誤差及其處理

第三章

誤差分析與數(shù)據(jù)處理北京科技大學測量誤差基本概念

測量誤差的表示測量誤差的分類有效數(shù)字系統(tǒng)誤差的消除主要內(nèi)容隨機誤差的處理粗大誤差的剔除測量誤差基本概念真值——指被測量在一定條件下客觀存在的、實際具備的量值。真值是不可確切獲知的，實際測量中常用“約定真值”和“相對真值”。約定真值是用約定的辦法確定的真值，如砝碼的質(zhì)量。相對真值是指具有更高精度等級的計量器的測量值。標稱值——計量或測量器具上標注的量值。如標準砝碼上標注的質(zhì)量數(shù)。示值——由測量儀器（設(shè)備）給出的量值，也稱測量值或測量結(jié)果。測量誤差——測量結(jié)果與被測量真值之間的差值。誤差公理——一切測量都具有誤差，誤差自始至終存在于所有科學試驗的過程之中。研究誤差的目的是找出適當?shù)姆椒p小誤差，使測量結(jié)果更接近真值。重復性——在相同條件下，對同一被測量進行多次測量所得到的結(jié)果之間的一致性。相同條件包括：相同的測量程序、測量方法、觀測人員、測量設(shè)備和測量地點等。測量不確定度——表示測量結(jié)果不能肯定的程度，或說是表征測量結(jié)果分散性的一個參數(shù)。它只涉及測量值，是可以量化的。經(jīng)常由被測量算術(shù)平均值的標準差、相關(guān)量的標定不確定度等聯(lián)合表示。測量誤差基本概念準確度——是測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差與隨機誤差的綜合，表示測量結(jié)果與真值的一致程度，由于真值未知，準確度是個定性的概念。測量誤差的表示3）引用誤差——絕對誤差與測量儀表量程之比。按最大引用誤差將電測量儀表的準確度等級分為7級，指數(shù)a

分別為：0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5，5.0。2）相對誤差——絕對誤差與真值之比：在誤差較小時，可以用測量值代替真值，稱為示值相對誤差γx。1）絕對誤差——示值與真值之差。它的負值稱為修正值。稱為修正值或補值。所以電測量儀表在使用中的最大可能誤差為：【例】某1.0級電壓表，量程為300V，求測量值Ux分別為100V和200V時的最大絕對誤差ΔUm和示值相對誤差γUx

。測量誤差的表示測量誤差的分類按產(chǎn)生原因分類1）方法誤差:

方法誤差是由于檢測系統(tǒng)采用的測量原理與方法本身所產(chǎn)生的測量誤差，是制約測量準確性的主要原因；2）環(huán)境誤差:

環(huán)境誤差是由于環(huán)境因素對測量影響而產(chǎn)生的誤差。例如環(huán)境溫度、濕度、灰塵、電磁干擾、機械振動等存在于測量系統(tǒng)之外的干擾會引起被測樣品的性能變化，使檢測系統(tǒng)產(chǎn)生的誤差；按產(chǎn)生原因分類5）隨機誤差：相同條件下測量產(chǎn)生的偶然誤差（重復測量）。3）裝置誤差：裝置誤差是檢測系統(tǒng)本身固有的各種因素影響而產(chǎn)生的誤差。傳感器、元器件與材料性能、制造與裝配的技術(shù)水平等都直接影響檢測系統(tǒng)的準確性和穩(wěn)定性產(chǎn)生的誤差；4）處理誤差：數(shù)據(jù)處理誤差是檢測系統(tǒng)對測量信號進行運算處理時產(chǎn)生的誤差，包括數(shù)字化誤差、計算誤差等；測量誤差的分類

按誤差性質(zhì)分類1）系統(tǒng)誤差——在重復條件下，對同一物理量無限多次測量結(jié)果的平均值減去該被測量的真值。系統(tǒng)誤差大小、方向恒定一致或按一定規(guī)律變化。測量誤差的分類3）粗大誤差——明顯超出規(guī)定條件下預(yù)期的誤差，它是統(tǒng)計異常值。應(yīng)剔除含有粗大誤差的測量值。產(chǎn)生原因主要是讀數(shù)錯誤、儀器有缺陷或測量條件突變等。2）隨機誤差——測量示值減去在重復條件下同一被測量無限多次測量的平均值。隨機誤差具有抵償特性。產(chǎn)生原因主要是溫度波動、振動、電磁場擾動等不可預(yù)料和控制的微小變量。測量誤差的分類1）有效數(shù)字：從左邊第一個非零數(shù)字到最末一位數(shù)字為止的全部數(shù)字稱為有效數(shù)字。它所隱含的意義是該數(shù)據(jù)的極限誤差不超過其有效數(shù)字末位的半個單位。2）有效數(shù)字位數(shù)的確定：測量結(jié)果的最末一位與測量不確定度的位數(shù)對齊。有效數(shù)字1）數(shù)據(jù)的舍入規(guī)則：四舍五入，末位取偶，一次舍入到位。目的是使正負舍入誤差的概率近似相等。例如：將下列數(shù)據(jù)四舍五入，保留兩位小數(shù)。

12.4344≈12.43 25.3250≈25.3263.73501≈63.74 17.6950≈17.702)四舍六入五成雙:

1.小于5舍去，即舍去部分的數(shù)值小于保留部分的末位的半個單位，則末位不變；

2.大于5進1，即舍去部分的數(shù)值大于保留部分的末位的半個單位，則末位加1；

3.等于5時取偶數(shù)，即舍去部分的數(shù)值，等于保留部分的末位的半個單位，則末位湊成偶數(shù)，即當末位為偶數(shù)時，末位不變；當末位為奇數(shù)時，末位加1。

有效數(shù)字例如:1.15+1.25+1.35+1.45=5.2，若按四舍五入取一位小數(shù)計算：

1.2+1.3+1.4+1.5=5.4按“四舍六入五成雙”計算，1.2+1.2+1.4+1.4=5.2，舍入后的結(jié)果更能反映實際結(jié)果。有效數(shù)字舉例，用上述規(guī)則對下列數(shù)據(jù)保留3位有效數(shù)字：

9.8249=9.82,9.82671=9.83

9.8251=9.83,9.8350=9.84

9.8250=9.82,9.82501=9.83系統(tǒng)誤差的消除根據(jù)不同測量目的，對測量儀器、儀表、測量條件、測量方法及步驟等進行全面分析，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差，采用相應(yīng)的措施來消除或減弱它。分析系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的根源，從產(chǎn)生的來源上消除：儀器、環(huán)境、方法、人員素質(zhì)等。分析系統(tǒng)誤差的具體數(shù)值和變換規(guī)律，利用修正的方法來消除：通過資料、理論推導或者實驗獲取系統(tǒng)誤差的修正值，最終測量值＝測量讀數(shù)＋修正值。針對具體測量任務(wù)可以采取一些特殊方法，從測量方法上減小或消除系統(tǒng)誤差，如：差動法、替代法。多次測量求平均值不能減小系統(tǒng)誤差隨機誤差的處理隨機誤差的統(tǒng)計特性隨機測量數(shù)據(jù)的分布隨機測量數(shù)據(jù)的特征參數(shù)隨機誤差處理隨機測量數(shù)據(jù)的置信度隨機誤差的統(tǒng)計特征測量品種產(chǎn)品直徑測量值平均值1234567891011產(chǎn)品113.013.113.312.813.112.713.213.012.812.913.213.0產(chǎn)品214.614.214.314.714.514.314.814.314.714.614.614.5當其它誤差可以忽略時，隨機誤差δ可以表示為測量值與真值之差：隨機誤差的統(tǒng)計特征（4）抵償性:隨著測量次數(shù)的增加，隨機誤差的代數(shù)和趨于零。（1）對稱性：絕對值相等的正、負誤差出現(xiàn)的概率相同。（2）有界性：絕對值很大的誤差出現(xiàn)的概率為零。在一定的條件下，誤差的絕對值不會超過某一界限。（3）單峰性：絕對值小的誤差出現(xiàn)的概率大于絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率;隨機測量數(shù)據(jù)的分布正態(tài)分布對某一產(chǎn)品作N次等精度重復測量，測量序列：服從正態(tài)分布（高斯概率分布）標準誤差：隨機誤差：測量真值：μ隨機測量數(shù)據(jù)的分布（自學）正態(tài)分布平均分布在某一區(qū)域內(nèi)隨機誤差出現(xiàn)的概率處處相等。t分布處理小樣本的測量數(shù)據(jù)（n<30）粗大誤差的剔除隨機誤差的處理隨機測量數(shù)據(jù)的分布測量數(shù)據(jù)概率密度：不同的σ

有不同的概率密度函數(shù)曲線，σ一定，隨機誤差的概率分布就完全確定。隨機測量數(shù)據(jù)的分布平均分布在某一區(qū)域內(nèi)隨機誤差出現(xiàn)的概率處處相等。儀器刻度誤差最小分辨率誤差數(shù)字量化誤差舍入誤差等隨機測量數(shù)據(jù)的分布t分布處理小樣本的測量數(shù)據(jù)（n<30）隨機測量數(shù)據(jù)的特征參數(shù)數(shù)學期望的估計假設(shè)對被測量A進行n次等精度、無系統(tǒng)誤差獨立測量，測量結(jié)果為，則該測量序列的算術(shù)平均值是被測量A數(shù)學期望的最佳估計。隨機測量數(shù)據(jù)的特征參數(shù)標準偏差的估計由于隨機誤差與真值有關(guān)，是不可知的，工程上常用剩余誤差代替隨機誤差而獲得方差和標準差的估計值。剩余誤差定義： 用剩余誤差計算近似標準差的貝塞爾公式：隨機測量數(shù)據(jù)的特征參數(shù)算術(shù)平均值的標準差算術(shù)平均值的標準差為： 估計值為：算術(shù)平均值比單次測量值的離散度小，精度更高。隨機誤差的處理數(shù)學期望方差（標準差σ）隨機變量A定義式估計算術(shù)平均值的標準差隨機測量數(shù)據(jù)的置信度置信度是表征測量結(jié)果可信賴程度的一個參數(shù)，用置信區(qū)間和置信概率來表示。置信區(qū)間[-a，+a]是鑒定測量系統(tǒng)的設(shè)計誤差指標，對于已有的檢測系統(tǒng)，隨機誤差δ服從正態(tài)分布，標準誤差σ已知。區(qū)間[-a~+a]與曲線構(gòu)成的面積就是測量誤差在[-a~+a]區(qū)間出現(xiàn)的置信概率。隨機測量數(shù)據(jù)的置信度置信概率計算置信概率等于在置信區(qū)間對概率密度函數(shù)的定積分；隨機誤差出現(xiàn)的概率就是測量數(shù)據(jù)出現(xiàn)的概率；由于服從正態(tài)分布的概率密度函數(shù)具有對稱性，隨機誤差概率公式為:置信區(qū)間可用標準誤差的倍數(shù)K來表示，K稱為置信因子，即：隨機測量數(shù)據(jù)的置信度令 ，因 ，積分由0到a變?yōu)橛?到K:上式是一個計算比較復雜的積分，可以通過查K-φ(K)表獲得積分值。隨機測量數(shù)據(jù)的置信度Kφ(K)0.00.000000.50.382921.00.682691.50.866392.00.954502.50.987582.580.990122.60.990683.00.99730隨機誤差大于3σ概率為0.0027，幾乎為零，故常將標準差的3倍作為正態(tài)分布下測量數(shù)據(jù)的極限誤差。隨機測量數(shù)據(jù)的置信度【例】對某電阻作無系統(tǒng)誤差等精度獨立測量，已知測量數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，其標準差為0.2Ω，求被測電阻真值R落在區(qū)間[R-0.5,R+0.5]Ω的概率。相應(yīng)的置信概率為：同樣可以算出，當置信區(qū)間要求為：運算表明：當置信區(qū)間要求為： 相應(yīng)的置信概率為：隨機測量數(shù)據(jù)的置信度由給定或設(shè)定置信概率P來計算置信區(qū)間[-a，+a]；【例】對某電壓值進行測量，其標準差為0.02V，期望值為79.83V，求置信概率為99%時所對應(yīng)的測量置信區(qū)間。隨機測量數(shù)據(jù)的置信度置信概率與置信區(qū)間的說明A.對給定置信概率，測出的置信區(qū)間愈小，表明系統(tǒng)的測量精度愈高。B.對給定置信區(qū)間，測出的置信概率越大，表明系統(tǒng)越可靠。隨機誤差的處理隨機誤差處理平均值處理方法被測樣品的真實值是當測量次數(shù)n為無窮大時的統(tǒng)計期望值。n次采樣數(shù)據(jù)算術(shù)平均值的標準誤差為:由上式可見：測量列的算術(shù)平均值的標準誤差只是各測量值的標準誤差σ的。因此，以算術(shù)平均值作為檢測結(jié)果比單次測量更為準確，而且在一定測量次數(shù)內(nèi)，測量精度將隨著采樣次數(shù)的增加而提高。隨機誤差的處理平均值先后計算將式（1）（2）式在真值V0

附近展開泰勒級數(shù)，保留到二次項得：（2）（1） 當采樣次數(shù)n不受限制時，可以認為平均值更接近，當測量次數(shù)n較大時，可以認為，但不可能為零。直接采樣信號的平均值就是系統(tǒng)對檢測信號的最佳估計值，可用平均值代表其相對真值；如果被測量與直接采樣信號函數(shù)關(guān)系明確，將各直接量的最佳估計值代入該函數(shù)，所求出值即為被測量的最佳估計值。，因此應(yīng)采用：隨機誤差的處理隨機誤差的處理數(shù)據(jù)序列數(shù)n的確定標準誤差σ是在采樣次數(shù)n足夠大得到的，但實際測量只能有限次，測量次數(shù)n如何確定？a實際測量中的有限次測量只能得到標準誤差的近似值b通過貝塞爾公式求標準誤差的近似值c采用近似值通過謝波爾德公式確定測量次數(shù)n。由貝塞爾（Bessel）公式可推導出用剩余誤差計算近似標準誤差為：謝波爾德公式給出了標準誤差、近似誤差以及檢測設(shè)備分辨率ω之間的關(guān)系：當測量次數(shù)n增加，利用隨機誤差的抵償性質(zhì)，使隨機誤差對測量結(jié)果的影響削弱到與相近的數(shù)量時，近似誤差就趨于穩(wěn)定，此時測量次數(shù)n為選定值，一般n在10~20之間。隨機誤差的處理粗大誤差的剔除

物理判別法——測量過程中——人為因素（讀錯、記錄錯、操作錯）——不符合實驗條件/環(huán)境突變（突然振動、電磁干擾等）——隨時發(fā)現(xiàn)，隨時剔除，重新測量統(tǒng)計判別法——測量完畢按照統(tǒng)計方法處理數(shù)據(jù)，在一定的置信概率下確定置信區(qū)間，超過誤差限的判為異常值，予以剔除。粗大誤差的剔除

拉依達準則

（3準則）隨機誤差大于3倍標準差的概率僅為0.0027，如果測量值A(chǔ)k

的隨機誤差為δk

，且 ，則該測量值含有粗大誤差，應(yīng)予以剔除。實際應(yīng)用中用剩余誤差代替隨機誤差，標準差采用估計值，即：當n較小時，特別是當n≤10時，該準則失效。以n=10為例，由貝塞爾公式：當n≤10時，剩余誤差總是小于，即使在測量數(shù)據(jù)中含有粗大誤差，也無法判定。粗大誤差的剔除粗大誤差的剔除

格羅布斯（Grubbs）準則當測量數(shù)據(jù)中，測量值A(chǔ)k

的剩余誤差滿足下面的條件時，則除去Ak

： 是與測量次數(shù)n、顯著性水平α相關(guān)的臨界值，可以查表獲得。α與置信概率P的關(guān)系為：αn0.010.0531.161.1541.491.4651.751.6761.911.8272.101.9482.222.0392.322.11102.412.18112.482.23122.552.29132.612.33特點：1.

對于次數(shù)較少的粗大誤差剔除的準確性高；

2.每次只能剔除一個可疑值。粗大誤差的剔除粗大誤差的剔除具體步驟：a.用查表法找出統(tǒng)計量的臨界值：b.計算各測量值的剩余誤差，找出剩余誤差絕對值最大值；c.判斷：d.剔除含有粗大誤差的測量值后，重新計算標準差估計值，重復步驟a~c，直至含有粗大誤差的測量值全部被剔除。粗大誤差的剔除標準差估計值為：【例】對某種樣品進行8次檢測采樣，測得長度值為Xi

，如表所示。在置信概率為0.99時，試用格羅布斯準則判斷有無粗大誤差。8次測量的平均值為：計算相應(yīng)的剩余誤差為：i/次12345678Xi13.613.813.813.412.513.913.513.6δi0.090.290.29-0.11-1.010.39-0.010.09第二次δi-0.060.140.14-0.26/0.24-0.16-0.06由上表看出:值得懷疑。因為n=8，α=1-P=1-0.99=0.01，查表可得：于是有:因故含有粗大誤差，應(yīng)剔除。粗大誤差的剔除αn0.010.0531.161.1541.491.4651.751.6761.911.8272.101.9482.222.0392.322.11102.412.18112.482.23122.552.29132.612.33用余下的7個數(shù)據(jù)重新計算剩余誤差和標準差，標準差估計值為7個數(shù)的平均值為故余下7個測量數(shù)據(jù)中已無粗大誤差存在，在后續(xù)計算時可以使用。粗大誤差的剔除αn0.010.