機械臂的雅可比矩陣

5.2雅可比矩陣5.2.1雅可比矩陣的定義存在怎樣的關(guān)系？兩空間之間的線性映射關(guān)系—雅可比矩陣（簡稱雅可比）。它可以看成是從關(guān)節(jié)空間到操作空間運動速度的傳動比，同時也可以用來表示兩空間之間力的傳遞關(guān)系。首先來看一個兩自由度的平面機械手，如圖所示。兩自由度平面機械手容易求得將其微分得寫成矩陣形式假設關(guān)節(jié)速度為，手爪速度為。簡寫成：

dx=Jdθ。式中J就稱為機械手的雅可比（Jacobian）矩陣，它由函數(shù)x，y的偏微分組成，反映了關(guān)節(jié)微小位移dθ與手部（手爪）微小運動dx之間的關(guān)系。對dx=Jdθ兩邊同除以dt，得可以更一般的寫成。

因此機械手的雅可比矩陣定義為它的操作空間速度與關(guān)節(jié)空間速度的線性變換。（或v）稱為手爪在操作空間中的廣義速度，簡稱操作速度，為關(guān)節(jié)速度。J若是6×n的偏導數(shù)矩陣，它的第i行第j列的元素為：式中，x代表操作空間，q代表關(guān)節(jié)空間。若令J1，J2分別為上例中雅可比矩陣的第一列矢量和第二列矢量，即可以看出，雅可比矩陣的每一列表示其它關(guān)節(jié)不動而某一關(guān)節(jié)以單位速度運動產(chǎn)生的端點速度。由，可以看出，J陣的值隨手爪位置的不同而不同，即θ1和θ2的改變會導致J的變化。對于關(guān)節(jié)空間的某些形位，機械手的雅可比矩陣的秩減少，這些形位稱為操作臂（機械手）的奇異形位。上例機械手雅可比矩陣的行列式為：det(J)=l1l2s2當θ2=0°或θ2=180°時，機械手的雅可比行列式為0，矩陣的秩為1，因此處于奇異狀態(tài)。在奇異形位時，機械手在操作空間的自由度將減少。只要知道機械手的雅可比J是滿秩的方陣，相應的關(guān)節(jié)速度即可求出，即。上例平面2R機械手的逆雅可比于是得到與末端速度相應的關(guān)節(jié)速度：顯然，當θ2趨于0°（或180°）時，機械手接近奇異形位，相應的關(guān)節(jié)速度將趨于無窮大。5.2.2雅可比矩陣的構(gòu)造法雅可比矩陣既可以當成是從關(guān)節(jié)空間向操作空間的速度傳遞的線性關(guān)系，也可以看成是微分運動轉(zhuǎn)換的線性關(guān)系，即將手爪的線速度和角速度表示為各關(guān)節(jié)速度的線性函數(shù)：一、矢量積的方法(1)對于移動關(guān)節(jié)i，則(2)對于轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)i，則式中，表示手爪坐標原點相對坐標系{i-1}的位置矢量在基坐標系{0}中的表示，即；是坐標系{i-1}的z軸單位矢量（在基坐標系{0}中表示）。二、微分變換法雅可比矩陣的第ｉ列為式中，n,o,a和p是的四個列向量。因此，這種構(gòu)造法只需要知道各連桿變換就能很容易求出雅可比，而不需要求導和解方程等計算。三、兩種方法的轉(zhuǎn)換關(guān)系由上述兩種方法得出的雅可比存在以下的關(guān)系：或5.3機器人的靜力學存在怎樣的關(guān)系？機器人與外界環(huán)境相互作用時，在接觸的地方要產(chǎn)生力和力矩，統(tǒng)稱為末端廣義（操作）力矢量。記為稱為關(guān)節(jié)力矢量利用虛功原理，令各關(guān)節(jié)的虛位移為δqi，末端執(zhí)行器相應的虛位移為D。根據(jù)虛位移原理，各關(guān)節(jié)所作的虛功之和與末端執(zhí)行器所作的虛功應該相等，即簡寫為:又因為,所以得到與之間的關(guān)系式中稱為機械手的力雅可比。它表示在靜態(tài)平衡狀態(tài)下，操作力向關(guān)節(jié)力映射的線性關(guān)系。若J是關(guān)節(jié)空間向操作空間的映射（微分運動矢量），則把操作空間的廣義力矢量映射到關(guān)節(jié)空間的關(guān)節(jié)力矢量。關(guān)節(jié)空間操作空間雅可比J雅可比JT若已知則有{T}{0}{0}{T}{B}{A}{A}{B}JTJ根據(jù)前面導出的兩坐標系{A}和{B}之間廣義速度的坐標變換關(guān)系，可以導出{A}和{B}之間廣義操作力的坐標變換關(guān)系。例：如圖所示的平面2R機械手，手爪端點與外界接觸，手爪作用于外界環(huán)境的力為，若關(guān)節(jié)無摩擦力存在，求力的等效關(guān)節(jié)力矩。解：由前面的推導可知所以得例：如圖所示的機械手夾扳手擰螺絲，在腕部（{Os}）裝有力/力矩傳感器，若已測出傳感器上的力和力矩，求這時作用在螺釘上的力和力矩。(