1.3.1-函數(shù)的單調性與導數(shù)

yx01.3.1函數(shù)的單調性與導數(shù)2021/5/91單調性的定義對于函數(shù)y＝f(x)在某個區(qū)間上單調遞增或單調遞減的性質，叫做f(x)在這個區(qū)間上的單調性，這個區(qū)間叫做f(x)的單調區(qū)間。知識回顧

一般地，設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)．

2021/5/92知識回顧判斷函數(shù)單調性有哪些方法？比如：判斷函數(shù)的單調性。xyo函數(shù)在上為____函數(shù)，在上為____函數(shù)。圖象法定義法減增如圖：2021/5/93思考：那么如何求出下列函數(shù)的單調性呢?(1)f(x)=2x3-6x2+7(2)f(x)=ex-x+1(3)f(x)=sinx-x發(fā)現(xiàn)問題：用單調性定義討論函數(shù)單調性雖然可行，但十分麻煩，尤其是在不知道函數(shù)圖象時。例如：2x3-6x2+7，是否有更為簡捷的方法呢？下面我們通過函數(shù)的y=x2－4x＋3圖象來考察單調性與導數(shù)有什么關系2021/5/942yx0.......再觀察函數(shù)y=x2－4x＋3的圖象：總結:該函數(shù)在區(qū)間（－∞，2）上單減,切線斜率小于0,即其導數(shù)為負;而當x=2時其切線斜率為0,即導數(shù)為0.函數(shù)在該點單調性發(fā)生改變.在區(qū)間（2，+∞）上單增,切線斜率大于0,即其導數(shù)為正.2021/5/95xyOxyOxyOxyOy=xy=x2y=x3

觀察下面一些函數(shù)的圖象,探討函數(shù)的單調性與其導函數(shù)正負的關系.結論：在某個區(qū)間(a,b)內,如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間內單調遞增;如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間內單調遞減.如果在某個區(qū)間內恒有f′(x)=0,則f(x)為常數(shù)函數(shù)2021/5/96函數(shù)單調性與導數(shù)正負的關系注意：應正確理解“某個區(qū)間”的含義,它必是定義域內的某個區(qū)間。2021/5/97課本思考思考1：如果在某個區(qū)間內恒有，那么函數(shù)有什么特性？幾何意義：關系：思考2：結合函數(shù)單調性的定義，思考某個區(qū)間上函數(shù)的平均變化率的幾何意義與導數(shù)正負的關系。2021/5/982021/5/99例1、已知導函數(shù)的下列信息：當1<x<4時，>0;當x>4,或x<1時，<0;當x=4,或x=1時，=0.則函數(shù)f(x)圖象的大致形狀是(）。xyo14xyo14xyo14xyo14ABCDD導函數(shù)f’(x)的------與原函數(shù)f(x)的增減性有關正負2021/5/9101．應用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間(選填:“增”,“減”,“既不是增函數(shù),也不是減函數(shù)”)

(1)函數(shù)y=x－3在[－3，5]上為__________函數(shù)。(2)函數(shù)y=x2－3x在[2，+∞)上為_____函數(shù)，在(－∞,1]上為______函數(shù)?；A訓練：應用舉例增增減2021/5/911求函數(shù)的單調區(qū)間。例2變1：求函數(shù)的單調區(qū)間。理解訓練：解：的單調遞增區(qū)間為單調遞減區(qū)間為解：的單調遞增區(qū)間為單調遞減區(qū)間為變3：求函數(shù)的單調區(qū)間。變2：求函數(shù)的單調區(qū)間。鞏固提高：解:解:注意:單調區(qū)間不可以并起來.2021/5/912總結:當遇到三次或三次以上的,或圖象很難畫出的函數(shù)求單調性問題時，應考慮導數(shù)法。納1°什么情況下，用“導數(shù)法”求函數(shù)單調性、單調區(qū)間較簡便？2°試總結用“導數(shù)法”求單調區(qū)間的步驟？歸2021/5/913練習判斷下列函數(shù)的單調性,并求出單調區(qū)間:2021/5/914設是函數(shù)的導函數(shù)，的圖象如右圖所示,則的圖象最有可能的是()xyo12xyo12xyo12xyo12xyo2(A)(B)(C)(D)C2021/5/915例3如圖,水以常速(即單位時間內注入水的體積相同)注入下面四種底面積相同的容器中,請分別找出與各容器對應的水的高度h與時間t的函數(shù)關系圖象.(A)(B)(C)(D)htOhtOhtOhtO2021/5/916

一般地,如果一個函數(shù)在某一范圍內導數(shù)的絕對值較大,那么函數(shù)在這個范圍內變化得快,這時,函數(shù)的圖象就比較“陡峭”(向上或向下);

反之,函數(shù)的圖象就“平緩”一些.

如圖,函數(shù)在或內的圖象“陡峭”,在或內的圖象平緩.2021/5/917練習2.函數(shù)的圖象如圖所示,試畫出導函數(shù)圖象的大致形狀2021/5/918設是函數(shù)的導函數(shù)，的圖象如右圖所示,則的圖象最有可能的是()xyo12xyo12xyo12xyo12xyo2(A)(B)(C)(D)C2021/5/919思考題A2021/5/9202021/5/921求參數(shù)的取值范圍2021/5/922例2：解：由已知得因為函數(shù)在（0，1]上單調遞增2021/5/923在某個區(qū)間上，，f（x）在這個區(qū)間上單調遞增（遞減）；但由f（x）在這個區(qū)間上單調遞增（遞減）而僅僅得到是不夠的。還有可能導數(shù)等于0也能使f（x）在這個區(qū)間上單調，所以對于能否取到等號的問題需要單獨驗證2021/5/9242021/5/925例3：方程根的問題求證：方程只有一個根。2021/5/926B2021/5/9272.函數(shù)y=a(x3-x)的減區(qū)間為

則a的取值范圍為()(A)a>0(B)–1<a<1(C)a>1(D)0<a<1A2021/5/9282021/5/9292021/5/930證明：令f(x)=e2x－1－2x.∴f′(x)=2e2x－2=2(e2x－1)∵x＞0，∴e2x＞e0=1，∴2(e2x－1)＞0,即f′(x)＞0∴f(x)=e2x－1－2x在(0，+∞)上是增函數(shù).∵f(0)=e0－1－0=0.∴當x＞0時，f(x)＞f(0)=0，即e2x－1－2x＞0.∴1+2x＜e2x2.當x＞0時，證明不等式：1+2x＜e2x.分析：假設令f(x)=e2x－1－2x.∵f(0)=e0－1－0=0,如果能夠證明f(x)在(0，+∞)上是增函數(shù)