2010年五一數(shù)學(xué)集訓(xùn)七導(dǎo)學(xué)jx71函數(shù)方程

知識要點(diǎn)與定義 定義 （1）fxfx（2）fxfx（3）fxTfx（常數(shù)T0（4）fxyfxfy1以上均為函數(shù)方程，其中fx是求知函數(shù)定義3 如果函數(shù)fx在其定義域內(nèi)的一切值均滿足所給函數(shù)方程，那么稱fx是該函（1（2（3）的解分別偶函數(shù)，一切奇函數(shù)，一切以T為周期的函數(shù)。定義4 （1）方（1）（9）典型題精例1 方程）設(shè)fx在k上單調(diào)，對任意x,yk有fxyfxfy①，求函數(shù)fx。yxf2x2fxy2xf3xfxf2x3ffnxnfx(nNxxfnxnfx n n fx1fxnn nn mnNfmxmf1xmfx y0fx0fxf0所以f00f0x0fyx，得0fxxfxfxfxfrQfrxrfx1f1krfrfr1rf1kr②fxkfxkx。rnx,snx(nk0krnfrnfxfsnnfxkxfxkx說明：下列各方程均可作變換轉(zhuǎn)化為方程求解fxyfxfyfx不恒為0fxfxyfxfy(x0y0)fxlogafxyfxfy(x0y0)fx（4）若fxyfxfy（4）若fxy

fxxfxfy（5）若fx0，且x0,y0時，有fxyfxfxfyfxax2(a（6）

fx

，且x0y

f2xf2yf2xyfxax(a（7）若

fx ，且

，則fxaxafxyfxfykxyfxax2fxyfxy2fxfxax（10）fxyfxfyfxax 例 設(shè)fx在k上單調(diào)，且fxyfxfy，求fx 分析：方法是轉(zhuǎn)化成方程解解：設(shè)f0b，由已知有fxfy

xy0 fxyf0 fxyfxfyf記gxfxf0，于是 方gx在k上單調(diào)，且gxygxgy， 方程得gxaxfxffxaxbfxlfx（xD，且xlDl0fRkfxlfx，則由fx2lfxl 知fx是以2l為類似地fxl

f

fx0x

fx2l

11fxl

f是以2l例 設(shè)f是一個以實(shí)數(shù)集R映射到自身的函數(shù)，并且對任何xR均

fx1fx13fxfx 42 證明：fcxRfxcfx證：因?yàn)閷θ我鈞R有fx13fxfx ， 42 fx

fx

fx42 42 fx42fxfx49 42

42fx

fx fx49 42 fx49fx7fx 42 42 fx49fx 42 f 4fx 42 fx84 42 即fx1fxfx2fxxR

fx1fxfx1fxxRfx1fxfx例 設(shè)函數(shù)fx在0,上有定義，且滿足條件2（1）xy0fxfyy2fx2 （2）M0x0,1時，求證：fxx2。

fx（1xfxx2x0fxx2fxx2 由條件（1xyx，得fx22x2fx0x42x2

x0

fx0

022

2 222 22 由（1）x0fx1fx22 2x2 2 xf02

02kfx022k2k1x2 又因?yàn)?k11k1kk(k1)1k1kk5，必有2k13k N5

1③，則根據(jù)題目的條件（2）以及①，②，③可知nNM

fx022n2n1x22nx2M是常數(shù)，而2n 著n的增大可任意大，這 證明了：對任何非負(fù)實(shí)數(shù)都有fxx2例5 定義：設(shè)Fx是關(guān)于x的一個代數(shù)函數(shù)，稱方程Fxx的根為函數(shù)Fx的不動點(diǎn)gxffxx21996abx21996xabgx的不動點(diǎn)fap

的不動點(diǎn)pa,b。同理，fba,bhxggxx2199621996，hxxx2199621996xx2x1996x2x19950，hxa,bcdgchx的不動點(diǎn)，顯然gcagcbgcgcdgdggccra,bdfra,b，這是不可能的；rcgcfrfcrcrdgcfrfdd，這是不可能的。綜上所述，滿足條件的函數(shù)fx不存在。例 設(shè)S是所有大于1的實(shí)數(shù)集合，確定所有的函數(shù)f:SS，使得滿足下面兩個Sxyfxfyxfyyfxyfx;fx在區(qū)間10和0的每一個區(qū)間上

x解：在條件（1）xyfxfxxfxxfxxfxxfxxfxf的一個不動點(diǎn)（fzzz）AxfxxfxxA，得fAfAfAAfAAfAAfAA22Af

fA22AA22A(10A22AA12110A22AA，從而10fx

在1,0內(nèi)嚴(yán)格遞 xA(0。

A22A0,

2AA

在0上嚴(yán)格遞所以A0，即xfxxfx0，解得fx 下面驗(yàn)證fx

11fx

S 1xySfx y

xy

x1

y

fx xf

xyyfxyfxy

x

1xyy

1y

11

1

1

1 1因此所求的所有的函數(shù)為fx

1例 設(shè)f,g是NN的映射，其中N為正整數(shù)集，f是滿射，g是單射，且對任意nNfngn

gkNmkminxfxkfmkk。kNgmkk。k1時，因gm1fm11，所以gm11ksks1gms1fms1s1

gmjjj1 sggms1s1kNgmkkggg為雙射。故

kNN

g例 設(shè)f:NN滿（1）f1（2）3fnf2n1f2n13fnf2n6fnfkfl293klf

3fnf2n1f2nf2n6fn 0f2n1f2n從而f2n1f2n1，即f2n11f ②代入①得，f2n3fn nn22ms2ms3m1

0④n120時f20f1130，結(jié)論成立nk2

0當(dāng)nk12m1 2ms20時，分奇偶性討論s若k為偶數(shù)則m0由②及歸納假設(shè)得fk1fk13m1 3ms30s即f2m1 2ms203m1 3ms30，結(jié)論成立。kms0，由③得fk13fk1k12 2 fk1

f2m112203m11 203m11 2ms3m1 即f2m1 2132ms3m1 mslmsln1

0

3ms3n1

29335332323230由于上式右端32和30項(xiàng)的系數(shù)均為2，所以在l,k的二進(jìn)制表達(dá)式中都含有22和20k1，所以最高次項(xiàng)25在l23和2在lk4（1）k22205;l252322220（2）k222207;l25232220（3）k23222013;l2522220k232222015;l252220fkfl293kl的解為547;7例 存在映射f:QQ（正有理數(shù)集，使得滿足fxfyfxyfy1fy2，則由條件得fx

fxfy

fxf

fx y1易證f1xy1ff1f1f1由于f是單射ff1的自變量值f1等于f1的自變量值1，即f1fx1ffyf1 ①yft，則fxfftfx，但ffy1，所以fft1，于ft fxf t t x

ftf fx1對于乘法，則fxyf 1

1 ff

fxfy y

fyff設(shè)素數(shù)集pp2,p ,

k

gp

pk

kgp

k g滿足性質(zhì)（1xQxp1p2

kpt（ptf

fxgp1g

2 gpt（1（2（3t例10 是否存在f,g:RR，使得滿足fgxx2,gfxx4。fg存在，構(gòu)造函數(shù),xlog2

f22x,(x xloglogg22x,(x 經(jīng)計(jì)算可得xx1,xx令xaxb,xcxda1b1c2d2即得x1x1,x 于21x1log

f22x x1xf 1log2log2t ft

tfx22log2x;gx2log2x2(x在0,1上補(bǔ)充定義 f

x1,

g