教版數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)

有一個(gè)聰明的學(xué)生這樣回答老師的提問(wèn)老師問(wèn)!假如你在森林里遇險(xiǎn)"前面有狼"背后有虎"你怎么辦#學(xué)生答!我往旁邊去!不必羨慕他比你聰明!只要你學(xué)了向量"也能想到地面上除了前進(jìn)后退還有別的方向"可以向左或向右地面上的運(yùn)動(dòng)有無(wú)窮多個(gè)不同方向"不能用一個(gè)實(shí)數(shù)表示"需要用向量表示!向量可以用幾何線段來(lái)表示"向量運(yùn)算代表圖形的幾何性質(zhì)!同時(shí)向量運(yùn)算受代數(shù)運(yùn)算律指揮"由代數(shù)運(yùn)算可得出幾何結(jié)論!向量是溝通幾何與代數(shù)的橋梁!"#""寫成"好比用兩把尺子量出兩個(gè)實(shí)數(shù)"""組成坐標(biāo)來(lái)代表向量"并且用坐標(biāo)運(yùn)算代表向量運(yùn)算!用坐標(biāo)$%#表示向量有利于做代數(shù)運(yùn)算!但向量的主要幾何性質(zhì)是大小和方向"由線段長(zhǎng)度&和表示方向的角!刻畫!因此需要將&$%與坐標(biāo)$"相互轉(zhuǎn)換!三角函數(shù)是實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)換的橋梁!同一個(gè)角的不同三角函數(shù)需要轉(zhuǎn)換"兩個(gè)角的三角函數(shù)需要轉(zhuǎn)換為它們的和&差&倍角的三角函數(shù)"三角恒等變換是實(shí)現(xiàn)這些轉(zhuǎn)換的橋梁!"軸正方向的!!沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)變成#軸正方向的!"!將這個(gè)旋轉(zhuǎn)動(dòng)作記作則!"&!&"表示旋轉(zhuǎn)兩個(gè)"即旋轉(zhuǎn)就是乘!"可見(jiàn) !!將&看成數(shù)"稱其為虛數(shù)單位"它表示的旋轉(zhuǎn)卻很實(shí)在!平面向量"!!!!減法代表向量加減法"還可以用復(fù)數(shù)乘法代表向量旋轉(zhuǎn)角復(fù)數(shù)也是橋梁!我們地面上"但并不是平面里"而是空間中!居住的房屋"使用的器具"都是幾何體!本冊(cè)將介紹立體幾何初步知識(shí)"幫你初步了解一些簡(jiǎn)單幾何體"主要是平面圖形圍成或者旋轉(zhuǎn)而成的柱&錐&臺(tái)&球"1且了解這些平面圖形所在平面或直線的相互位置關(guān)系!平行"垂直我們以前學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)"大多數(shù)是根據(jù)確定的規(guī)律由事情的原因決定結(jié)果!天有不測(cè)風(fēng)云"人有旦夕禍福"有大量現(xiàn)象不能由原因決定結(jié)果"具有偶然性"這些現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象!隨機(jī)現(xiàn)象也有一定的規(guī)律概率是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的學(xué)科!本冊(cè)將結(jié)合具體的實(shí)例"對(duì)概率的基本性質(zhì)做初步的介紹!數(shù)學(xué)知識(shí)是事物的普遍規(guī)律!從特殊現(xiàn)象總結(jié)規(guī)律"用普遍規(guī)律解決具體問(wèn)題"都需要透過(guò)事物特殊性質(zhì)發(fā)現(xiàn)共同規(guī)律"將具體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題"利用數(shù)學(xué)工具求解"再將數(shù)學(xué)解轉(zhuǎn)化為具體解決方案!整個(gè)過(guò)程就是架設(shè)實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)理論之間的橋梁"即數(shù)學(xué)建模!向量#三函數(shù)#復(fù)數(shù)#立體幾何#概率統(tǒng)計(jì)都是數(shù)學(xué)模建造的橋梁!本冊(cè)還將補(bǔ)充 貼近生活的例子!當(dāng)然"在我們 的路途中"數(shù)學(xué)文化$數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)$都不容錯(cuò)過(guò)!在這里" 了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程"認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在推文明進(jìn)程中所起到的作感悟數(shù)學(xué)的價(jià)值!而在數(shù)學(xué)實(shí)踐中積極應(yīng)用"將使我們的學(xué)習(xí)之走越寬!讓我們?cè)趶V闊的數(shù)學(xué)天地中踏步前行吧2 %* !向 #向量的加 %向量的數(shù) &向量的分解與坐標(biāo)表 '向量的數(shù)量 $解三角 (平面向量的應(yīng)用舉 小結(jié)與復(fù) 復(fù)習(xí)題 ,- 兩角和與差的三角函

二倍角的三角函 簡(jiǎn)單的三角恒等變 小結(jié)與復(fù) 復(fù)習(xí)題 %"

復(fù)數(shù)的概 %#復(fù)數(shù)的四則運(yùn) 復(fù)數(shù)的幾何表 復(fù)數(shù)的三角表 數(shù)學(xué)文化數(shù)系擴(kuò)充簡(jiǎn) 小結(jié)與復(fù) 復(fù)習(xí)題 1 '( !空間的幾"平面' 直線與直線!直線與平面的位置$ 平面與平面的位置數(shù)學(xué)實(shí) 正四棱錐的截幾種簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體 數(shù)學(xué)文化幾何學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)小結(jié)與復(fù)復(fù)習(xí) ! 與樣本空 %*

概率及運(yùn) *'用頻率估計(jì)概 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)用計(jì)算機(jī)模擬擲質(zhì)地均勻的硬幣試 隨 的獨(dú)立 數(shù)學(xué)文化概率論發(fā)展簡(jiǎn) 復(fù)習(xí)

!#",- %)

走進(jìn)異彩紛呈的數(shù)學(xué)建模世 %" 從自 理 )'數(shù)學(xué)建模案例一%最佳視 %)

數(shù)學(xué)建模案例二%曼哈頓距 %* 數(shù)學(xué)建模案例三%人數(shù)估 數(shù)學(xué)詞匯中英文對(duì)照 后 2幾何和代數(shù)是數(shù)學(xué)的兩個(gè)重要組成部分!幾何研究圖形!直觀形象易懂!但不易于計(jì)算!代數(shù)研究數(shù)的運(yùn)算!有現(xiàn)成規(guī)則可以遵循!但容易陷入數(shù)的海洋而不易理解算式的實(shí)際意義!向量既可以畫作幾何圖形!又可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算!還可以通過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為數(shù)的運(yùn)算!兼具幾何與代數(shù)的優(yōu)點(diǎn)!向量的出現(xiàn)將發(fā)揮溝通幾何與代數(shù)的橋梁本章從物理"幾何"代數(shù)三個(gè)角度來(lái)面向量及其運(yùn)算的幾何意義和代數(shù)意義!并嘗試運(yùn)用向量來(lái)刻畫和解決現(xiàn)實(shí)生活數(shù)學(xué)和物理中的一些問(wèn)題!!#我們已經(jīng)學(xué)了很多量!并且知道這些量可用實(shí)數(shù)帶單位來(lái)表示其大小!如一個(gè)物體的質(zhì)量$兩點(diǎn)之間的距離$一個(gè)圖形的面積等等!#$%!)*+!'-./2345#26<!!./:#$%!)*+!'-./2345#26<!!./:4#2體上的力!除了需知道它們的大小之外!還需知道它們的向!這些量都需要從大小和方向兩方面來(lái)描述 許多需要從大小和方向兩方面來(lái)刻畫的量! "#$%&'()*+,-我們從物理學(xué)中的位移出發(fā)!在物理學(xué)中!研究物體運(yùn)動(dòng)時(shí)!常常忽略物體的大小!把它當(dāng)作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)!用點(diǎn)來(lái)表示它的位置!質(zhì)點(diǎn)從位置"運(yùn)動(dòng)到位置!位置的改變稱為位移!位移只刻畫起點(diǎn)"與終點(diǎn)#的位置的差別!如圖!!從"到#雖然有不同的路線!但只要是從"到!其位移就都是相同的!都用帶箭頭的線段"表示!其中箭頭表示這條線段的方向是從"到!與質(zhì)點(diǎn)實(shí)際運(yùn)動(dòng)的路線無(wú)關(guān)!#" 這樣具有方向的線段!稱為有向線段

圖!!位移的大小就是"到#的直線距離!記作$#$!也就是有向線段"的長(zhǎng)度也記作 #$!像位移這樣既有大小又有方向的量!在數(shù)學(xué)中稱為向量物理學(xué)中許多需要考慮大小和方向的量!如速度$加速度$力等!都可以用向量來(lái)描述! 實(shí)數(shù)用普通的字母表示!如實(shí)數(shù)$%!!而向量"#$&%%&!向量!的大小!也就是向量!的長(zhǎng)度!稱為!的模!記作$$!每個(gè)向量!都可以用"段"來(lái)表示#如圖"! $從任一點(diǎn)! 出發(fā)畫射線$!其方向與!的方向相同!在$上截取線段!"!使 !!則"方向和長(zhǎng)度 $表了向量!的方向和大小!因而可以記

"" 圖!!"#$%!由物理學(xué)知識(shí)知道!如果一個(gè)質(zhì)點(diǎn)沿如圖 $所示圖!%()的邊從&運(yùn)動(dòng)到'!或者從)運(yùn)動(dòng)到(!這兩次位移雖然起點(diǎn)不同!但方向相同"長(zhǎng)度相等!就稱它圖!或相同位移$#類似地!我們把方向相同"長(zhǎng)度相等的向量為相等向量#例如!在圖!$中!"'

' & '&*與"雖然' & '&類似于相反數(shù)的定義!我們把長(zhǎng)度相等"方向相反的向量!"稱為相反向量!記作" !#如果" !則同樣也有! #"!&已知+為正六邊形&()-,的中心!在圖!%所標(biāo)出的向量中%#$找出與"相等的向量#$找出幾組相反向量 解#$"與"方向相同且長(zhǎng)度相等 "!""

為相反向量 圖! 圖!如圖!!已知向量!!"和點(diǎn)!!以點(diǎn)!為起點(diǎn)!分別畫有向線段的相反向量#的相反向量#$如圖!'!作有向線段

"!使"與同向且長(zhǎng)度相等!則即為!的相等向量

$ $ $!"如圖"$#作有向!#!與反向且長(zhǎng)度相等#!即為 的相反向量圖"觀察圖"%#圖"&和圖"$可以發(fā)現(xiàn)#若兩個(gè)向量相等或相反#則如果向量"的大小"

#就稱"是零向量#記作!#若

!#%! #它實(shí)際上是一個(gè)點(diǎn)#即停留在起點(diǎn)不動(dòng)#所表示的位移為零我約定#所有的!向量相等 $時(shí)

#從%到&只能有唯一的方向#而零向量

表示從%& 到%#可以是任意方向"#"#在如圖所示的坐標(biāo)紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為%#點(diǎn)%在點(diǎn)'北偏西方向!&# 在#&'##下列條件中能得到"!的是#"""第"題$#如圖'是正六邊形+的中心#且'!%&!%&()*+'"與"相等的向量有哪些"與#的模相等的向量有哪些第%題習(xí)題!!!從點(diǎn) 出發(fā)向西走!個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)!然后改變方向朝西北方走個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)!最后又向東走!個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)!試分別作出向*和!"#$&'($"

中!

相等的向量有哪些

的相反向量有哪些 ' '!如圖!在方格紙中!取兩個(gè)格子的格點(diǎn)"!#$)*$!*等的向量$!

的模相等的向 第#題% !%%#,%"#%,$$在模為%的向量中!相等的向量有多少對(duì)第!題 第&題!*"#$%)*中的任一點(diǎn)為起點(diǎn)!以與起點(diǎn)不同的另一點(diǎn)為終點(diǎn)的所有向量中!

!的向量個(gè)數(shù)為/!與向量

!的模相等的向量個(gè)數(shù)為!求/0!!"#$由線段圍成的多邊形是基本的幾何圖形!我們已經(jīng)會(huì)用向量來(lái)表示多邊形各邊的方向和長(zhǎng)度!還需要用向量的運(yùn)算來(lái)刻畫各邊之間的關(guān)系!"#$%&如圖#"!!一艘船從碼頭出發(fā)先往東行駛'到達(dá)位置!再往北行駛'到達(dá)位置!總的位移是多少"這艘船先從"到!再?gòu)?到!總的效果是從"到!因而其總位移是如圖#!$是$的斜邊!由勾股定理 圖#$!"!相加得到總位移$!"!相加得到總位移#!是&"#$$這樣的運(yùn)算有格稱為加法嗎兩段位! 段航程的位移"! # 段航程的位移"! 地把它定義為兩次位移之和

"#*$!從位移求和!我們引出下述向量的加法法則如圖#"#!已知兩個(gè)非零向量!!"!在平面上任取一點(diǎn)"!分別作 !則定義從到的向量"為!的和!記 #$

! !& & " 圖##$%'(,-"#$%'(,-"#$%$3456!7189&作向量加法的三角形法則!如果兩個(gè)向量!!"的方向相同或相反!對(duì)于這種特殊情況!我們用圖#! $來(lái)表示它們的和圖#!"#$%&'!如圖#"!若作用于同一點(diǎn)"的兩個(gè)力!#可"#由"出發(fā)的有向線 "來(lái)表示!則兩個(gè)力的合力"#!# 從#出發(fā)作"' "!則由三角形法則可 "'#&' !

#因?yàn)?與"$平行且相等!所以四邊形#"$是平行四邊形!因此!以上作#!$$#$對(duì)于方向既不相同也不相反的非零向量!!"!還有一種求和的作圖方法!"""!"!&'()*+,'-:;=?A9:,B!"""!"!&'()*+,'-:;=?A9:,BC8DEFIJMN"#$!#!"是!的!即 ! 圖#*+',-*數(shù)的運(yùn)算和運(yùn)算律緊密聯(lián)系!運(yùn)算律可以有效地簡(jiǎn)化運(yùn)算!類似地!向量的加法又有哪些運(yùn)算律呢#如圖'!設(shè) ! $( !'

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' ' ('! " !! #如圖#$!設(shè) ! ! " "$因?yàn)?# ' "' "'

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"'%!*!%所以#由上可知!向量的加法滿換律和結(jié)合律#

###'"##!(%!(("(證明由題知

"! " % "因 "$!'$ %'(! # !'% %&%$!%因此四邊形(是平行四邊形&!"#$%&'(!#%#!!#$'(#)."/%0*+,1解作"# !

*!'! !"#" 即!'" !于是點(diǎn)$與點(diǎn)!重合

長(zhǎng)度相等!方向相反!即!與"互為相反向量于是!對(duì)任意向量!$),如果兩個(gè)向量$),方向相反!即"是!的相反向量!記作 !$當(dāng)然!也是的相反向量!因此 "三個(gè)力!!"!#大小相等!作用于同一點(diǎn)%$" 三角形法則如圖"!作"

# # !則 ) $

以&為起點(diǎn)!作

!則'' !"# &() '!)又" """ '!)所 互為相反向' )又 "!因

' ((''于是') )因此!使三個(gè)大小相等%作用于同一點(diǎn)的力的合力為零的條件是!這三個(gè)力兩"兩之間的夾角為"'"平行四邊形法則如圖"!

!%&! )以為鄰邊作平行四邊形! ')

' &

!" )#由于'

$$$ # #!且 # $$ $$$"$$&''于是')) ((!("$因此!這三個(gè)力兩兩之間的夾角等于"($設(shè)%是等邊三角形&)的中心!求"! "!%&' )解 解!'!$如圖"!將等邊三角形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)!&'"!)!&!變成 ' ) 由向量加法的交換律可知!向量$旋轉(zhuǎn)之后仍是其于身$由于只有零向量在旋轉(zhuǎn)后仍是其自身! 圖"!' 于!'!)第!題"!有下列三個(gè)命題#%!的等價(jià)條件是點(diǎn)$與點(diǎn)&重合!點(diǎn)與點(diǎn)'重合%#若!""#且"!則!!!其中正 題 !點(diǎn)(是平行四邊形%'%'&#!(!對(duì)角線的交點(diǎn)!下列結(jié)論正確的是#!! ' !!%!"#$%!與數(shù)的減法一樣!向量的減法同樣作為向量加法的逆運(yùn)算引入$的減法!記為$!!$!"與!之差!" 因此

$%! !

%!也可以

!

($"經(jīng)過(guò)加法得

($ $%("% ! "%#

"!$!$'(),-.%&減去一個(gè)向量!!等于加上它的相反向量!!"!""#如圖"!!!任取一定點(diǎn)!從分別$%兩點(diǎn)的方向和距離!則點(diǎn)$%的位置由點(diǎn)分別到$%的兩量!!唯一表!!分別稱點(diǎn)$%的位置向量!也即分別代表了$%兩點(diǎn)的位置!因而等式!%

!的物理意義就是!因此"向量!

終點(diǎn)位置減起點(diǎn)

!起點(diǎn)位置 & "##"("表示向量!"! "&"(&% 由向量求和的平行四邊形法則" &(% ##

&

*(%如果向量!!"方向相同或相反!怎樣作出""#如果向量!!"方向相同或相反!怎樣作出""#$ #% 如圖#"在平面內(nèi)任取一點(diǎn)!"從同一o出發(fā)作!" 則!"

% % 如圖 "已知點(diǎn)!是平行四邊形( 兩條對(duì)角線的交點(diǎn)"若 "求 "&!"("' * #"%&( &&(

#&所 #"' '& 你還可以用其他方法你還可以用其他方法!")!& 所 !!%!#第!題"第"題"!!"#"!! "%$"""%"#習(xí)題習(xí)題!!如圖!根據(jù)圖示填空 G & $%"""##第!題!#%%!& ! &"!#&"%&"#第!題 第"題& %% $ #&*#!! $*% !%*"#

$## %!!求證$對(duì)任意向量%成立!!"#!"#!!"##設(shè)是正五邊形"的中心!求!

!*%*!*##

的中心!!****!#$+第&題#$+!"#$我們可用一把尺子去度量所有線段的長(zhǎng)度!也就是把每條線段的長(zhǎng)度寫成這把尺子的非負(fù)實(shí)數(shù)倍!如果把某個(gè)向量看作一把尺子!能用這把向量尺子去度量平面上的所有向量嗎如果不能!它可以度量平面內(nèi)哪些向量呢"#$%& !!在"#的延長(zhǎng)線上

#于是!很自然地

% #% !!!%!圖#!我們還可在圖#"!中作!的相反向量!!則 $!同樣可 !定義為!

%$倍!記

%由上可知$!!的長(zhǎng)度都是的$倍$!與!的方向相同! !一般地!實(shí)數(shù)!與向量!的乘積是一個(gè)向量!記作!!稱為!的!倍!它的 當(dāng)!%且

時(shí)!的方向(當(dāng)%時(shí)!與!同向

%當(dāng)!%或!$時(shí)!!!$或!!$求向量的實(shí)數(shù)倍的運(yùn)算稱為向量的數(shù)乘向量數(shù)乘的幾何意義就是把向量!沿著!的方向或!的反方向放大或縮小我們把向量的加法$減法$數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是一個(gè)向量如# 在#$%別"#*與#的長(zhǎng)度和 # *與#的長(zhǎng)度和 解 解 %& # # !(!((

圖###方向相同!

例!的結(jié)論就是三角形中位線定理!"!已知 !在直 外任取一 !從點(diǎn)出發(fā)作 如圖#

! 觀察圖#"!和圖"

圖##!可以發(fā)現(xiàn)!向量!與!&#可分別用同一條直線上的有向線段表示!也可分別用相互平行的有向線段表示一般地!如果非零向量!!"方向相同或相反!則可以將它們用同一條直線上的有向線段或相互平行的有向線段表示&因此!當(dāng)非零向量!!"方向相同或相反時(shí)! 稱!!"共線!也稱!!"平行!并且用符號(hào)'%來(lái)表示它們共線"或平行!記作!"&由于零向量的方向是任意的!可以看成與任何一個(gè)向量方向相同!因此我們規(guī)定&零向量與所有的向量平行&由向量平行和向量數(shù)乘的定義可以推知兩個(gè)向量平行 其中一個(gè)向量是另一個(gè)向量的實(shí)數(shù)倍 !'"(存在實(shí)數(shù)!!使得"!或!"&根據(jù)上述結(jié)論!可以將平面幾何中的共線或平行關(guān)系用向量的數(shù)乘運(yùn)算來(lái)描述, *對(duì)于線段"#與*,!如果存在實(shí)數(shù)!!使 設(shè)"#*三點(diǎn)不共線!將下列幾何語(yǔ)言用向量語(yǔ)言來(lái)描述&##,#! 的中點(diǎn) 圖$ $ 圖$%"(在%的延長(zhǎng)線上解如圖" !* 等 " $""!!# "## $ $ ! ! "$ $$ $ ! ! "$#$#兩個(gè)向量是否共線$也可從它們的夾角來(lái)判斷如圖$($設(shè)!$"是兩個(gè)非零向量$任選一點(diǎn)+$作$$$$則射%$"("%&$圍規(guī)定為()$!在這個(gè)規(guī)定下$兩個(gè)向量的夾角被唯一確定了$并有%$&%圖當(dāng)"'時(shí)$!$"方向相同#當(dāng)"!時(shí)$!$"方向相反)這兩種情形下!$"所在直線重合$即!$"共線)當(dāng)''"'!時(shí)$!$"所在直線相交于點(diǎn)+$即!$"不線$特別地$當(dāng)"!時(shí)$!與垂直$記作!!$!!可以規(guī)定零向量 的夾角為零向量與任一向量平行也可以規(guī)定!!$!!!的夾角為!$零向量與任一向量垂直!#*"# 第"題" # *#! "*!試判斷四邊形*的形狀!!"#$%&'!我們把長(zhǎng)度為!的向量稱為單位向量!它的長(zhǎng)度等于單位長(zhǎng)度對(duì)于任一非零向量!!都可得到與它方向相同的唯一單位向量 如圖#"

$!在一條筆直的 從家"點(diǎn)出發(fā)!往東走%%& 站"點(diǎn)乘車乘車往西行"(& 到達(dá)另 站"點(diǎn)%下車后往東%%& 車 從家走到學(xué)校應(yīng)往什么方向走$走多遠(yuǎn)圖# 以往東為正方向!&為單位長(zhǎng)度!則每次移動(dòng)的效果可分別用實(shí) 表示由 +" 因此!不乘車!從家走到學(xué)校應(yīng)往西走!并走- 分別 !且三次行走的總效在例#中!若記方向往東%長(zhǎng)度 分別 !且三次行走的總效 " 于是!三個(gè)位移$#$#!#加的結(jié)也就(" 對(duì)比"!!可以發(fā)現(xiàn)!正負(fù)數(shù)的加法可看作是計(jì)算這些正負(fù)數(shù)代表的向量的和一般地!在一條直線上任取單位向量"!則直線上任何向量!都可寫成! "!其中實(shí)數(shù))的絕對(duì)值代表向量!的模!)的正負(fù)代表!與"的方向相同或相反!反過(guò)來(lái)!任意給定一個(gè)實(shí)數(shù))!我們總能作一個(gè)向量!"!使它的長(zhǎng)度等于這個(gè)實(shí)數(shù))的絕對(duì)值!方向與實(shí)數(shù))的符號(hào)一致!于是!實(shí)數(shù)與共線向量之間可以建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系!也就是說(shuō)!我們可用數(shù)值來(lái)表示向量!這將為平面向量的數(shù)量化奠定基礎(chǔ)下面我們用向量的觀點(diǎn)來(lái)重新認(rèn)識(shí)初中學(xué)過(guò)的數(shù)軸在給定直線上任取一點(diǎn)#作為原點(diǎn)!其表示實(shí)數(shù)!取單位向#*!則點(diǎn)*示!!如圖#

圖#因此!在數(shù)軸上!任意一點(diǎn) 對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù) 由"!決定!所表示的實(shí)際 是原點(diǎn)$到點(diǎn)"的位移向量!!因而代表數(shù)軸上任意兩點(diǎn)"&之間的位移 ! (中的實(shí)數(shù) #就等于分別代表&"的實(shí)數(shù)#之差進(jìn)一步!我們可以推出由實(shí)數(shù)#(代表的共線向量的加$減$數(shù)乘運(yùn)算法則 !"#$%!"#*+#"""%對(duì)實(shí)數(shù)乘法的結(jié)合律#對(duì)向量加法的分配律

####% 的向量都是同一個(gè)向量"!的實(shí)數(shù)倍!因此運(yùn)算律##%可直接由實(shí)數(shù)運(yùn)算律###得出對(duì)于運(yùn)算律##!當(dāng)向量"#共線時(shí)!即均可寫成"##!!其中!為位向量!則可由實(shí)數(shù)運(yùn)算律#

+#當(dāng)"#不共線時(shí)!作 ! ! ! #!#!則

$&#- *"* 由由所以&-.'則-.!

!%. %&!

圖#因此 !!-.

#%特別地!當(dāng) !時(shí)!運(yùn)算律就是三角形中位線定理%"%"&"!證明因?yàn)?/p>

%如何應(yīng)用向量知識(shí)判如何應(yīng)用向量知識(shí)判 &$$所 所%'"%&" &%" '&$$試

!!!表

%& !% %& *' $ # % % $% # #%'

圖"

!! !! $& %&!# # #" # # #$&' 由例&的計(jì)算結(jié)果可知"表示線段%中點(diǎn))位置的向量!于表示線段兩個(gè)"%!$&

!"% !"% 等于表示三角形三個(gè)頂點(diǎn)"%&

!!

的平均值 &例&的還可以這樣計(jì)算 ) $ $ ) $)$) "$%'所 "%

%&#!!#""""*'!*!%&(!$%(!#!!習(xí)題習(xí)題'!"$*&$"!#! $#"%&!!&*"*分別與有什么關(guān)%"!已知線段&!試根據(jù)下列描述說(shuō)出*+的位置""!!!!&!!#!&!)'%&'!"*"##求證 +且#!%&'!!"第(題$ " 求證

#$$! ()*$(#*)!

"#("##"試判斷四邊形),的形狀!!%如何用向量語(yǔ)言描述點(diǎn)/的位置&提示$菱形的每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角"!()*% 第%題 "如圖#已知為!%的外心!"

'""'1滿足條 1滿足條已知1為#$%內(nèi)一點(diǎn)#若

&#求證$點(diǎn)!%

1#1$!"#$%&'()向量分解及坐標(biāo)表示"#$%&'()數(shù)學(xué)的任務(wù)就是把萬(wàn)事萬(wàn)物用數(shù)來(lái)刻畫!用運(yùn)算來(lái)研究!我們知道!一條直!上所有的向量都可以寫成該直線上單位向量!的實(shí)數(shù)倍!如 !并且用!來(lái)代表"這就好比用!作為尺子來(lái)度"#"!得到量數(shù)%!同樣的道理!該直線上#!#!&"!%""#!%%&!平面上的向量并不都共線!即不能寫成同一個(gè)向量!的實(shí)數(shù)倍!但可以取兩個(gè)不共線的向量作為尺子!將平面上任一向量表示成!"的實(shí)數(shù)倍之和! #$ !!過(guò)平面上 "("平行或共線!則 不與"(!平行或共線否則"(!與"("就會(huì)共線!因此與直線"(交于一點(diǎn))!則* *!" ! )!!!!于 )"+) !"!!!!

*%圖$! 這說(shuō)明對(duì)平面上任一個(gè)向 "!均可分解為兩個(gè)不共線向 !!"的 $%%&!")!! !,

明!!與!"共線!與已 !因此,同理可證 由此可得平面向量基本定理設(shè)是平面上兩個(gè)不共線向量"$"!$$"$!如果"!"!"!則" 我們稱不共線向量組成平面上的一組基!""分解式"!"中"取定了平面上一組基!"之后"可以將平面上每個(gè)向量"用它在這組基下的坐標(biāo)來(lái)表示"記為"%為平面的一組基"分別求向量!""!"!在基%!"$"為平面的一組基"分別求向量!""!"!在基%!" 下的坐標(biāo) *" "*(*" "** (* $,)#,

# !# #*!"因此""

!"!

!"

在基

"下的坐標(biāo)分別 """# !"! !"#$%&'()*+,-!在不共線的兩個(gè)向量中"垂直是一種重要的情形%把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量叫作把向量正交分解%$ &"設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中的$個(gè)點(diǎn)"且! !%在基!"

"!"

!分別是"軸和$軸上的單 圖$向量!并且相互垂直!因此不共線!則 組成平面上的一組基在"軸上取與#"$#橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)#!##!則#與$軸平行或共線在$軸上取與#"$#縱坐標(biāo)相同的點(diǎn)#"#$#!則#"#與"軸平行或共線因 !! ! "

#

$"!$!""#!平面上相互垂直的單位向量組成的基稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基!記作$#%!顯然! 建立平面直角坐標(biāo)系!若平面向量$的坐標(biāo)是$#!我們視其為$在 軸軸正方向上的單位向量!!!"組成的基下的坐標(biāo)!即 的坐標(biāo)為"$#!

!!其中點(diǎn)!$!"%!!

!以有向直 為軸 為軸 為單位長(zhǎng)度!建就是向#'!!面"角坐標(biāo)系!則任!點(diǎn) 就是向#'!!

!

在基$ 下的坐標(biāo)

如圖%!設(shè)單位向量!!!!的夾角(&!非零向量$的#)!且!(!!求$在基!下的坐標(biāo)圖% !則的坐標(biāo)就是點(diǎn)的坐標(biāo)"!! 建立平面直角坐標(biāo)系!其中%是原點(diǎn)!"!!的方向分別為"軸& !則的坐標(biāo)就是點(diǎn)的坐標(biāo)"!! !* " ) #!由角!的三角函數(shù)的定義 " 因 從 "因 !* !$!"%+#!例!的結(jié)論可以作為來(lái)應(yīng)用設(shè)單位向量!"!!的夾角"##!非零向量"的模!"且"*如圖-%設(shè)為一組標(biāo)準(zhǔn)正交基%用這組%解由圖可知 #%# 所以 $$ #$$% (# % 圖-設(shè)%(為一組標(biāo)準(zhǔn)正交基%已知 ##% #%%#$若

%%求%在基%下的坐標(biāo)

' $ $ $) 解因?yàn)? 又

'%()#%%#&#% 因此%在基下的坐標(biāo)為 .# 向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示用坐標(biāo)表示向量后!向量的和"差"數(shù)乘等線性運(yùn)算又如何用坐標(biāo)來(lái)表示呢如圖#"$!設(shè)$!是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基!向量"!"在基$!下的坐"別是!!!! $ '&

!"所

!!&$%&&!&! !$!%%% 圖#!" & '& !" !! $% !&"所 的坐標(biāo) !所 的坐標(biāo) % %!"# 又

!&故"的坐標(biāo)為 由上可知

!! $ '& ' !"# !!&$% !% ! $ '& ' !"于是!我們

!! $% !$%! & ' !!"!!! !!坐標(biāo)等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和坐標(biāo)等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和!或差"兩個(gè)向量! %的和或差 !!*%'$%##'在圖#$中!由于

%!'% !"$"!因 的坐標(biāo)為% !% %%%&!!!在平面直角坐標(biāo)系中!向*的坐標(biāo)等于終點(diǎn) %!!)根據(jù)起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)寫出向量坐標(biāo)!就可以利用向量運(yùn)算研究平面圖形的性質(zhì)#!#-!!+!!!,%%!圖#!""!""%&" *'," "%"'所以點(diǎn) 的坐標(biāo)是"##)!如圖#)!已知!!!%%%!是直線!%上一點(diǎn)%!解由題意可知

圖#) ! !% % ! !!" ! $

$ 所 ! #!!###從 從 !$#! !#! 因此#點(diǎn)$的坐標(biāo)為!#!# 特別地#當(dāng)"!時(shí)得到線段!#的中點(diǎn)坐 !#! 向量 ( # ( # !

#

!)!#來(lái)表示'這意味著其中一個(gè)坐標(biāo)是另一個(gè)坐標(biāo)的實(shí)數(shù)倍#因此##!!!$###'已知 三點(diǎn)共線#求(的值解因?yàn)?+,三點(diǎn)共線#所以!與!共線 %"# " ##( %(%所 ((整理 (解 (&+!""'求線段*+中點(diǎn)的坐標(biāo)'已知 ""!)""'+,"$+-習(xí)題%&#' # " !若 "#"! ! 的 第!題!若% !如圖#設(shè)為一組標(biāo)準(zhǔn)正交基#用這組標(biāo)準(zhǔn)正交基分別表示向量%#&#并求出它們的坐標(biāo)第"題 !在平面直角坐標(biāo)系,中#向量##$#%的方向如圖所示#且$$$$#分別求它們的坐標(biāo)!已知表示向量#的有向線段!的起點(diǎn)"的坐標(biāo)#求它的終點(diǎn)#的坐標(biāo) !#"!!%%###### ! #)!如圖!已知 "若點(diǎn)/是線段"#的一個(gè)三等分點(diǎn)#求點(diǎn)/的坐標(biāo)第)題!!已知點(diǎn)"!"分別求點(diǎn)""$關(guān)于點(diǎn)%中心對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)"并說(shuō)明 $!" ! 已知點(diǎn)"!若點(diǎn)+滿足 "+ "($"#點(diǎn)在直線-上#點(diǎn)在第四象限內(nèi) !!"#$"向量最重要的特征是方向和大小!方向由角度描述!大小由長(zhǎng)度描述!那么向量的長(zhǎng)度和角度怎樣計(jì)算呢"數(shù)量積的定義及計(jì)算"#$%&'(如圖"

!!一輛小車在拉力!的作用下產(chǎn)生了位移"!若拉力的大小為"其方向與小車位移方向的夾角為!!位移的大小為#!如何計(jì)算拉力!所做的功$"由于拉力!與小車位移"都是向量!則可用從同一點(diǎn)出發(fā)的兩條有向線段表示!兩條有向線段的夾角!就是這兩個(gè)向量!"的夾角!有向線段的長(zhǎng)度分別等于這兩個(gè)""!若拉力 與位移"方向相同!則功等于力的大小和位移大小的乘積!$ 一般情形下!功$不等于力的大小和位移大小的乘積!但仍是力!與位移"這兩個(gè)向量的某種類型的乘積!記作$ 由力學(xué)知識(shí)知道!!可分解為水平和垂直兩個(gè)方向的分力!!& 之和!即!&&合力!所做的功$等于各分力所做的功之和!"&!這說(shuō)明這種乘積!#"滿足對(duì)向量加法的分配律由力學(xué)知識(shí)還知道!與位移"垂直的力&做的功& '!因!也就是說(shuō)!合力!做的功 等于水平分力!!做的功 由圖 ! 因當(dāng)

#

!!!與"方向相反 # !因 #當(dāng)!!時(shí)!! "!!!!"!因而! !綜上所述!在所有情形下都有 !""!"#$%&!運(yùn)用力!和位移"來(lái)計(jì)算功!的! !""!可以推廣到任意設(shè)#$是任意兩個(gè)向量!##$$是它們的夾角!則定為#與$的數(shù)量積圖%#由平面向量夾角的定義可知!##$$ !的取值范圍為%圖%#由數(shù)量積的定義可知##!)$%!

##%#) !或 !時(shí)!由于零向量與任意向量垂直!因而仍有因此#$%#$對(duì)所有情形均成立對(duì)比向量的線性運(yùn)算可得!向量線性運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)向量!而兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)!這個(gè)實(shí)數(shù)可以是正數(shù)*負(fù)數(shù)或零"非零向量#與$的數(shù)量積是正數(shù)還是負(fù)數(shù)完全由!決定"已知向量 %%$ %%解當(dāng)%&同號(hào)!即$"時(shí)#"$"##%&$ #因此!在所有情況下都有"$上例說(shuō)明#對(duì)于共線的兩個(gè)向量!將其寫成同一個(gè)單位向量的實(shí)數(shù)倍后!這兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)的乘積$!! '$$求!與"的夾角 由數(shù)量積的定義可知

*!所 所!

又又

因此!與"的夾角為,!!!如圖&,!作向量 ! !兩個(gè)向量的夾角為!!過(guò)點(diǎn) #''(#與#共

!! '

#稱為#在#方向上

圖&

影向量的長(zhǎng) 稱為投影長(zhǎng)

投影向量' !(設(shè)#方向上的單位向量!則#'

*

(

#同向時(shí)

! ' & 即與反向 即與反向

!$

' & 時(shí)時(shí)!

!

在所有情況下都 在所有情況下都 刻畫了!向方向#稱 ! !方向上的投 !"% $! %! $ $與%與**由 共線#于**

!$%

一般地#"#的數(shù)量積等于"的長(zhǎng)度與#"方向上的投影!的乘積#或#與"在#!的乘積$由此得到利用數(shù)量積計(jì)算#在"方向上的投#$###" !#!"#$%&'!設(shè)"###$是任意向量#"是任意實(shí)數(shù)#則如下運(yùn)算律成立#"與數(shù)乘的結(jié)合律$ "分配律$"由數(shù)量積的定義可以直接證 算律$下面我們證明運(yùn)算律$如果"###$中存在零向量 等式成立%"!"設(shè)"###$都為非零向量#如圖!()#以!為起點(diǎn)#作%"!" # " % ( #向量#的終點(diǎn) # " % ( !%$圖(!##%"#(#因此#&$在"方向上的投影等于##$在"方向上的投影之和##!上式的兩邊#!#!!"!# "$求證%菱形的兩條對(duì)角線互相垂直#已知%如圖''!四邊形'是菱形#求證%&'#則對(duì)角 證明記!$" 圖則對(duì)角 !!!%&*,-!!:;%因?yàn)樗?&%#

"! %%%%%作出向量!!"!!!"!你得到的等式代表的幾何意義是什么!)!當(dāng)!與"滿足下列條件時(shí)!分別求%!&*%!與"的夾角為&*"#已知的值!求!與"的夾角大小"!!! !"*!#&*!!!%方向上的投影%方向上的投影$#運(yùn)用數(shù)量積知識(shí)證明下列幾何命題%在&中!&%在矩形'中!&%%'#數(shù)量積的坐標(biāo)表示及其計(jì)算"#$%&'()向量的坐標(biāo)是向量分解式中的系數(shù)!根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律!很容易由向量坐標(biāo)算出數(shù)量積!設(shè)

是相互垂直的單位向量!組成平面上的一組基!則

設(shè)向量"#在這組基下的坐標(biāo)分別為!!!""!""#!"!!!""于是可得兩個(gè)向量

!

#"$"的數(shù)量積的坐!!"""$""+,-+向量

##$$"""#于是得到計(jì)算向量 #$ "根據(jù)兩 零向量" !! ""數(shù)量積的定義得到計(jì)算兩向量夾角余弦值的 ! " !# $#"$垂直條已知向量 ! ""!#$'#$'*(,-/1)4;已知

"

"

為何值時(shí)& $$"與"的夾角為鈍角解"$因?yàn)樗?% $!#解得 $因?yàn)椤?所以 $'·#$因?yàn)?/p>

#所以( ! #"則由向量夾角余弦可"

$#"'

&'## 解得'# #所以'&且 "時(shí)#!#"的夾角為鈍角 #如圖*

,#已知點(diǎn)(為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)#點(diǎn))的坐標(biāo)為"#+#&$求$將()繞點(diǎn)(逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到#求點(diǎn)坐標(biāo)$$

圖+, *"# $ # .## ,因 #. . "#. !所

#!%!!# !"記 $!

*軸正方向角為!$$( !"! !! !

!由于點(diǎn)的坐標(biāo)!$ !" $那么!!'因此 $即點(diǎn)的坐標(biāo)為 $"將量!影 !上$到投影向#!$ !而!就是!在!方向上"$!

的絕對(duì)值$ #

一般地!#$%#一般地!#$%#&!#方向上的投影向量為!& """方法一

$"!" &#

'!方法二

"!"&# !- !"!"!#2 !"$# #*!"!#!!已知 !!" 求 !!與的夾角的余弦值 ""與 "垂直!" "平行('" "且"(是直角三角形("(習(xí)題!!如圖"已知 " ' !

' !! !

! !#!在平面直角坐標(biāo)系*)內(nèi)"已知模長(zhǎng)為#的向量 軸 軸正方向 ' 夾角和!"#在軸(軸正方向上的 ' !! ! !" !#!""分別求下列各式的值 # "$ "若#!#$#"求實(shí)數(shù)的值!

"" "" ' % $ ) %!如圖"已知點(diǎn)&為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)"點(diǎn)'""'"垂足為點(diǎn)*!##求( "%%!%&"!#為何值時(shí)%與&平行 %與&垂直 !夾角已知! !" %"求%和!中你發(fā)現(xiàn)了什么已知'"'是單位向量"且' 若向量"滿足" "'"

&!"#在初中!我們借助銳角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決了一些有關(guān)直角三角形的問(wèn)題在實(shí)際生活中!我們往往遇到的是有關(guān)斜三角形的問(wèn)題!那么如何求解呢三條邊和三個(gè)內(nèi)角是三角形最基本的六個(gè)元素!通常只要知道了三個(gè)元素其中至少包括一條邊就可以求出其余三個(gè)未知元素!這種從已知三角形的某些元素出發(fā)求這個(gè)三角形其他元素的過(guò)程叫作解三角形!余弦定理我們知道!由邊角邊定理可證明兩個(gè)三角形全等!也就是由兩邊及其夾角即可完全確定一個(gè)三角形!三角形確定后!若夾角為直角!則由勾股定理可求第三邊的長(zhǎng)!若夾角不為直角!如何求第三邊呢"#&!"夾角!記 #!$#" 又$ 所以$

"!

圖#

!!%!!令 !因

$$

&&將!式中的角 依次換成另外兩個(gè)角后!同理可得如下兩個(gè)等式 &$$ 于是得到以下定理余弦定理 三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角余弦積兩倍!即!!!!!!!

當(dāng)"*是直角時(shí)!向量等式!!!!"中的!""!等式變#!##!%##!!這就是勾股定理由此可知余弦定理可以看作是勾股定理的推廣余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的關(guān)系!是一個(gè)解決三角形問(wèn)題的重要工具!在實(shí)際應(yīng)用中!有時(shí)可將余弦定理寫成下面的形式#!!!!!!·利用上述就可由三角形的三條邊計(jì)算出三角形的三個(gè)內(nèi)角$!解由余弦定! !!所以 !再由余弦定理可得

!%

+(+ !!(!*(·!因?yàn)?(是三角形的內(nèi)角!所以 &%!##%&#解由已知條件!并根據(jù)余弦定理%$$!可$( $整理 ($(.'解 (0或 舍去#

#因此

(

",&($!

的度數(shù)

#%#解據(jù)三角形中大邊對(duì)大角的原理可知!#是!#的最大內(nèi)角'

$!·$因?yàn)?#是三角形的內(nèi)角!所以 !# ##&!!求#&#已知%(&求#&!!### '# 正弦定理在解三角形時(shí)!我們有時(shí)還要探討任意三角形的三條邊與對(duì)應(yīng)角的正弦之間的系"$"'!!'若"'為直角三角形!且

#!如圖

'!則根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義!有%*

"&!由此得到 又' $!從而我們有下述結(jié)論 % 圖& 圖&于 的面若"'為銳角三角形!如圖$!設(shè)')為%&邊上的高!則')于 的面!#$'(!!$!#$'(!!$%"%" ""/ 同理

*$*$*因

即

,

*,"

!"#$%&'#!&#!"#$%&'#!&#<"?@EG#$正弦定理在一個(gè)三角形中!各邊和它所對(duì)角的正弦的 # $!# !#!!# $&!(證明!# % (+%$#!$."因而!# $+!$ 圖#同理可證!# !&+!#!'(所以!# $&!(# ,!#!! !,0*由題意可得##+++

* +!,于 0

,/ 1

#%%在!#中!分別求下列條件下的#和/* 槡01 槡01 !! % %

$! %所 #"+或#"當(dāng)#"時(shí)!#

當(dāng)#"時(shí)!#所 !#"由正弦定理得 !' 所 %或% "&所 由此得到%$(

! 由例-可以發(fā)現(xiàn)$已知兩邊'和其中一邊的對(duì)角"&解三角形時(shí)$會(huì)出現(xiàn)兩我們以點(diǎn)(為圓心$以邊長(zhǎng)#為半徑畫弧$則此弧與除去頂點(diǎn)&的射線)的公圖 -是"&為銳角時(shí)的示意圖$此時(shí)三角形解的個(gè)數(shù)有四種情況$無(wú) $一$ $圖--圖 +是"&為鈍角時(shí)的示意圖$此時(shí)三角形解的個(gè)數(shù)有兩種情況#$無(wú)解 $圖-+$#若%!$ 則 $#若%!# 則( #若 !)!%!#%!$ $!"由正弦定理可知!三角形各邊與它所對(duì)角的正弦的比值相等!那么這個(gè)比值的幾何意義是什么"設(shè)!$ 的外接圓的圓心為*!外接圓的半徑為$!$ !則%+!又 ' %+ %+'

+! $若!$為銳角三角形!如圖)/則點(diǎn)*$過(guò)*作直徑)!連接)!則 +! 為什么"!在)中!$ "!由此得到類似可證(#%!于是仍可得!式$若!$ 為鈍角三角形如圖) 設(shè)!!$過(guò)*作直徑)!連接")!則 +!%!在$中!$ - !即(類似可證'"%!于是仍可得!式

綜上可知!對(duì)于任意三角形!!式均成立!這個(gè)結(jié)果稱為擴(kuò)充的正弦定理!這表明三角形各邊與它所對(duì)角的正弦的比值為一個(gè)常數(shù)!這個(gè)常數(shù)等于該三角形外接圓的直徑!!

'!試判

#

設(shè)!"的外接圓的半徑為)!則由擴(kuò)充的正弦定理可 將其

得得

!! 又角!!#!!所以

!!"設(shè)是!#的外接圓的半徑!*是!#的面積!求$* 證明#由擴(kuò)充的正弦定理得%# '所 **##由$&!

** )$("#""已知 ##的外接圓半徑##接圓的面積為#求#'(#三角形"##(如圖#已知,的半徑為#!#為其內(nèi)接等邊三解三角形應(yīng)用舉例在解決一些與三角形有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題時(shí)!正弦定理及余弦定理起著非常重要的作用!下面分別舉例說(shuō)明!如圖#$!貨輪在海上以(的速度沿著南偏東的方向航行!貨輪在"點(diǎn)觀測(cè)燈塔#在其南偏東的方向上!航行半小時(shí)到達(dá)$點(diǎn)!此時(shí)觀測(cè)燈塔#在其北偏東的方向上!求$點(diǎn)與燈塔#的距離!$

-

)))所 $由正#$5

$因此$ 點(diǎn)與燈塔 $

圖#$如圖#"

!!有一段河流河的一側(cè)是以&為圓心!半徑為$0的扇形區(qū)域'!河的另一側(cè)是一段筆直的河岸(!河邊有一煙囪不計(jì)"離河岸的距離!且&"的連線恰好與河岸(垂直!設(shè)&"與圓弧'的交點(diǎn)為)!已知扇形區(qū)域和河岸處于同一水平面!在點(diǎn)!點(diǎn)&和點(diǎn))處測(cè)得煙囪#"頂端的仰角分別為和!#$求煙囪#"的高度#$如果要在$)間修一條直路!求$)的長(zhǎng)解#$設(shè)煙囪 的高度為*!!"!&所以

0*0*

圖#!!又) $0!所以* $0!解得 0因此煙囪的高度為!+####"所以 &%" &%在

中

!"!#!)&0)!!因此 #

#.0

—顆人造地球在地球上空(處沿著圓軌道運(yùn)行#每2沿繞地球旋轉(zhuǎn)一圈%假設(shè)于中午!點(diǎn)正通過(guò)跟蹤站點(diǎn)的正上地球%!"求人造與站在%)#時(shí)相隔的距離是多少"如果此時(shí)站天線指向人造#那么天線瞄準(zhǔn)的方向與水平線的夾角的余弦值是多少&!參考數(shù)據(jù)#""0!#%)"# . #! 0#! 0##- #由余圖!!!圖解 % 0%#) 站相距約#1&%"

#!"&%由正弦定理 "故 "

# "#

因此#天線瞄準(zhǔn)方向與水平線的夾角的余弦值約為%%0通過(guò)上述例子!我們發(fā)現(xiàn)!在運(yùn)用解三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)!通常都應(yīng)根據(jù)題意將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形的問(wèn)題!從中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形!然后解這些三角形!得出所要求的量!經(jīng)檢驗(yàn)后得到實(shí)際問(wèn)題的解!其基本步驟如圖#$所示#$!!!!如圖!在一次定向越野中!一名學(xué)員離開(kāi)出發(fā)點(diǎn)"后沿南偏東方向走'()到達(dá)點(diǎn)!即第一個(gè)檢查點(diǎn)!從點(diǎn)他又沿南偏西方向走了*到達(dá)第二個(gè)檢查點(diǎn)$點(diǎn)!從$點(diǎn)他直接返回"點(diǎn)!試描述這名學(xué)員從$點(diǎn)到"的位移第!題"!如圖!為測(cè)量河對(duì)岸#$兩點(diǎn)的距離!在河的這邊取%&兩點(diǎn)觀察測(cè)得$!$!%$$%&#$習(xí)題$%!$!!$$$$#角時(shí)$%*$$$($%若 #%!#$%'$!$%$$( (/$("$$%求""的大小 $%若#求"#的大小)!如圖!一艘漁輪在航行中遇險(xiǎn)并發(fā)出呼救信號(hào)!我艦艇在"處獲悉后!測(cè)出該漁輪在方位角!為&距離為14的$處!并測(cè)得漁輪正沿方位角為的方向!以1的速度向小島靠攏!我艦艇立即以15的速度前去營(yíng)救!求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時(shí)間角度精確到!時(shí)間精確到&*!%!&第'題 方位角是以某點(diǎn)的正北方向?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)線!將標(biāo)準(zhǔn)線繞該點(diǎn)沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到目標(biāo)點(diǎn)所成的角!!如圖#一艘船以%*的速度向正北航行#在處看燈塔在船的北偏東方向上+%后航行到$處#在$處看燈塔#在船的北偏東方向上#求燈塔到$處的距離結(jié)果精確到%#參考數(shù)!"%$#"!如圖#已知圓內(nèi)接四邊形)的邊長(zhǎng)分別為 ##$%))!!%))# 如圖#已知平行四邊形)兩鄰邊長(zhǎng)為&和#兩對(duì)角線的一個(gè)#""".##*現(xiàn)三角形面積的變化規(guī)律嗎(寫出從中發(fā)現(xiàn)的兩條規(guī)律!!"#$%&'(向量是溝通幾何與代數(shù)的橋梁!是實(shí)現(xiàn)幾何問(wèn)題與代數(shù)問(wèn)題相互轉(zhuǎn)化的強(qiáng)有力的工具!向量不僅可以在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中發(fā)揮重要作用!其在物理學(xué)及其他科學(xué)領(lǐng)域中也有著廣泛的應(yīng)用!如圖#"

!!!"是等邊三角形邊長(zhǎng)為%是平面上任意一點(diǎn)求 "的最小

%

!$

"!#$% #%" $ %" $ "$&# !#$所 $!#$% !

#& ! !#$%!#$%&!,-./03!/67; ($% $(!所 $ ! 因此!當(dāng) 滿足 !"時(shí)! "$取最 % %

" ·$值!其最小值 ·$如圖#"

$!四邊形"#$*是平行四邊形, *$+, -!.三等分圖證明由題意可得! 圖$

.##

$"所!與!!!與!分別共線!!與!不共線所 "

"#" 同"是#的一個(gè)三等分點(diǎn)

#'*因此(也是!#的一個(gè)三等分點(diǎn)圖$%為一個(gè)空間探測(cè)器的示意圖"!%&是四臺(tái)噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)"%的連線與空間一個(gè)固定坐標(biāo)系的*軸平行!每臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)開(kāi)動(dòng)時(shí)!都能向探測(cè)器提供推力!但不會(huì)使探測(cè)器轉(zhuǎn)動(dòng)'開(kāi)始時(shí)!探測(cè)器以恒定的速率'向正*方向平動(dòng)!要使探測(cè)器改為正*,的方向以原來(lái)的速率'平動(dòng)!則可"##先開(kāi)動(dòng))"適當(dāng)時(shí)間!再開(kāi)動(dòng))&適當(dāng)時(shí)間+先開(kāi)動(dòng)%適當(dāng)時(shí)間!再開(kāi)動(dòng))!適當(dāng)時(shí)間#開(kāi)動(dòng))&適當(dāng)時(shí)間"-#先開(kāi)動(dòng)%適當(dāng)時(shí)間!再開(kāi)動(dòng))&適當(dāng)時(shí)間圖$分析探測(cè)器原以'的速率向正*方向平動(dòng)!先需產(chǎn)生一個(gè)什么樣的速度!才能使得它與原來(lái)的速度合成方向?yàn)檎?偏負(fù)且大小為'的速度!然后再分析要產(chǎn)生這樣的速度需要開(kāi)動(dòng)哪幾臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)'解如圖"!設(shè)探測(cè)器原以!方向平動(dòng)!速 為+!現(xiàn)要求探測(cè)器向!方向平動(dòng)!其中 '就是需要加給探測(cè)器的速度 ).!所以 .!這 臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)能提供的推力均沿*軸或 軸!于是將!沿 $ 軸與軸分 因?yàn)?指向負(fù)方向!故可開(kāi)動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)"一定時(shí)間!使它產(chǎn)生速度 定時(shí)間!使它產(chǎn)生速度! 所以是正確的選項(xiàng)

如圖#!

$!一個(gè)物體用兩根繩子懸掛起來(lái)!已知物體所受的重力!小為&%!兩根繩子與鉛垂線的夾角分別為與$!求這兩根繩子所受力的大精確到圖# 圖#解"方法一#如圖#"!以!"的公共作用點(diǎn)"為原點(diǎn)以水平方向?yàn)檩S!以鉛垂線方向?yàn)?軸!建立平面直角坐標(biāo)系!由題意知!"的合力"合的大小為&%!方向與重力方向相反!即為$軸正方向!因此"合的坐標(biāo)為!"" " % %! %$ 所以 %)'% 解方程組得 #+&!#!

' '#'+!+ (*+"! 由正用計(jì)

合

圖#+*因此!這兩根繩子所受力的大小分別約為"*+' 和"*&!解$%##"&(%*# 在地表面附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)! 解 質(zhì)量為!繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度大小為%#由于使做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力$&是由地球引力"提供的!因此$&"!即&"# 如圖

圖,((!由 附近繞地球旋轉(zhuǎn)!因而其動(dòng)軌道半徑可近似作是地球的半徑!!于 旋轉(zhuǎn)一圈的路程是*! (運(yùn)轉(zhuǎn)一周的時(shí)間*從 * $向!球地心為點(diǎn) 運(yùn)方為以點(diǎn)*圓!!從 * $##

*,! 方向 $相同!均垂直于半徑!即&,雖 速度!的大小不變!但其方向不斷改變!這導(dǎo)致表示速度!的有向段$的終點(diǎn), 始終在以* 為圓心!%為半徑的圓上旋轉(zhuǎn)!且, 的旋轉(zhuǎn)速度就是 旋轉(zhuǎn)過(guò)程中!*(!*,的長(zhǎng)度都不變!夾角&,&也不變!因而',始終保持全等#因 (旋轉(zhuǎn)一圈!,也跟著旋轉(zhuǎn)了一圈!點(diǎn),也旋轉(zhuǎn)了一圈!時(shí)間為為 *點(diǎn) 在軌道圓上旋轉(zhuǎn)一圈的路程等于圓周長(zhǎng)!因而其速度大小

*

!#$%'(#$%'(,'&#####"&%##!$#&%"!!!!如圖!已知"#分別是四邊形'的邊%!'的中點(diǎn)!求證!)" 第!題第"題"!如圖!用兩根繩子把物體*懸掛起來(lái)!已知物體*的重力!#$!'' !求$和%!!帆船比賽是借助風(fēng)力推動(dòng)船只在規(guī)定距離內(nèi)競(jìng)速的一項(xiàng)水上運(yùn)動(dòng)!如果一#&!!為不考慮其他因素!求帆船的速度與方向處所受力的大小繩子的重量忽習(xí)題習(xí)題&&&'+是線段$%上的點(diǎn)!且 +!'+!第!題第"題"!如圖!一架飛機(jī)從$地向北偏西方向飛行到達(dá)%地!然后向$&"!飛機(jī)從!地到"地的位移#"#"$$兩個(gè)力的共同作用下$由點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)!$#單位"(#求#%##!"%!頂點(diǎn)為點(diǎn)$再以"' 為鄰邊作平行四邊形$它的第四個(gè)頂點(diǎn)為點(diǎn)(#! #若 $ $! #("#第)題 ##如圖$長(zhǎng)江某地南 平行$江面的寬度 "+($一艘游船從南岸碼%出發(fā)航行到北岸#假設(shè)游船在靜水中的航行速度"的大小為%&

$&+&$%# 時(shí)$判斷游船航行到北岸時(shí)的位置是在圖中%的左側(cè)還是右側(cè)并說(shuō)明理由##當(dāng)!./-多大時(shí)$游船能到達(dá)%處'需航行多長(zhǎng)時(shí)間$#如圖$在細(xì)繩&處用水平力!#緩慢拉起所受重力為&的物體$繩子與鉛垂方向的夾角為!$繩子所受到的拉力為#&&&&#時(shí)$求角!的取值范圍第$題!"%(")*+,向量是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的重要數(shù)學(xué)模型!力!速度!位移等物理概念都可以用向量來(lái)刻畫!數(shù)學(xué)中研究的向量只有大小和方向"試比較數(shù)學(xué)中向量與物理中矢量概念的異同!向量作為代數(shù)的對(duì)象"可以像數(shù)一樣進(jìn)行運(yùn)算"如本章介紹的向量的加!減!數(shù)乘等線性運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算等"而運(yùn)算律在其中發(fā)揮了作用!試說(shuō)明向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有哪些運(yùn)算律"它們與實(shí)數(shù)運(yùn)算律有哪些區(qū)別與聯(lián)系!向量又是幾何的對(duì)象"它刻畫了幾何圖形的最基本要素點(diǎn)的相對(duì)位置"而向量運(yùn)算及運(yùn)算律代表了一些最基本的幾何性質(zhì)"運(yùn)用向量來(lái)解決幾何問(wèn)題將極大地豐富我們的研究視角與方法! 必修第二冊(cè)!!平面向量基本定理揭示了任一平面向量均可用平面內(nèi)的任意兩個(gè)不共線向量來(lái)表示的實(shí)質(zhì)!它不僅提供了向量的幾何表示方法!也使向量用坐標(biāo)表示成為可能!從而架起了向量的幾何運(yùn)算與代數(shù)運(yùn)算之間的橋梁!試結(jié)合實(shí)例!體會(huì)這一基本定理的作用!并運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決幾何計(jì)算問(wèn)題!"!向量是近代數(shù)學(xué)最重要的概念之一!是溝通幾何"代數(shù)"三角等內(nèi)容的橋梁!具有豐富的實(shí)際背景和廣泛的應(yīng)用!你能借助向量這一工具推導(dǎo)余弦定理正弦定理嗎#試運(yùn)用向量方法來(lái)解決一些數(shù)學(xué)或物理中的實(shí)際問(wèn)題復(fù)習(xí)題一學(xué)而時(shí)習(xí)之!!先向東走!#!位移記為!!接著再向北走!#!位移記為"!則!""表示"#"$#向東南走!%# &#%#'#向東南走!!"# (#!"!下列向量中不是單位向量的是"##" #'#)!)# #!如圖!在五邊形%(中!四邊形&(是平行四邊形

!#!設(shè)!!"是兩個(gè)不平行的向量!且 !!"!若$!'三點(diǎn)共線!求*的值!' % !與邊$&交于 第!題 0

('&(&&的中線$+與'(交于點(diǎn),設(shè)

"!試用!!"表示向量!!第0題 !第1題!如圖!設(shè)%%為一組標(biāo)準(zhǔn)正交基 用這組標(biāo)準(zhǔn)正交基分別表示向量!#&!&!#"!%!"!"!! 必修第二冊(cè)!!已知!"!!與"的夾角為!!試求" !!!"!$!&(投影!$!在四邊形%(中%' #$!!!求該四邊形的面積!!$'!!!$!$ !!$)+!!如圖!兩條筆直的公路相交成角!兩輛汽車%和&同時(shí)從交點(diǎn),出發(fā)!分別沿兩條公路行駛!如果汽車%的速度是!那么汽車&應(yīng)以多大的速度行駛!才能使這兩輛汽車在出發(fā)#-后相距結(jié)果精確到$'! &!如圖!質(zhì)量為-的物體在表面粗糙的斜面上不動(dòng)!斜面沿水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)!若斜面的傾角為!!位移大小為.!求物體與斜面之間的摩擦力所做的功!溫溫故而知新'!已知點(diǎn)%及 -%#$當(dāng)-為何值時(shí)!/在0軸上'/在1軸上'/在第四象限#$四邊形&/能否成為平行四邊形'若能求出相應(yīng)的-的值若不能說(shuō)明為什么(!如圖!已知正方形&%(的邊長(zhǎng)為!點(diǎn)2是%&邊上的動(dòng)點(diǎn)!求"2&的值"'的最大值(!'(!$!#求以線段'!(為鄰邊的平行四邊形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)$' !求)的值!#!"!"!#""$!"+!+'!是否為定值并說(shuō)明理由你能否推廣如能!請(qǐng)寫出 '

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((&!)(!#若/,!求%的值$(!)((!2)(""$3' !+! 3!' ' 形%(3的面積"提示&兩個(gè)單位向量求和時(shí)產(chǎn)生的四邊形是菱形 必修第二冊(cè)!如圖!某港口"要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上!在小艇出發(fā)時(shí)!輪船位于港口"北偏西方向且與該港口相距%的#處!并以#%*的航行速度沿正東方向勻速行駛!假設(shè)該小艇沿直線方向以%*的航行速度勻速行駛!經(jīng)過(guò)%與輪船相遇$若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小!則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少%$假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到%!

設(shè)計(jì)航行方案即確定航行方向與航行速度的大小!使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇并說(shuō)明理由上上下而求索 !#!不等式的幾何意義$試用向量法+明!!!!++&(! !!!!+!!+$!!&,#+三角恒等變換是研究三角函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用的一種工具!三角恒等變換是只變其形而不變其質(zhì)!它可以揭示某些外形不同但實(shí)質(zhì)相同的三角函數(shù)式之間的內(nèi)在聯(lián)系!使復(fù)雜變簡(jiǎn)單!化隱晦為明顯!對(duì)于研究某些三角函數(shù)式及其在幾何和物理等領(lǐng)域中的應(yīng)用將發(fā)揮重要的作用!!"#$%&'"(在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)!若坐標(biāo)系固定不動(dòng)!將平面上任意一點(diǎn)!繞原點(diǎn)"旋轉(zhuǎn)!可以怎樣描述這個(gè)旋轉(zhuǎn)呢"平面上的圖形都是由點(diǎn)組成的!只要能夠由每個(gè)點(diǎn)!的坐標(biāo)計(jì)算出它旋轉(zhuǎn)到的新位置點(diǎn)的坐標(biāo)!就明確描述了這個(gè)旋轉(zhuǎn)!并且能夠知道圖形旋轉(zhuǎn)后在平面上的位置&如圖##!設(shè)"#為#軸的非負(fù)半軸!! #(!則點(diǎn)的坐標(biāo)$&將點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角!!其對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)%!則##"!#%"!!從而點(diǎn)的坐標(biāo)為""于是!根據(jù)點(diǎn) 的坐標(biāo)與旋轉(zhuǎn)角!求點(diǎn)% 坐標(biāo)的問(wèn)就可歸結(jié)為 #怎樣由角"!!的三角函數(shù)值求角 !的三角函數(shù)值 和#&" "$兩角和與差的余弦%"$!# !!#%!在這兩個(gè)角的終邊上分別取兩個(gè)單位向量 ! !! !就是與的夾* 根據(jù)前面所學(xué)的向量知識(shí)可知!!!"的數(shù)量積!("由平面向量基本定理知 (!!

圖#!所 ! 又當(dāng)"$時(shí)*"因 !$!第2章三角恒等變 對(duì)任意的角!總可選取適當(dāng)?shù)恼麛?shù)!使得!""#記"#"%!!則"#與的終邊相同!且! !#!!#因 % !!"

圖#將#代入$!得

! "#""上式稱為兩角差的余弦簡(jiǎn)記為!""注意到"與!"之間的聯(lián)系在圖#中!若將點(diǎn)!逆在圖#中!若將點(diǎn)!逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角!!則&%$"""# &&& # "# "求角的余弦值 !! 2// !!&!%!&53 求下列各式的值'分 將兩角和!差"的余弦從右至左地運(yùn)用!&·% "#原 !&·%#''#·'·%已知$+*

,且角%分別位于第二&四象限% 和!的值 利用兩角和!差"的余弦求%"的余弦值時(shí)#需要先知道!#"的正余 因?yàn)榻?"分別位于第二&四象限所以"%

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" & &"由此!我們得到兩角差的正弦"簡(jiǎn)記為!""!"# 在兩角差的正弦中!若將"替換為"!則可得兩角和的正弦"簡(jiǎn)記為#"求角的正弦值解*& &+ &1&/&1 &** & 2& & 求下列各式的值* 原*

&!"((("·(·!已知%!.#!為第二象限角'

!## 與!的值 因?yàn)?為第二象限角#所以#*#"'"又 .#所'"!!##!又 #

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的正切值

下面我們一起來(lái)試試看 " #"##!"$!&%%&"!!

# ! )")!你能借助!!!"""!!你能借助!!!"""!!""推導(dǎo)出兩角差的正 嗎#自己動(dòng)手試!"#&!" )" !"當(dāng)!"!"均不取&!!&##時(shí)!們得到如下兩角和與差的正切!

#% ")!"#!"已知&%! ,!別求下列各式的值 !#//解/因?yàn)?! .

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!$" !$" &# ! $因?yàn)?'& " ' &*$根據(jù)例)并結(jié)合圖 $思考$對(duì)于任意角!#只要!$ 有意義#是否一定 " 圖% *%#%分 %,

.,-!因此可以利用差角正 "#%后再代入原 求解"本題也可由%"$#轉(zhuǎn)化待求式的形式!進(jìn)而直接運(yùn)用兩 解方法一"因?yàn)?,,%所所%

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"-廣場(chǎng)有一塊以中國(guó)元素為主要內(nèi)容的顯示屏#已知屏幕頂端與底端離地面的距離分別約為)2與)#求行人在地面上離屏幕水平距離%2 屏幕時(shí)視角"的正切值!結(jié)果精確到%#+計(jì)算過(guò)程中忽略人的高度 人眼觀察物體時(shí)!從物體兩端#上$下或左$右引出的光線在人眼光心處所成的夾角!稱為視角解根據(jù)題意可抽象出圖#!$!當(dāng) 行人的高度時(shí)設(shè)行人在地面離屏幕水平距離%%&處! 幕的頂 點(diǎn)和底端"點(diǎn)的仰角分別為!!"!則此時(shí)行人 屏幕的視角為!"%因?yàn)?

所以'

#!""+

圖#故行人在該處屏幕時(shí)!視角的正切值約為#%%"求兩角和!'"的正弦$余弦$正切 都稱為和角!將求兩角 "的正弦$余弦$正切 都稱為差 回顧前面六個(gè) 的推導(dǎo)過(guò)程!我們可以發(fā)現(xiàn)它們之間存在著緊密的聯(lián)系!這種聯(lián)系可用框圖"來(lái)表示%%'#'!0%!!,%%!!求的值是$%如圖!矩形的三等分點(diǎn)!求證"#"'"#" 的長(zhǎng)度分別為#和0!點(diǎn)/第/題習(xí)題##!利用兩角和!差"的余弦證明誘導(dǎo) !!!求下列各式的值&!已知$! .且"均為第四象限角%求下列各式的值 !!求下列各式的值& !!$ *" !!!!!

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*""! '!*!'!已知!"%求!"的值 ,!""& !!!"!! !!"!已知!是第四$限$且#&" !求的值

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%#%!的一部分圖象如圖所示 !+ 為圖象上的兩個(gè)頂點(diǎn)!設(shè)# !其中0為坐標(biāo)原點(diǎn)&$!求#的值 #求"的值0!"#$%#&在正弦!余弦!正切的和角中"若 ""你能得到怎樣的結(jié)論在和角中"令 !"則可以得到& &!!!)即

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!)上述三個(gè)等式統(tǒng)稱為二倍 +&%&&%&!由于!)"所以二倍角 %!

!還可以進(jìn)一步!!)) !"! !!&"所

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!#!#求下列各式的值 #2$##已知!0&!((% %$& 的值##求證# # 已知!為第二象限的角 !為第一象限的角 %! !的值! 因?yàn)?為第二象限角#"! !所以! ! $ %·

." ( ("又因"為第一象限角" %!所以#!

%! ,所以!

, $ $ 2化簡(jiǎn)+!2+%#2+ 由二倍角!(!得!(!+于是(!#(%于是 $ ( ( %# (! (·+

求證$半徑為 的圓的內(nèi)接矩形的最大面積為&++ (!設(shè)圓心為'!矩形()*+的面積為,#-()+所

圖+(當(dāng)"取最大值!即

!時(shí)!,形的面積,最大!且為+&+!!!!已知!是第一象限角!且 !$% !"!("!求證$!!# &!&( $(#!如圖%是以'為直徑的圓上一點(diǎn)!%"%第$題習(xí)題習(xí)題!!求下列各式的值(/$()(#/&&!# !&$/($%!#!!(!求的值!%!是第四象限角!求!的值!求函數(shù)$在區(qū)間 上的最大值和最小!(·!!如圖!圓心角為的扇形"#$的半徑為%是弧"$上一點(diǎn)!(!形的面積最大"此時(shí)!%等于多少度 $(!)

!& 第!題 第,題"!如圖!在平面直角坐標(biāo)系,中!點(diǎn)-是單位圓上的動(dòng)點(diǎn)!過(guò)點(diǎn)-作+軸的垂線!與射線 交于點(diǎn).!與+軸交于點(diǎn)/!記!-!!$!

!!%若!$!求.&)%已知&!! %"

%#!已知等腰三角形頂角的余弦值為-!求這個(gè)三角形底角的正弦'余弦以正切值% %+ $ !求的周期及單遞增區(qū)間

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%!如圖!一質(zhì)量為2的均勻細(xì)木棒的一端斜放在一方形木塊上!另一端固定在地面上!初始木棒與水平地面的夾角"!當(dāng)木塊以恒定的速度向左移動(dòng)時(shí)!細(xì)木棒受到的支持力!的大小如何變化"何時(shí)支持力最大"提示#利用杠桿原理%

!"#$%&'(將一個(gè)三角函數(shù)式變?yōu)榕c之恒等的其他三角函數(shù)式的變換過(guò)程!稱為三角恒等!進(jìn) 恒等 !一 用三角函數(shù)間的關(guān)系式!如 數(shù)的誘 "倍角 !有時(shí)還需要運(yùn)用一些其他的 !下面我們來(lái)學(xué) 些新的 "#$%#! !的值嗎由

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!可思考運(yùn)用倍 來(lái)求的正弦"余弦"正切 &記 & &!推出! *

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%&!$槡*&#!$槡!$槡*&#!$槡$&$*!%#$%#*,#$-.上面推導(dǎo)出的!"#統(tǒng)稱為半角!分別簡(jiǎn)記為$!$!$!半角 式的符號(hào)需要根據(jù)角$所在的象限來(lái)判斷"已知&%$ (!求下列條件 $的值

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"" #$角$在第一象限""解當(dāng) !"

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(!!$當(dāng)角$在第一象限時(shí)#$#! 則 $ "當(dāng)#為偶數(shù)時(shí)!角$在第一象限!故由#$可"

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當(dāng)#為奇數(shù)時(shí)!角$第三象限!此時(shí) 求證

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$證明因?yàn)?. "$ "所以$"$.$" $ '% !

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$!當(dāng)時(shí)!求證$!(

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($((證明當(dāng)時(shí)!利用二倍 及(!( ! !!((!( ( ( ( $(!((

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( 將"#兩式相除!

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$(( 由例,可以看

角!!#

#!的所有三角函數(shù)值都可以 ! !!-#!'!(!((#"已知等腰三角形的頂角的余弦值為.!用半角求這個(gè)三角形的一個(gè)底角的正切值$"已知!求!和!的值!"#$%&%$"#'!在求解三角函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題時(shí)!有時(shí)需要把三角函數(shù)的積化為和或差的形式有時(shí)又需要把和或差化為積的形式!這應(yīng)如何轉(zhuǎn)化借鑒前面計(jì)算兩個(gè)單位向量!""的數(shù)量積得出差角余弦的思路!我們繼續(xù)嘗試用向量的方法來(lái)探討如何將三角函數(shù)的和或差轉(zhuǎn)化為積的形式"如圖'!從坐標(biāo)原點(diǎn)#出發(fā)作!

! #&#$'%""&

圖()其中 !!)#&#"又因?yàn)樗倪? #$&%是菱形!所以#&是$$#%的平分線!因&

&故 # #&# 所

% *$%()*+-./01"-&##&"&#& #! ! #&#&#于是!根據(jù)平面向量基本定理

#&% !

#&##!# 前面是通過(guò)幾何圖形得到上面兩個(gè)的!其優(yōu)點(diǎn)是形象直觀!但所發(fā)現(xiàn)的公式是否對(duì)任意兩個(gè)角!都成立!還需要對(duì)各種情形進(jìn)行討論!為了避免這種討論!我們用和角與差角來(lái)證明!%')*+"-%')*+"-./012:;示!

$$!

%!%! % $%于 $!$! # %!""!&!&!類似地可以證明 !""!&!$! #"!$!&將上述和差化為積的稱為和差化積求證$##$#$!

!! # !證明#將左右兩邊分別相加!

# !"#"!"#將上式兩邊同除以!!!" !!!"#$%&'()*+,-" !"""左右兩邊分別相減#" 將上式兩邊同除以!#! " !例(的結(jié)論實(shí)質(zhì)上是積化和差"' '$證明原式左邊&%'& %& !"%%'&&'!'&'右邊!$!$用和角與差 證明 &!!!#$!!! #!'!* ""來(lái)學(xué)習(xí)如何對(duì)"這種形式進(jìn)行三角恒等變換$為了找到變換思路!我們先借助計(jì)算機(jī)畫出函數(shù)%如圖(&$

"的部分圖象 !"!"#$%# &!')圖(通過(guò)觀察!可以發(fā)現(xiàn)圖&(&與正弦型函數(shù)%的圖象很相似$于是!我們可以猜測(cè)$是否存在某個(gè)正數(shù)'和角!使得%"可化為%的形式!即能否找到某個(gè)正數(shù)'和角!使" 由和角可#要使上式等于!只需 )和 )同時(shí)成立!$且$又

$所以)# " !解 # 故$ )!從而取 !即可達(dá)到要求 **可見(jiàn)%"可化為%#的形式$ #**"!''! $$ $

$由 可得# % # 槡 ! $"!$ %因此#當(dāng)&%! 時(shí)#$$ #$$成立#其中$&!

上述結(jié)論在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用#下面我們分別舉例來(lái)說(shuō)明((已知函數(shù) 槡#求函數(shù)!"的周期$最大值((最小值

# ! ( 因?yàn)?

# 槡!槡 槡 $!!$ ' '所以("的周期 $! ' #! 當(dāng)# #! 當(dāng)#'$ ! ! 用幾種不同的樂(lè)器同時(shí)彈奏某一首樂(lè)曲時(shí)#我們有時(shí)能聽(tīng)到比用單一樂(lè)器彈奏時(shí)更美妙的聲音#這實(shí)際上是幾 合成后改變了單一聲波的波形!假設(shè)某美妙聲波 曲線可用函 $$#"!

! )來(lái)描述#求該聲波函數(shù)的周期$最大值和最)小值)解由已知得 )'$因此#該函數(shù)的周期)$!!#最大值和最小值分別為$和$ ""!求下列函數(shù)的最大值 "%" !"#!如圖%矩形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在矩形+*的四條邊上%且矩形+的周長(zhǎng)為,!如果') 夾角為%那么當(dāng)!為何值時(shí)%矩形的周長(zhǎng)最小&第"題習(xí)題習(xí)題#已知 %且%試求%"和"求的值