．

20．〔本小題總分值13分〕設(shè)是由個(gè)實(shí)數(shù)組成的行列的數(shù)表，如果某一行〔或某一列〕各數(shù)之和為負(fù)數(shù)，那么改變?cè)撔小不蛟摿小持兴袛?shù)的符號(hào)，稱(chēng)為一次“操作〞．〔Ⅰ〕數(shù)表如表1所示，假設(shè)經(jīng)過(guò)兩次“操作〞，使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)實(shí)數(shù)，請(qǐng)寫(xiě)出每次“操作〞后所得的數(shù)表〔寫(xiě)出一種方法即可〕；〔Ⅱ〕數(shù)表如表2所示，假設(shè)必須經(jīng)過(guò)兩次“操作〞，才可使表1得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)整數(shù)，求整數(shù)的所有可能值；〔Ⅲ〕對(duì)由個(gè)實(shí)數(shù)組成的行列的任意一個(gè)數(shù)表，能否經(jīng)過(guò)有限次“操作〞以后，使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之表2和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)整數(shù)？請(qǐng)說(shuō)明理由．

海淀區(qū)高三年級(jí)第二學(xué)期期末練習(xí)數(shù)學(xué)〔理〕參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2023．5一、選擇題〔本大題共8小題，每題5分，共40分〕題號(hào)12345678答案BDCBCABD二、填空題〔本大題共6小題，每題5分，有兩空的小題，第一空3分，第二空2分，共30分〕9．10．11．12．；13．14．②③；三、解答題〔本大題共6小題，共80分〕15．〔本小題總分值13分〕〔Ⅰ〕解：因?yàn)?，所以，…?分所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?分〔Ⅱ〕解：因?yàn)椤?分，……8分又的單調(diào)遞增區(qū)間為，令，解得，……11分又注意到，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，．…………13分16．〔Ⅰ〕解：設(shè)至少一張中獎(jiǎng)為事件那么，…4分〔Ⅱ〕解：設(shè)福彩中心賣(mài)出一張彩票可能獲得的資金為，那么可以取，…6分的分布列為…8分所以的期望為，…11分所以當(dāng)時(shí)，即，…12分所以當(dāng)時(shí)，福彩中心可以獲取資金資助福利事業(yè)．…………13分17．〔Ⅰ〕證明：因?yàn)辄c(diǎn)在平面上的正投影恰好落在線段上，所以平面，所以，…1分因?yàn)樵谥苯翘菪沃校?，，，，所以，，所以是等邊三角形，所以是中點(diǎn)，…2分所以，…3分同理可證，又，所以平面．…5分〔Ⅱ〕解：在平面內(nèi)過(guò)作的垂線，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，那么，，，………6分因?yàn)?，，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，所以有，即，令那么所以，?分，…10分所以直線與平面所成角的正弦值為．…11分〔Ⅲ〕證明：存在，事實(shí)上記點(diǎn)為即可，…12分因?yàn)樵谥苯侨切沃校?，?3分在直角三角形中，點(diǎn)，所以點(diǎn)到四個(gè)點(diǎn)的距離相等．…14分18．〔Ⅰ〕解：因?yàn)?，其中，?分當(dāng)，，其中，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以在上遞增，…4分當(dāng)時(shí)，，，令，解得，所以在上遞增，令，解得，所以在上遞減，…………7分綜上，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，的單調(diào)遞增區(qū)間為．〔Ⅱ〕因?yàn)?，其中，?dāng)，時(shí)，，因?yàn)椋沟?，所以在上的最大值一定大于等于，，令，得，?分當(dāng)時(shí)，即時(shí)，對(duì)成立，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，令，解得，所以，…10分當(dāng)時(shí)，即時(shí)，對(duì)成立，單調(diào)遞增，對(duì)成立，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，令，解得，所以．…12分綜上所述，．…13分19．〔Ⅰ〕解：因?yàn)闄E圓的四個(gè)頂點(diǎn)恰好是一邊長(zhǎng)為2，一內(nèi)角為的菱形的四個(gè)頂點(diǎn)，所以，橢圓的方程為…4分〔Ⅱ〕解：設(shè)，因?yàn)榈拇怪逼椒志€通過(guò)點(diǎn)，顯然直線有斜率，當(dāng)直線的斜率為時(shí)，那么的垂直平分線為軸，那么，所以，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值為．………6分當(dāng)直線的斜率不為時(shí)，那么設(shè)的方程為，所以，代入得到，當(dāng)，即，①方程有兩個(gè)不同的解又，，…9分所以，又，化簡(jiǎn)得到，②代入①，得到，…10分又原點(diǎn)到直線的距離為，，所以，化簡(jiǎn)得到，…12分因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大值．綜上，面積的最大值為．…14分20．〔Ⅰ〕解：法一：法二：法三：…3分〔Ⅱ〕解：每一列所有數(shù)之和分別為，每一行所有數(shù)之和分別為，；①如果首先操作第三列，那么那么第一行之和為，第二行之和為，這兩個(gè)數(shù)中，必須有一個(gè)為負(fù)數(shù)，另外一個(gè)為非負(fù)數(shù)，所以或，當(dāng)時(shí)，那么接下來(lái)只能操作第一行，此時(shí)每列之和分別為，必有，解得，當(dāng)時(shí)，那么接下來(lái)操作第二行，此時(shí)第列和為負(fù)，不符合題意．…6分②如果首先操作第一行那么每一列之和分別為，，，，當(dāng)時(shí)，每列各數(shù)之和已經(jīng)非負(fù)，不需要進(jìn)行第二次操作，舍掉，當(dāng)時(shí)，，至少有一個(gè)為負(fù)數(shù)，所以此時(shí)必須有，即，所以或，經(jīng)檢驗(yàn)，或符合要求．綜上：．…9分〔Ⅲ〕證明：能經(jīng)過(guò)有限次操作以后，使得得到的數(shù)表所有的行和與所有的列和均為非負(fù)實(shí)數(shù)．證明如下：記數(shù)表中第行第列的實(shí)數(shù)為〔〕，各行的數(shù)字之和分別為，各列的數(shù)字之和分別為，，，數(shù)表中個(gè)實(shí)數(shù)之和為，那么．記．按要求操作一次時(shí)，使該行的行和〔或該列的列和〕由負(fù)變正，都會(huì)引起〔和〕增大，從而也就使得增加，增加的幅度大于等于，但是每次操作都只是改變數(shù)表中某行〔或某列〕各數(shù)的符號(hào)，而不改變其絕對(duì)值，顯然，必然小于等于最初的數(shù)表中個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值之和，可見(jiàn)其增加的趨勢(shì)必在有限次之后終止．終止之時(shí)，必是所有的行和與所有的列和均為非負(fù)實(shí)數(shù)，否那么，只要再改變?cè)撔谢蛟摿械姆?hào)，就又會(huì)繼續(xù)上升，導(dǎo)致矛盾，故結(jié)論成立．……13分

北京市海淀區(qū)高三統(tǒng)一測(cè)試數(shù)學(xué)〔理科〕選填解析選擇題【答案】B【解析】解：因?yàn)椋裕畱?yīng)選B．【答案】D【解析】解：由題意得或．應(yīng)選D．【答案】C【解析】解：由幾何概型的知識(shí)可知，所以．應(yīng)選C．【答案】B【解析】解：畫(huà)出直觀圖可知該立體圖形為正方體與正四棱錐組成，所以．應(yīng)選B．【答案】C【解析】解：當(dāng)時(shí)，可知，故四邊形為平行四邊形；四邊形為平行四邊形，那么，此時(shí)，故，使得．應(yīng)選C．【答案】A【解析】解：由題可知都不排在個(gè)位和萬(wàn)位共有種，其中排在百位的有種，所以滿足條件的共有．應(yīng)選A．【答案】B【解析】解：由題可知作圖，過(guò)點(diǎn)做拋物線準(zhǔn)線的垂線，交于點(diǎn)，由拋物線的定義可知，因?yàn)閽佄锞€方程為，所以；綜上可知四邊形為正方形，所以，由雙曲線的定義可知，即，，所以．應(yīng)選B．【答案】D【解析】解：A．可以經(jīng)過(guò)兩次減得到，也可以經(jīng)過(guò)先減，再取倒數(shù)得到，還可以是先取倒數(shù)，然后減得到，但是不可能經(jīng)過(guò)兩次取倒數(shù)得到．因此可以取個(gè)不同的值：，，．B．，，，……，周期為．C．設(shè)滿足，即．此時(shí)一個(gè)周期之內(nèi)的所有項(xiàng)為：．可以取為其中除了以外的任意一個(gè)值．D．假設(shè)數(shù)列是周期數(shù)列，那么必有小于的項(xiàng)．而且，不可能是正整數(shù)，故不能寫(xiě)成的形式，，故數(shù)列不是周期數(shù)列．〔假設(shè)為正整數(shù)，那么是有理數(shù)，于是也是有理數(shù)．其中，假設(shè)是有理數(shù)，那么，由于是正整數(shù)，故可設(shè)，于是，無(wú)解．故不是有理數(shù)〕注：=1\*GB3①對(duì)于正實(shí)數(shù)軸上的點(diǎn)，設(shè)數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的實(shí)數(shù)為，點(diǎn)所表示的實(shí)數(shù)是點(diǎn)的倒數(shù)．考慮一個(gè)點(diǎn)從實(shí)數(shù)軸上的出發(fā)，由于在的左邊，因此點(diǎn)隨后跳到右邊的處．在此之后，只要該點(diǎn)在的右邊，就往左移動(dòng)個(gè)單位；只要該點(diǎn)在的左邊，就移動(dòng)到其倒數(shù)所表示的點(diǎn)的位置．因?yàn)槭钦麛?shù)，因此此時(shí)的是周期數(shù)列，且周期為．現(xiàn)將點(diǎn)向點(diǎn)移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)會(huì)相應(yīng)地向右移動(dòng)〔保持乘積為〕，于是兩點(diǎn)之間的距離逐漸增大．，，在此過(guò)程中必定存在有某個(gè)時(shí)刻，兩點(diǎn)之間的距離恰為，此時(shí)是周期數(shù)