圓錐曲線離心率問(wèn)題

圓錐曲線的離心率問(wèn)題離心率是圓錐曲線的一個(gè)重要幾何性質(zhì)，一方面刻畫(huà)了橢圓，雙曲線的形狀，另一方面也表達(dá)了參數(shù)之間的聯(lián)系。一、根底知識(shí)：1、離心率公式：〔其中為圓錐曲線的半焦距〕〔1〕橢圓：〔2〕雙曲線：2、圓錐曲線中的幾何性質(zhì)及聯(lián)系〔1〕橢圓：，①：長(zhǎng)軸長(zhǎng)，也是同一點(diǎn)的焦半徑的和：②：短軸長(zhǎng)③橢圓的焦距〔2〕雙曲線：①：實(shí)軸長(zhǎng)，也是同一點(diǎn)的焦半徑差的絕對(duì)值：②：虛軸長(zhǎng)③橢圓的焦距3、求離心率的方法：求橢圓和雙曲線的離心率主要圍繞尋找參數(shù)的比例關(guān)系〔只需找出其中兩個(gè)參數(shù)的關(guān)系即可〕，方法通常有兩個(gè)方向：〔1〕利用幾何性質(zhì)：如果題目中存在焦點(diǎn)三角形〔曲線上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線組成的三角形〕，則可考慮尋求焦點(diǎn)三角形三邊的比例關(guān)系，進(jìn)而兩條焦半徑與有關(guān)，另一條邊為焦距。從而可求解〔2〕利用坐標(biāo)運(yùn)算：如果題目中的條件難以開(kāi)掘幾何關(guān)系，則可考慮將點(diǎn)的坐標(biāo)用進(jìn)展表示，再利用條件列出等式求解2、離心率的圍問(wèn)題：在尋找不等關(guān)系時(shí)通?？蓮囊韵聨讉€(gè)方面考慮：〔1〕題目中*點(diǎn)的橫坐標(biāo)〔或縱坐標(biāo)〕是否有圍要求：例如橢圓與雙曲線對(duì)橫坐標(biāo)的圍有要求。如果問(wèn)題圍繞在“曲線上存在一點(diǎn)〞，則可考慮該點(diǎn)坐標(biāo)用表示，且點(diǎn)坐標(biāo)的圍就是求離心率圍的突破口〔2〕假設(shè)題目中有一個(gè)核心變量，則可以考慮離心率表示為*個(gè)變量的函數(shù)，從而求該函數(shù)的值域即可〔3〕通過(guò)一些不等關(guān)系得到關(guān)于的不等式，進(jìn)而解出離心率注：在求解離心率圍時(shí)要注意圓錐曲線中對(duì)離心率圍的初始要求：橢圓：，雙曲線：二、典型例題：例1：設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，線段的中點(diǎn)在軸上，假設(shè)，則橢圓的離心率為〔〕A．B．C．D．思路：此題存在焦點(diǎn)三角形，由線段的中點(diǎn)在軸上，為中點(diǎn)可得軸，從而，又因?yàn)?，則直角三角形中，，且，所以答案：A小煉有話說(shuō)：在圓錐曲線中，要注意為中點(diǎn)是一個(gè)隱含條件，如果圖中存在其它中點(diǎn)，則有可能與搭配形成三角形的中位線。例2：橢圓與漸近線為的雙曲線有一樣的焦點(diǎn),為它們的一個(gè)公共點(diǎn),且,則橢圓的離心率為_(kāi)_______思路：此題的突破口在于橢圓與雙曲線共用一對(duì)焦點(diǎn)，設(shè)，在雙曲線中，，不妨設(shè)在第一象限，則由橢圓定義可得：，由雙曲線定義可得：，因?yàn)?，而代入可得：答案：小煉有話說(shuō)：在處理同一坐標(biāo)系下的多個(gè)圓錐曲線時(shí)，它們共同的要素是聯(lián)接這些圓錐曲線的橋梁，通常以這些共同要素作為解題的關(guān)鍵點(diǎn)。例3：如下圖，雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交雙曲線的漸近線于兩點(diǎn)，且直線的傾斜角是漸近線傾斜角的2倍，假設(shè)，則該雙曲線的離心率為〔〕A.B.C.D.思路：此題沒(méi)有焦半徑的條件，考慮利用點(diǎn)的坐標(biāo)求解，則將所涉及的點(diǎn)坐標(biāo)盡力用表示，再尋找一個(gè)等量關(guān)系解出的關(guān)系。雙曲線的漸近線方程為，由直線的傾斜角是漸近線傾斜角的2倍可得：，確定直線l的方程為，與漸近線聯(lián)立方程得將轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)語(yǔ)言，則，即，解得，從而答案：B例4：設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)使得則該雙曲線的離心率為B.C.D.3思路：條件與焦半徑相關(guān)，所以聯(lián)想到，進(jìn)而與找到聯(lián)系，計(jì)算出的比例，從而求得解：即解得：〔舍〕或答案：B例5：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)T，線段與橢圓的交點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為.思路：此題涉及的條件多與坐標(biāo)有關(guān)，很難聯(lián)系到參數(shù)的幾何意義，所以考慮將點(diǎn)的坐標(biāo)用進(jìn)展表示，在利用條件求出離心。首先直線的方程含，聯(lián)立方程后交點(diǎn)的坐標(biāo)可用進(jìn)展表示〔〕，則中點(diǎn)，再利用點(diǎn)在橢圓上即可求出離心率解：直線的方程為：；直線的方程為：，聯(lián)立方程可得：解得：，則在橢圓上，解得：答案：例6：F是雙曲線的左焦點(diǎn)，是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，假設(shè)是銳角三角形，則該雙曲線的離心率的取值圍為〔〕A．B．C．D．思路：從圖中可觀察到假設(shè)為銳角三角形，只需要為銳角。由對(duì)稱(chēng)性可得只需即可。且均可用表示，是通徑的一半，得：，，所以，即答案：B小煉有話說(shuō)：〔1〕在處理有關(guān)角的圍時(shí)，可考慮利用該角的一個(gè)三角函數(shù)值，從而將角的問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)檫叺谋戎祮?wèn)題〔2〕此題還可以從直線的斜率入手，，利用即可求出離心率例7：橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，假設(shè)橢圓上存在點(diǎn)使，則該橢圓的離心率的取值圍為〔〕A.B.C.D.思路：為焦點(diǎn)三角形的角，且對(duì)邊為焦半徑，所以利用正弦定理對(duì)等式變形：，再由解得：，再利用焦半徑的圍為可得〔由于依題意，非左右頂點(diǎn)，所以焦半徑取不到邊界值〕：，解得答案：D例8：是橢圓的左右焦點(diǎn)，假設(shè)橢圓上存在點(diǎn)，使得，則橢圓離心率的取值圍是〔〕A.B.C.D.思路一：考慮在橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)連線所成的角中，當(dāng)位于橢圓短軸頂點(diǎn)位置時(shí)，到達(dá)最大值。所以假設(shè)橢圓上存在的點(diǎn)，則短軸頂點(diǎn)與焦點(diǎn)連線所成的角，考慮該角與的關(guān)系，由橢圓對(duì)稱(chēng)性可知，，所以，即，進(jìn)而即，解得，再由可得思路二：由可得，進(jìn)而想到焦點(diǎn)三角形的面積：，另一方面：，從而，因?yàn)樵跈E圓上，所以，即，再同思路一可解得：思路三：可想到，進(jìn)而通過(guò)向量坐標(biāo)化，將數(shù)量積轉(zhuǎn)為方程。設(shè)，則有，則，即點(diǎn)一定在以為圓心，為半徑的圓上，所以只需要該圓與橢圓有交點(diǎn)即可，通過(guò)作圖可發(fā)現(xiàn)只有半徑時(shí)才可有交點(diǎn)，所以，同思路一可解得注：此題對(duì)在圓上也可由判定出在以為直徑的圓上，進(jìn)而寫(xiě)出圓方程思路四：開(kāi)場(chǎng)同思路三一樣，得到所在圓方程為，因?yàn)樵跈E圓上，所以聯(lián)立圓和橢圓方程：代入消去可得：，整理后可得：，由可得：，同思路一即可解得：答案：小煉有話說(shuō)：此題的眾多思路重點(diǎn)區(qū)別在：一是從條件中想到橢圓的哪些性質(zhì)與結(jié)論，不同的結(jié)論得到不同的突破口；二是在解決離心率時(shí)是選擇用幾何特點(diǎn)數(shù)形結(jié)合去解還是通過(guò)坐標(biāo)方程用代數(shù)方式計(jì)算求解例9：設(shè)點(diǎn)分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，假設(shè)在橢圓上存在異于點(diǎn)的點(diǎn)，使得，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值圍是〔〕A.B.C.D.思路：此題取值圍的突破口在“橢圓上存在點(diǎn)〞，則的橫縱坐標(biāo)分別位于中，所以致力于計(jì)算的坐標(biāo)，設(shè)，題目中，由可得也在以為直徑的圓上。即，所以聯(lián)立方程：，即，由可得也是圓與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，所以由韋達(dá)定理可得：，再根據(jù)的圍可得：，解得答案：D小煉有話說(shuō)：此題運(yùn)用到了一個(gè)求交點(diǎn)的模型：即一個(gè)交點(diǎn)，可利用韋達(dá)定理求出另一交點(diǎn)，熟練使用這種方法可以快速解決*些點(diǎn)的坐標(biāo)例10：如圖，雙曲線上有一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，且滿足，設(shè)，且，則該雙曲線離心率的取值圍為〔〕A．B．C．D．思路：此題與焦半徑相關(guān)，所以考慮的幾何含義，可得為直角三角形，且，結(jié)合可得，因?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以即為的左焦半徑。所以有，則，即關(guān)于的函數(shù)，在求值域即可：，所以答案：B三、歷年好題精選1、雙曲線，，是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，直線，的斜率分別為，假設(shè)的最小值為，則雙曲線的離心率為〔〕A．B．C．D．2、〔2016，**一中模擬〕點(diǎn)是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，在拋物線上且滿足，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)恰好在以為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為〔〕A.B.C.D.3、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，假設(shè)是鈍角三角形，則該雙曲線離心率的取值圍是〔〕A．B．C．D．4、設(shè)分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，假設(shè)雙曲線左支上存在一點(diǎn)，使得，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則該雙曲線的離心率為〔〕A.B.C.D.5、〔2016高三第一次聯(lián)考〕橢圓和圓，〔為橢圓的半焦距〕對(duì)任意恒有四個(gè)交點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值圍為〔〕A.B.C.D.6、如圖，外兩個(gè)橢圓的離心率一樣，從外層橢圓頂點(diǎn)向?qū)訖E圓引切線，設(shè)層橢圓方程為，外層橢圓方程為假設(shè)的斜率之積為，則橢圓的離心率為_(kāi)______7、〔2015，新課標(biāo)II〕為雙曲線的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)在上，為等腰三角形，且頂角為，則的離心率為〔〕A.B.C.D.8、〔2016，第一中學(xué)12月考〕雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線的左支上，且，則此雙曲線離心率的最大值為〔〕A．B．C．D．9、〔2015，〕平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的漸近線與拋物線交于點(diǎn)，假設(shè)的垂心為的焦點(diǎn)，則離心率為_(kāi)_______10、〔2014，〕是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為〔〕A.B.C.D.11、〔2014，〕設(shè)直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，假設(shè)點(diǎn)滿足，則該雙曲線的離心率是______解得：習(xí)題答案：1、答案：B.解析：設(shè)，則，兩式相減得:，而，則，.2、答案：A解析：由拋物線方程可得：，過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，所以，所以，可知取得最大值時(shí)，最小，數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)與拋物線相切時(shí)，最小。設(shè)，聯(lián)立方程，即，則，此時(shí)，則，所以，則3、解析：為鈍角三角形，且即，即答案：B4、答案：A思路：條件與焦半徑相關(guān)，先考慮焦點(diǎn)三角形的特點(diǎn)，從入手，可得，數(shù)形結(jié)合可得四邊形為菱形，所以，可判定為直角三角形。，可得5、答案：B解析：由橢圓與圓有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則對(duì)任意恒成立，即，平方變形后可得：6、答案：解析：設(shè)切線的方程為，切線的方程為，聯(lián)立切線與層橢圓方程，得：，所以，由可得：，同理，所以。即7、答案：D解析：設(shè)雙曲線方程為，如下圖：，過(guò)點(diǎn)作軸于，在中，，