二重積分的概念

關(guān)于二重積分的概念第1頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月一.二重積分的概念1．引例——曲頂柱體的體積

曲頂柱體：

△

柱體的底是xoy面上的一有界閉區(qū)域D；

△側(cè)面是以D的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面；

△頂是曲面z=f(x,y)(f(x,y)≥0),f在D

上連續(xù)。

區(qū)域的直徑：閉區(qū)域上任意兩點(diǎn)間距離的最大值，稱為閉區(qū)域的直徑。第2頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月平頂(z=f(x,y)=常數(shù))柱體的體積：

體積=高（z=常數(shù)）×底面積（區(qū)域D的面積）

（請回憶在§6—1解決計(jì)算曲邊梯形面積的思想分析方法：……）oxyzDz=f(x,y)yxzz=f(x,y)oD(i,i)△i·第3頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月曲頂柱體的體積V:①分割：D=△1∪△2∪…∪△nV=△V1∪△V2∪…∪△Vn

(△i為△Vi窄條曲頂柱體的底；di為△i的直徑。)②近似：近似地將小曲頂視為平頂（滿足條件：z=f(x,y)

連續(xù)，小區(qū)域△i的直徑di很小），以點(diǎn)(i,i)

△i的豎坐標(biāo)f(i,i)為高，則得每個(gè)小窄條曲頂柱體的體積近似值△Vi≈f(i,i)△i(i=1,2,…,n)③求和：④取極限：

其中d=max｛d1,d2,…,dn｝,用△i也示小區(qū)域的面積。第4頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月2．引例——平面薄片的質(zhì)量

有一個(gè)平面薄片,在xoy

平面上占有區(qū)域

D,計(jì)算該薄片的質(zhì)量M.度為設(shè)D的面積為,則若非常數(shù),仍可用其面密

“分割,,近似和,求極限”解決.1)“分割”用任意曲線網(wǎng)分D為n個(gè)小區(qū)域相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域.第5頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月2)“近似”中任取一點(diǎn)3)“近似和”4)“取極限”則第

k小塊的質(zhì)量第6頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月兩個(gè)問題的共性：(1)解決問題的步驟相同(2)所求量的結(jié)構(gòu)式相同“分割,近似和,取極限”曲頂柱體體積:平面薄片的質(zhì)量:第7頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月2.定義（二重積分）：設(shè)z=f(x,y)在區(qū)域D上有界，則①分割：用平面曲線網(wǎng)將D分成n個(gè)小區(qū)域△1,△2,…,△n

各個(gè)小區(qū)域的面積是△1,△2,…,△n

各個(gè)小區(qū)域的直徑是d1,d2,…,dn②近似：在各個(gè)小區(qū)域上任取一點(diǎn)(i,i)△i

，作乘積

f(i,i)△i(i=1,2,…,n)③求和：第8頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月④取極限：當(dāng)n→∞且l=max｛d1,d2,…,dn｝→0時(shí)，

極限

存在，則稱此極限值為z=f(x,y)在D上的

二重積分，記為即

f(x,y)——

被積函數(shù)

f(x,y)d——

被積表達(dá)式

d——

面積元素

x,y——

積分變量

D——

積分區(qū)域

——

積分和式第9頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月[注記]：①

在直角坐標(biāo)系中，i≈(xi)(yi)面積元素

d=dxdy,故二重積分又有形式②

由于二重積分的定義，曲頂柱體的體積是③二重積分的幾何意義：

△當(dāng)f(x,y)≥0時(shí)，二重積分的幾何意義是：曲頂柱體的體積；

△當(dāng)f(x,y)≤0時(shí)，二重積分的幾何意義是：曲頂柱體的體積的負(fù)值；△當(dāng)f(x,y)在D上既有在若干分區(qū)域上取正值，也有在其余區(qū)域上取負(fù)值時(shí)，二重積分的幾何意義是：xoy面上方的柱體體積為正、下方的為負(fù)時(shí)的柱體體積的代數(shù)和。第10頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月

③函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，則f(x,y)在D上的二重積分必定存在。

⑤

n→∞(l→0)時(shí)，積分和式極限存在，與對D

區(qū)域的分法無關(guān)，與(i,i)△i的取法無關(guān)，僅與D和f(x,y)有關(guān)。

⑥“△i的直徑很小”與“△i的面積很小”對于“近似”有根本的區(qū)別，因此極限過程用

l→0，而不能僅用n→∞來描述。第11頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月二．二重積分的性質(zhì)⑴⑵⑶⑷（為D的面積）（D=D1+D2）第12頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月⑸在D上,若恒有f(x,y)≤g(x,y)，則特別地，在D上若f(x,y)≤0(≥0)

恒成立，則⑹⑺

在D上若m≤f(x,y)≤M，為D的面積，則(≥0)第13頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月⑻

二重積分中值定理：

設(shè)f(x,y)∈C(D)，D為有界閉區(qū)域，為D的面積，則至少(,)∈D，使第14頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月[例題解析]例1設(shè)利用二重積分的幾何意義說明I1和I2之間的關(guān)系第15頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月解：由二重積分的幾何意義知，I1表示底為D1，頂為曲面z=（x2+y2）3的曲頂柱體M1的體積；I2表示底為D2，頂為曲面z=（x2+y2）3的曲頂柱體M2的體積；由于位于D1上方的曲面z=（x2+y2）3關(guān)于yox面和zox面均對稱，故yoz面和zox面將M1分成四個(gè)等積的部分，其中位于第一卦限的部分即為M2。由此可知xy1-1-22第16頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月例2利用二重積分的幾何意義確定二重積分的值，其中解：曲頂柱體的底部為圓盤其頂是下半圓錐面故曲頂柱體為一圓錐體，它的底面半徑及高均為3，所以第17頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月例3利用二重積分的幾何意義說明：（1）當(dāng)積分區(qū)域D關(guān)于y軸對稱，f（x，y）為x的奇函數(shù)，即f（-x，y）=-f（x，y）時(shí)有（2）當(dāng)積分區(qū)域D關(guān)于y軸對稱，f（x，y）為x的偶函數(shù)，即f（-x，y）=f（x，y）時(shí)有（D1為D在x≥0的部分）第18頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月第19頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月[注記]：結(jié)論的推廣（1）當(dāng)積分區(qū)域D關(guān)于x軸對稱，f（x，y）為y的奇函數(shù)，即f（x，-y）=-f（x，y）時(shí)有（2）當(dāng)積分區(qū)域D關(guān)于x軸對稱，f（x，y）為y的偶函數(shù)，即f（x，-y）=f（x，y）時(shí)有（D1為D在y≥0的部分）第20頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月例4比較分析：主要考慮第21頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月【附注】比較和的大小先令