一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)第2課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì) 高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)

課程基本信息學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高二學(xué)期春季課題一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)（第2課時(shí)）教科書書名：選擇性必修第三冊(cè)教材出版社：人民教育出版社出版日期：2020年3月教學(xué)目標(biāo)1.進(jìn)一步掌握一元線性回歸模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，會(huì)用相關(guān)統(tǒng)計(jì)軟件.2.了解非線性回歸模型.3.會(huì)通過分析殘差和利用R2判斷回歸模型的擬合效果.教學(xué)內(nèi)容教學(xué)重點(diǎn)：一元線性回歸模型的含義。最小二乘估計(jì)的原理與方法。殘差分析。教學(xué)難點(diǎn)：一元線性回歸模型參數(shù)最小二乘估計(jì)的推導(dǎo)，解釋預(yù)測(cè)值的含義。理解刻畫模型擬合效果的指標(biāo)。教學(xué)過程（一）教材分析1.教材來源本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)》，第八章《成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性》2.地位與作用建立一元線性回歸模型過程中，方程的建立、參數(shù)的估計(jì)、模型有效性分析等都是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象的重要素材，也是加強(qiáng)學(xué)生“四基”，提高“四能”的重要內(nèi)容。（二）學(xué)情分析1.認(rèn)知基礎(chǔ)：通過散點(diǎn)圖判斷成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性已經(jīng)很熟練。2.認(rèn)知障礙：線性回歸模型中隨機(jī)誤差的假設(shè)、最小二乘原理和方法等存在理解困難。（三）教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)目標(biāo)：.通過用教學(xué)方法刻畫散點(diǎn)與直線接近的程度，體會(huì)一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)原理能力目標(biāo)：通過對(duì)殘差和殘差圖分析，用殘差判斷一元線性回歸模型的有效性，發(fā)展數(shù)據(jù)分析能力素養(yǎng)目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)新知探究在實(shí)際問題中，有時(shí)兩個(gè)變量之間的關(guān)系并不是線性關(guān)系，這就需要運(yùn)用散點(diǎn)圖選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來擬合觀測(cè)數(shù)據(jù)，然后通過適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，把非線性問題轉(zhuǎn)化為線性問題，從而確定未知參數(shù)，建立相應(yīng)的線性回歸方程．問題具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^)).預(yù)測(cè)值eq\o(y,\s\up6(^))與真實(shí)值y一樣嗎？預(yù)測(cè)值eq\o(y,\s\up6(^))與真實(shí)值y之間誤差大了好還是小了好？提示不一定；越小越好．1．殘差的概念對(duì)于響應(yīng)變量Y，通過觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值，通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的eq\o(y,\s\up6(^))稱為預(yù)測(cè)值，觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值稱為殘差．殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析．2．刻畫回歸效果的方式(1)殘差圖法作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào)，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖．若殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，帶狀區(qū)域越窄，則說明擬合效果越好．(2)殘差平方和法殘差平方和eq\o(∑,\s\up10(n),\s\do6(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2，殘差平方和越小，模型擬合效果越好，殘差平方和越大，模型擬合效果越差．(3)利用R2刻畫回歸效果決定系數(shù)R2是度量模型擬合效果的一種指標(biāo)，在線性模型中，它代表解釋變量客戶預(yù)報(bào)變量的能力．R2＝1－eq\f(\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(^))i）2,\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)，R2越大，即擬合效果越好，R2越小，模型擬合效果越差．拓展深化[微判斷]1．殘差平方和越接近0,線性回歸模型的擬合效果越好．(√)2．在畫兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖時(shí)，響應(yīng)變量在x軸上，解釋變量在y軸上．(×)提示在畫兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖時(shí)，響應(yīng)變量在y軸上，解釋變量在x軸上．3．R2越小，線性回歸模型的擬合效果越好．(×)提示R2越大，線性回歸模型的擬合效果越好．[微訓(xùn)練]1．在殘差分析中，殘差圖的縱坐標(biāo)為__________．答案殘差2．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)在建立變量x，y的回歸模型時(shí)，分別選擇了4種不同模型，計(jì)算可得它們的決定系數(shù)R2分別如下表：甲乙丙丁R20.980.780.500.85哪位同學(xué)建立的回歸模型擬合效果最好？解R2越大，表示回歸模型的擬合效果越好，故甲同學(xué)建立的回歸模型擬合效果最好．[微思考]在使用經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，需要注意哪些問題？提示(1)經(jīng)驗(yàn)回歸方程只適用于所研究的樣本的總體；(2)所建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程一般都有時(shí)效性；(3)解釋變量的取值不能離樣本數(shù)據(jù)的范圍太遠(yuǎn)．一般解釋變量的取值在樣本數(shù)據(jù)范圍內(nèi)，經(jīng)驗(yàn)回歸方程的預(yù)報(bào)效果好，超出這個(gè)范圍越遠(yuǎn)，預(yù)報(bào)的效果越差；(4)不能期望經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的預(yù)報(bào)值就是響應(yīng)變量的精確值.題型一線性回歸分析【例1】已知某種商品的價(jià)格x(單位：元/件)與需求量y(單位：件)之間的關(guān)系有如下一組數(shù)據(jù)：x1416182022y1210753求y對(duì)x的回歸直線方程，并說明回歸模型擬合效果的好壞．解eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)(14＋16＋18＋20＋22)＝18，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝142＋162＋182＋202＋222＝1660，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))xiyi－5\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－))),\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))xeq\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(620－5×18×7.4,1660－5×182)＝－1.15，eq\o(a,\s\up6(^))＝7.4＋1.15×18＝28.1，所以所求回歸直線方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝－1.15x＋28.1.列出殘差表：yi－eq\o(y,\s\up6(^))i00.3－0.4－0.10.2yi－eq\o(y,\s\up6(－))4.62.6－0.4－2.4－4.4所以eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2＝0.3，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2＝53.2，R2＝1－eq\f(\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(^))i）2,\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)≈0.994，所以回歸模型的擬合效果較好．規(guī)律方法(1)解答線性回歸問題，應(yīng)通過散點(diǎn)圖來分析兩變量間的關(guān)系是否線性相關(guān)，然后再利用求回歸方程的公式求解回歸方程，并利用殘差圖或相關(guān)指數(shù)R2來分析函數(shù)模型的擬合效果，在此基礎(chǔ)上，借助回歸方程對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行分析．(2)刻畫回歸效果的三種方法①殘差圖法：殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)說明選用的模型比較合適．②殘差平方和法：殘差平方和eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2越小，模型的擬合效果越好．③決定系數(shù)法：R2＝1－eq\f(\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(^))i）2,\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)越接近1，表明回歸的效果越好．【訓(xùn)練1】某地區(qū)2011年到2017年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位：千元)的數(shù)據(jù)如下表：年份2011201220132014201520162017年份代號(hào)t1234567人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y關(guān)于t的線性回歸方程；(2)利用(1)中的回歸方程，分析2011年到2017年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測(cè)該地區(qū)2020年農(nóng)村居民家庭人均純收入．附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為解（1）由所給數(shù)據(jù)計(jì)算得eq\o(t,\s\up6(－))＝eq\f(1,7)×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,7)×(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))(ti－eq\o(t,\s\up6(－)))2＝9+4+1+0+1+4+9=28,eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))(ti－eq\o(t,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(eq\o(∑,\s\up10(7),\s\do10(i＝1))(ti－eq\o(t,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－))),eq\o(∑,\s\up10(7),\s\do10(i＝1))(ti－eq\o(t,\s\up6(－)))2)=eq\f(14,28)＝0.5，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(t,\s\up6(－))＝4.3－0.5×4＝2.3，所以所求回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.5t＋2.3.(2)由(1)知eq\o(b,\s\up6(^))＝0.5>0，故2011年到2017年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．將2020年的年份代號(hào)t＝10代入(1)中的回歸方程，得eq\o(y,\s\up6(^))＝0.5×10＋2.3＝7.3.故預(yù)測(cè)該地區(qū)2020年農(nóng)村居民家庭人均純收入為7.3千元．題型二殘差分析與相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用【例2】假定小麥基本苗數(shù)x與成熟期有效穗y之間存在相關(guān)關(guān)系，今測(cè)得5組數(shù)據(jù)如下：x15.025.830.036.644.4y39.442.942.943.149.2(1)以x為解釋變量，y為預(yù)報(bào)變量，作出散點(diǎn)圖；(2)求y與x之間的回歸方程，對(duì)于基本苗數(shù)56.7預(yù)報(bào)有效穗；(3)計(jì)算各組殘差，并計(jì)算殘差平方和；(4)求R2，并說明(2)中求出的回歸模型的擬合程度．解(1)散點(diǎn)圖如下．(2)由(1)中散點(diǎn)圖看出，樣本點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程刻畫它們之間的關(guān)系．設(shè)回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，又eq\o(x,\s\up6(－))＝30.36，eq\o(y,\s\up6(－))＝43.5，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝5101.56，eq\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))eq\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－)))＝1320.66，eq\o(x,\s\up6(－))2＝921.7296，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi＝6746.76.則eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))xiyi－5\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－))),\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))xeq\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)≈0.29，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))≈34.70.故所求的回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.29x＋34.70.當(dāng)x＝56.7時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.29×56.7＋34.70＝51.143.故估計(jì)成熟期有效穗為51.143.(3)由eq\o(y,\s\up6(^))i＝eq\o(b,\s\up6(^))xi＋eq\o(a,\s\up6(^))，可以算得eq\o(e,\s\up6(^))i＝y(tǒng)i－eq\o(y,\s\up6(^))i分別為eq\o(e,\s\up6(^))1＝0.35，eq\o(e,\s\up6(^))2＝0.718，eq\o(e,\s\up6(^))3＝－0.5，eq\o(e,\s\up6(^))4＝－2.214，eq\o(e,\s\up6(^))5＝1.624，殘差平方和：eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))eq\o(e,\s\up6(^))eq\o\al(2,i)≈8.43.(4)eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2＝50.18，故R2≈1－eq\f(8.43,50.18)≈0.832.所以(2)中求出的回歸模型的效果較好.規(guī)律方法(1)利用殘差分析研究兩個(gè)變量間的關(guān)系時(shí)，首先要根據(jù)散點(diǎn)圖來判斷它們是否線性相關(guān)，是否可以用線性回歸模型來擬合數(shù)據(jù)，然后通過殘差eq\o(e,\s\up6(^))1，eq\o(e,\s\up6(^))2，…，eq\o(e,\s\up6(^))n來判斷模型擬合的效果．(2)若殘差點(diǎn)比較均勻地分布在水平帶狀區(qū)域中，帶狀區(qū)域越窄，說明模型擬合度越高，回歸方程預(yù)報(bào)精確度越高．【訓(xùn)練2】為研究質(zhì)量x(單位：g)對(duì)彈簧長度y(單位：cm)的影響，對(duì)不同質(zhì)量的6個(gè)物體進(jìn)行測(cè)量，數(shù)據(jù)如下表：x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8(1)作出散點(diǎn)圖并求回歸直線方程；(2)求出R2并說明回歸模型擬合的程度；(3)進(jìn)行殘差分析．解(1)散點(diǎn)圖如圖所示．樣本點(diǎn)分布在一條直線附近，y與x具有線性相關(guān)關(guān)系．由表中數(shù)據(jù)，得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)×(5＋10＋15＋20＋25＋30)＝17.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)×(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8)≈9.487，eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝2275，eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))xiyi＝1076.2.計(jì)算得eq\o(b,\s\up6(^))≈0.183，eq\o(a,\s\up6(^))≈6.285.故所求回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝6.285＋0.183x.(2)列表如下：yi－eq\o(y,\s\up6(^))i0.050.005－0.08－0.0450.040.025yi－eq\o(y,\s\up6(－))－2.237－1.367－0.5370.4131.4132.313可得eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2≈0.01318,eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2≈14.6783.所以R2＝1－eq\f(0.01318,14.6783)≈0.9991，回歸模型的擬合效果較好．(3)由殘差表中的數(shù)值可以看出第3個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集這個(gè)數(shù)據(jù)的時(shí)候是否有人為的錯(cuò)誤，如果有的話，需要糾正錯(cuò)誤，重新建立回歸模型；由表中數(shù)據(jù)可以看出殘差點(diǎn)比較均勻地落在寬度不超過0.15的狹窄的水平帶狀區(qū)域中，說明選用的線性回歸模型的精度較高，由以上分析可知，彈簧長度與所掛物體的質(zhì)量成線性關(guān)系．題型三非線性回歸分析【例3】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x(單位：千元)對(duì)年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響．對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi(i＝1，2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))eq\o(w,\s\up6(－))eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))(wi－eq\o(w,\s\up6(－)))2eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))·(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))(wi－eq\o(w,\s\up6(－)))·(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))46.65636.8289.81.61469108.8表中wi＝eq\r(xi)，eq\o(w,\s\up6(－))＝eq\f(1,8)eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))wi.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋deq\r(x)哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關(guān)系為z＝0.2y－x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題：①年宣傳費(fèi)x＝49時(shí)，年銷售量及年利潤的預(yù)報(bào)值是多少？②年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值最大？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線eq\o(v,\s\up6(^))＝eq\o(α,\s\up6(^))＋eq\o(β,\s\up6(^))u的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（ui－\o(u,\s\up6(－))）（vi－\o(v,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（ui－\o(u,\s\up6(－))）2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(v,\s\up6(－))－eq\o(β,\s\up6(^))eq\o(u,\s\up6(－)).解(1)由散點(diǎn)圖可以判斷，y＝c＋deq\r(x)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型．(2)令w＝eq\r(x)，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程．由于eq\o(d,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up10(8),\s\do10(i＝1))（wi－\o(w,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up10(8),\s\do10(i＝1))（wi－\o(w,\s\up6(－))）2)＝eq\f(108.8,1.6)＝68，eq\o(c,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(d,\s\up6(^))eq\o(w,\s\up6(－))＝563－68×6.8＝100.6，所以y關(guān)于w的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68w，因此y關(guān)于x的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq\r(x).(3)①由(2)知，當(dāng)x＝49時(shí)，年銷售量y的預(yù)報(bào)值eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq\r(49)＝576.6(t)，年利潤z的預(yù)報(bào)值eq\o(z,\s\up6(^))＝576.6×0.2－49＝66.32(千元)．②根據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤z的預(yù)報(bào)值eq\o(z,\s\up6(^))＝0.2(100.6＋68eq\r(x))－x＝－x＋13.6eq\r(x)＋20.12.所以當(dāng)eq\r(x)＝eq\f(13.6,2)＝6.8，即x＝46.24時(shí)，eq\o(z,\s\up6(^))取得最大值．故年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值最大．規(guī)律方法求非線性回歸方程的步驟(1)確定變量，作出散點(diǎn)圖．(2)根據(jù)散點(diǎn)圖，選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)．(3)變量置換，通過變量置換把非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題，并求出線性回歸方程．(4)分析擬合效果：通過計(jì)算決定系數(shù)或畫殘差圖來判斷擬合效果．(5)根據(jù)相應(yīng)的變換，寫出非線性回歸方程．【訓(xùn)練3】下表為收集到的一組數(shù)據(jù)：x21232527293235y711212466115325(1)作出x與y的散點(diǎn)圖，并猜測(cè)x與y之間的關(guān)系；(2)建立x與y的關(guān)系，預(yù)報(bào)回歸模型并計(jì)算殘差；(3)利用所得模型，預(yù)報(bào)x＝40時(shí)y的值．解(1)作出散點(diǎn)圖如下圖，從散點(diǎn)圖可以看出x與y不具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)已有知識(shí)可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線y＝c1ec2x的周圍，其中c1，c2為待定的參數(shù)．(2)對(duì)y＝c1ec2x兩邊取對(duì)數(shù)，得lny＝lnc1＋c2x，令z＝lny，則有變換后的樣本點(diǎn)應(yīng)分布在直線z＝bx＋a(a＝lnc1，b＝c2)的周圍，這樣就可以利用線性回歸模型來建立y與x之間的非線性回歸方程了，數(shù)據(jù)可以轉(zhuǎn)化為x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784求得回歸直線方程為eq\o(z,\s\up6(^))＝0.272x－3.849，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝e0.272x－3.849.殘差yi711212466115325eq\o(y,\s\up6(^))i6.44311.10119.12532.95056.770128.381290.325eq\o(e,\