第17講圖形巧數(shù)

學(xué)科：數(shù)教學(xué)內(nèi)：第

圖形巧知網(wǎng)幾何中的計(jì)數(shù)問題包括：數(shù)線段、數(shù)角、數(shù)長(zhǎng)方形、數(shù)正方形、數(shù)三角形、數(shù)綜合圖形等。在幾何圖形的計(jì)數(shù)問題中圖形的基本概念及其相關(guān)性質(zhì)是計(jì)數(shù)過程中尋找規(guī)律的基礎(chǔ)。直線的性質(zhì)：沒有端點(diǎn)，且過兩點(diǎn)有且只有一條直線；射線：直線上一點(diǎn)和它一旁的部分，它有一個(gè)端點(diǎn)；線段：直線上兩點(diǎn)和它們之間的部分，它有兩個(gè)端點(diǎn)；三角形：三條線段首尾順次連接而得到的圖形；平行四邊形：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形；長(zhǎng)方形：有一個(gè)角是直角的平行四邊形；正方形：長(zhǎng)與寬相等的矩形；梯形：一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行的四邊形。重·點(diǎn)以要數(shù)的圖形的基本概念和基本性質(zhì)為基礎(chǔ)，找到計(jì)數(shù)規(guī)律，既不能同一圖形數(shù)兩次，也不能把有的圖形漏掉不數(shù)。學(xué)指掌握?qǐng)D形的規(guī)律和方法多種多樣用的有按順序數(shù)和分類數(shù)兩種類法如按分類按分類按分類等等還要注意分類的合理性只有當(dāng)所分的類型包含所有情況并且相互不重疊，這樣才有可能做到不重復(fù)、不遺漏。經(jīng)例［例］數(shù)一數(shù)圖1中多少條線段？思剖要想使數(shù)出的圖形中線段的總條數(shù)，不重復(fù)、不遺漏，就要找到規(guī)律。第一種可以按端點(diǎn)進(jìn)行分類，如圖中，線段最左邊的端點(diǎn)是A，即以A為端點(diǎn)的線段有AB、AC、AD、AEAF共五條；以為左端點(diǎn)的線段有BCBDBE、BF共條；以為端點(diǎn)的線段有、CECF共三條；以D為左端點(diǎn)的線段有DEDF共二條；以E為左端點(diǎn)的線段有EF一條。這些線段的和就是圖形中線段的條數(shù)。第二種可以按含基本線段多少的順序去數(shù)。在此題中最長(zhǎng)的線段AF有四個(gè)分點(diǎn)，將AF成了5小線段，這每條小線段就是基本線段。首先有條本線段，其次是包含兩條基本線段的有4條然后是包含有三條基本線段的有3條，包含有四條基本線段的有條，包含有五條基本線段的有條。則線段上線段條數(shù)可求。解答

、OA、、OAOAOA、OA、、OAOAOAOA圖共有線段：（條）點(diǎn)津若圖形為一條線段上有n個(gè)點(diǎn)，線段的總條數(shù)等于從1開的連續(xù)個(gè)自然數(shù)的和，這n個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和的最大的加數(shù)是段分點(diǎn)數(shù)加，n+ln+1也是基本線段的條數(shù)。［例］數(shù)出圖2中共有多少個(gè)角？思剖數(shù)角的方法類似于數(shù)線段的方法。第一種按角的邊進(jìn)行分類，以

OA

1

為一邊的角有

A1

、

A114

、OA15

共；以為邊的角有

OAOA225

共3個(gè)；以為一邊的角有

、

5

共2個(gè)；以為邊的角有

，有個(gè)。這些角的和是圖形中角的個(gè)數(shù)。第二進(jìn)種按含基本角多少的順序去數(shù)。在最大角

OA1

內(nèi)有三條射線，，OA4

。

A1

被這三條角分線分成個(gè)基本角。首先有個(gè)基本角；其次是包含有基本角組成的角有3個(gè)含基本角組成的角有個(gè)包有4個(gè)本組成的角有，則總共有多少個(gè)角可求。解答圖總共有角：4+3+2+l=10（）［例］數(shù)一數(shù)在圖3中總共有多少個(gè)三角形？

思剖我們?nèi)匀豢梢园凑諗?shù)線段和數(shù)角的方法來數(shù)三角形種法三形有三條邊，則可以按照含有邊的不同進(jìn)行分類。以為邊的三角形、ABE、ABF△ABGeq\o\ac(△,、)ABC五個(gè)以AD為邊的三角形有△ADEeq\o\ac(△,、)ADFeq\o\ac(△,、)ADGeq\o\ac(△,、)四個(gè)；以AE為邊的三角形eq\o\ac(△,有)AEFeq\o\ac(△,、)AEGAEC三個(gè)AF一邊的三角形eq\o\ac(△,有)AFG、△共個(gè)；最后以AG為邊的三角形只AGC一。則圖三角形的個(gè)數(shù)求和可得。第二種方法：注意到圖3中的三角形的一邊必是BC上在線段。那么可知BC上有多少條線段則必有多少個(gè)三角形的線段條數(shù)按照數(shù)線段的方法可得，第三種方法：先數(shù)出圖中的基本三角形，其他的角形由基本三角形組合構(gòu)成。圖3中eq\o\ac(△,有)ABD、△ADE△AEF△、AGC五基本三角形。由兩個(gè)基本三角形組合在一起的三角形有△ABEADF△AEG、△AFC四三角形；由個(gè)基本三角形組合在一起的三角形有△eq\o\ac(△,、)ADGeq\o\ac(△,、)三三角形由個(gè)基本三角形組合在一起的三角形、△ADC二個(gè)三角形；由五個(gè)基本三角形組合在一起的三角形只有一。圖中三角形個(gè)數(shù)總和可知。解答圖三角形個(gè)數(shù)：5+4+3+2+l=15（個(gè)）答：圖三角形的個(gè)數(shù)共有15個(gè)［例］數(shù)一數(shù)圖4中方形的個(gè)數(shù)。思剖由于長(zhǎng)方形的構(gòu)成要考慮到長(zhǎng)和寬兩個(gè)要素此圖4中長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)與作“長(zhǎng)的線段的條數(shù)和作為“寬”的線段條數(shù)有關(guān)。每一個(gè)長(zhǎng)配一個(gè)寬就組成一個(gè)長(zhǎng)方形。AB上的每一條線段作為寬上三個(gè)分點(diǎn)，有線段4+3+2+l=10條邊每一條線段作為長(zhǎng)，上有四個(gè)分點(diǎn)，有線段5+4+3+2+l=15條么中方形的個(gè)數(shù)是長(zhǎng)與寬個(gè)數(shù)的積。

解答圖中AB邊上有線段：（條）BC邊有線段（）所以共有長(zhǎng)方形：×15=150個(gè)）答：圖長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)為個(gè)點(diǎn)津雖然此題我們也可以將長(zhǎng)方形按照基本長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)的組合進(jìn)行分類于復(fù)雜的圖形這種方法就不適用了，很容易重復(fù)或漏數(shù)。［例］數(shù)一數(shù)圖5中多少個(gè)正方形（其中每一個(gè)小格都是邊長(zhǎng)為個(gè)度單位的正方形）？思剖由于正方形是長(zhǎng)與寬相等的矩形，數(shù)正方形與數(shù)長(zhǎng)方形相類似。由于=寬，那么只需考慮一邊的長(zhǎng)，按一邊的長(zhǎng)進(jìn)行分類，由于圖中BC邊大于AB，因此從AB邊始分類，AB邊為8個(gè)單位長(zhǎng)度，那么圖5有八類正方形。①邊長(zhǎng)為的正方形個(gè)數(shù)：×（個(gè)）②邊長(zhǎng)為的正方形個(gè)數(shù)：×7=91個(gè)）③邊長(zhǎng)為的正方形個(gè)數(shù)：×6=72個(gè)）④邊長(zhǎng)為的正方形個(gè)數(shù)：11×（個(gè)）⑤邊長(zhǎng)為的正方形個(gè)數(shù)：×4=40個(gè)）⑥邊長(zhǎng)為的正方形個(gè)數(shù)：×（）⑦邊長(zhǎng)為的正方形個(gè)數(shù)：×（）⑧邊長(zhǎng)為的正方形個(gè)數(shù)：×（個(gè)）那么圖正方形個(gè)數(shù)和可求。解答正方形總數(shù)為：××7+12×6+11×××2+7×1=112+91+72+55+40+27+16+7=420（個(gè)）答：圖共有正方形個(gè)［例］數(shù)一數(shù)圖6中角形的個(gè)數(shù)（圖中每一個(gè)小三角形是邊長(zhǎng)為的正三角形

C2C22思剖第一種方法從圖6中將三角形分為兩類一類是頂角朝上的一類是頂角朝下的三角形。先來考慮頂角朝上的三角形，再將它們分成，①eq\o\ac(△,在)

中有個(gè)角形；②在

C2

中有2+l=3個(gè)角形在

ABC3

中有（個(gè)角在

C4中有4+3+2+l=10（個(gè)）三角形；⑤在ABC中5+4+3+2+l=15（）三角形。再來考慮頂角朝下的三角形①在

C44

中有三角形在

C3

中有3+2=5（個(gè)）三角形；③在

有（在

C11

中有1個(gè)角形。綜合上的各種情況，圖中三角形的個(gè)數(shù)可求。第二種方法：類似于正方形的分類方法。將三角形分成五類。①邊長(zhǎng)為的三角形有：個(gè)；②邊長(zhǎng)為2的角形有10+3=13個(gè)中個(gè)角朝上3個(gè)頂角下；③邊長(zhǎng)為3的三角形有，都是頂角朝上的；④邊長(zhǎng)4的角形有3，都是頂角朝上的；⑤邊長(zhǎng)為三角形有個(gè)，是ABC那么圖中三角形個(gè)數(shù)為此五類三角形的和。解答①按第一種方法劃分三角形的總數(shù)為：l+3+6+10+15+4+5+3+1=48（個(gè)）②按第二種方法劃分三角形的總數(shù)為：25+13+6+3+l=48（）答：圖三角形的個(gè)數(shù)為48個(gè)點(diǎn)津?qū)ふ业綄?duì)的正確的圖形分類方法是解題的關(guān)鍵一種方法的分類較細(xì)然看起來有些繁瑣不漏數(shù)二種方的分類較粗?jǐn)?shù)每一類三角形時(shí)易現(xiàn)漏數(shù)的情況。發(fā)思訓(xùn)．?dāng)?shù)一數(shù)圖中共有多少條線段？共有多少三角形？

．?dāng)?shù)一數(shù)圖中有多少個(gè)三角形？．?dāng)?shù)一數(shù)圖中有多少個(gè)正方形包含陰影方？（圖中每一個(gè)小格是邊長(zhǎng)為正方形．?dāng)?shù)一數(shù)圖10中多少個(gè)角形？

．?dāng)?shù)一數(shù)圖11共有多少個(gè)長(zhǎng)方形？．一筐蘋果共有50個(gè)現(xiàn)將個(gè)蘋果排成一行，問些排成一行的個(gè)蘋果可組成多少條線段？2如果去掉兩頭兒的蘋果，這樣可以組多少條線段？．?dāng)?shù)一數(shù)圖12中方形的數(shù)。圖中每個(gè)小格都是邊長(zhǎng)為1的方形。．?dāng)?shù)一數(shù)圖13中多少個(gè)角形？

．如圖所示，在圓周上有6個(gè)，在這個(gè)釘中，任取3個(gè)用皮筋可套出一三角，問）釘A為頂點(diǎn)的三角形有幾個(gè)？2從6個(gè)釘中任取，用皮筋去套，可以套出多少個(gè)三角形？參答發(fā)思訓(xùn)．解：先找出圖中線段的基本圖形一條線段上有幾個(gè)分點(diǎn)樣的線段有ABADAE、GH、、、BC點(diǎn)8條段，而且每條線段上有三個(gè)分點(diǎn)，說明在這樣的每條線段上有4+3+2+l10（條）線段，那么圖形中總共線段10（三角形求法上找基本三角形個(gè)基本三角形中有三角形為（個(gè)，中共有三角形：×（答：在圖形中共有條線段40個(gè)角形。．解：由于五邊形ABCDE一個(gè)正五邊形是對(duì)稱的圖形在這個(gè)圖形中有很多大小形狀都相等的三角形分類時(shí)按三形大小進(jìn)行分類

11

大小相等的三角形有個(gè)；

②與1小相等的三角形有個(gè)大相的三角形有10個(gè)eq\o\ac(△,與)大小相等的三角形有個(gè)；⑤與大小相等的三角形有；⑥ACD大相等的三角形有個(gè)。圖中三角形的個(gè)數(shù)55+10=35（個(gè)答：圖中總共有35個(gè)角形。．解：由于圖中的陰影方格是長(zhǎng)為2寬為的長(zhǎng)方形那么包含它的正方形的邊長(zhǎng)至少是。那么包含陰影方格的①邊長(zhǎng)為正方形有2②長(zhǎng)為的方形有4個(gè)③邊長(zhǎng)為正方形有1個(gè)總共有：＝（個(gè)答：總共有7個(gè)正方形包含陰影方格。．解：如圖，將此圖形按大三角進(jìn)行分、ADC△ABC△、BDC在DEBC邊各有四個(gè)分點(diǎn)在△eq\o\ac(△,、)eq\o\ac(△,、)ABC中各有5+4+3+2+1=15（）三角形。在與BDC中有5個(gè)角。因此共有：15××2＝（個(gè)）答：圖中共有55個(gè)角形。．解：如圖，在大矩形ABCD和矩形

11

中各有長(zhǎng)方形）×2+l）30（個(gè)圖的中間部分矩形EHJG中有的未被數(shù)到的長(zhǎng)方形：①含有基本長(zhǎng)方形的有4個(gè)②含有基本長(zhǎng)方形的有2個(gè)③含有基本長(zhǎng)方形的有4個(gè)④含有基本長(zhǎng)方形的有2個(gè)總共有：×＝72個(gè)答：圖共有個(gè)方形。答圖

．解：（l個(gè)蘋果排成一行每個(gè)蘋果相當(dāng)于線段上的一個(gè)點(diǎn)，那么這條線段上總共有0－（個(gè)）分點(diǎn)，有條基本線段。那么共有線段：48

49

（條（2若去掉兩頭的蘋果，那么蘋果數(shù)變?yōu)閭€(gè)在這條線段上則有基本線段。那么共有線段：…+3+2+l＝（47+l÷21128（）答：50個(gè)果排成一行可組成條段。去掉兩頭的蘋果后可組成1128條段。．解：圖形中①邊長(zhǎng)為1的正方形有66＝36個(gè)）②邊長(zhǎng)為的正方形有5×＝（個(gè)）③邊長(zhǎng)為的正方形有4×（個(gè)）④邊長(zhǎng)為的正方形有3×3=9（個(gè)）⑤邊長(zhǎng)為的正方形有2×＝4個(gè)）⑥邊長(zhǎng)為的正方形有l(wèi)l=1（個(gè)）圖形中正方形總數(shù)：36+25+16+9+4+l=91個(gè)）答：圖中共有91個(gè)方形。．解：如圖3以BC為界，ABC和中各有三角形：5+4+3+2+l=15個(gè)AD為界AD的側(cè)有三角形，AD的側(cè)有三角形?？偣灿校骸?+3+2=35（個(gè)答：圖總共有35個(gè)角形。．解：（1以釘A做三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，只需找