《一元二次方程的認(rèn)識與判斷》教案

------------------------------------------------------------------------《一元二次方程的認(rèn)識與判斷》教案教育是一項(xiàng)良心工程養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣蘇州龍文教育吳江新華花園校區(qū)電話：主編：蘇州龍文教育個(gè)性化輔導(dǎo)教案（蘇州龍文教育個(gè)性化輔導(dǎo)教案（（ggggggggggggangganggang綱學(xué)生：_______教師：_______時(shí)間：________年_____月____日段教學(xué)內(nèi)容一元二次方程的認(rèn)識與判斷教學(xué)重點(diǎn)一元二次方程及其根的概念、判斷教學(xué)計(jì)劃本節(jié)課內(nèi)容對應(yīng)教學(xué)計(jì)劃中所列第次課。教學(xué)目標(biāo)1一元二次方程的意義及一般形式，會(huì)正確識別一般式中的“項(xiàng)”及“系數(shù)”。2了解一元二次方程根的概念，會(huì)判定一個(gè)數(shù)是否是一個(gè)一元二次方程的根及利用它們解決一些具體問題。3會(huì)用試驗(yàn)的方法估計(jì)一元二次方程的解并理解其合理性。教學(xué)過程：一元二次方程一、做一做：1．問題一：綠苑小區(qū)住宅設(shè)計(jì)，準(zhǔn)備在每兩幢樓房之間，開辟面積為900平方米的一塊長方形綠地，并且長比寬多10米，那么綠地的長和寬各為多少？分析：設(shè)長方形綠地的寬為x米，不難列出方程x(x＋10)＝900整理可得x2＋10x－900=0.（1）2．問題二：學(xué)校圖書館去年年底有圖書5萬冊，預(yù)計(jì)到明年年底增加到7.2萬冊.求這兩年的年平均增長率.解：設(shè)這兩年的年平均增長率為x，我們知道，去年年底的圖書數(shù)是5萬冊，則今年年底的圖書數(shù)是5（1＋x）萬冊；同樣，明年年底的圖書數(shù)又是今年年底的（1＋x）倍，即5（1＋x）(1＋x)＝5(1＋x)2萬冊.可列得方程5（1＋x）2=7.2,整理可得5x2＋10x－2.2=0.（2）3．思考、討論這樣，問題1和問題2分別歸結(jié)為解方程（1）和（2）.顯然，這兩個(gè)方程都不是一元一次方程.那么這兩個(gè)方程與一元一次方程的區(qū)別在哪里？它們有什么共同特點(diǎn)呢？（1）都是整式方程（2）只含有一個(gè)未知數(shù)（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2二、一元二次方程的概念上述兩個(gè)整式方程中都只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的方程叫做一元二次方程）.通常可寫成如下的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是已知數(shù)，a≠0)。其中叫做二次項(xiàng)，叫做二次項(xiàng)系數(shù)；叫做一次項(xiàng)，叫做一次項(xiàng)系數(shù)，叫做常數(shù)項(xiàng)。.三、例題講解與練習(xí)鞏固1．例1下列方程中哪些是一元二次方程？試說明理由。（1）（2）（3）（4）2．例2將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)：1）2）（x-2）(x+3)=83）說明：一元二次方程的一般形式（≠0）具有兩個(gè)特征：一是方程的右邊為0；二是左邊的二次項(xiàng)系數(shù)不能為0。此外要使學(xué)生意識到：二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)都是包括符號的。3．例3方程（2a—4）x2—2bx+a=0,在什么條件下此方程為一元二次方程？在什么條件下此方程為一元一次方程？解：當(dāng)≠2時(shí)是一元二次方程；當(dāng)＝2，≠0時(shí)是一元一次方程；4．例4已知關(guān)于x的一元二次方程(m-1)x2+3x-5m+4=0有一根為2，求m。分析：一根為2即x=2,只需把x=2代入原方程。5．練習(xí)一將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)2x(x-1)=3(x-5)-4練習(xí)二關(guān)于的方程，在什么條件下是一元二次方程？在什么條件下是一元一次方程？四、應(yīng)用拓展1、求證：關(guān)于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不論m取何值，該方程都是一元二次方程．分析：要證明不論m取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明m2-8m+17≠0即可．證明：m2-8m+17=（m-4）2+1∵（m-4）2≥0∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0∴不論m取何值，該方程都是一元二次方程．一元二次方程的根一、復(fù)習(xí)引入學(xué)生活動(dòng)：請同學(xué)獨(dú)立完成下列問題．問題1．如圖，一個(gè)長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m，那么梯子的底端距墻多少米？設(shè)梯子底端距墻為xm，那么，根據(jù)題意，可得方程為___________．整理，得_________．x012345678…列表：問題2．一個(gè)面積為120m2的矩形苗圃，它的長比寬多2m，苗圃的長和寬各是多少？設(shè)苗圃的寬為xm，則長為_______m．x01234567891011根據(jù)題意，得________．整理，得________．列表：二、探索新知提問：（1）問題1中一元二次方程的解是多少？問題2中一元二次方程的解是多少？（2）如果拋開實(shí)際問題，問題1中還有其它解嗎？問題2呢？老師點(diǎn)評：（1）問題1中x=6是x2-36=0的解，問題2中，x=10是x2+2x-120=0的解．（3）如果拋開實(shí)際問題，問題（1）中還有x=-6的解；問題2中還有x=-12的解．為了與以前所學(xué)的一元一次方程等只有一個(gè)解的區(qū)別，我們稱：一元二次方程的解叫做一元二次方程的根．回過頭來看：x2-36=0有兩個(gè)根，一個(gè)是6，另一個(gè)是－6，但-6不滿足題意；同理，問題2中的x=-12的根也滿足題意．因此，由實(shí)際問題列出方程并解得的根，并不一定是實(shí)際問題的根，還要考慮這些根是否確實(shí)是實(shí)際問題的解．例1．下面哪些數(shù)是方程2x2+10x+12=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．分析：要判定一個(gè)數(shù)是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式兩邊相等即可．解：將上面的這些數(shù)代入后，只有-2和-3滿足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的兩根．例2．你能用以前所學(xué)的知識求出下列方程的根嗎？（1）x2-64=0（2）3x2-6=0（3）x2-3x=0分析：要求出方程的根，就是要求出滿足等式的數(shù)，可用直接觀察結(jié)合平方根的意義．解：（1）移項(xiàng)得x2=64根據(jù)平方根的意義，得：x=±8即x1=8，x2=-8（2）移項(xiàng)、整理，得x2=2根據(jù)平方根的意義，得x=±即x1=，x2=-（3）因?yàn)閤2-3x=x（x-3）所以x2-3x=0，就是x（x-3）=0所以x=0或x-3=0即x1=0，x2=3三、應(yīng)用拓展例3．要剪一塊面積為150cm2的長方形鐵片，使它的長比寬多5cm，這塊鐵片應(yīng)該怎樣剪？設(shè)長為xcm，則寬為（x-5）cm列方程x（x-5）=150，即x2-5x-150=0請根據(jù)列方程回答以下問題：（1）x可能小于5嗎？可能等于10嗎？說說你的理由．（2）完成下表：x1011121314151617…x2-5x-150（3）你知道鐵片的長x是多少嗎？分析：x2-5x-150=0與上面兩道例題明顯不同，不能用平方根的意義和八年級上冊的整式中的分解因式的方法去求根，但是我們可以用一種新的方法──“夾逼”方法求出該方程的根．解：（1）x不可能小于5．理由：如果x<5，則寬（x-5）<0，不合題意．x不可能等于10．理由：如果x=10，則面積x2-5x-150=-100，也不可能．（2）x1011121314151617……x2-5x-150-100-84-66-46-2402654……（3）鐵片長x=15cm盡享范例經(jīng)典例1：下列方程都是整式方程嗎?其中哪些是一元一次方程?哪些是一元二次方程?(1)3x+2=5x-3；(2)x2=4；(3)(x+3)(3x-4)=(x+2)2；(4)(x-1)(x-2)=x2+8．點(diǎn)撥：判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程不能只看表面，而是能化簡必須先化簡，然后再查看這個(gè)方程的未知數(shù)的最高次數(shù)是否是2．解：(1)、(2)、(3)、(4)都是整式方程．其中(1)、(4)是一元一次方程；(2)、(3)是一元二次方程．例2：把下列方程化為一元二次方程的一般形式，再指出其二次項(xiàng)、一次項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)．(1)5x2=3x；(2)(一1)x+x2-3=0；(3)(7x-1)2-3=O；(4)(-1)(+1)=0；(5)(6m-5)(2m+1)=m2．解：(1)整理，得5x2-3x=0．二次項(xiàng)：5x2；一次項(xiàng)：-3x；常數(shù)項(xiàng)：0．(2)整理，得x2+(1)x-3=0．二次項(xiàng)：x2；一次項(xiàng)：(-1)x；常數(shù)項(xiàng)：-3．(3)整理，得49x2-14x+1-3=0，49x2-14x-2-0．二次項(xiàng)：49x2；一次項(xiàng)：-14x；常數(shù)項(xiàng)：-2．(4)整理，得x2-1=0．．二次項(xiàng)：x2；一次項(xiàng)：0；常數(shù)項(xiàng)-1．(5)整理，得1lm2-4m-5-二次項(xiàng)：1lm2；一次項(xiàng)：-4m；常數(shù)項(xiàng)：-說明：在移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)時(shí)，易出現(xiàn)符號錯(cuò)誤，需格外小心．要認(rèn)真區(qū)別題目要求是指出方程的各項(xiàng)還是各項(xiàng)的系數(shù)，特別要注意當(dāng)某項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，指出各項(xiàng)時(shí)千萬不要丟負(fù)號．例3：有一面積為54m2的長方形，將它的一邊剪短5m，另一邊剪短2m，恰好變成一個(gè)正方形，這個(gè)正方形的邊長是多少(1)若設(shè)這個(gè)正方形的邊長為xm，請根據(jù)題意，列出方程．(2)x可能小于0嗎?說說你的理由．(3)正方形的邊長可能是2m嗎?可能是3m嗎?為什么?(4)你能求出x嗎?寫出求解過程．解：(1)所列方程為(x+5)(x+2)=54，即x2+7z一44=0．(2)x不可能小于0，因?yàn)閤表示正方形的邊長．(3)正方形的邊長不可能是2m，也不可能是3m，因?yàn)閤=2和x=3同樣都不滿足方程．(4)列表x12345x2+7x一44=O一36一26—14O16所以，正方形的邊長為4m．二、本次課后作業(yè)：三、學(xué)生對于本次課的評價(jià)：○差○一般○滿意○特別滿意