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文檔簡介
湖北省黃岡中學(xué)高中數(shù)學(xué)競賽(預(yù)賽)真題訓(xùn)練(六)
姓名: 班級
: 分?jǐn)?shù)
:
一、填空題(本題滿分
56
分,每小題
7
分。)
1.已知復(fù)數(shù)
m
滿足
m
1
1
1
,則
m
2008
m m
2009
.
2
.
設(shè)
f
(
x)
為 .
1
3
cos
2
x
sin
x
cos
x
2
,
x
[
,
]
,
則
f
(
x)
的
值
域
2
2
6
4
a
3.設(shè)等差數(shù)列
n
的前
n
項(xiàng)和為
S
n
,若
S
15
0,
S
0
,則
16
S
1
,
a
1
S
a
S
2
,,
15
中最大
a
2
15
的是 .
4.
已知
O
是銳角△
ABC
的外心,
AB
6,
AC
10
,若
AO
x
AB
y
AC
,且
2
x
10
y
5
,則
cos
BAC
.
5.已知正方體
ABCD
A1
B1C1
D1
的棱長為
1,O
為底面
ABCD
的中心,M,N
分別
是棱
A1D1
和
CC1
的中點(diǎn).則四面體
O
MNB1
的體積為
.
6.設(shè)
A
B
C
{1,2,3,4,5,6}
,且
A
B
{1,2}
,{1,2,3,4}
B
C
,則符合條件
的
(
A,
B,
C
)
共有 組.(注:
A,
B,
C
順序不同視為不同組.)
7
.
設(shè)
y
sin
x
cos
x
tan
x
cot
x
sec
x
csc
x
,
則
|
y
|
的
最
小
值
為 .
8.設(shè)
p
是給定的正偶數(shù),集合
A
{x
|
2
p
x
2
p1
,
x
3m,
m
N}
的所有元素的
p
和是 .
二、解答題(本題滿分
64
分,第
9
題
14
分,第
10
題
15
分,第
11
題
15
分,第
12
題
20
分。)
9
.
設(shè)
數(shù)
列
{a
}(n
0)
滿
足
a
2
,
a
n 1
mn
a
mn
m
n
1
(a
2
2m
a
)
,其中
2n
m,
n
N,
m
n
.
(1)證明:對一切
n
N
,有
a
n2
2a
n1
a
2
;
n
(2)證明:
1
a
1
1
1
1
.
a
a
2
2009
10.求不定方程
x
x
x
3x
3x
5x
21的正整數(shù)解的組數(shù).
1 2 3 4 5 6
11.已知拋物線
C:
y
1
2
x
2
與直線
l:
y
kx
1
沒有公共點(diǎn),設(shè)點(diǎn)
P
為直線
l
上的
動點(diǎn),過
P
作拋物線
C
的兩條切線,A,B
為切點(diǎn).
(1)證明:直線
AB
恒過定點(diǎn)
Q;
12.設(shè)
a,
b,
c,
d
為正實(shí)數(shù),且
a
b
c
d
4
.證明:
a
2 b
2 c
2 d
2
4
(a
b)
2
.
b c d a
湖北省黃岡中學(xué)高中數(shù)學(xué)競賽(預(yù)賽)真題訓(xùn)練(六)
參考答案
一、填空題(本題滿分
56
分,每小題
7
分。)
1.已知復(fù)數(shù)
m
滿足
m
1
1
1
,則
m
2008
m m
2009
0
.
4
.
2
.
設(shè)
f
(
x)
3
[2,2 ]
1
3
cos
2
x
sin
x
cos
x
2
,
x
[
,
]
,
則
f
(
x)
的
值
域
為
2
2
6
4
a
3.設(shè)等差數(shù)列
的前
n
項(xiàng)和為
S
n
n
,若
S
15
0,
S
0
,則
16
S
1
,
a
1
S
a
S
2
,,
15
中最大
a
2
15
的是 S8 .
a
8
4.
已知
O
是銳角△
ABC
的外心,
AB
6,
AC
10
,若
AO
x
AB
y
AC
,且
2
x
10
y
5
,則
cos
BAC
1
3
.
5.已知正方體
ABCD
A1
B1C1
D1
的棱長為
1,O
為底面
ABCD
的中心,M,N
分別
7
是棱
A1D1
和
CC1
的中點(diǎn).則四面體
O
MNB1的體積為 48
.
6.設(shè)
A
B
C
{1,2,3,4,5,6}
,且
A
B
{1,2}
,{1,2,3,4}
B
C
,則符合條件
的
(
A,
B,
C
)
共有 1600 組.(注:
A,
B,
C
順序不同視為不同組.)
7
.
設(shè)
y
sin
x
cos
x
tan
x
cot
x
sec
x
csc
x
,
則
|
y
|
的
最
小
值
為
2 2 1 .
8.設(shè)
p
是給定的正偶數(shù),集合
A
{x
|
2
p
x
2
p1
,
x
3m,
m
N}
的所有元素的
p
和是
22
p1
2
p1
.
二、解答題(本題滿分
64
分,第
9
題
14
分,第
10
題
15
分,第
11
題
15
分,第
12
題
20
分。)
9
.
設(shè)
數(shù)
列
{a
}(n
0)
滿
足
a
2
,
a
n 1
mn
a
mn
m
n
1
(a
2
2m
a
)
,其中
2n
m,
n
N,
m
n
.
(1)證明:對一切
n
N
,有
a
n2
2a
n1
a
2
;
n
(2)證明:
1
a
1
1
1
1
.
a
a
2
2009
證明 (1)在已知關(guān)系式
a
mn
a
mn
m
n
1
2
(a
2m
a
)
中,令
m
n
,可得
2n
a
0
;
0
令
n
0
,可得
a
令
m
n
2
,可得
2m
4a
2m
①
m
2
a
2n2
a
2
1
(a
2
2n4
a
)
②
2n
由①得
a
2n2
4a
n1
2(n
1)
,
a
4a
2
6
,
a
2
1
2n4
4a
n2
2(n
2)
,
a
2n
4a
2n
,
n
代入②,化簡得
a
n2
2a
n1
a
2
.
------------------------------------------7
分
n
(2)由a
n2
2a
n1
a
2
,得(a
n
n2
a
n1
)
(a
n1
a
)
2
,故數(shù)列{a
n
n1
a
}
n
是首項(xiàng)為
a
a
2
,公差為
2
的等差數(shù)列,因此
a
1 0
n1
a
2n
2
.
n
于是
a
(a
a
)
a
(2k
)
0
n(n
1)
.
n k
n
k
1
k
1
0
n
k
1
因?yàn)?/p>
1
a
n
1
1
1
(n
1)
,所以
n(n
1)
n
n
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
(1
)
(
)
( )
1
1
.
a a a 2 2 3 2009 2010 2010
1 2 2009
------------------------------14
分
10.求不定方程
x
x
x
3x
3x
5x
21的正整數(shù)解的組數(shù).
1 2 3 4 5 6
解 令
x
x
x
x
,
x
x
y
,
x
z
,則
x
3,
y
2,
z
1
.
1 2 3 4 5 6
先考慮不定方程
x
3
y
5
z
21滿足
x
3,
y
2,
z
1
的正整數(shù)解.
x1
,
方
程
x
3,
y
2,
z
1
,
5z
21
x
3
y
12
,
1
z
2
.-----------------------5
分
當(dāng)
z
1
時(shí)
,
有
x
3
y
16
,
此
方
程
滿
足
x
3,
y
2
的
正
整
數(shù)
解
為
(
x,
y)
(10,
2),
(7,
3),
(4,
4)
.
當(dāng)
z
2
時(shí),有
x
3
y
11
,此方程滿足
x
3,
y
2
的正整數(shù)解為
(
x,
y)
(5,
2)
.
所以不定方程
x
3
y
5
z
21滿足
x
3,
y
2,
z
1
的正整數(shù)解為
(
x,
y,
z)
(10,
2,
1),
(7,
3,
1),
(4,
4,
1),
(5,
2,
2)
.
---------------------------------------10
分
又
方
程
x
x
x
x(
x
N
,
x
3)
的
正
整
數(shù)
解
的
組
數(shù)
為
C
2
1 2 3
x
x
y
(
y
N
,
x
2)
的正整數(shù)解的組數(shù)為
C
1 ,故由分步計(jì)數(shù)原理知,原不定方程
4 5 y1
的正整數(shù)解的組數(shù)為
C
2C1
C
2
C1
C
2
C1
C
2C1
36
30
9
6
81.
-------------------------------15
分
9 1 6 2 3 3 4 1
11.已知拋物線
C:
y
1
2
x
2
與直線
l:
y
kx
1
沒有公共點(diǎn),設(shè)點(diǎn)
P
為直線
l
上的
(2)若點(diǎn)
P
與(1)中的定點(diǎn)
Q
的連線交拋物線
C
于
M,N
兩點(diǎn),證明:
PM
動點(diǎn),過
P
作拋物線
C
的兩條切線,A,B
為切點(diǎn).
(1)證明:直線
AB
恒過定點(diǎn)
Q;
PN
QM
QN
.
證明
(1)設(shè)
A(
x
,
y
)
,則
y
1 1 1
1
x
2
.
2
1
由
y
1
2
x
2
得
y
x
,所以
y
|
x
x1
x1
.
于是拋物線
C
在
A
點(diǎn)處的切線方程為
y
y
x
(
x
x
)
,即
y
x
x
y
.
1 1 1 1 1
設(shè)
P(
x
,
kx
1)
,則有
kx
1
x
x
y
.
0 0 0 0
1 1
設(shè)
B(
x
,
y
)
,同理有
kx
1
x
x
y
.
2 2 0 0 2 2
所以
AB
的方程為
kx
1
x
x
y
,即
x
(
x
k
)
(
y
1)
0
,
0 0 0
所以直線
AB
恒過定點(diǎn)
Q(k
,1)
. ------------------------------------------7
分
(2)PQ
的方程為
y
kx
2
0
x
k
0
1
(
x
k
)
1,與拋物線方程
y
x
2
聯(lián)立,消去
y,得
2
x
k
x
k
2kx
4 (2k
2
2)
x
2k
0 0
x
2
x
0
.
x
k x
k
0 0
設(shè)
M
(
x
,
y
)
,
N
(
x
,
y
)
,則
3 3 4 4
2kx
4 (2k
2
2)
x
2k
0
x
x
,
x
x
0
3 4 3 4
0 0
①
要證
PM
QN
,只需證明
x
x
PN
QM
3
x
x
4
0
0
k
x
3
,即
x
k
4
2
x
x
(k
x
)(
x
x
)
2kx
0 ②
3 4 0 3 4 0
x
k
x
k
由①知,
2(2k
2
2)
x
4k 2kx
4
0 0
②式左邊=
(k
x
)
2kx
0
0 0
0
2(2k
2
2)
x
4k
(k
x
)(2kx
4)
2kx
(
x
k
)
0 0 0 0 0
0
.
x
k
0
故②式成立,從而結(jié)論成立. ------------------------------------------15
分
12.設(shè)
a,
b,
c,
d
為正實(shí)數(shù),且
a
b
c
d
4
.證明:
a
2 b
2 c
2 d
2
4
(a
b)
2
.
b c d a
證明
因?yàn)?/p>
a
b
c
d
4
,要證原不等式成立,等價(jià)于證明
a
2 b
2 c
2 d
2 4(a
b)
2
a
b
c
d
①
-------------
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