武漢大學2022-2022第二學期高等數(shù)學A2期末試卷(A卷)

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其次學期期末《高等數(shù)學A2》考試試卷（A卷）

一、試解下列各題(每小題5分，共50分)1.研究二重極限00

11lim()sinxyxyxy→→+的存在性。2.設級數(shù)11()nnna

a∞-=-∑收斂，1(0)nnn

bb∞=≥∑收斂，證實：1nnnab∞

=∑肯定收斂。

3.設(,,)ufxyz=有延續(xù)偏導數(shù)，函數(shù)(,)zzxy=由方程xyzxeyeze-=所確定，函數(shù)()yyx=由0sinxy

xtedtt-=?確定，求dudx

.4.設2[,()]zfxyxy?=-,其中(,)fuv具有二階延續(xù)偏導數(shù),)(u?二階可導,求y

xz???2.5.已知全微分()()yyxyxxyxyxyxfd2d2),(d2222--+-+=，求),(yxf的表達式。

6.設曲面方程為0),(=--byzaxzF（ba,為正常數(shù)）,(,)Fuv具有一階延續(xù)的偏導數(shù)，且02

2≠+vuFF，試證實此曲面上任一點處法線恒垂直于一常向量。7.求22(,)fxyxyy=++在區(qū)域222

22:4,12xDxyy+≤+≥上的平均值。8.求2(,,)Fxyzyzizk=+穿出曲面∑的通量，∑為柱面：221,0yzz+=≥被平面

0,1xx==截下部分。9.計算積分333xdydzydzdxzdxdy∑

++??，其中∑為球面：2222x

yzR++=的外側。10.設∑

為半球面z=(23)xyzdS∑++??.

二、(10分)已知空間曲線Γ：22223620

xyzxyz?+-=?--=?，且空間曲線Γ在xoy坐標面的投影曲線為L,若取L為順時針方向，求曲線積分22

223Lydxxdyxy-+?．三、(8分)考察兩直線111:

213

xyzl+-==-和2:42,3,24lxtytzt=+=-+=-，是否相交？如相交，求出其交點，如不相交，求出兩直線之間的距離d.

四、(本題24分，其中（1）8分，（2）8分，（3）4分，（4）4分，)已知某座小山的表面外形曲面方程為2275zxyxy=--+，取它的底面所在的平面為xoy

坐標面。(1)設點00(,)Mxy為這座小山底部所占的區(qū)域D內的一點，問高函數(shù)(,)hxy，在該點沿平面

上什么方向的方向導數(shù)最大？記此方向導數(shù)的最大值為00(,)gxy，試求00(,)gxy的表達式。

(2)現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動,為此需在山腳尋覓上山坡度最大的點作為攀巖的起點,試確定攀巖起點的位置。

(3)試用多元函數(shù)積分式表示山體的體積V（只需給出二重積分式，不用計算積分）。

(4)設山的表面分布著某種物質，其質量面密度為(,,)xyzρ=，試用重積

分表示分布在山體表面的物質質量（只需給出重積分式，不用計算積分）。

五、（8